优优 化化 建建 模模第十一章第十一章 存贮论模型存贮论模型1.确定性模型，它不包含任何随机要素确定性模型，它不包含任何随机要素;存贮论的数学模型普通分成两类：存贮论的数学模型普通分成两类：2.带有随机要素的随机存贮模型带有随机要素的随机存贮模型.存贮论模型存贮论模型LINGOLINGO方法方法 优优 化化 建建 模模某电器公司的消费流水线需求某种零件，该零件需求某电器公司的消费流水线需求某种零件，该零件需求靠订货得到为此，该公司思索到了如下费用构造：靠订货得到为此，该公司思索到了如下费用构造：(1)批量订货的订货费批量订货的订货费12000 元次；元次；(2)每个零件的单位本钱为每个零件的单位本钱为 10 元件；元件；(3)每个零件的存贮费用为每个零件的存贮费用为 0.3元元(件件 月月)；(4)每个零件的缺货损失为每个零件的缺货损失为 1.1 元元(件件 月月)公司应如何安排这些零件的订货时间与订货规模，使公司应如何安排这些零件的订货时间与订货规模，使得全部费用最少？得全部费用最少？例例 11.1 问题的引入问题的引入11.1 存贮论模型简介存贮论模型简介存贮论模型的根本概念存贮论模型的根本概念输入输入(供应供应)储存储存 输出输出(需求需求)优优 化化 建建 模模1 存贮模型的根本要素存贮模型的根本要素(l)需求率需求率:单位时间内对某种物品的需求量单位时间内对某种物品的需求量,用用D表示表示(2)订货批量订货批量:一次订货中一次订货中,包含某种货物的数量包含某种货物的数量,用用Q表示表示.(3)订货间隔期订货间隔期:两次订货之间的时间间隔两次订货之间的时间间隔,用用T表示表示.2 存贮模型的根本费用存贮模型的根本费用(l)订货费订货费:组织一次消费、订货或采购的费用，通常组织一次消费、订货或采购的费用，通常以为与订购数量无关，记为以为与订购数量无关，记为 CD .(2)存贮费存贮费:用于存贮的全部费用，通常与存贮物品的用于存贮的全部费用，通常与存贮物品的多少和时间长短有关，记为多少和时间长短有关，记为Cp.(3)短缺损失费短缺损失费:由于物品短缺所产生的一切损失费用，由于物品短缺所产生的一切损失费用，与损失物品的多少和短缺时间的长短有关，记为与损失物品的多少和短缺时间的长短有关，记为 Cs.优优 化化 建建 模模11.2 经济订购批量存贮模型经济订购批量存贮模型EOQ 模型定义：模型定义：不允许缺货、货物消费不允许缺货、货物消费(或补充或补充)的时间的时间很短通常近似为很短通常近似为0.经济订购批量存贮模型经济订购批量存贮模型EOQ有以下假设：有以下假设：(l)短缺费为无穷，即短缺费为无穷，即 Cs，(2)当存贮降到零后，可以立刻得到补充；当存贮降到零后，可以立刻得到补充；(3)需求是延续的、均匀的；需求是延续的、均匀的；(4)每次的订货量不变，订购费不变；每次的订货量不变，订购费不变；(5)单位存贮费不变。
单位存贮费不变在一个周期内，最大的存贮量为在一个周期内，最大的存贮量为Q，最小的存贮，最小的存贮量为量为0，且需求的延续均匀的，因此在一个周期内，且需求的延续均匀的，因此在一个周期内，其平均存贮量为其平均存贮量为Q/2，存贮费用为，存贮费用为CpQ/2.11.2.1根本的经济订购批量存贮模型根本的经济订购批量存贮模型EOQ 优优 化化 建建 模模 一次订货费为一次订货费为 CD，那么在一个周期，那么在一个周期T)内的平内的平均订货费为均订货费为 CDT.由于在最初时辰，订货量为由于在最初时辰，订货量为Q，在在T 时辰，存贮量为时辰，存贮量为0.而且需求量为而且需求量为 D 且延续均匀且延续均匀变化，因此，订货量变化，因此，订货量 Q，需求量，需求量 D 和订货周期和订货周期 T 之之间的关系为间的关系为:T=Q/D.优优 化化 建建 模模 一个周期内的总费用一个周期内的总费用(一个单位时间内一个单位时间内(如一如一年年)的平均总费用的平均总费用 得费用最小的订货量得费用最小的订货量*12.2DPDPC DTCC QC C DQ 1,2DPC DTCC *2,DPC DQC 210.2DPdTCC DCd令令 优优 化化 建建 模模例例 11.2 继例继例 11.1)设该零件的每月需求量为设该零件的每月需求量为800件件1试求今年该公司对零件的最正确订货存贮战略及费用；试求今年该公司对零件的最正确订货存贮战略及费用；2假设明年对该零件的需求将提高一倍，那么需零件假设明年对该零件的需求将提高一倍，那么需零件的订货批量应比今年添加多少？订货次数以为多少？的订货批量应比今年添加多少？订货次数以为多少？解：解：取一年为单位时间，由假设，订货费取一年为单位时间，由假设，订货费 CD 12000元次，存贮费元次，存贮费 Cp=3.6 元元(件件 年年)，需求率，需求率 D=96000件年，代入相关的公式得到：件年，代入相关的公式得到：*2212009600025298()3.6DPC DQC 件件*252980.2635(96000QTD 年年）*223.6120009600091073()DPTCC C D元元 年年/优优 化化 建建 模模编写编写 LINGO 程序程序名：程序程序名：exam1102a.lg4 MODEL:1 C_D=12000;2 D=96000;3 C_P=3.6;4 Q=(2*C_D*D/C_P)0.5;5 T=Q/D;6 n=1/T;7 TC=0.5*C_P*Q+C_D*D/Q;END计算结果计算结果Feasible solution found at iteration:0Variable ValueC_D 12000.00D 96000.00C_P 3.600000Q 25298.22T 0.2635231N 3.794733TC 91073.60例例 11.2 优优 化化 建建 模模全年的订货次数为全年的订货次数为n必需为正整数，必需为正整数，比较比较n=3 与与n=4 时全年的费用时全年的费用继续用继续用 LINGO 程序计算程序计算(exam1102b.Lg4)MODEL:1 sets:2 times/1.2/:n,Q,TC;3 endsets4 data:5 n=3,4;6 C_D=12000;7 D=96000;8 C_P=3.6;9 enddata10 for(times:11 n=D/Q;12 TC=0.5*C_P*Q+C_D*D/Q;13 );END例例 11.213.7947().T 次次n=n=优优 化化 建建 模模Feasible solution found at iteration:0Variable ValueC_D 12000.00D 96000.00C_P 3.600000N(1)3.000000N(2)4.000000Q(1)32000.00Q(2)24000.00TC(1)93600.00TC(2)91200.00得到结果得到结果结果解释：全年组织结果解释：全年组织 4 次订货更好一些，每季度订货次订货更好一些，每季度订货一次，每次订货一次，每次订货 24000件。
件例例 11.2 优优 化化 建建 模模(2)假设明年需求量添加一倍，那么需零件的订货假设明年需求量添加一倍，那么需零件的订货批量应比今年添加多少？订货次数以为多少？批量应比今年添加多少？订货次数以为多少？用用LINGO 软件，直接求出问题的整数解软件，直接求出问题的整数解编写编写 LINGO 程序程序(exam1102c.lg4)例例 11.2 优优 化化 建建 模模MODEL:1 sets:2 order/1.99/:TC,EOQ;3 endsets45 for(order(i):6 EOQ(i)=D/i;7 TC(i)=0.5*C_P*EOQ(i)+C_D*D/EOQ(i);8);9 TC_min=min(order:TC);10 Q=sum(order(i):EOQ(i)*(TC_min#eq#TC(i);11 N=D/Q;1213 data:14 C_D=12000;15 D=96000;16 C_P=3.6;17 enddataEND例例 11.2程序解释：程序第程序解释：程序第 2行中的行中的 99 不是必需的，不是必需的，通常取一个适当大的数就可以了通常取一个适当大的数就可以了;第第 6 行计算年行计算年订货订货 1,2，99 次的订货量，第次的订货量，第 7行计行计算在这样的订货量下，年破费的平均总费用。
第算在这样的订货量下，年破费的平均总费用第 9行求出一切费用中费用最少的一个，第行求出一切费用中费用最少的一个，第 10 行求出最小费用对应的订货量，第行求出最小费用对应的订货量，第 11行求出相行求出相应的订货次数应的订货次数 优优 化化 建建 模模经计算得到经计算得到Feasible solution found at iteration:0Variable ValueD 96000.00C_P 3.600000C_D 12000.00TC_MIN 91200.00Q 24000.00N 4.000000结果解释：一年组织结果解释：一年组织 4 次订货每季度次订货每季度 1 次，每次次，每次的订货量为的订货量为 24 000件，最优费用为件，最优费用为 91200 元模型评价：它在实践运用中的效果并不理想，其缘由在模型评价：它在实践运用中的效果并不理想，其缘由在于：此模型没有思索多产品、共同占用资金、库容等实于：此模型没有思索多产品、共同占用资金、库容等实践情况优优 化化 建建 模模11.2.2 带有约束的经济订购批量存贮模型带有约束的经济订购批量存贮模型思索多物品设有思索多物品设有m种物品，带有约束的情况。
种物品，带有约束的情况l)Di,Qi,Cii=1,2，m分别表示第分别表示第i种物品的种物品的单位需求量、每次订货的批量和物品的单价；单位需求量、每次订货的批量和物品的单价；(2)CD 表示实施一次订货的订货费，即无论物品能表示实施一次订货的订货费，即无论物品能否一样，订货费总是一样的；否一样，订货费总是一样的；(3)Cpii=1,2,m表示第表示第 i 种产品的单位存贮费；种产品的单位存贮费；(4)J,WT分别表示每次订货可占用资金和库存总容量；分别表示每次订货可占用资金和库存总容量；(5)wii=1,2,m表示第表示第 i 种物品的单位库存占用种物品的单位库存占用 优优 化化 建建 模模1 具有资金约束的具有资金约束的 EOQ 模型模型 对于第对于第i(i=1,2，m种物品，当每次订种物品，当每次订货的订货量为货的订货量为Qi 时，年总平均费用为时，年总平均费用为每种物品的单价为每种物品的单价为Ci，每次的订货量为，每次的订货量为Qi，那么，那么CiQi是该种物品占用的资金是该种物品占用的资金.因此，资金约束为因此，资金约束为12DiiPiiiC DTCC 1.miiiC QJ 综上所述综上所述 优优 化化 建建 模模2 具有库容约束的具有库容约束的 EOQ 模型模型 具有资金约束的具有资金约束的 EOQ 模型为模型为11min ,2mDiPiiiiC DC 1.,miiis tC QJ 11min ,2mDiPiiiiC DC 1.,miiTis twQW 0,1,2,.iQim 0,1,2,.iQim 优优 化化 建建 模模3 兼有资金与库容约束的最正确批量模型兼有资金与库容约束的最正确批量模型对于这三种模型，可以容易地用对于这三种模型，可以容易地用 LINGO 软件进展求解软件进展求解11min ,2mDiPiiiiC DC 1.,miiis tC QJ 1 ,miiTiwQW 0,1,2,.iQim 优优 化化 建建 模模例例 11.3 某公司需求某公司需求5种物资，其供应与存贮方式为种物资，其供应与存贮方式为确定型、周期利补充、均匀耗费和不允许缺货模型。
确定型、周期利补充、均匀耗费和不允许缺货模型设该公司的最大库容量设该公司的最大库容量WT)为为 1500 立方米，一立方米，一次订货占用流动资金的上限次订货占用流动资金的上限(J)为为40万元，订货费万元，订货费CD为为1000元，元，5种物资的年需求量种物资的年需求量Di,物资单物资单价价Ci,物资的存贮费物资的存贮费Cpi,单位占用库单位占用库wi如表如表11-1所所示，试求各种物品的订货次数、订货量和总的存贮示，试求各种物品的订货次数、订货量和总的存贮费用优优 化化 建建 模模例例 11.3物资物资i年需求量年需求量Di单价单价Ci(元件元件)存贮费存贮费Cpi(元元(件件 年年)单位占用库容单位占用库容wi(米米 3 件件)1 160060030030060601.01.02 2900900100010002002001.51.53 3240024005005001001000.50.54 412000120005005001001002.02.05 5180001800010010020201.01.0 优优 化化 建建 模模解：解：设设Ni是第是第i(i=1,2,5)物品的年订货次数，物品的年订货次数，相应的整数规划模型相应的整数规划模型511min ,2DiPiiiiC DC 51.,iiis tC QJ 51 ,iiTiwQW /,1,2,5.iiiND Qi 0,0 ,1,2,5.iiQNi 且且取取整整数数 优优 化化 建建 模模MODEL:1 sets:2 kinds/1.5/:C_P,D,C,W,Q,N;3 endsets45 min=sum(kinds:0.5*C_P*Q+C_D*D/Q);6 sum(kinds:C*Q)=J;7 sum(kinds:W*Q)=W_T;8 for(kinds:N=D/Q;gin(N);9 data:10 C_D=1000;11 D=600,900,2400,12000,18000;12 C=300,1000,500,500,100;13 C_P=60,200,100,100,20;14 W=1.0,1.5,0.5,2.0,1.0;15 J=400000;16 W_T=1500;17 enddataENDexam1103.lg4 优优 化化 建建 模模计算结果如下：计算结果如下：Local optimal solution found at iteration:5903 Objective value:142272.8 Variable Value Reduced Cost C_D 1000.000 0.000000 J 400000.0 0.000000 W_T 1500.000 0.000000 C_P(1)60.00000 0.000000 C_P(2)200.0000 0.000000 C_P(3)100.0000 0.000000 C_P(4)100.0000 0.000000 C_P(5)20.00000 0.000000 D(1)600.0000 0.000000 D(2)900.0000 0.000000 D(3)2400.000 0.000000 D(4)12000.00 0.000000 D(5)18000.00 0.000000 优优 化化 建建 模模 C(1)300.0000 0.000000 C(2)1000.000 0.000000 C(3)500.0000 0.000000 C(4)500.0000 0.000000 C(5)100.0000 0.000000 W(1)1.000000 0.000000 W(2)1.500000 0.000000 W(3)0.5000000 0.000000 W(4)2.000000 0.000000 W(5)1.000000 0.000000 Q(1)85.71429 0.000000 Q(2)69.23077 0.000000 Q(3)171.4286 0.000000 Q(4)300.0000 0.000000 Q(5)620.6897 0.000000 N(1)7.000000 632.6528 N(2)13.00000 467.4553 N(3)14.00000 387.7547 N(4)40.00000 624.9998 N(5)29.00000 785.9690 优优 化化 建建 模模Row Slack or Surplus Dual Price 1 142272.8 -1.000000 2 7271.694 0.000000 3 4.035621 0.000000 4 0.000000 632.6528 5 0.000000 467.4553 6 0.000000 387.7547 7 0.000000 624.9998 8 -0.4963044E-07 785.9690 结果解释结果解释:总费用为总费用为 142272.8 元，订货资金还余元，订货资金还余 7271.694 元，库存余元，库存余 4.035621 立方米，立方米，(表表 11-2).优优 化化 建建 模模物资物资 i订货次数订货次数订货量订货量Q*i(件件)1 17 785.7142985.714292 2131369.2307769.230773 31414171.4286171.42864 44040300.0000300.00005 52929620.6897620.6897表表 11-2：物资的订货次数与订货量：物资的订货次数与订货量留意留意:LINGO作整数规划的计算较慢作整数规划的计算较慢.优优 化化 建建 模模11.2.3 允许缺货的经济订购批量存贮模型允许缺货的经济订购批量存贮模型 所谓允许缺货是指企业可以在存贮降至零后，还所谓允许缺货是指企业可以在存贮降至零后，还可以再等一段时间然后订货，当顾客遇到缺货时不受可以再等一段时间然后订货，当顾客遇到缺货时不受损失，或损失很小并假设顾客耐心等待直到新的货补损失，或损失很小并假设顾客耐心等待直到新的货补充到来。
充到来12TTT T1不缺货时间T2缺货时间T周期 S为最大缺货量，为最大缺货量，CS 缺货损失的单价，缺货损失的单价，Q仍为仍为每次的最高订货量，那么每次的最高订货量，那么Q-S 为最高存贮量，由于为最高存贮量，由于每次得到订货量每次得到订货量Q后，立刻支付给顾客最大缺货后，立刻支付给顾客最大缺货S.优优 化化 建建 模模图图11-3 允许缺货模型的存贮曲线允许缺货模型的存贮曲线一个周期内一个周期内121121()0()2,2QS TTQS TTTT =平均存贮量平均存贮量1(),QSTD 2,STD.QTD 优优 化化 建建 模模平均总费用平均总费用21()(),22QS TQSTQ平均存贮量平均存贮量22().22sPDC SCQSC DTCQ 22,22STSTQ平均缺货量平均缺货量 优优 化化 建建 模模例例 11.4(继例继例 11.2)将问题改为允许缺货模型，且缺货损失费为每将问题改为允许缺货模型，且缺货损失费为每年每件年每件 13.2元，其他条件不变求全年的订货次元，其他条件不变求全年的订货次数、订货量以及最优存贮费用数、订货量以及最优存贮费用解：解：是一个整数规划问题是一个整数规划问题22()min .22sPDC SCQSC DQ .,Ds tnQ 0,0Qn且取整数且取整数.编写编写LINGO程序程序 exam1104a.lg4 优优 化化 建建 模模MODEL:1 min=0.5*C_P*(Q-S)2/Q+C_D*D/Q+0.5*C_S*S2/Q;2 N=D/Q;gin(N);3 data:4 C_D=12000;5 D=96000;6 C_P=3.6;7 C_S=13.2;8 enddataENDexam1104a.lg4计算结果计算结果 优优 化化 建建 模模Local optimal solution found at iteration:853 Objective value:81257.14 Variable Value Reduced Cost C_P 3.600000 0.000000 Q 32000.00 0.000000 S 6857.141 0.000000 C_D 12000.00 0.000000 D 96000.00 0.000000 C_S 13.20000 0.000000 N 3.000000 -3085.716 Row Slack or Surplus Dual Price 1 81257.14 -1.000000 2 0.000000 -3085.716 优优 化化 建建 模模 结果解释结果解释:即全年组织即全年组织 3 次订货，每次的订货量为次订货，每次的订货量为 32000件，最大缺货量为件，最大缺货量为 6857.141 件，最优费用为件，最优费用为 81257.14 元。
请与例元请与例 11.2 相比较假设只求最小费用的订货周期、最大订货量和最大假设只求最小费用的订货周期、最大订货量和最大缺货量，只需对平均总费用求关于缺货量，只需对平均总费用求关于Q和和S的偏导数，求的偏导数，求出其极小点出其极小点22*()(),22sPDC SCQSC DTCQ .QTD 2(),DPSPSC D CCQC C ,PPSCSQCC 优优 化化 建建 模模MODEL:1 sets:2 order/1.99/:TC,EOQ,EOS;3 endsets45 for(order(i):6 EOQ(i)=D/i;7 EOS(i)=C_P/(C_p+C_S)*EOQ(i);8 TC(i)=0.5*C_P*(EOQ(i)-EOS(i)2/EOQ(i)+C_D*D/EOQ(i)9 +0.5*C_S*EOS(i)2/EOQ(i);10 );11 TC_min=min(order:TC);12 Q=sum(order(i):EOQ(i)*(TC_min#eq#TC(i);13 S=sum(order(i):EOS(i)*(TC_min#eq#TC(i);不用求解整数规划，也可以很容易的求出整数解不用求解整数规划，也可以很容易的求出整数解编写程序编写程序(exam1104b.Lg4)优优 化化 建建 模模14 N=D/Q;1516 data:17 C_D=12000;18 D=96000;19 C_P=3.6;20 C_S=13.2;21 enddataEND 优优 化化 建建 模模 Feasible solution found at iteration:0 Variable Value D 96000.00 C_P 3.600000 C_S 13.20000 C_D 12000.00 TC_MIN 81257.14 Q 32000.00 S 6857.143 N 3.000000计算结果计算结果 优优 化化 建建 模模11.2.4 带有约束允许缺货模型带有约束允许缺货模型 允许缺货模型。
思索多种类、带有资金和库容约束允许缺货模型思索多种类、带有资金和库容约束的数学模型设的数学模型设Si，CSi 分别为第分别为第 i 种物品的最大缺种物品的最大缺货量、缺货损失单价，其他符号的意义不变货量、缺货损失单价，其他符号的意义不变.由于由于Qi是是第第i 种物品的最大订货量，那么种物品的最大订货量，那么CiQi是第是第 i 种物品占用种物品占用资金数，资金数，QiSi是第是第 i 种物品的最大存贮量种物品的最大存贮量221()min .22nP iiiSiiDiiiiiCQSC SC DQ 1.,niiis tC QJ 0,1,2,.iQin1 (),niiiTiw QSW 优优 化化 建建 模模例例 11.5 继例继例 11.3 假设缺货损失费假设缺货损失费CSi)是物品的存贮费是物品的存贮费(CPi)的的2倍，其他参数不变，试求出各种物品的订货次数、订倍，其他参数不变，试求出各种物品的订货次数、订货量和总的存贮费用货量和总的存贮费用解：解：设设 Ni 是第是第 i 物品的年订货次数，物品的年订货次数，2251()min .22P iiiSiiDiiiiiCQSC SC DQ 51.,iiis tC QJ 51 (),iiiTiw QSW 0,0,1,2,5.iiQNi 且且取取整整数数/,1,2,5,iiiND Qi 优优 化化 建建 模模MODEL:1sets:2 kinds/1.5/:C_P,D,C,W,C_S,Q,S,N;3endsets45min=sum(kinds:0.5*C_P*(Q-S)2/Q+C_D*D/Q+0.5*C_S*S2/Q);6sum(kinds:C*Q)=J;7sum(kinds:W*(Q-S)=W_T;8for(kinds:N=D/Q;gin(N);9data:10 C_D=1000;11 D=600,900,2400,12000,18000;12 C=300,1000,500,500,100;13 C_P=60,200,100,100,20;14 C_S=120,400,200,200,40;15 W=1.0,1.5,0.5,2.0,1.0;16 J=400000;17 W_T=1500;18enddataEND计算结果计算结果编写编写LINGO程序程序exam1105.lg4 优优 化化 建建 模模Local optimal solution found at iteration:1557 Objective value:124660.8 Variable Value Reduced Cost C_D 1000.000 0.000000 J 400000.0 0.000000 W_T 1500.000 0.000000 C_P(1)60.00000 0.000000 C_P(2)200.0000 0.000000 C_P(3)100.0000 0.000000 C_P(4)100.0000 0.000000 C_P(5)20.00000 0.000000 D(1)600.0000 0.000000 D(2)900.0000 0.000000 D(3)2400.000 0.000000 D(4)12000.00 0.000000 D(5)18000.00 0.000000 C(1)300.0000 0.000000 C(2)1000.000 0.000000 C(3)500.0000 0.000000 C(4)500.0000 0.000000 C(5)100.0000 0.000000 优优 化化 建建 模模 W(1)1.000000 0.000000 W(2)1.500000 0.000000 W(3)0.5000000 0.000000 W(4)2.000000 0.000000 W(5)1.000000 0.000000 C_S(1)120.0000 0.000000 C_S(2)400.0000 0.000000 C_S(3)200.0000 0.000000 C_S(4)200.0000 0.000000 C_S(5)40.00000 0.000000 Q(1)85.71429 0.000000 Q(2)60.00000 0.000000 Q(3)141.1765 0.000000 Q(4)315.7895 0.000000 Q(5)857.1429 0.000000 S(1)28.57142 0.000000 S(2)20.00000 0.000000 S(3)47.05881 0.000000 S(4)105.2631 0.000000 S(5)285.7142 0.000000 优优 化化 建建 模模 N(1)7.000000 755.1017 N(2)15.00000 733.3330 N(3)17.00000 723.1831 N(4)38.00000 722.9914 N(5)21.00000 727.8909 Row Slack or Surplus Dual Price 1 124660.8 -1.000000 2 88.45644 0.000000 3 343.3170 0.000000 4 0.000000 755.1017 5 0.000000 733.3330 6 0.000000 723.1831 7 0.000000 722.9914 8 0.000000 727.8909 优优 化化 建建 模模 结论：总费用为结论：总费用为 124660.8 元，订货资金还余元，订货资金还余 88.46 元，库存余元，库存余 343.317 立方米立方米(表表11-3).物资物资 i订货次数订货次数订货量订货量Qi(件件)最大缺货量最大缺货量Si(件件)1 17 785.7142985.7142928.5714228.571422 2151560.0000060.0000019.9999919.999993 31717141.1765141.176547.0588147.058814 43838315.7895315.7895105.2631105.26315 52121857.1429857.1429285.7142285.7142表表11-3 允许缺货的物资的订货次数与订货量允许缺货的物资的订货次数与订货量 优优 化化 建建 模模11.2.5 经济订购批量折扣模型经济订购批量折扣模型 经济订购批量折扣模型中商品的价钱是不固定的，经济订购批量折扣模型中商品的价钱是不固定的，是随着订货量的多少而改动的物品订购的越多，物是随着订货量的多少而改动的物品订购的越多，物品的单价也就越低。
品的单价也就越低1()()2DpC DTCQCQDC 一年的总一年的总费用费用年平均存年平均存贮费贮费年平均订年平均订货费货费商品的购商品的购买费用买费用112121,0,(),mmmCCQC QCQ 其中其中其中其中 是单调递增的，而是单调递增的，而 是单调递减的是单调递减的1kk mQ 1kk mC 优优 化化 建建 模模 物品的存贮费物品的存贮费Cp(Q)与物品的价钱有关，通与物品的价钱有关，通常是价钱常是价钱 C(Q)的的r0 r D，消费的产品一部分，消费的产品一部分满足需求，剩余部分才作为存贮满足需求，剩余部分才作为存贮11.3.1 根本的经济消费批量存贮模型根本的经济消费批量存贮模型 优优 化化 建建 模模设消费批量为设消费批量为Q，消费时间为，消费时间为 t，那么消费时间与，那么消费时间与消费率之间的关系为消费率之间的关系为.QtP 优优 化化 建建 模模平均存贮量是最平均存贮量是最高存贮量的一半高存贮量的一半平均固定消费费平均固定消费费(与经济订购与经济订购模型中的平均订货费一样模型中的平均订货费一样)平均总平均总费用费用11.2DPPC DTCC QDQ 最高存贮量最高存贮量=()()1.QDPD tPDQPP 推导，得推导，得2,(1)DPC DQDCP 2 11,DPDC DDPQPC 2 1.PDDTCC C DP 优优 化化 建建 模模 有一个消费和销售图书设备的公司，运营一种有一个消费和销售图书设备的公司，运营一种图书公用书架，基于以往的销售记录和今后市场预测。
图书公用书架，基于以往的销售记录和今后市场预测估计今后一年的需求量为估计今后一年的需求量为4900个，由于占用资金的利息个，由于占用资金的利息以及存贮库房和其他人力物力的费用，存贮一个书架一以及存贮库房和其他人力物力的费用，存贮一个书架一年要破费年要破费 1000 元元.这种书架是该公司本人消费的，每年这种书架是该公司本人消费的，每年的消费量的消费量9800 个，而组织一次消费要破费设备调试等个，而组织一次消费要破费设备调试等消费预备费消费预备费500元元.该公司为了把本钱降到最低，应如何该公司为了把本钱降到最低，应如何组织消费？要求出全年的消费次数，每次的最优消费量，组织消费？要求出全年的消费次数，每次的最优消费量，以及最少的年总费用以及最少的年总费用.例例 11.7解：解：D=4900,CP=1000,P=9800,CD=500，代入公式，代入公式 优优 化化 建建 模模22 1000 490098.99495,4900(1)1000(1)9800DPC DQDCP 49002 12 11000 500 4900980049497.47.PDDTCC C DP 490049.49747,98.99495DNQ LINGO 程序程序(程序名：程序名：exam1107a.lg4)优优 化化 建建 模模MODEL:1 C_D=500;2 D=4900;3 C_P=1000;4 P=9800;5 Q2=2*C_D*D/C_P/(1-D/P);6 N=D/Q;7 TC2=2*(1-D/P)*C_D*C_P*D;END计算得到计算得到N 为小数，因此比较为小数，因此比较 N=49 与与 N=50.LINGO 程序程序名：程序程序名：exam1107b.lg4 优优 化化 建建 模模MODEL:1 sets:2 times/1.2/:N,Q,TC;3 endsets4 data:5 N=49,50;6 C_D=500;7 D=4900;8 C_P=1000;9 P=9800;10 enddata11 for(times:12 N=D/Q;13 TC=0.5*(1-D/P)*C_P*Q+C_D*D/Q;14 );END 优优 化化 建建 模模Feasible solution found at iteration:0 Variable Value C_D 500.0000 D 4900.000 C_P 1000.000 P 9800.000 N(1)49.00000 N(2)50.00000 Q(1)100.0000 Q(2)98.00000 TC(1)49500.00 TC(2)49500.00 Row Slack or Surplus 1 0.000000 2 0.000000 3 0.000000 4 0.000000计算结果计算结果结果阐明结果阐明:无论是取无论是取 N=49，还是取，还是取 N=50，其年总费用是，其年总费用是一样的一样的,都是都是 49500元元.优优 化化 建建 模模 某公司消费并销售某公司消费并销售 A、B、C三种商品根三种商品根据市场预测，三种商品每天需求量分别是据市场预测，三种商品每天需求量分别是400,300,300件，三种商品每天的消费量分别是件，三种商品每天的消费量分别是1300,1100,900件件.每安排一次消费每安排一次消费,其固定费用其固定费用(与消费量无关与消费量无关)分别分别为为 10000,12000,13000元元,消费费用每件分别为消费费用每件分别为 1.0,1.1,1.4元元.商品的消费速率、需求率和最大消商品的消费速率、需求率和最大消费量满足如下约束：费量满足如下约束：11.3.2 带有约束的经济消费批量存贮模型带有约束的经济消费批量存贮模型例例 11.8求每种产品的最优的消费叶间与存贮时间，以及总的最优求每种产品的最优的消费叶间与存贮时间，以及总的最优存贮费用存贮费用.311.51.iiiiiDDPQ 解：建立最优消费批量存贮模型解：建立最优消费批量存贮模型 优优 化化 建建 模模LINGO 程序程序(程序名：程序名：exam1108.lg4)311min (1),2iDiiP iiiiiDC DC QPQ 311.5.1,iiiiiDDs tPQ ,1,2,3,iiiQTiD 0,0,1,2,3.iiTQi 优优 化化 建建 模模MODEL:1 sets:2 kinds/1.3/:C_P,P,C_D,D,Q,T,T_p;3 endsets45 min=sum(kinds:0.5*C_P*Q*(1-D/P)+C_D*D/Q);6 sum(kinds:D/P+1.5*D/Q)D),V 是最大存贮量是最大存贮量T为一个消费、存贮周期为一个消费、存贮周期t4 为为T中缺货量减少的时期中缺货量减少的时期t1为为 T 中的消费时期中的消费时期(存贮添加的时期存贮添加的时期)t2 为为 T 中的存贮时期中的存贮时期(存贮减少的时期存贮减少的时期)t3为为T中缺货量添加中缺货量添加的时期的时期1234.Ttttt 优优 化化 建建 模模设设 S 是最大缺货量，那么是最大缺货量，那么设设Q是总消费量，那么是总消费量，那么Q中的中的D/P部分满足当时的需求，部分满足当时的需求，(1-D/P)部分用于归还缺货和存贮，由此得到最大存贮、部分用于归还缺货和存贮，由此得到最大存贮、最大缺货与消费、需求之间的关系最大缺货与消费、需求之间的关系:1,VtPD 2.VtD 3,StD 4.StPD 1.DVSQP 平均存贮量在不缺货期间平均存贮量在不缺货期间 为为 V/2,而在缺货期间而在缺货期间 的存贮量为的存贮量为0，因此一个周期内的平均存贮量为，因此一个周期内的平均存贮量为12()tt 34()tt 优优 化化 建建 模模平均存贮量平均存贮量1234123412123411()0()21()2()DQSttttPttttDQSttPtttt 进一步代入进一步代入计算，有计算，有平均存贮量平均存贮量21()2()112()2(1)DVVQSPPDDVVSPDDDPDDDQSVQSPPDVSQP S S 优优 化化 建建 模模在不缺货期间在不缺货期间 内，缺货量为内，缺货量为0，而在缺货，而在缺货期间期间 的存贮量为的存贮量为S/2，因此一个周期内的，因此一个周期内的平均缺货量为平均缺货量为12()tt 34()tt 进一步代入进一步代入计算，有计算，有平均缺货量平均缺货量1234341234123410()()()22()ttS ttS tttttttttt 平均缺货量平均缺货量2()2()2()SSSSDPDVVSSVSPDDDPD 22(1)SDQP 优优 化化 建建 模模一年中的总费用一年中的总费用 允许缺货的经济消费批量存贮模型，就是求变量允许缺货的经济消费批量存贮模型，就是求变量Q，S 使目的函数使目的函数TC 到达极小。
到达极小例例 11.9 继例继例 11.7)假设在例假设在例 11.7 中，消费与销售图书馆设备公司中，消费与销售图书馆设备公司允许缺货，但缺货费为每年每件允许缺货，但缺货费为每年每件2000 元，其他参数元，其他参数不变在允许缺货情况下，试求出其的消费、存贮周不变在允许缺货情况下，试求出其的消费、存贮周期，每个周期的最优消费量，以及最少的年总费用期，每个周期的最优消费量，以及最少的年总费用D=4900，CP=1000,P=9800，CD=500 和 CS=2000解：解：TC=存贮费消费预备费缺货费存贮费消费预备费缺货费22(1)2(1)2(1)PSDDCQSC SC DPDDQPP 优优 化化 建建 模模编写编写LINGO 程序程序(exam1109a.lg4)MODEL:1 min=0.5*C_P*(Q*(1-D/P)-S)2/(Q*(1-D/P)2 +C_D*D/Q+0.5*C_S*S2/(Q*(1-D/P);3 T1=(Q*(1-D/P)-S)/(P-D)*365;4 T2=(Q*(1-D/P)-S)/D*365;5 T3=S/D*365;6 T4=S/(P-D)*365;7 T=T1+T2+T3+T4;8 data:9 C_D=500;10 D=4900;11 C_P=1000;12 P=9800;13 C_S=2000;14 enddataEND注：程序中的第注：程序中的第 3 6 行中都乘上行中都乘上 365，表示每，表示每年按年按 365 天计算，这样得天计算，这样得到的结果以天计算。
到的结果以天计算优优 化化 建建 模模计算结果计算结果Local optimal solution found at iteration:35 Objective value:40414.52 Variable Value Reduced Cost C_P 1000.000 0.000000 Q 121.2435 0.000000 D 4900.000 0.000000 P 9800.000 0.000000 S 20.20724 0.000000 C_D 500.0000 0.000000 C_S 2000.000 0.000000 T1 3.010468 0.000000 T2 3.010468 0.000000 T3 1.505233 0.000000 T4 1.505233 0.000000 T 9.031403 0.000000 结果解释：每个周结果解释：每个周期为期为 9 天，其中天，其中 9 天中有天中有 4.5 天在消天在消费，每次的消费量费，每次的消费量为为 121 件，而且缺件，而且缺货的时间有货的时间有 3 天总的费用总的费用(包括存贮包括存贮费、订货费和缺货费、订货费和缺货费费)为为 40414.52元元 优优 化化 建建 模模本例也有目的函数的极小值的解析解：本例也有目的函数的极小值的解析解：再解例再解例 11.9，编写，编写LINGO 程序程序 exam1109b.lg4)(1),PPSCDSQCCP 1/22().(1)DPSPSC D CCQDC CP 优优 化化 建建 模模MODEL:1 S=C_P/(C_P+C_S)*(1-D/P)*Q;2 Q2=(2*C_D*D*(C_P+C_S)/(C_P*C_S*(1-D/P);3 T1=(Q*(1-D/P)-S)/(P-D)*365;4 T2=(Q*(1-D/P)-S)/D*365;5 T3=S/D*365;6 T4=S/(P-D)*365;7 T=T1+T2+T3+T4;8 data:9 C_D=500;10 D=4900;11 C_P=1000;12 P=9800;13 C_S=2000;14 enddataEND 优优 化化 建建 模模计算结果计算结果Feasible solution found at iteration:0 Variable Value S 20.20726 C_P 1000.000 C_S 2000.000 D 4900.000 P 9800.000 Q 121.2436 C_D 500.0000 T1 3.010469 T2 3.010469 T3 1.505235 T4 1.505235 T 9.031408 两种方法计算结果一样。
两种方法计算结果一样优优 化化 建建 模模11.3.4 带有约束的允许缺货模型带有约束的允许缺货模型 这类问题的本质就是根据存贮模型的特点，列出相这类问题的本质就是根据存贮模型的特点，列出相应的约束问题，再根据这些问题，利用应的约束问题，再根据这些问题，利用 LINGO 软件软件得到问题的最优解得到问题的最优解优优 化化 建建 模模11.4 单周期随机库存模型单周期随机库存模型 在许多情形中需求量是随机的在许多情形中需求量是随机的11.4.1单周期随机库存模型的根本假设单周期随机库存模型的根本假设 (1)(1)在整个需求期内只订购一次货物，订购量为在整个需求期内只订购一次货物，订购量为Q Q，订购，订购费和初始库存均为费和初始库存均为0 0，每单位产品的购价本钱为，每单位产品的购价本钱为 C;C;(2)(2)需求量需求量 D D 为一延续的随机变量，且为一延续的随机变量，且 D=x D=x 的概率密的概率密度为度为 f(x)f(x)，当货物出卖时，每单位产品的价钱为，当货物出卖时，每单位产品的价钱为 U;U;(3)(3)需求期终了时，没有卖出的货物不存贮而是折价需求期终了时，没有卖出的货物不存贮而是折价卖出，单位价钱为卖出，单位价钱为 V.V.优优 化化 建建 模模11.4.2 模型的推导模型的推导问题是求订购量问题是求订购量Q为多少时，使得总利润最大为多少时，使得总利润最大.,xxQ =，xx当当当当出卖量出卖量当需求量当需求量 时，时，Dx 利润利润一个周期的总利润应该是一个周期的总利润应该是G(Q)的期望值，的期望值，(),(),.UxV QxCQxQG QUQCQxQ 当当当当0 ()()()()()E G QUxV QxCQ f x dxUQCQ f x dx 0()()()()QUC QUVQx f x dx 优优 化化 建建 模模两端对两端对Q求导数，求导数，留意到二阶导数小于留意到二阶导数小于0,满足满足的的Q一定是一定是 E(Q)的极大值点。
的极大值点对于销售价对于销售价 U、本钱价、本钱价 C 和折扣价和折扣价 V，应满足，应满足 U C V.0().QUCf x dxUV 0()()()(),Qd E G QUCUVf x dxdQ 22()()()0,d E G QUV f QdQ 优优 化化 建建 模模令令k=U-C 是物品出卖后的利润，是物品出卖后的利润，令令 h=C-V是物品折扣出卖的损失，是物品折扣出卖的损失，将总利润将总利润G(Q)的公式改写为的公式改写为0().QUCkf x dxUCCVkh ()()()()()()()QE G QUC QUV QUVxQ f x dx ()()()()QUCQV QUVxQ f x dx ()()()()Qkh QkhxQ f x dx 优优 化化 建建 模模总利润总利润期望值期望值总收入总收入期望值期望值本钱本钱折扣收入折扣收入期望值期望值缺货损失缺货损失期望值期望值11.4.3 模型的求解模型的求解例例 11.10 报童问题报童问题 在街中有一报亭，平均每天出卖报纸在街中有一报亭，平均每天出卖报纸500 份，出卖份，出卖报纸的数量，与来往的人流有关，假设服从报纸的数量，与来往的人流有关，假设服从 Poisson分布，每卖出一份报纸能盈利分布，每卖出一份报纸能盈利0.15元元.假设卖不出去假设卖不出去,只能作为费纸处置，每份报纸亏损只能作为费纸处置，每份报纸亏损0.40元元.问：报亭应问：报亭应如何安排报纸的订购量，使得报亭的利润最大？如何安排报纸的订购量，使得报亭的利润最大？积分积分 相当于当相当于当xQ时的损失函数，时的损失函数，-()Qx Q f x dx()()优优 化化 建建 模模 对于对于 Poisson 分布，积分分布，积分 可由可由 LINGO中的函数中的函数pps 计算计算.0()Qf x dx 解：解：先计算先计算 Q0pps(,).!xQxQex 假设假设Q不是整数，该函数采用线性插值计算。
不是整数，该函数采用线性插值计算积分积分 可由函数可由函数 ppl 计算，计算，()()QxQ f x dx 写出相应的写出相应的 LINGO 程序程序(exam1110.lg4)500,0.15,0.40.kh 由题意由题意1()ppl(,).!xx Qxex x=max(0,Q)优优 化化 建建 模模MODEL:1 data:2 mu=500;3 k=0.15;4 h=0.40;5 enddata6 pps(mu,Q)=k/(k+h);7 E_G=k*mu-h*(Q-mu)-(k+h)*ppl(mu,Q);END 优优 化化 建建 模模Feasible solution found at iteration:0 Variable Value MU 500.0000 K 0.1500000 H 0.4000000 Q 485.8747 E_G 70.93096 Row Slack or Surplus 1 0.000000 2 0.000000即报亭每天订购报纸即报亭每天订购报纸 486 份，每天盈利份，每天盈利 70.93 元优优 化化 建建 模模 设在某食品店内，每天对面包的需求服从设在某食品店内，每天对面包的需求服从 的正态分布知每个面包的售价为的正态分布知每个面包的售价为 1.50元，本钱为每个元，本钱为。