让学生经历真实的数学思维历程——人教四下《三角形的内角和》 [摘要] 三角形的内角和,内容看似简单,但真正让学生通过自主探究得出结论,还需要教师的精心设计和引导在教学实践中,教师要为学生提供合适的数学学习材料,创设恰当的问题情境,引导学生经历真实的思维历程主题阐述】三角形的内角和是三角形的一个重要特征，是学生以后学习多边形的内角和及解决其它实际问题的基础学生学习这一知识之前已经掌握了三角形的分类、平角等有关知识，已具备了初步的动手操作能力和主动探究能力习惯教材不但重视体现知识的形成过程，而且注意留给学生充分进行自主探索和交流的空间让学生不仅知道三角形的内角和是180°，还通过量、算、拼等活动，让学生经历真实的数学思维历程，发展实验、发现、推理的能力案例】一 制造冲突，引出核心问题师：同学们，我们已经认识了什么是三角形，知道了三角形的特点，那谁能说出三角形有多少个角呢？生：三角形有三个角师：通常，我们把这三个角叫做三角形的内角大家会画三角形吗？生齐答：会——师：请同学们帮老师画一个三角形，能做到吗？生充满信心地回答：能——师：请听要求！画一个有两个内角是直角的三角形开始——（学生快速地拿出笔和三角板，一部分学生开始按老师要求独立操作，一部分学生紧皱眉头犹豫，思索。
师（等了好一会儿）：有谁画出来啦？请举手示意一下没有一个学生举手示意，满脸疑惑)师：为什么画不出来呢？你们遇到什么困难了？生1：只能画两个直角，画不出三角形生2：因为三角形的三个角的和是180°，两个直角是180°，那么另外一个角就是0度，就不能组成三角形师：他的想法中有我们没有学过的知识吗？生3：有，三角形的内角和是180°师：三角形的内角和如果是180°，他的想法当然是对的，如果不是，他的想法就是错的到底三角形的内角和是不是180°呢？今天我们就来研究它板书课题：三角形的内角和）[设计说明] 通过设疑创设问题情境，激发学生的学习兴趣和探究欲望，并引发学生猜想二 动手操作，引发新需求师：三角形的内角和是不是180°，想一想有什么办法来验证呢？同桌之间先商量一下学生同桌两人小声商量，不时有争论过了一会儿，学生同桌两人基本统一了意见 师：大家想到了哪些好办法？ 生1：可以先量出每一个角的度数，再把度数加起来，就知道了三角形的内角和是多少度生2：可以把三个角撕下来拼一拼，看看三个角是不是能拼成一个平角师：想一想，仅仅用一个三角形进行实验，可以吗？生1：可以，因为三角形的内角和是180°，那么每一个三角形的内角和就都是180度，如果这个三角形的内角和不是180度，那么三角形的内角和是180°就错的。
生2：不行，一个三角形的内角和是180°，其他的三角形不一定就是180°所以要多找几个三角形实验一下 生3：我觉得他们讲的都有道理，但在实验中，我们先不知道到底是不是180°，所以还是应该多找几个三角形进行实验 师：看来大家已经知道怎样验证了，那就开始验证吧！注意记录你的验证过程学生自由选择方法一和方法二动手操作进行验证，教师巡视，并进行指导 学生操作完后，师：哪个组先来说说你们的做法？ 组1：我用的是量的方法：一个角是90°，另外两个角是35°、55°，三个角加起来正好是180°……组2抢着说：不对呀！我们也是量的，但是我们量的三个角分别是105°、35°、45°，三个角加起来是185°，接近180°组3：我们是先量出两个角的度数，然后用180°减去这两个角的度数就知道了第三个角的度数……生1禁不住抢着说：不对，我们是验证三角形的内角和是不是180°，不是算第三个角是多少度师：等他们说完，行吗？组3：我们算出第三个角的度数后，再量第三个角的度数，看看量的结果和算的结果是不是一样的师面对生1说：这样做你觉得可以吗？生1不好意思地说：这样可以组4：我们用的是拼的方法，把三个角先剪下来，然后拼在一起，三个角组成了一个平角，平角是180°。
生2站起来说：好象有问题，底下的两条边好像不在一条直线上师：为什么有的量出来三个内角和是180°，有的量出来不是180°呢？生3：因为量总是有误差的师：为什么拼的办法，有的认为是拼成平角，有的认为拼成的不是平角呢？生4：因为拼也是有误差的[设计说明]让学生在已有知识经验的基础上，根据猜想提出验证方法，并自由选择一种方法进行验证，通过操作验证发现得出的结论不够准确，从而引出新的问题三 抽象推理，解释问题师：量和拼的方法都有局限，但是同学们的实验方法挺棒！还有没有更好的办法呢？请大家跟着课件中的演示做一做课件出示：师：想一想，每一个直角三角形的内角和是多少？直角三角形中的两个锐角的内角和是多少度？你是怎么想的？学生讨论片刻后，生1：长方形分成两个一样的直角三角形，正好原来的4个直角被平均分成了两份，所以每一个直角三角形的内角和就是4×90÷2=180度两个锐角的度数和是180-90=90度学生边说，教师边板书：因为4个直角=两个完全一样的直角三角形的内角和，所以每个直角三角形的内角和是180度，直角三角形的两个锐角的度数和是90度教师接着出示： 师：锐角三角形和钝角三角形的内角和是多少？你是怎么想的？学生讨论片刻之后，生1：给锐角三角形作一条高，锐角三角形就被分成了两个直角三角形，两个直角三角形的4个锐角就是这个锐角三角形的内角和。
直角三角形的两个锐角是90度，那么这个锐角三角形的内角和就是2个90度，也就是180度教师边听，边板书：锐角三角形的内角和=两个直角三角形的锐角和，所以锐角三角形的内角和是2×90=180度师：谁能说说钝角三角形的内角和是多少？你是怎么想的？生2：给钝角三角形作一条高，钝角三角形就被分成了两个直角三角形，两个直角三角形的4个锐角就是这个钝角三角形的内角和直角三角形的两个锐角是90度，那么这个钝角三角形的内角和就是2个90度，也就是180度教师边听，边板书：钝角三角形的内角和=两个直角三角形的锐角和，所以钝角三角形的内角和是2×90=180度师：现在谁能说说刚才为什么不能画出有两个内角是直角的三角形的原因吗？……[设计说明]在教师的引导下，结合提供的材料，学生利用所学几何知识，推理证明三角形的内角和是180°，使问题的探究更深入，结论更精确问题研讨】传统的教学，常出现学生的发言严密，与课本结论几乎一字不差，虽然结论可以让教师的教学顺利地进行下去，但是学生真的思考了吗？长期下去，学生基本上能够摸出教师教学的套路，先看看书，记下重要的结论，课堂上的表现就会非常“精彩”了！如果我们坚持这样的课堂价值观，学生会逐渐失去主动思考的能力，甚至失去说真话的能力，从何谈创新精神呢？如何真正让学生经历数学的真实思维历程，何老师这节课做了有益的尝试。
一 让学生说自己的话，而不是说正确的话这节课中，通过量、拼的方法，学生真的能够得到三角形的内角和是180度吗？因为误差的原因，量和拼得到三角形的内角和是180度的可能性是存在的，但并非必然课堂上，学生既有量出了三角形的内角和是180度的，也有量出三角形的内角和不是180度的，有拼成了平角的，也有“还有一条缝”的，这些都是学生思考的正常结果，是学生研究的真实写照，是学生求真精神的反映如果学生全都通过量、拼得到三角形的内角和是180度，我们不能不怀疑学生到底是在进行真实的思考，还是在说课本中的结论 “我们是验证三角形的内角和是不是180°，不是算第三个角是多少度”，学生的发言尽管有随意打断了别人发言的缺点，但其对证明的逻辑是清晰的学生这些充满孩子气的发言总是显示出孩子思维真实而精彩的一面二 关注思考的结果，也关注数学思考的历程教学的目标既要关注知识性目标，也要关注过程性目标的达成三角形三个内角和是180度是这节课的知识目标，通过量、拼等活动让学生积累一些探索、实验、推理的数学经验是这节课的过程性目标，这就要求我们不仅要关注学生思考的结果，也要关注学生是怎样思考的在实验前讨论怎样验证、在实验过程中要求学生记录下验证的过程、在反馈中让学生相互评价都是老师关注数学思考历程的教学行为。
实验前，学生对制定的验证方案是信心十足的，认为绝对可以解决这个问题的实验中，学生在实践的过程中发现并非自己所想象的那样，仅靠实验是无法有力验证的，因为量和拼的误差这样的变化源自教师让学生经历了一个真实有效的数学活动在学生需要有一种更好的办法时，教师适时引导学生用数学证明的办法来解释问题在这个过程中，教师没有直接传授，而是给出数学事实，让学生自己去推理，使学生的推理能力得以锻炼从实验过程看，从学生说理的过程看，这节课的过程目标得到了落实教师关注思维历程还反映在教师给出的推理材料教师并没有不顾学生的知识基础，生硬地介绍初中用平行线证明的办法，而是抓住学生的“长方形的四个角都是直角”和“长方形的对角线把这个长方形分成了两个完全一样的直角三角形”的经验，组织学生展开推理教师的这一教学决策，反映出教师把握了发展学生推理能力的过程性目标用什么去证明是次要，关键是证明过程中学生推理能力的发展 。