江苏省泰州市2011届高三第一次模拟考试数 学 试 题（考试时间：120分钟 总分：160分）一、 填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填入答题卡填空题的相应答题线上1．双曲线的离心率是 2．命题“”的否定是 3．设是虚数单位，若是实数，则实数 4．已知集合，，若，则 5．某单位有职工900人，其中青年职工450人，中年职工270人，老年职工180人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为10人，则样本容量为 开始开始a←256开始a←输出a结束是否第8题a<26．设，则在区间上随机取一个数，使的概率为 7．设函数，若曲线在点处的切线方程为，则 8．右图是一个算法的流程图，则输出的值是 9．设是两条直线，是两个平面，则下列4组条件中所有能推得的条件是 填序号）①∥，；②；③，∥；④，∥，∥。
10．数列为正项等比数列，若，且，则此数列的前4项和 11．过直线上一点作圆的线，若关于直线对称，则点到圆心的距离为 12．已知正实数满足，则的最小值为 13．已知函数，若，且，则的取值范围为 14．已知是锐角的外接圆的圆心，且，若,则 用表示）二、解答题：（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）已知四面体中，,平面平面,分别为棱和的中点1）求证：平面;（2）求证：;（3）若内的点满足∥平面,设点构成集合，试描述点集的位置（不必说明理由）16．（本小题满分14分）已知，，1）若，记，求的值；（2）若，，且∥，求证：17．（本小题满分14分）某地区的农产品第天的销售价格（元∕百斤），一农户在第天农产品的销售量（百斤）1）求该农户在第7天销售农产品的收入；（2）问这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？18．（本小题满分16分）如图，在直角坐标系中，三点在轴上，原点和点分别是线段和的中点，已知（为常数），平面上的点满足。
1）试求点的轨迹的方程；（2）若点在曲线上，求证：点一定在某圆上；（3）过点作直线，与圆相交于两点，若点恰好是线段的中点，试求直线的方程19．（本小题满分16分）已知在直角坐标系中，，其中数列都是递增数列1）若，判断直线与是否平行；（2）若数列都是正项等差数列，设四边形的面积为．求证：也是等差数列；（3）若,，记直线的斜率为，数列前8项依次递减，求满足条件的数列的个数20．（本小题满分16分）已知常数，函数（1）求的单调递增区间；（2）若，求在区间上的最小值；（3）是否存在常数，使对于任意时，恒成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由参考答案一、填空题1． ；2． ；3． ；4． ；5．；6． ；7． 1；8． ；9． ②③④；10．；11． ；12． ；13． ；14．．二、解答题15． ⑴∵在中，，为的中点，∴．……………（1分）又∵平面平面，平面，平面平面，∴平面．…（5分）⑵∵，为的中点，∴．…………………………（6分）由⑴，又，，平面，∴平面．…………（9分）又平面，∴，即． …………………………（10分）⑶取、的中点、，所有的点构成的集合即为的中位线．………………………………………………………………………………（14分）16． ⑴∵，∴． ……………………………………（3分）∴ ……………………………………（5分）． …………………………………………………………………………（7分）⑵∵，∥，∴．………………………………………………（9分）又∵，，∴………………………（12分）． ……………………………………………………（14分）17．⑴由已知第7天的销售价格，销售量． ∴第7天的销售收入 （元） ． ……………………………………………………（3分）⑵设第天的销售收入为，则．…（6分）当时，．（当且仅当时取等号）∴当时取最大值．………………………………（9分）当时，．（当且仅当时取等号）∴当时取最大值． …………………………（12分）由于，∴第2天该农户的销售收入最大． …………………………（13分）答：⑴第7天的销售收入2009元；⑵第2天该农户的销售收入最大． …………（14分）18． ⑴由题意可得点的轨迹是以为焦点的椭圆． ……………………（2分）且半焦距长，长半轴长，则的方程为．………（5分）⑵若点在曲线上，则．设，，则，． …………………………………………………………………………（7分）代入，得，所以点一定在某一圆上． ………………………………（10分）⑶由题意． ………………………………………………………………（11分）设，则．┈┈┈①因为点恰好是线段的中点，所以． 代入的方程得．┈┈┈②联立①②，解得，．…………………………………………………（15分）故直线有且只有一条，方程为． ……………………………………………（16分）（若只写出直线方程，不说明理由，给1分）19． ⑴由题意、、、．∴，． …………………………………（2分），∴与不平行． ……………………………………（4分）⑵、为等差数列，设它们的公差分别为和，则，由题意．……………………………（6分）∴ ，…………………………………………（8分）∴，∴是与无关的常数，∴数列是等差数列． ……………………………………………………………（10分）⑶、，∴．又数列前项依次递减，∴对成立，即对成立．………………（12分）又数列是递增数列，∴，只要时，即即可．又，联立不等式，作出可行域（如右图所示），易得或．…………（14分）当时，，即，有解；当时，，即，有解．∴数列共有个．（16分）另解：也可直接由得．又，则或．下同20．⑴当时，为增函数． …………………………………（1分）当时，=．令，得．…………（3分）∴的增区间为，和．……………………………（4分）⑵由右图可知，①当时，，在区间上递减，在上递增，最小值为；………（6分） ②当时，在区间为增函数，最小值为；……………………………（8分）③当时，在区间为增函数，最小值为； ……………………………（9分）综上，最小值． ………………………………（10分）⑶由，可得， ………………………………（12分）即或成立，所以为极小值点，或为极大值点．又时没有极大值，所以为极小值点，即……………（16分） （若只给出，不说明理由，得1分）。