全等三角形一、选择题1. (2014•年山东东营,第4题3分)下列命题中是真命题的是（ ） A． 如果a2=b2，那么a=b B． 对角线互相垂直的四边形是菱形 C． 旋转前后的两个图形，对应点所连线段相等 D． 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等考点： 命题与定理．分析： 利用菱形的判定、旋转的性质及垂直平分线的性质对每个选项进行判断后即可得到正确的选项．解答： 解：A、错误，如3与﹣3； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，是假命题；C、旋转前后的两个图形，对应点所连线段不一定相等，故错误，是假命题；D、正确，是真命题，故选D．点评： 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是理解菱形的判定、旋转的性质及垂直平分线的性质．2．（2014•四川遂宁，第9题，4分）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ） A．3B．4C．6D．5考点：角平分线的性质．分析：过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．解答：解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，∴×4×2+×AC×2=7，解得AC=3．故选A．点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．3．（2014•四川南充，第5题，3分）如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为（ ） A．（﹣，1） B． （﹣1，） C． （，1） D． （﹣，﹣1）分析：过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，根据同角的余角相等求出∠OAD=∠COE，再利用“角角边”证明△AOD和△OCE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=AD，CE=OD，然后根据点C在第二象限写出坐标即可．解：如图，过点A作AD⊥x轴于D，过点C作CE⊥x轴于E，∵四边形OABC是正方形，∴OA=OC，∠AOC=90°，∴∠COE+∠AOD=90°，又∵∠OAD+∠AOD=90°，∴∠OAD=∠COE，在△AOD和△OCE中，，∴△AOD≌△OCE（AAS），∴OE=AD=，CE=OD=1，∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（﹣，1）．故选A．点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．二、填空题1．（2014•福建福州,第15题4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使..若AB=10，则EF的长是 ． 2．（2014•广州,第15题3分）已知命题：“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”写出它的逆命题：_________，该逆命题是_____命题（填“真”或“假”）．【考点】命题的考察以及全等三角形的判定【分析】本题主要考察命题与逆命题的转换，以及命题真假性的判断【答案】如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等．假命题．三、解答题1．（2014•湖南怀化，第19题，10分）如图，在平行四边形ABCD中，∠B=∠AFE，EA是∠BEF的角平分线．求证： （1）△ABE≌△AFE； （2）∠FAD=∠CDE．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：（1）根据角平分线的性质可得∠1=∠2，再加上条件∠B=∠AFE，公共边AE，可利用AAS证明△ABE≌△AFE；（2）首先证明AF=CD，再证明∠B=∠AFE，∠AFD=∠C可证明△AFD≌△DCE进而得到∠FAD=∠CDE．解答：证明：（1）∵EA是∠BEF的角平分线，∴∠1=∠2，在△ABE和△AFE中，，∴△ABE≌△AFE（AAS）；（2）∵△ABE≌△AFE，∴AB=AF，∵四边形ABCD平行四边形，∴AB=CD，AD∥CB，AB∥CD，∴AF=CD，∠ADF=∠DEC，∠B+∠C=180°，∵∠B=∠AFE，∠AFE+∠AFD=180°，∴∠AFD=∠C，在△AFD和△DCE中，，∴△AFD≌△DCE（AAS），∴∠FAD=∠CDE．点评：此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质，关键是正确证明△AFD≌△DCE．2.（2014•湖南张家界，第24题，10分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA，若E是CD上任意一点，连接BE交AC于点F，连接DF．（1）证明：△CBF≌△CDF；（2）若AC=2，BD=2，求四边形ABCD的周长；（3）请你添加一个条件，使得∠EFD=∠BAD，并予以证明．考点：全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质．分析：（1）首先利用SSS定理证明△ABC≌△ADC可得∠BCA=∠DCA即可证明△CBF≌△CDF．（2）由△ABC≌△ADC可知，△ABC与△ADC是轴对称图形，得出OB=OD，∠COB=∠COD=90°，因为OC=OA，所以AC与BD互相垂直平分，即可证得四边形ABCD是菱形，然后根据勾股定理全等AB长，进而求得四边形的面积．（3）首先证明△BCF≌△DCF可得∠CBF=∠CDF，再根据BE⊥CD可得∠BEC=∠DEF=90°，进而得到∠EFD=∠BCD=∠BAD．解答：（1）证明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠BCA=∠DCA，在△CBF和CADF中，，∴△CBF≌△CDF（SAS），（2）解：∵△ABC≌△ADC，∴△ABC和△ADC是轴对称图形，∴OB=OD，BD⊥AC，∵OA=OC，∴四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，∵AC=2，BD=2，∴OA=，OB=1，∴AB===2，∴四边形ABCD的周长=4AB=4×2=8．（3）当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD，理由：∵四边形ABCD为菱形，∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD，∵△BCF≌△DCF，∴∠CBF=∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC=∠DEF=90°，∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°，∴∠EFD=∠BCD．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．3. （2014山东济南，第23题，7分）（本小题满分7分）（1）如图，在四边形是矩形，点E是AD的中点，求证：．ABCDE第23题（1）图【解析】在和中，, 于是有 ，所以．4．（2014•山东聊城，第20题，8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF交BE与G点，交DF与F点，CE交DF于H点、交BE于E点．求证：△EBC≌△FDA．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定．专题：证明题．分析：根据平行三边的性质可知：AD=BC，由平行四边形的判定方法易证四边形BHDK和四边形AMCN是平行四边形，所以看得∠FAD=∠ECB，∠ADF=∠EBC，进而证明：△EBC≌△FDA．解答：证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∵AF∥CE，BE∥DF，∴四边形BHDK和四边形AMCN是平行四边形，∴∠FAD=∠ECB，∠ADF=∠EBC，在△EBC和△FDA中，∴△EBC≌△FDA．点评：本题考查了平行四边形的判定以及全等三角形的判定，在全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．5. （2014•浙江杭州，第18题，8分）在△ABC中，AB=AC，点E，F分别在AB，AC上，AE=AF，BF与CE相交于点P．求证：PB=PC，并直接写出图中其他相等的线段．考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：可证明△ABF≌△ACE，则BF=CE，再证明△BEP≌△CFP，则PB=PC，从而可得出PE=PF，BE=CF．解答：解：在△ABF和△ACE中，，∴△ABF≌△ACE（SAS），∴∠ABF=∠ACE（全等三角形的对应角相等），∴BF=CE（全等三角形的对应边相等），∵AB=AC，AE=AF，∴BE=BF，在△BEP和△CFP中，，∴△BEP≌△CFP（AAS），∴PB=PC，∵BF=CE，∴PE=PF，∴图中相等的线段为PE=PF，BE=CF．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，是基础题，难度不大． 6.（2014•遵义24．（10分））如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．（1）求证：BO=DO；（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长．考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．分析：（1）通过证明△ODF与△OBE全等即可求得．（2）由△ADB是等腰直角三角形，得出∠A=45°，因为EF⊥AB，得出∠G=45°，所以△ODG与△DFG都是等腰直角三角形，从而求得DG的长和EF=2，然后平行线分线段成比例定理即可求得．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，DC∥AB，∴∠ODF=∠OBE，在△ODF与△OBE中∴△ODF≌△OBE（AAS）∴BO=DO；（2）解：∵BD⊥AD，∴∠ADB=90°，∵∠A=45°，∴∠DBA=∠A=45°，∵EF⊥AB，∴∠G=∠A=45°，∴△ODG是等腰直角三角形，∵AB∥CD，EF⊥AB，∴DF⊥OG，∴OF=FG，△DFG是等腰直角三角形，∵△ODF≌△OBE（AAS）∴OE=OF，∴GF=OF=OE，即2FG=EF，∵△DFG是等腰直角三角形，∴DF=FG=1，∴DG==，∵AB∥CD，∴=，即=，∴AD=2，点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行线的性质以及平行线分行段定理．7.（2014•十堰18．（6分））如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：首先根据条件AB=AC，AD=AE，再加上公共角∠A=∠A可利用SAS定理证明△ABE≌△ACD，进而得到∠B=∠C．解答：证明：在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS）．∴∠B=∠C．点评：本题主要考查三角形全等的判定方法和性质，关键是掌握全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．8.（( 2014年河南) 22.10分）（1）问题发现如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE填空：（1）∠AEB的度数为 60 ； （2）线段AD、BE之间的数量关系是 AD=BE 。
解:（1）①60；②AD=BE. …………………………………………2分 提示：（1）①可证△CDA≌△CEB,∴∠CEB=∠CDA=1200，又∠CED=600， ∴∠AEB=1200－600=600. ②可证△CDA≌△CEB, ∴AD=BE（2）拓展探究如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，∠ACB=∠DCE=900, 点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由解：（2）∠AEB＝900；AE=2CM+BE. …………………………4分 （注：若未给出本判断结果，但后续理由说明完全正确，不扣分）理由：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB =∠DCE= 900, ∴AC=BC, CD=CE, ∠ACB=∠DCB=∠DCE－∠DCB, 即∠ACD= ∠BCE∴△ACD≌△BCE. ……………………………………………………6分∴AD = BE, ∠BEC=∠ADC=1350. ∴∠AEB=∠BEC－∠CED=1350－450=900．……………………………7分 在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高， ∴CM= DM= ME,∴DE=2CM.∴AE=DE+AD=2CM+BE……………………………………………………8分（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD=。
若点P满足PD=1,且∠BPD=900，请直接写出点A到BP的距离3)或………………………………………………………10分 【提示】PD =1，∠BPD=900, ∴BP是以点D为圆心、以1为半径的OD的切线，点P为切点． 第一种情况：如图①，过点A作AP的垂线，交BP于点P/， 可证△APD≌△AP/B,PD=P/B=1, CD=,∴BD=2,BP=,∴AM=PP/=(PB－BP/)= 第二种情况如图②，可得AMPP/=(PB+BP/)=9. （2014•江苏苏州,第23题6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F分别在AB、AC上，CF=CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF．（1）求证：△BCD≌△FCE；（2）若EF∥CD，求∠BDC的度数．考点：全等三角形的判定与性质；旋转的性质分析：（1）由旋转的性质可得：CD=CE，再根据同角的余角相等可证明∠BCD=∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE；（2）由（1）可知：△BCD≌△FCE，所以∠BDC=∠E，易求∠E=90°，进而可求出∠BDC的度数．解答：（1）证明：∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，∴CD=CE，∠DCE=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCD=90°﹣∠ACD=∠FCE，在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS）．（2）解：由（1）可知△BCD≌△FCE，∴∠BDC=∠E，∵EF∥CD，∴∠E=180°﹣∠DCE=90°，∴∠BDC=90°．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等、旋转的性质、平行线的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 10．（2014•四川遂宁，第20题，9分）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF．求证：（1）△ODE≌△FCE；（2）四边形ODFC是菱形．考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．专题：证明题．分析：（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠DOE=∠CFE，根据线段中点的定义可得CE=DE，然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．解答：证明：（1）∵CF∥BD，∴∠DOE=∠CFE，∵E是CD中点，∴CE=DE，在△ODE和△FCE中，，∴△ODE≌△FCE（ASA）；（2）∵△ODE≌△FCE，∴OD=FC，∵CF∥BD，∴四边形ODFC是平行四边形，在矩形ABCD中，OC=OD，∴四边形ODFC是菱形．点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟记各性质与平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．11．（2014•四川宜宾，第18题，6分）如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC． 考点：全等三角形的判定与性质；平行线的性质．专题：证明题．分析：根据平行线求出∠A=∠C，求出AF=CE，根据AAS证出△ADF≌△CBE即可．解答：证明：∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，∵在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE（AAS），∴AD=BC．点评：本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，判定两三角形全等的方法有：SAS、ASA、AAS、SSS．12．（2014•四川凉山州，第21题，8分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形． 考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质专题：证明题；压轴题．分析：（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF；（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．解答：证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴AB=2AF∴AF=BC，在Rt△AFE和Rt△BCA中，，∴△AFE≌△BCA（HL），∴AC=EF；（2）∵△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°∴EF∥AD，∵AC=EF，AC=AD，∴EF=AD，∴四边形ADFE是平行四边形．点评：此题是首先利用等边三角形的性质证明全等三角形，然后利用全等三角形的性质和等边三角形的性质证明平行四边形．13．（2014•四川泸州，第19题，6分）如图，正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且AE⊥BF，垂足为点G．求证：AE=BF．考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：证明题．分析：根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AGB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABG与∠BAG的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAG与∠CBF的关系，根据ASA，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得答案．解答：证明：∵正方形ABCD，∴∠ABC=∠C，AB=BC．∵AE⊥BF，∴∠AGB=90°∠ABG+∠CBF=90°，∵∠ABG+∠FNC=90°，∴∠BAG=∠CBF．在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了正方形的性质，直角三角形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质．14．（2014•四川内江，第18题，9分）如图，点M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P．（1）求证：△ABM≌△BCN；（2）求∠APN的度数．考点：全等三角形的判定与性质；多边形内角与外角．分析：（1）利用正五边形的性质得出AB=BC，∠ABM=∠C，再利用全等三角形的判定得出即可；（2）利用全等三角形的性质得出∠BAM+∠ABP=∠APN，进而得出∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC即可得出答案．解答：（1）证明：∵正五边形ABCDE，∴AB=BC，∠ABM=∠C，∴在△ABM和△BCN中，∴△ABM≌△BCN（SAS）；（2）解：∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM=∠CBN，∵∠BAM+∠ABP=∠APN，∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC==108°．即∠APN的度数为108度．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正五边形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．15．（2014•四川南充，第18题，8分）如图，AD、BC相交于O，OA=OC，∠OBD=∠ODB．求证：AB=CD．分析：根据等角对等边可得OB=OC，再利用“边角边”证明△ABO和△CDO全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．证明：∵∠OBD=∠ODB，∴OB=OD，在△ABO和△CDO中，，∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB=CD．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，准确识图确定出全等的三角形并求出OB=OD是解题的关键．16．（2014•福建福州,第17题每小题7分，共14分）（1）如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C. 求证：∠A=∠D.（2）如图，在边长为1个单位的小正方形所组成的网格中，△ABC的顶点均在网格上.①的值是 ；②画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（A与A1，B与B1，C与C1相对应），连接AA1，BB1，并计算梯形AA1B1B的面积.17．（2014•广州,第18题9分）如图5，平行四边形的对角线相交于点，过点且与、分别交于点，求证：． 图5【考点】全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质【分析】根据平行四边形的性质可知，，，又根据对顶角相等可知，，再根据全等三角形判定法则，，得证.【答案】证明：∵平行四边形的对角线相交于点 ∴， ∴ 在和中， ∴18．（2014•广东梅州,第21题8分） 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质．专题：证明题；压轴题；探究型．分析：（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．解答：（1）证明：在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，∴△CBE≌△CDF（SAS）．∴CE=CF．（2）解：GE=BE+GD成立．理由是：∵由（1）得：△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF，∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG（SAS）．∴GE=GF．∴GE=DF+GD=BE+GD．点评：本题主要考查证两条线段相等往往转化为证明这两条线段所在三角形全等的思想，在第二问中也是考查了通过全等找出和GE相等的线段，从而证出关系是不是成立．。