新概念几何与共边定理的问与答广州杜厚生（与现行教材上面积相等的表达式不同，本文用 -APB = =AQB表示两个三角形面积相等，三角形符号前省略“ S”或“面积”这是为了表达上的简洁 ）问：那些人适合阅读和应用本文？答：主要是初中数学教师和初三备考的学生，初二学生也可以尝试应用•当然，高中数学教师也应当有所了解，高中生也可以读一读，但最适合的读者，是准备参加初中数学竞赛的同学.问：张景中是谁？答：张景中者，自欧几里德已降， 2300多年来独力改写欧几里德几何体系的第一人•新体系者，新概念几何也.张景中，1936年生于河南汝阳，18岁入北大数学系，22岁打成右派，从此沦为另类 21年，至1979年43岁时才平反，恢复普通公民身份•此后便文思泉涌， 17年间，成就辉煌，跻身顶级数学家之列，数项成果均堪称里程碑，成为大学教授、博士生导师、中科院院士，杰出科普作家.问：什么是“新概念几何”？答：平面几何问题一直是数学教育与学习中的疑难问题，两千年来，学生的课本还是和欧几里德时代无甚 大异，教师只有在增加学习时间，减少所学内容上做文章•然而张景中院士大胆指出，我们其实不必非要 虔诚地跟在欧几里得身后学习平面几何！他经过多年潜心研究，独辟蹊径，建立起一套以度量为基础，以 面积为中心的平面几何新方法、新体系，这就是“新概念几何” （下文简称新几何）•从1989年以来，经过20年来张院士和很多中学老师的教学实践证明， “面积法”可节省课时，提高学生解决问题的能力，特别是在解决数学奥林匹克竞赛问题时的优势相当明显.“新概念几何”相对于欧几里德的几何是一个全新的平面几何新体系， 从公理体系到定理体系、解题方法，都有极大的区别，也是欧几里德的几何诞生 2300多年来，第一个全新的体系•在张景中的新几何中，甚至没有平行公理，即平行线的存在性和唯一性是可以由面积方法推导出来的一个定理. 也不需要全等三角形和相似三角形等一批定理•由于新几何定理大大减少、解题方法统一为面积方法，给平面几何减少课时 和降低难度创造了条件. 新几何中使用的解题通法一一消点法， 甚至成为了攻克世界性的科研难题一一机器证明几何定理的关键方法，取得了机器证明几何定理的里程碑式的胜利.新几何正是由于方法之新、对传统几何改造之彻底，反而造成了推广之难•对广大中学教师来说，几乎是一门新学科，老师和学生在知识上同样的一无所知！但老师应当先学一步，比学生更早掌握新几何，为教1 / 15材、课程改革作出应有的贡献•一旦国家决定采用新几何代替旧教材，老师就可以充满信心地走上讲台.退一步来看，掌握新几何的面积方法和部分新定理却并不难，但对于现行教材是一个补充和改进，对个人 教学能力的提高也极有补益.△ ABP : △ ABQ = PA : AQ基本定理:问：新几何的核心是什么?答：新几何以度量为基础， 以面积为中心，它的核心定理就是现行教材中一条极为平凡的定理：“等高三角形面积的比等于底边的比” •由这个核心定理推导出一条现行教材中没有的定理 共边比例定理，这是整套新几何教材的基础， 由该定理导出全部定理与解题方法， 构成了几何新体系.从一条极为平凡的定理着手，改写几何原本的整个体系，构造出一个几何新体系，这件事本身就透出 神奇.历史上堪与之相比的，只有 180年前对平行公设的研究了 •当年也是从一条公设出发，构造出一个非欧几何•但毕竟同时有高斯、小鲍耶、罗巴切夫斯基各自独立发现了非欧几何•此外，对平行公设的质 疑，之前已经有过千年探讨，远不是如“等高三角形面积的比等于底边的比”那样平凡而不引人注意.在《论推广》（见数学通报2005年第4期）一文中，张景中教授说：“《几何原本》共13卷，包含了 465条命题.有趣的是，有一条非常基本的重要命题，它没有受到欧几里得时代数学家的注意和重视 （之后的两千多年中也没有得到应有的重视 ）•如果当初欧几里得或别的数学家重视了，几何学的历史有可能被改写， 几何难学、几何解题无定法的局面就早已改观了. 这是《几何原本》第6卷的命题一：“等高三角形或平行四边形，它们彼此相比如同它们的底的比”共边定理和基本命题的共同点，都是把两个三角形的面积比化成共线线段之比•共边定理中若 A在直线PQ上，就回到了基本命题•所以，它是基本命题的推广•基本命题图中的线段 PQ, AB的位置变得更一般些，使A不在直线PQ 上,再添上交点M,就成了共边定理的图形了. 这一点改变很重要. 欧几里得时代 的几何学家，就是没有注意到这一点改变，才失去了这条无比重要的共边定理，也错过了发现平面几何机 械化解题方法的机会.为什么强调面积?张景中这样看面积方法的重要性:利用面积，我们可以建立面积坐标，自然地进入解析几何•而面积坐标，本质上已经包含了笛卡尔坐 标、仿射坐标、射影坐标，这就为学习更高深的几何埋下了伏笔.学会了计算多边形和圆的面积，自然会想到去计算曲线包围的面积，这就会引出极限概念，引出定积分概念，自然而然地就把学生带进了高等数学的大门. 此外，微积分里用得最多的三角函数与对数函数 （指数函数），都可以用面积给出易于理解又便于推导的定义.在高等数学中，面积以各种形式出现•面积是积分，是测度，是外微分形式，是向量的外积，也是行列式.抓住面积，从小学到大学的数学内容就可以一线相串•抓住面积，结合代数与三角来展开初等几何，就极有希望提供一种足以和欧几里德体系争夺课堂的几何教材. （张景中：《从数学教育到教育数学》 P81）为什么共边定理是基石？从下面的新概念几何体系的课程结构图可以看出，共边定理是新概念几何整个体系的基石. （张景中：《从数学教育到教育数学》 P101）圆的定义共边定理与共角定理全等三角形与相似三角形判定余弦定义弦长公式圆内外的角圆幕定理各种三角公式问：什么是共边比例定理?答：共边比例定理简称共边定理:有公共边 AB的两个三角形的顶点分别是P、Q, AB与PQ的连线交于点M，则有以下比例式成立:APB 面积：JAQB 面积=PM : QM-M共边定理图：四种位置关系问：什么是共角比例定理?答：共角比例定理简称共角定理：有公共角的两个三角形的面积比等于夹这个角的两边的乘积之比.△ ABC和厶A1 B 1 C 1中，/ A与/ A1相等或互补，则有: △ ABC 面积：△ A1 B1 C 1 面积=AB- AC : A1B1 A1C 1 问：怎么导出两个定理？ ：AB上作线段 MN = AB，则有:答：共边三角形有四种位置图形，证明时，都只需要在直线共边定理证明.ABP : ABQ = . PMN : . QMN = PM : MQ共角定理更简单，•/ △ ABC 面积：△ A 1 B 1 C 1面积=1^1AB ■ ACsi nA : A 1 B1 A 1 C1 si nA 12 2T/ A 与/ A 1 相等或互补 ••• sinA = sin A 1••• △ ABC 面积：△ A1B1C1 面积=AB-AC : A1B1 A1C问：共边定理与共角定理怎么用？答：共边三角形与共角三角形广泛存在.张景中说：欧几里德把注意力集中在特殊三角形上： 当考虑一个三角形时，着重研究了直角三角形和等腰三角形；当考虑一对三角形时，着重研究了全等三角形和相似三角形•一个重要的事实是：随便画一个几何图形，这里面往往没有全等三角形和相似三角形，为了使“全等” 、“相似”有用武之地，就要作辅助线.但如何作辅助线，则“法无定法” •几何做题难，原因与此有关.我们着眼于那些任何几何图形都会出现的三角形对，这就是“共边三角形”与“共角三角形”这两种三角形是名不见经传的，欧几里德以来的几何学家们从来没有给它们足够的重视•但是，从数学教育学的角度来看，他们是顶顶重要的. （张景中：《从数学教育到教育数学》 P60）共边定理涉及平面几何构图中最常见的一个步骤： 两直线AB、PQ ,交于一点M .要确定交点 M的位置，本是一件不容易的事，它相当于解二元一次方程组.而共边定理却用两个三角形的面积比简单地表示出 M段PQ上的位置•等式右边的 M，在左边不出现了，也就是被消去了 •这个事实，在几何问题的机器求解中起了关键的作用（张景中： 《论推广》）张景中说，使用共边定理和共角定理有两个好处：其一是通用性.从统计学观点看，任给几个点连成直线，出现一对全等三角形或一对相似三角形的机会太少了，概率为零•所以想利用“全等”、“相似”来解题，就常常要挖空心思作辅助线，凑出全等三角形或相似三角形来•而作辅助线的规律不好掌握，学生会觉得无章可循，非常困难•但共边三角形和共角三角形却比比皆 是，因此它们的性质到处都用得上.其二是条件和结论的对等性.要证明两条线段相等，常用的办法之一是构造一对全等三角形，使这两条线段成为它们的对应边•但 要证明这两个三角形全等，却要满足三个条件•这就是说，为了得到一个等式，先要建立 3个等式•这就有点不合算了•而在共边定理和共角定理中，却是从一个条件到一个结论•这种对等性往往能够简化证明 的过程.其三是基础的单纯性和表述的简明性共边定理和共角定理，直接建立在小学生已经熟悉的三角形面积公式的一个简单推论上， 学起来简单，也容易记得牢.而全等三角形或相似三角形的理论， 推导过程较长，判定条件又多，在可接受性方面较差.（张景中：《从数学教育到教育数学》 P81）事实上，在新概念几何中，可以不安排全等三角形的教学单元.应用共边定理证题时，首先要判断公共边 AB及两个不同顶点 PQ,从而找到底边 AB与PQ的连线交点M •第一及第二两个图形交点在公共边内，其它两种位置，交点在公共边外部，通常要作辅助线来找出 该点•在许多题目中，并没有给出面积关系，必须根据要证明的等式找出相应的三角形•要注意共边定理 中，两条线段的比值 PM与QM中，P、Q就是两个三角形的顶点，所要找的三角形就是有公共边且分别 以P、Q为顶点的三角形•但共边三角形实在太容易得到了，以 P、Q为顶点的共边三角形通常在图形中都可以找到三对或更多对，何况还可以转化成以 P、M或Q、M为顶点的三角形，选择就更多了，但并不是每一对都能推出所需结论的，选对了，结论很容易就出来了•只找对的，不找废的，这就是初学的最大 难点•必须经过一定时间的反复练习才能做到得心应手.例如下图中的任意四边形 ABCD，分别以四条边和两条对角线为公共边，可以得到 6对共边三角形，若再加上对角线交点 P,四边形ABCD中可以有18对共边三角形！问：共边定理怎么证平行？答：用面积方法推出平行线的判定，用到下面这个基本命题，这是新概念几何中最重要的定理之一.基本命题：设 M、N两点在直线 AB同侧，贝U MN // AB的充分必要条件是 △ MAB =△ NAB •有了这条定理，就可以不用平行线性质来证平行了•实际上，这条定理在传统几何课程中也用来判断 直线的平行，只不过不常使用而已.例1:（三角形中位线定理）如图，△ ABC 中，D、E分别是AB、AC边上的1中点，用面积方法证明： DE // BC且DE = BC .2证明：••• D、E分别是AB、AC边上的中点， •••△ ADE : △ BDE = △ ADE : △ CDE = 1 : 1••• DE // BC•••/ DBC = Z ADE由共角定理得： △ ADE/ △ ABC = AD- DE/AB- BC = 1/4• DE =丄 BC .21••• AD = AB2这里，证明平行用到了平行的基本命题，证明线段的比值用到了共角定理.传统证法中，要用到全等三角形、平行四边形或相似三角形，同时要作辅助线构成全等、相似、或平行四 边形.例2: （1983年美国中学数学竞赛题）如图的三角形ABC的面积为10, D、 E、F分别在边BC、CA、AB上，且BD = 2, DC = 3,若厶BCE与四边形 DCEF的面积相等，则这个面积是（ ）5怖A. 4 C.5 D. 6 B. E.不确定3解：由△ BCE与四边形DCEF的面积相等，在四边形 BCEF中分别减去这 两个面积，得△ BFD与厶BFE同底且面积相等，所以 BF // DE，可以得到 AB为边的两个三角形△ ABD与厶ABE面积相等，因为三角形ABC的面积 为10,且BD = 2, DC = 3,所以△ ABD的面积等于 4,即厶ABE面积等 于4，所以△ BCE的面积等于10 -4= 6,故选C.这是一道由面积相等推知两线平行的典型题目.例3:对角线互相平分的四边形是平行四边形.证明：••• OA = OC , OB = OD，由共角定理得： △ AOB/ △ COD = OA- OB=OC- OD = 1即厶AOB = △ COD，•共底的两个三角形 △ ACB =△ CBD , • AD // BC;DA同理可证AB // CD问：共边定理怎么证线段相等?答：常常是共边与共角两个定理都会用到。
利用面积相等，并且面积比中有相等的线段，消去等量，于是剩下的也是等量之比例4:（等腰三角形两腰上的高相等 ）已知：如图，AB = AC , CE丄AB于E, BD丄AC于D ,C求证：BD = CE .解：由三角形面积定理得： abc = 1 AB-CE=丄AC-BD2 2•/ AB = AC ,••• BD = CE ;本题是直接用等底三角形面积相等推出高相等，相比于全等三角形证法要简洁得多例5:如图，已知 AD平分/ BAC , BD丄AD , DE // AC , DE交AB于F点求证：BE = EC.证明：连接C、F,由平行线性质，得 △ DFC =△ DFA ;由 AD 平分/ BAC , DF // AC，可得/ FAD = Z FDA , • AF = FD由 BD 丄 AD，得/ FBD = Z FDB , • BF = DF ;• AF = BF• △ DFB = △ DFA ; △ DFC = △ DFB ; • BE : EC= △ DFC : △ DFB = 1 : 1，即 BE = EC.本题是用共边三角形面积相等推出线段相等例 6:如图，△ ABC 中，AB = AC , BD = CE, 求证：DF = EF.证明：连接 CD、BE AB = AC DBC与/ BCE互补，由共角三角 形定理： △ DBC : △ BCE = BD-BC : CE-BC•/ AB = AC , BD = CE,— DBC = △ BCE ,再由共边定理得： △ DBC : △ BCE = DF : FE= 1 : 1• DF = EF.本题先用共角三角形定理证得 △ DBC与厶BCE面积相等，再由共边定 理推出线段相等。
相比于先作平行线构造全等三角形，再由全等三角形证 线段相等的证法，面积法显然更巧妙1例7 :在等腰直角三角形 ABC的斜边BC上取一点D，使DC二-BC ,3 作 BE _AD 交 AC 于 E，求证：AE 二 EC .1证明：连结CF,由DC二BC，得图中两个阴影三角形的面积之比为 1 : 2,3即：△ AFC : △ AFB = 1 : 2,又由BE_AD，等腰直角三角形 ABC的条件，得 / 1 + Z 2 = Z 3 +Z 2= 90° 1 = Z 3，由共角定理得： AF-AC : AB-BF =△ AFC : △ AFB = 1 : 2• AF : BF = 1 : 2,由厶 AFB 与厶AEB 相似，得 AE : AB = 1 : 2, •/ AB = AC • AE =EC本题先用CD： DB= 1 : 2得到两个阴影三角形的面积之比为 1 : 2,再由共角三角形定理证得 AF : BF = 1 : 2,过程相当简洁明了问：共边定理怎么证比例线段？答：共边定理最适合用来求同一直线上的两条线段的比值，或反过来，已知同一直线上的两条线段的比值求共边三角形的面积比由于共边定理有四种位置图形却对应同一个比值， 所以怎样选取最合适的两个三角形就成为正确解题的关键。
也因为图形选择的差异，造成了不止一种解法只有通过一定的练习量，才能做到迅速正确地选择适当的共边三角形例1 :已知在△ ABC中，D为BC的中点,1求证：AF =丄AC .3ABF 和△ DBF、△ DCF面积都相等，由图易得AFFC.ABFCBF1 1-，所以AF =丄AC .2 3例2: △ ABC中，D是BC上的一点， BD=2DC,E为AD上一点，竺ED求 AF , BE FC EFAF解答：①构造以 BE为公共边的两个三角形 △ ABE和厶CBE，则AFFC例2题图12 IDLAB^，由图易得A^ = 1CBE FC 6②构造以AD为公共边的两个三角形 △ BAD和厶FAD，则BEEFBAD .由 = 1，设△ FAD = 1,则厶 FDC = 6 ADC = 7;FAD FC 6BD=2，得△ BAD = 14, • 匹= BAD = 14 .DC EF FAD 1例3:（三角形角平分线性质定理 ）如图，AD平分/ BAC ,求证:证明：AD平分/ BAC ,由共角三角形定理:△ ADB : △ ADC = AB -AD : AC-AD = AB : AC又••• △ ADB : △ ADC = BD : CD••• AB:AC = BD : DC .解答：构造以BF为公共边的两个三角形厶 ABF和厶DBF，则由两个中点的条件，得三个三角形厶如图，厶ABC中，AE = AF , AD是底边的中线且与 EF交于求证:AB - PE= AC- PFAACD 、=1)AABD证明:•/ AD是底边的中线，• ■ ABD = . ACD些== ^AED ZACD（ ad为公共边，EF为顶点，注意PF AAFD AAFD AABDAAED AACD AE ACx- =—AABD AAFD AB AFPE AC•/ AE = AF ••• =——PF AB• AB - PE= AC- PF（将AACD适当换位，得到两个面积比，转换为两组边长的比）从BD aAC问：全等和相似方法在新概念几何中应当保留吗？在新概念几何中，可以由面积法先推导出正弦定理和余弦定理， 再推出全等三角形判定定理和相似三角形判定定理，实际上，新教材中可以完全不用全等和相似方法•但作为欧式几何的宝贵遗产，在许多问 题中它们有明显的优势，为了让两种教材更好地兼容，各取所长，减少新几何推广的阻力，张景中也是主 张保留全等和相似方法的.例如下面这道题目，三种解法就各有利弊.例1 :已知：AABC中，AB= AC = BD , E为AB中点， 求证：2CE = DC证法1（全等法）：设DC中点F,连接BF，可得BF是.ADC中位线• BF// AC，•/ FBC =Z ACB =Z ABC , v BF= BE, CB = BC•••△ FBC◎△ EBC ,• EC= CF= FD ,证法2（相似法）：由两边成比例且夹角相等，可证△ AEC ACD ;在厶 AEC 和厶 ACD 中，AE： AC = AC : AD = 1 : 2• △ AEC ACD ,• CE : CD = AC : AD = 1 : 2,「. 2CE = DC证法3(面积法一一勾股差定理 )：设 AE = 1,贝U AC= AB = 2, AD = 4,由勾股差定理得：△ AEC ：△ ACD= 1 : 4=( AE2+ AC2- EC2)：( AD 2+ AC2— CD2)2 2 2 2=(1 + 4— EC ):( 16 + 4— CD ) = ( 5— EC ):( 20 — CD )2 2 2 2即 4 ( 5— EC )= 20 — CD , • 4EC = CD ,• 2CE = DC三种证法的评价：全等法需要构造全等三角形，但反而是学生最易想到的解法； 相似法最简洁，两步就完成证明，是最优解法； 勾股差定理是新概念几何特有的定理，与余弦定理等价，但不出现角的余弦，比余弦定理好用.勾股差定理是：△ ABC :△ A1B1C1 = (a + b— c) : (a 1 + g — c 1 )问：共边定理怎么证正弦定理和余弦定理？答：都可以用三角形面积公式推出.亠 11正弦定理：v △ ABC = — bcSinA = - acSinB , • bSinA = aSinB ,同理可得 2 2a b cbSinc= cSinB , • = = _ ;SinA Si nB SinC余弦定理的证明较繁，要将原三角形绕C点旋转90°再用面积方程推导:证明：设△ ABC中各顶角所对边分别为 a、b、6将厶ABC绕C点旋转90°延长A BW AB交与点D, 可得：B△ BA' BW △ AA BW △ BCB'+A ACA'—△ BCA'—△ ACB',即1 1 1 2 1 2 1 1BD + — cAD = a + b — abSin(90 半/ c) — abSin(90 -Z c) 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 1••— c = a + b — abCosC abCosC2 2 2 2 2• c2 = a2 + b2— 2abCosC同理可得其余两个表达式.问：共边定理怎么证传统难题？答：许多传统的几何难题或数学竞赛题在有了共边定理和共角定理之后，立刻就变得容易起来了，在这个 领域内，面积方法发挥了最大的效用，新方法的简洁、巧妙，有时令人叹为观止。
这部分是所有介绍新概 念几何的书籍都津津乐道的篇章当然，对于初学者来说，还是有一个逐渐熟悉的过程例2:在厶ABC内任取一点 P,连接PA、PB、PC分别交对边于 X、Y、Z点.求证:巴+空+空=!AX YB ZC证明：这是一道用共边定理证明的典型好题，在传统证法难以入手的题中，正好是共边定理一个极其简单 的直接应用，只要用P点与各边分成的每一个小三角形与大三角形相比 再相加，立即得到结论!PX , PY , PZ PBC PCA PAB + + = + + AX YB ZC ABC ABC ABCY，直线XY与BC的延长线交于Z点.AXBZCY求证：=1XBZCYAAXBZCYMXZ△BXZ△CXZ证明：——一 1XBZCYA△BXZ△CXZ△AXZ例（梅涅劳斯定理）：在厶ABC的两边取X、•也是例3：著名数学大师华罗庚在《1978年全国中学生数学竞赛题解》前言中，给出了这样的一道几何题：如图，凸四边形ABCD的两边DA、CB延长后交于K，另外两边AB、DC延长后交于L ,对角线DB、AC延长后分别与KL交于F、G.求证:KFKGFL GL证明：巫=二2旦匕（以BD为公共边的两个三角形的面积比FL DBL)FLG=DBK X ： KBL （乘以同一个三角形KBL,化为两组面积的比）KBL . DBL=DC XKA（化为两组线段的比）CL AD= DAC X ：KAC （化为有同一个三角形 DAC的两组面积的比）LAC . DACKACLACKGGL（消去公共三角形，化为线段的比求证：AQ : QD = PB : PC分析:△ MNA ：△ MND = AQ : DQ（以MN为底，A、D为顶点）△ MNB :△ MNC = PB : PC (以 MN△ MNA =△ MNB ; △ MND =△ MNC为底，B、C为顶点）（••• MN是中点）••• AQ:QD = PB : PC说明:本题中三角形的选择是关键，只有这样，才能同时用到两个中点.四边形ABCD中，AD = BC , AB、CD的中点分别为 N、M，延长AD交直线MN与P、Q.求证：PC= QD分析：本题是上题的变式•将上题中的比值::QD = PB : PC 化为AD : QD = CB : PC,当 AD = BC ,就有再看看本题的传统证法：如左图，过D、C分别作AB的平行线DE , CF,证明两个三角形全等,然后再证两组三角形相似，将 AQ : QD转化为PB : PC转化为BN : CF,再经等量代换得到结论.BC、AQPC= QD.AN : DE用到一次全等，两次相似,这道题的的难点在于没有全等，没有相似，也没有给定的比值，按照传统方法步•骤相当多，也不易理解,所以20多年没有人给出简单巧妙的解•在熟悉了共边定理以后，这一类题真的变简单了四边形ABCD中，M、N分是CD、AB边的中点，BC、AD的延长线交 NM延长线于P、Q两点.思考的难度大，证明的过程繁，显然不能与共边定理相比.问：怎样用面积法证面积题?答:已知比例求面积的题目传统证法往往不易找到思路， 所以成了难题，往往在中小学数学竞赛中出现.实，这类题使用共边定理是最好的方法.A2O 3D第7题图例6:如图，四边形 ABCD中，△ AOD面积=2, △ DOC面积=3△ COB面积=6,求厶AOB面积.解法1 :•/△ AOD 面积：△ DOC 面积=2 : 3 = AO : OC= △ AOB 面积 ：△ COB 面积，： △ COB 面积=6 △ AOB面积=4解法2 :•/△ AOD 面积：△ DOC 面积=AO : OC =△ AOB 面积：△ COB 面积，•••△ AOB面积心 DOC面积=△ COB面积XA AOD面积这里得到一个新的定理：四边形对角线分成的四个三角形中，相对的两个三角形面积的乘积与另一组相对 的两个三角形面积的乘积相等•用上这个定理，就可以跳过共边定理直接用最后一步解题了.• △ AOB 面积=20弓=4.例7 （17届希望杯全国赛初二第二试 19题）：如图，等腰 △ ABC中，AB = AC , P点在BC边上的高 AD上，且AP =1PD 2；S dec = ；BP的延长线交AC于E,若S.abc = 10,则S abeS DBE : S DEC = 1 : 2 : 2，- s ABC = 10,・• S ABE = 2； S DEC = 4；ACAE : EC = S aed : Sced = 1 : 4例 8: △ ABC 中,D点在BC边上，且BDDC-,P点在BC边上的3高AD上，且APPDBP的延长线交AC于E,若Sabc = 18,则SabeAE : EC = .解：S.ABE : S Dbe : S DEC = 1 : 2 : 3D..贝卩 S abe = 3—， S dec = ―6 AE : EC = 1 : 5_ .例9:如图：△ ABC中，E为中点，AD : DC = 2 : 1 , △ EBF面积是15,求厶ABC的面积.解：连结CF , •/ E为中点且△ EBF面积是15;• ECF 面积=△ EBF 面积=15;•/ AD : DC= 2 : 1 • △ AFB 面积：△ FCB 面积=2 : 1• △ AFB面积=60 , E为中点 ACF面积=△ AFB面积=60• △ ABC 的面积=15+15+60+60 = 150 .例10:如图所示，已知在平行四边形 ABCD中，AE : EB = 1 : 2.(1)求△ AEF与厶CDF的周长比;(2)如果Sabcd6平方厘米，求 S^ ADE .解答:•/ AE : EB1 : 2 ••• AE : AB = AE : CD = 1 : 3，由△ AEFCDF，可得它们的周长比为 1 : 3 ;_ 1Sa ade = Saabd31=— Saabcd T Sabcd = 6 平方厘米--ade = 1 平方厘米.；6例11:如图所示,BD , CF将长方形ABCD分成4块，△ DEF的面积是4cm2, △ CED的面积是6cm2 .问:四边形ABEF的面积是多少平方厘米?解：连结 BF，则△ BDF面积=△ CDF面积=10,「仏BEF面积=6;设面积为x, 则有：4x = 6>6, x= 9;A BDC面积=15,长方形 ABCD面积=30二四边形 ABEF的面积 是例12:如图，FB、AD、EC互相平行,△ ABC的面积为1，求△ FDE的面积。
DC15-4 = 11平方厘米解：由 AD // EC,得△ ADC = △ ADE，同理△ ABD = △ AFD ,•••得△ ADE +△ AFD =△ ABC = 1又由 FB //〔得厶 ECB = △ ECF , • △ ABC + △ ACE = △ AEF + △ ACE 即厶 ABC = △ AEF = 1• △ FDE = △ AEF + △ ADE +△ AFD = 2例13:如图，已知三角形 ABC面积为1,延长AB至D，使BD = AB , 延长BC至E,使CE= 2BC ,延长CA至F,使AF = 3AC ,求三角形 DEF 的面积解：连结 BD , EC,由已知条件可得， △ DAB = 1, △ DBE = 2, △ CBE=2,△ FCE = 6, △ FCD = 6,• △ DEF = 1+ 1 + 2+ 2+ 6 + 6= 18这题也是面积法最基本的题型例 14:在 ABC 的三边 BC、CA、AB 上分别取点 D、E、F,使 BD = 3DC , CE = 3AE , AF = 3FB ,连 AD、2 BE、CF相交得三角形 PQR，已知三角形 ABC的面积为13cm，求三角形PQR的面积.图1图2解：由图 1 得：△ PQR= △ ABC — (△ ABP +△ BCQ + △ CAR);观察图 2，连结 PC,由 CE= 3AE，得△ APE ：△ CPE= 1 : 3，又由 BD = 3DC，得△ APB ：△ APC = 3 : 1 设厶 APE = 1,则厶 CPE= 3, △ APB = 12,A ABE = 13;由 CE = 3AE，得△ ABE ：△ ABC = 1 : 4, •••△ ABC = 52，得△ APB ：△ ABC = 12 : 52 ;同理可得厶 BCQ ：△ ABC = 12 : 52;A CAR ：△ ABC = 12 : 52 ;•••三角形 ABC 的面积为 13cm2, ••△ ABP +△ BCQ +△ CAR = 36 : 52X13cm2 = 9cm2;• △ PQR= 13cm2— 9cm2= 4cm2此题还可顺便推得 EP : EB = 1 : 13, AP : AD = 4 : 13.在这一类题目中， 特别能体现面积方法的强大， 没有平行线，没有全等三角形，没有相似三角形，但处处存在由面积引发的比例关系，这种比例关系通过 共边三角形和共角三角形而存在 •例15:江阴市2006年提前招生考试数学试卷已知平行四边形 ABCD中，点E、F分别在边AB、BC 上.若厶ADE、△ BEF、△ CDF的面积分别为 5、3、4，求△ DEF的面积.解1:设AD = x, AD与CB间距离为y,由SAbcf = 4知F到CB的距离为8x，则F到AD的距离为y—x2x x(xy-14)xy-8Sa AEB1AEXy =1 x(xy -14)—x-22 xy -88 1 8 \_，…SADEF = DE (y — _ 丿=3,…2Xy = 5,得(xy) — 24 xy + 80=0, xy = 20 或 4DE = -6x , AE = x— 6x xy 一8 xy -8-SABCD = xy > SA AEB = 5 ,…xy = 4 不合，…xy = 20(这是原试卷的解答)Sa def = Sabcd — sa aed — sa bef — sa dcf = 20 — 5— 3— 4 = 81AHMEM 面积为a,、HBGM面积为解2:过E作EG// AB，过F作FH// BC, EG与FH交于点 M，设 b,、MGCF面积为c,址MFD面积为6,易得:a+ b = 10; b+ c = 8,得 a— c= 253FcB G解2图C由 a : 6= HM : MF = b : c• ac= 6b;将 a= 2 + c; b= 8— c 代入得：c(2+c) = 6(8 — c)c2 + 8c—48= 0(c + 12)(c — 4) = 0 • c= 4从而 b = 4, a= 6• SABCD = 20Sa def = 20 — (3 + 4+ 5) = 8解3:作对角线 AC,连结AF、CE交于G点，设△ EFG面积=a,A FGC面积=b, △ GCA面积=c,AAGE面积=d,由已知得：b + c= 4, c+ d = 5 二 d = b+ 1••• △ AEC与厶AEF共边，5 : (a+d) = CD : DF = (a+b+3) ： 3即 (a+b+1)( a+b+3) = 15,令 a+b = x即 (x+1)(x+3) = 15 二 x = 2 或 x = — 6 (舍去) ••• ABCD 面积=2*5+2+3) = 20B C解3图Sa def = 20 — (3 + 4+ 5) = 8。