目录 上页 下页 返回 结束 二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用 应用目的用多项式近似表示函数.理论分析近似计算泰勒公式 第三三章 目录 上页 下页 返回 结束 特点:)(01xp)(0 xf)(0 xf)(xf)()(000 xxxfxf)(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1xp)(01xp在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?xx 的一次多项式xy)(xfy O目录 上页 下页 返回 结束 要求要求:,)(xpn)(0!212xpan,)(0 xf ,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf!21令)(xpn则)(xpn)(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan,)(0 xf,)()(00 xfxpn)(01xpan,)(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)()1(nnxxann,)()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn0annxxaxxaxxa)()()(020201目录 上页 下页 返回 结束)0(之间与在nx )()(10nnxxxR )(2)1()(0)(xnRnnnn)()()(xpxfxRnn令(称为余项),)(0 xRn)(0 xRn0)(0)(xRnn10)()(nnxxxRnnxnR)(1()(011 )(1()(011nnxnR1022)()1()(nnxnnR!)1()()1(nRnn则有)(0 xRn0)(0 xRn0)(0)(xRnn0 x)01(之间与在xx)102(之间与在x目录 上页 下页 返回 结束)()()(xpxfxRnn10)()(nnxxxR!)1()()1(nRnn)0(之间与在xx,0)()1(xpnn10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR)()()1()1(xfxRnnn时的某邻域内当在Mxfxn)()1(0)0(之间与在xx10!)1()(nnxxnMxR)()()(00 xxxxoxRnn目录 上页 下页 返回 结束 公式 称为 的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式.)(xf公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项.内具有的某开区间在包含若),()(0baxxf1n直到阶的导数,),(bax时,有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR则当)0(之间与在xx泰勒 目录 上页 下页 返回 结束 公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺佩亚诺(Peano)余项余项.)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0nnxxoxR注意到*可以证明:阶的导数有直到在点nxxf0)(式成立目录 上页 下页 返回 结束(1)当 n=0 时,泰勒公式变为)(xf)(0 xf)(0 xxf(2)当 n=1 时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可见)(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxR 误差)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(!)1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(fd)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx)0(之间与在xx目录 上页 下页 返回 结束 称为麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)公式公式.,00 x则有)(xf)0(fxf)0(1)1(!)1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()()(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(!)1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之间与在xx)(xf)0(fxf)0(,)()1(Mxfn则有误差估计式1!)1()(nnxnMxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成立的区间上麦克劳林 由此得近似公式,)10(x记目录 上页 下页 返回 结束 xxfe)()1(,e)()(xkxf),2,1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中)(xRn!)1(n)10(1nxxe)(xf)0(fxf)0(1)1(!)1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(麦克劳林公式麦克劳林公式)10(目录 上页 下页 返回 结束)sin(212mx)cos()1(xm)sin(xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x!)12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,)1(1m),2,1(m1)1(m)10(12mx!)12(m)(xf)0(fxf)0(1)1(!)1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()()10(麦克劳林公式麦克劳林公式 目录 上页 下页 返回 结束 麦克劳林公式麦克劳林公式!)2(2mxmxxfcos)()3(类似可得xcos1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm!)22(m)cos()1(1xm)10(m)1(22mx)(xf)0(fxf)0(1)1(!)1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()()10(目录 上页 下页 返回 结束)1(,)1()()4(xxxf)()(xfk)1(x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1(!)1()()1(nnxxnn)10(kxk)1)(1()1()1()1()0()(kfk),2,1(k!2 )1(!n)1()1(n)(xf)0(fxf)0(1)1(!)1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()()10(麦克劳林公式麦克劳林公式 目录 上页 下页 返回 结束)1()1ln()()5(xxxf已知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1(1)1(nnnxxn)10(1)1(n因此可得)()(xfkkkxk)1(!)1()1(1),2,1(k)(xf)0(fxf)0(1)1(!)1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()()10(麦克劳林公式麦克劳林公式 目录 上页 下页 返回 结束 1.在近似计算中的应用在近似计算中的应用 误差1!)1()(nnxnMxRM 为)()1(xfn在包含 0,x 的某区间上的上界.需解问题的类型:1)已知 x 和误差限,要求确定项数 n;2)已知项数 n 和 x,计算近似值并估计误差;3)已知项数 n 和误差限,确定公式中 x 的适用范围.)(xf)0(fxf)0(2!2)0(xf nnxnf!)0()(目录 上页 下页 返回 结束.106解解:已知xe!)1(nxe1nx令 x=1,得e)10(!)1(e!1!2111nn)10(由于,3ee0欲使)1(nR!)1(3n610由计算可知当 n=9 时上式成立,因此e!91!21112.718282xe1x!33x!nxn!22x的麦克劳林公式为目录 上页 下页 返回 结束 本例若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过,105.076总误差限为6105.076106105这时得到的近似值不能保证不能保证误差不超过.106因此计算时中间结果应比精度要求多取一位.e!91!2111目录 上页 下页 返回 结束!21cos2xx计算 cos x 的近似值,使其精确到 0.005,试确定 x 的适用范围.解解:近似公式的误差)cos(!4)(43xxxR244x令005.0244x解得588.0 x即当588.0 x时,由给定的近似公式计算的结果能准确到 0.005.目录 上页 下页 返回 结束 例例3.求.43443lim20 xxxx解解:由于x431243 x21)1(243x 2)(14321x!21)1(2121243)(x)(2xo用洛必达法则不方便!2x用泰勒公式将分子展到项,11)1(!)1()()1(nnxxnnnx!n)1()1(n)1(x1x2x!2 )1()10(x3421)1(243x220 limxx 原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 目录 上页 下页 返回 结束 11)1(!)1()()1(nnxxnnnx!n)1()1(n)1(x1x2x!2 )1()10(例例4.证明).0(82112xxxx证证:21)1(1xx21x2)121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx)10(3225)1(161821xxxx)0(82112xxxx+目录 上页 下页 返回 结束 1.泰勒公式泰勒公式其中余项)(0nxxo当00 x时为麦克劳林公式麦克劳林公式.)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10)1()(!)1()()(nnnxxnfxR)0(之间与在xx目录 上页 下页 返回 结束,ex,)1ln(x,sin x,cosx)1(x3.泰勒公式的应用泰勒公式的应用(1)近似计算(3)其他应用求极限,证明不等式 等.(2)利用多项式逼近函数 xsin例如例如 12!)12()1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo!33xxy!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxysinxy xsin6422464224xyO12!)12()1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxoxsinxysin!9!7!5!39753xxxxxy!11!9!7!5!3119753xxxxxxy642246Ox4224y目录 上页 下页 返回 结束 计算.3cos2elim402xxxx)(!211e4422xoxxx)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2e442xoxxx127)(lim4441270 xxoxx解解:原式第四节 作业作业 P145 1;4;5;目录 上页 下页 返回 结束,1,0)(上具有三阶连续导数在设函数xf,0)(,2)1(,1)0(21fff.24)(,f使一点)(xf)(21之间与在其中x,1,0 x证证:由题设对321)(!31 xf)(21f221)(x)(!2121f )(2121xf有)(21f221)(x)(!2121f 321)(!31 xf内至少存在证明)1,0(且得分别令,1,0 x目录 上页 下页 返回 结束)(21之间与在其中x)()(21fxf221)(x)(!2121f 321)(!31 xf)(241f 24)(f),0(211)(21f)1,(2123211)(!3)(f3212)(!3)(f )0(1f)(21f22121)(!2)(f)1(2f22121)(!2)(f 1下式减上式,得)()(48112ff )()(48112ff )10(令)(,)(max)(12fff 目录 上页 下页 返回 结束 e)10(!)1(e!1!2111nn两边同乘 n!e!n=整数+)10(1en假设 e 为有理数qp(p,q 为正整数),则当 时,qn 等式左边为整数;矛盾!证证:2n 时,当故 e 为无理数.等式右边不可能为整数.。