1. Black-Scholes公式 经典的Black-Scholes期权定价公式是 对于欧式股票期权给出的其公式为,,,,,,,其中T是到期时间，S是当前股价， 是作为当前股价和到期时间的函 数的欧式买 入期权的价格.,第九章 期权定价公式及其应用,一、引言,第一节Black-Scholes期权定价公式,,,,,,,K是期权的执行价格，r是无风险证券的（瞬时）收益率， 称为股价的波动率volatility ,这是一个需要测算的参数,称为累积正态分布函数，定义为,图1 期权价格曲线随到期时间T的变化,,Black-Scholes公式的方便之处在于除股价的 波动率外，其他参数都是直接在市场上可以找到的 例如,如果这里价格以元计,时间以年计,从而涉 及的两个比率都指的是年率那么（以下的等号实 际上都是近似等号）,,,,把这些值代入公式，得到:,利用累积正态函数在点2.8017和2.7267处的 近似值，买入期权的价格是3.3749，即,,更精确的计算可得:,,,2. 金融资产的定价问题,金融资产的定价问题(asset valuation)是现代财务 金融理论的一个基本问题。
对于具有固定现金流的金融产品、如债券等金融工具， 其价格都是通过净现值方法来确定的对于期权来讲，其风险究竟有多大?如何计算出相应的风险溢价以及未来的现金流? 这都是较为难解决的问题3. Black-Scholes公式发展过程,(1) 巴列切尔公式 ( Bachelier 1900),,n是标准正态分布的密度函数,,,法国 数学家 Bachelier Louis,在其博士论文 The Theory of Speculation中首次给出了欧式买 权的定价公式,,但他在建立模型时有3个假设与现实不符 第一，假设标的股票的价格服从标准正态分布这使得 股价出现负值的概率大于零，从而与现实明显不符 第二，认为在离到期日足够远的时候,买权的价值可能大 于标的股票的价值，这显然也是不可能的 第三，假设股票的期望报酬(即股价变化的平均值)为零， 这也违背了股票市场的实际情况2) 斯普伦克莱 ( Sprenkle ,1961),,,在Bachelier的研究基础上,人们对期权定价问题进行 了长期的研究 1961年Sprenkle提出了“股票价格服从对数正态分布” 的基本假设，并肯定了股价发生随机漂移的可能性。
是股票价格的平均增长率，,A是对应的风险厌恶程度其中,(3) 博内斯 ( Boness, 1964),,其中，,,,1964年，Boness将货币时间价值的概念引入到期权 定价过程，但他没有考虑期权和标的股票之间风险水平 的差异4) 塞缪尔森 (Samuelson, 1965),其中,,,,是期权价格的平均增长率1965年，著名经济学家萨缪尔森(Samuelson)把上述 成果统一在一个模型中在1973年Black和Scholes提出BlackScholes期权 定价模型.,我们可以看到，所有这些公式都与后来的Black-Scholes公式有许多相似的地方1969年，他又与其研究生Merton合作，提出了把期 权价格作为标的股票价格的函数的思想20世纪60年代末，两人开始合作研究期权的定价问 题,并找到了建立期权定价模型的关键突破点,即构造一 个由标的股票和无风险债券的适当组合(买入适当数量的 标的股票,同时按无风险利率借入适当金额的现金)该 组合具有这样的特点,即无论未来标的资产价格如何变化, 其损益特征都能够完全再现期权在到期日的损益特征Black和Scholes得到了描述期权价格变化所满足的 随机偏微分方程，即所谓的BS方程。
从而得出了期权定价模型的解析解,这就是BS模型Merton也对期权定价理论和实践的发展做出了独立的 和开创性的贡献,他几乎在与Black和Scholes同一时间,得 到了期权定价模型及其他一些重要的成果1976年，Merton把BS期权定价模型推广到股票价格变化可能存在跳跃点的场合,并包含了标的股票连续支付股利 的情况，从而把该模型的实用性又大大推进了一步，学术界将其称为Merton模型另外Cox，Ross和Rubinstein等人还提出了二项式期权定 价模型他们最初的动机是以该模型为基础，从而为推导 B-S模型提供一种比较简单和直观的方法 但是,随着研究的不断深入，二项式模型不再是仅仅作为 解释B-S模型的一种辅助性工具,它已经成为建立复杂期 权（如美式期权和非标准的变异期权）定价模型的基本 手段二、Black-Scholes期权定价公式,（一）基本假设： 1. 股票价格满足的随机微分方程中,,为常数; 2. 股票市场允许卖空; 3. 没有交易费用或税收; 4. 所有证券都是无限可分的; 5. 证券在有效期内没有红利支付; 6. 不存在无风险套利机会; 7. 交易是连续的; 8. 无风险利率为常数.,(二) 股票价格的轨道,在通常情况下，假设股票价格St满足下列随机微分方程：,,,,为概率空间,,上的Brownian运动,（1),(三) 期权套期保值,寻找期权定价公式（函数）的主要思想： 构造以某一种股票以及以该股票为标的的期权的一个证 券组合，所构造的证券组合正好是一个无风险资产的复制。
命题 1 设,,函数 关于t一阶连续偏导数,关于x二阶连续有界偏 导数,且满足终值条件：,为期权现价格(t时刻的价格),,,,则 是下列偏微分方程的解：,,,为要套期保值此期权,投资者必须卖空,,股此股票,（7）,下面求复制期权的证券组合 期权价格的分解：,,,,由此可知证券组合（portfolio）,,是自融资证券组合,(四) 方程（7）解的概率表示,命题 2 设,是下列随机微分方程的解：,,其中,,是定义在,,上的P-Brownian运动又设,,是方程（7）式具有有界偏导数的解，,则Feynman-Kac公式成立：,,,(五) Black-Scholes 公式,定理 1 股票价格设所满足的方程（1）中的系数均为常数, 则期权价格由下式给出：,,证明：,a) 由于,,所满足的方程(1)中的系数为常数，,由条件期望性质可得a)的结果对看涨期权（Call option）由于,,(1),(2),(3),注 Black-Scholes公式不仅告诉我们Call option的 价格,且以证券组合的形式给出：,债券的套期保值证券组合或者说复制Call option的 证券组合注 设Call option和Put option的价格分别为,和,，则有,,第二节 期权价值的敏感性因素分析,影响期权价值的因素一共有五个， 即标的资产市场价格St、执行价格X、无风险利率r、 距离到期日时间T-t和标的资产价格的波动率。
一、 标的资产价格变化对期权价值的一阶影响,通常用Delta来表示期权价值对标的资产价格St变动 的敏感性从而 可以近似地表示为：,,期权组合而言，其Delta值为：,,二、 标的资产价格对期权价值的二阶影响,Gamma指的是期权Delta对于股票价格的一阶偏导数,也就 是期权价值对于股票价格的二阶偏导数买权Gamma的计 算公式为：,另一方面，由卖权Gamma的计算公式，我们可以知道 卖权的Gamma值等于买权的Gamma值，即：,,, Gamma具有非负性也就是说,无论对于买权还是卖权， 在其他因素不变时,其Delta值都随着股票价格的上升而上 升，随着股票价格的下降而下降 Gamma与st的关系当期权处于平价状态附近（也就 是在附近），其Gamma相对比较大；当期权处于较深的 亏价或盈价状态时,其Gamma接近于零 Gamma与时间变量T-t的关系如果期权处于平价状 态,在其他因素不变的情况下,其Gamma值随着到期日的 临近而变大三、 无风险利率对期权价值的影响,买权价格对无风险利率变化的敏感度由Rho值来衡量， 其公式为：,,,,,,由上面的计算公式，可得到Rho的如下特点：, Rhoc一般大于零，而Rhop一般小于零。
只有在到 （T=t），Rhoc和RhoP才会等于零 相对于影响期权价值的其他因素而言，r的影响要 小得多 因为Rho的绝对值与T-t成正比，因此对于距到期日时间较长的期权，r对于其价值的影响不容忽视四、 标的资产价格波动率对期权价值的影响,方差或标准差是布莱克-斯科尔斯模型中的重要变量,也称 波动率，是股票连续计息收益率的标准差，它也是公式中 唯一不可直接观测的变量买权价格对很小的波动率变化的 反映被称为Vega，即：,,,由买权价值与卖权价值可知卖权Vega与买权Vega完全相同,,当期权处于平价状态时，其Vega值较大； 当期权处于较深的盈价或亏价状态时， 相应的Vega值较小 因此，期权Vega随变化的曲线是一个倒U形五、到期时间长短对期权价值的影响,由于到期时间的临近,期权的时间价值下降,这就造成 期权的价格下降 时间价值的消耗用Theta表示，买权Theta的定义为,,,,,始终是一个小于零的数,,则有可能大于零，,第三节 期权套期保值的基本原理,一、有关期权套期保值的一个例子,综上所述,甲所采取的上述套期策略具有以下两个特点： 第一是自融资性(selffinancing)，即套期所需的资 金只需期初一次性投人,此后，在套期的整个过程中不需 要增加新的外部融资。
或者说，套期策略只需要期初投入， 不需要维持成本第二是精确复制性(replicating),即套期策略能够精 确地复制受险资产的收益和风险特征，从而将面对的风险 完全抵消套期策略所具有的这两个特点具有十分重要的意义 首先，自融资性说明套期策略的成本可以在事先确定， 即为期初所需的投入 其次，精确复制性说明套期策略组合应当与受险资产 具有相同的价值，这是由无套利定价原则所决定的 最后，既然风险已经完全抵消，甲所要求的报酬率就 应该是无风险报酬率二、 期权套期保值的基本原理,考虑一个由m种期权,,组成的投资组合，vi,i=1,2,m表示第i种资产的价格, 该投资组合的价值V可以表示为：,,其中，,,是组合中第j种期权的权重期权套期保值的基本思想是构造一个头寸,使其风险 暴露与原组合的风险暴露相反,从而部分或者全部对冲掉 风险如果所构造的头寸,其风险性质与原组合的风险性 质呈完全相反的状态，则原组合的风险可以被全部消除 这称为完全对冲在构造对冲时，就是通过选择合适的nj,使得当风险因素 变动时，组合价值V能够保持不变对于一阶风险，就是 选择nj，使得：,,这样，当x发生微小变化x时，组合的价值变化为：,,这里，风险因素可以是标的股票价格的变化、无风险利 率的变化、时间的变化或者是波动率的变化。
第四节 连续调整的期权套期策略,一、 Delta套期（Delta中性组合）,通过适当地调整不同期权及其标的资产的比例， 我们可以将风险暴露程度降低到所愿意的任何程度， 甚至可以将该资产组合对于标的资产价格变动的风险 降低到零这样的一个资产组合,我们称之为“Delta 中性组合”我们可以用公式来表示上述这一概念假设构造这样一个投资组合：做空一个买权，其价格为 Ct，Delta值为N(d1)；同时买入数量为N(d1)的标的资产， 其价格为St不难证明，该组合为一个Delta中性买权组 合事实上，这个组合当前的价值为：,,显然，V关于St的偏导数为0，即该组合是一个Delta中性 组合，组合的价值不受St变化的影响更一般地，对于任意一个资产组合而言，总能通过适当地 选择n1,n2，使得整个组合的Deltay等于0，也就是：,,很容易就可以解得：,,二、 Delta-Gamma套期策略,Delta-Gamma套期策略是Delta套期策略的推广, 它指的是构造一个Delta和Gamma值都为0的组合, 即通过构造一个Delta-Gamma中性的组合，从根 本上回避价格风险构成了以下组合,关于St求一、二阶偏导数,,投资者只要根据计算出来的n2和n3的值买卖相应的资产 就可以完全回避手中资产的价格风险。
三、Delta-Gamma-Vega套期策略,如果投资者不愿意承担波动率的变化对套期结果的 影响,可以在Delta-Gamma中性组合的基础上,构造一 个Delta-Gamma-Vega中性组合,我们需要引进第三种 期权的交易，记该期权的价格为4，交易数量为n4,新的组合为,,对上式两端分别关于St求一、二阶偏导， 并且关于求一阶偏导,实现完全的连续性套期会受到一些限制,这是因为：,第一，市场不具备充分的多样性第二，交易费用的存在第五节 组合套期策略,一、 9010策略,9010策略又称为保证报酬基金(guaranteed return funds)，它有狭义和广义之分广义的9010策略则不限于上述对投资比例的机械划 分，而是允许根据情况适当进行调整狭义的9010策略是指机构投资者将暂时闲置资金的 90用来购买无风险的货币市场工具,剩余的10%用来购买期权为保证9010策略的两个基本目标(保证资本安全和得到足够的杠杆)得以实现，以下两个条件是必要的，即：,第一，货币市场利率越高越好；,第二，买权的价格越低越好这样，既可以减少 套期成本，又可以增加杠杆程度二、 无成本期权套期,所谓无成本期权是指两个期权的特殊组合，其中一个 期权为做多，需要支付相应的权利金，另一个期权则 为做空，并因此得到相应的权利金。
如果两个期权的 权利金大致相同，则该组合的净成本就近似等于零,无成本套期策略一方面避免了出现巨大损失的风险，另一方面也失去了获得巨大收益的可能性，因此这是一种比较保守的选择根据这一性质，该套期策 略比较适合投资者预期市场会出现暴跌或缓升，且 缓升的可能性更大的场合。