word第一章 静电场§1.1 静电的根本现象和根本规律思考题：1、 给你两个金属球，装在可以搬动的绝缘支架上，试指出使这两个球带等量异号电荷的方向你可以用丝绸摩擦过的玻璃棒，但不使它和两球接触你所用的方法是否要求两球大小相等？答：先使两球接地使它们不带电，再绝缘后让两球接触，将用丝绸摩擦后带正电的玻璃棒靠近金属球一侧时，由于静电感应，靠近玻璃棒的球感应负电荷，较远的球感应等量的正电荷然后两球分开，再移去玻璃棒，两金属球分别带等量异号电荷本方法不要求两球大小相等因为它们本来不带电，根据电荷守恒定律，由于静电感应而带电时，无论两球大小是否相等，其总电荷仍应为零，故所带电量必定等量异号2、 带电棒吸引枯燥软木屑，木屑接触到棒以后，往往又剧烈地跳离此棒试解释之答：在带电棒的非均匀电场中，木屑中的电偶极子极化出现束缚电荷，故受带电棒吸引但接触棒后往往带上同种电荷而相互排斥3、 用手握铜棒与丝绸摩擦，铜棒不能带电戴上橡皮手套，握着铜棒和丝绸摩擦，铜棒就会带电为什么两种情况有不同结果？答：人体是导体当手直接握铜棒时，摩擦过程中产生的电荷通过人体流入大地，不能保持电荷戴上橡皮手套，铜棒与人手绝缘，电荷不会流走，所以铜棒带电。
计算题：1、 真空中两个点电荷q1=1.0×10-10C，q2=1.0×10-11C，相距100mm，求q1受的力解：2、 真空中两个点电荷q与Q，相距5.0mm,吸引力为40达因q=1.2×10-6C,求Q解：1达因=克·厘米/秒=10-5牛顿3、 为了得到一库仑电量大小的概念，试计算两个都是一库仑的点电荷在真空中相距一米时的相互作用力和相距一千米时的相互作用力解：4、 氢原子由一个质子〔即氢原子核〕和一个电子组成根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动，轨道半径是r=5.29×10-11m质子质量M=1.67×10-27kg，电子质量m=9.11×10-31kg电荷分别为e=±1.6×10-19 C,万有引力常数G=6.67×10-11N·m2/kg2〔1〕求电子所受的库仑力；〔2〕库仑力是万有引力的多少倍？〔3〕求电子的速度解：5、 卢瑟福实验证明：当两个原子核之间的距离小到10-15米时，它们之间的排斥力仍遵守库仑定律金的原子核中有79个质子，氦的原子核〔即α粒子〕中有2个质子每个质子带电e=1.6×10-19 C，α粒子的质量为6.68×10-27 kg.当α粒子与金核相距为6.9×10-15m时〔设这时它们仍都可当作点电荷〕。
求〔1〕α粒子所受的力；〔2〕α粒子的加速度解：6、 铁原子核里两质子间相距4.0×10-15m,每个质子带电e=1.6×10-19 C〔1〕求它们之间的库仑力；〔2〕比拟这力与所受重力的大小解：7、 两个点电荷带电2q 和q，相距l，第三个点电荷放在何处所受的合力为零？解：设所放的点电荷电量为Q假设Q与q同号，如此三者互相排斥，不可能达到平衡；故Q只能与q异号当Q在2q和q联线之外的任何地方，也不可能达到平衡由此可知，只有Q与q异号，且处于两点荷之间的联线上，才有可能达到平衡设Q到q的距离为x.q Q 2qxaq8、 三个一样的点电荷放置在等边三角形的各顶点上在此三角形的中心应放置怎样的电荷，才能使作用在每一点电荷上的合力为零？解：设所放电荷为Q，Q应与顶点上电荷q异号中心Q所受合力总是为零，只需考虑q受力平衡平衡与三角形边长无关，是不稳定平衡q rQ Ql/2 O l/2 9、 电量都是Q的两个点电荷相距为l，联线中点为O；有另一点电荷q，在联线的中垂面上距O为r处〔1〕求q所受的力；〔2〕假设q开始时是静止的，然后让它自己运动，它将如何运动？分别就q与Q同号和异号两种情况加以讨论。
解：(1) (2)q与Q同号时，F背离O点，q将沿两Q的中垂线加速地趋向无穷远处q与Q异号时，F指向O点，q将以O为中心作周期性振动，振幅为r .<讨论>：设q 是质量为m的粒子，粒子的加速度为 因此，在r<0),实际测得它受力F假设考虑到电荷量q0不是足够小的，如此F/ q0比P点的场强E大还是小？假设大导体带负电，情况如何？答：q0不是足够小时，会影响大导体球上电荷的分布由于静电感应，大导体球上的正电荷受到排斥而远离P点，而F/q0是导体球上电荷重新分布后测得的P点场强，因此比P点原来的场强小。
假设大导体球带负电，情况相反，负电荷受吸引而靠近P点，P点场强增大3、 两个点电荷相距一定距离，在这两点电荷连线中点处电场强度为零你对这两个点电荷的电荷量和符号可作什么结论？答：两电荷电量相等，符号相反4、 一半径为R的圆环，其上均匀带电，圆环中心的电场强度如何？其轴线上场强方向如何？答：由对称性可知，圆环中心处电场强度为零轴线上场强方向沿轴线当带电为正时，沿轴线向外；当带电为负时，沿轴线向，-----------------------------------------------------------------------------------------------------------计算题：1、 在地球外表上某处电子受到的电场力与它本身的重量相等，求该处的电场强度〔电子质量m=9.1×10-31kg,电荷为-19C〕.解： 2、 电子所带的电荷量〔根本电荷-e〕最先是由密立根通过油滴实验测出的密立根设计的实验装置如下列图一个很小的带电油滴在电场E调节E，使作用在油滴上的电场力与油滴的重量平衡如果油滴的半径为1.64×10-4cm,在平衡时，E=1.92×105N/C。
求油滴上的电荷〔油的密度为3〕qE mg解： 3、 在早期〔1911年〕的一连串实验中，密立根在不同时刻观察单个油滴上呈现的电荷，其测量结果〔绝对值〕如下：6.568×10-19库仑 13.13×10-19库仑 19.71×10-19库仑8.204×10-19库仑 16.48×10-19库仑 22.89×10-19库仑11.50×10-19库仑 18.08×10-19库仑 26.13×10-19库仑根据这些数据，可以推得根本电荷e的数值为多少？解：油滴所带电荷为根本电荷的整数倍如此各实验数据可表示为kie取各项之差点儿4、 根据经典理论，在正常状态下，氢原子中电子绕核作圆周运动，其轨道半径为5.29×10-11米质子电荷为e=1.60×10-19库,求电子所在处原子核〔即质子〕的电场强度解： q1 q2EEE1E1E2E2θθ5、 两个点电荷，q1=+8微库仑，q2=-16微库仑〔1微库仑=10-6库仑〕，相距20厘米求离它们都是20厘米处的电场强度解： 与两电荷相距20cm的点在一个圆周上，各点E大小相等，方向在圆锥在上。
θ-r+r-rOPErEθE-E+θ1θ26、 如下列图，一电偶极子的电偶极矩P=ql.P点到偶极子中心O的距离为r ,r与l的夹角为在r>>l时，求P点的电场强度E在r=OP方向的分量Er和垂直于r方向上的分量Eθ解：其中——7、 把电偶极矩P= ql的电偶极子放在点电荷Q的电场，P的中心O到Q的距离为r(r>>l),分别求：〔1〕P//QO和〔2〕P⊥QO时偶极子所受的力F和力矩LQ rPO解：〔1〕 F的作用线过轴心O，力矩为零Q rPO 〔2〕+q –2q +qPr8、 附图中所示是一种电四极子，它由两个一样的电偶极子P=ql组成，这两偶极子在一直线上，但方向相反，它们的负电荷重合在一起证明：在它们的延长线上离中心为r 处，解： 9、附图中所示为另一种电四极子，设q 和l都，图中P点到电四极子中心O的距离为 x.PO与正方形的一对边平行求P点的电场强度E当x>>l时，E=？+q -q-q +qO r P解：10、均匀带电细棒〔1〕在通过自身端点的垂直面上和〔2〕在自身的延长线上的场强分布，设棒长为2l，带电总量为q .解：〔1〕一端的垂直面上任一点A处zr-l +l0l-zAr〔2〕延长线上任一点B处11、 两条平行的无限长直均匀带电线，相距为a ,电荷线密度分别为±ηe,〔1〕求这两线构成的平面上任一点〔设这点到其中一线的垂直距离为x〕的场强；〔2〕求两线单位长度间的相互吸引力。
解：〔1〕根据场强叠加原理，任一点场强为两无限长直带电线产生场强的矢量和+ηe,-ηe,apX0〔2〕12、 如下列图，一半径为R的均匀带电圆环，电荷总量为q〔1〕求轴线上离环中心O为x处的场强E；〔2〕画出E—x 曲线；〔3〕轴线上什么地方场强最大？其值是多少？解：〔1〕由对称性可知，所求场强E的方向平行于圆环的轴线0 R/√2 R xEORPx〔2〕由场强表达式得到E-X曲线如下列图〔3〕求极大值：13、 半径为R的圆面上均匀带电，电荷面密度为σe，〔1〕求轴线上离圆心的坐标为x处的场强；〔2〕在保持σe不变的情况下，当R→0和R→∞时结果各如何？〔3〕在保持总电荷Q=πR2σe不变的情况下，当R→0和R→∞时结果各如何？解：〔1〕由对称性可知，场强E沿轴线方向利用上题结果ORPxr〔2〕保持σe不变时，〔3〕保持总电量不变时，14、 一均匀带电的正方形细框，边长为l，总电量为q ,求这正方形轴线上离中心为x处的场强解：根据对称性，所求场强沿正方形的轴线方向 对于一段长为l的均匀带电直线，在中垂面上离中点为a处产生的电场强度为rOPlllla 形四边在考察点产生的场强为15、 证明带电粒子在均匀外电场中运动时，它的轨迹一般是抛物线。
这抛物线在什么情况下退化为直线？解：〔1〕设带电粒子的初速度方向与电场方向夹角为θ，其运动方程为〔2〕当E为均匀电场且粒子的初速度为零时，或初速度平行于电场方向时，初速度没有垂直于场强方向的分量，抛物线退化为直线16、 如下列图，示波管偏转电极的长度l=1.5cm,两极间电场是均匀的，E=1.2×104V/m(E方向垂直于管轴)，一个电子以初速度v0=2.6×107m/s沿管轴注入电子质量m=9.1×10-31kg, 电荷为e=-1.6×10-19.C.（1） 求电子经过电极后所发生的偏转；（2） 假设可以认为一出偏转电极的区域后，电场立即为零设偏转电极的边缘到荧光屏的距离D=10厘米，求电子打在荧光屏上产生的光点偏离中心O的距离lDyy′电子V0偏转电极荧光屏PO解：〔1〕电子的运动方程得(2 ) ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------§1.3 高斯定理思考题：1、 一般地说，电力线代表点电荷在电场中运动的轨迹吗？为什么？答：一般情况下，电力线不代表点电荷在电场中运动的轨迹。
因为电力线一般是曲线，假设电荷沿电力线作曲线运动，应有法向力存在；但电力线上各点场强只沿切线方向，运动电荷必定偏离弯曲的电力线仅当电力线是直线，且不考虑重力影响时，初速度为零的点电荷才能沿着电力线运动假设考虑重力影响时，静止的点电荷只能沿竖直方向电力线运动2、 空间里的电力线为什么不相交？答：电力线上任一点的切线方向即为该点场强方向如果空间某点有几条电力线相交，过交点对每条电力线都可作一条切线，如此交点处的场强方向不唯一，这与电场中任一点场强有确定方向相矛盾3、 一个点电荷q放在球形高斯面的中心处，试问在如下情况下，穿过这高斯面的电通量是否改变？（1） 如果第二个点电荷放在高斯球面外附近；（2） 如果第二个点电荷放在高斯球面；（3） 如果将原来的点电荷移离了高斯球面的球心，但仍在高斯球面答：由于穿过高斯面的电通量仅与其电量的代数和有关，与面电荷的分布与面外电荷无关，所以〔1〕；〔2〕；〔3〕4、〔1〕如果上题中高斯球面被一个体积减小一半的立方体外表所代替，而点电荷在立方体的中心，如此穿过该高斯面的电通量如何变化？〔2〕通过这立方体六个外表之一的电通量是多少？答：〔1〕立方形高斯面电荷不变，因此电通量不变； 〔2〕通过立方体六个外表之一的电通量为总通量的1/6。
即+q A 导体球 BS5、 附图所示，在一个绝缘不带电的导体球的周围作一同心高斯面S试定性地回答，在将一正点荷q移至导体外表的过程中，（1） A点的场强大小和方向怎样变化？（2） B点的场强大小和方向怎样变化？（3） 通过S面的电通量如何变化？答：由于电荷q的作用，导体上靠近A点的球面感应电荷-q′，远离A点的球面感应等量的+q′,其分布与过电荷q所在点和球心O的联线成轴对称，故±q′在A、B两点的场强E′沿AOB方向1） E=E0+E′，q移到A点前，E0和E′同向，随着q的移近不断增大，总场强EA也不断增大q移过A点后，E0反向，且E0> E′，EA方向与前相反随着q的远离A点，E0不断减小，±q′和E′增大，但因E′始终小于E0，所以EA不断减小2） 由于q与±q′在B点的场强始终同向，且随着q移近导体球，二者都增大，所以EB不断增大3） q在S面外时，面电荷代数和为零，故Φ=0；q在S面时，Φ=q/ε0；当q在S面上时，它已不能视为点电荷，因高斯面是无厚度的几何面，而实际电荷总有一定大小，此时Φ=△q/ε0，△q为带电体处于S面的那局部电量6、 有一个球形的橡皮气球，电荷均匀分布在外表上，在此气球被吹大的过程中，如下各处的场强怎样变化？（1） 始终在气球部的点；〔2〕始终在气球外部的点；〔3〕被气球外表掠过的点。
答：气球在膨胀过程中，电荷始终均匀分布在球面上，即电荷成球对称分布，故场强分布也呈球对称由高斯定理可知：始终在气球部的点，E=0，且不发生变化；始终在气球外的点，场强相当于点电荷的场强，也不发生变化；被气球外表掠过的点，当它们位于面外时，相当于点电荷的场强；当位于面时，E=0，所以场强发生跃变7、 求均匀带正电的无限大平面薄板的场强时，高斯面为什么取成两底面与带电面平行且对称的柱体的形状？具体地说，（1） 为什么柱体的两底面要对于带电面对称？不对称行不行？（2） 柱体底面是否需要是圆的？面积取多大适宜？（3） 为了求距带电平面为x处的场强，柱面应取多长？答：〔1〕对称性分析可知，两侧距带电面等远的点，场强大小相等，方向与带电面垂直只有当高斯面的两底面对带电面对称时，才有E1=E2=E，从而求得E如果两底在不对称，由于不知E1和E2的关系，不能求出场强假设已先证明场强处处相等，就不必要求两底面对称2） 底面积在运算中被消去，所以不一定要求柱体底面是圆，面积大小也任意3） 求距带电面x处的场强时，柱面的每一底应距带电面为x，柱体长为2x同样，假设已先证明场强处处相等，如此柱面的长度可任取17、 求一对带等量异号或等量同号电荷的无限大平行平面板之间的场强时，能否只取一个高斯面？答：如果先用高斯定理求出单个无限大均匀带电平面的场强，再利用叠加原理，可以得到两个无限大均匀带电平面间的场强。
在这样的计算过程中，只取了一个高斯面18、 一高斯面上场强处处为零，在它所包围的空间任一点都没有电荷吗？答：不一定高斯面上E=0，S电荷的代数和为零，有两种可能：一是面无电荷，如高斯面取在带电导体部；二是面有电荷，只是正负电荷的电量相等，如导体空腔有电荷q时，将高斯面取在导体中，S包围导体外表的情况19、 要是库仑定律中的指数不恰好是2〔譬如为3〕，高斯定理是否还成立？答：不成立设库仑定律中指数为2+δ， 穿过以q为中心的球面上的电通量为 ，此时通量不仅与面电荷有关，还与球面半径有关，高斯定理不再成立――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题：１、 设一半径为５厘米的圆形平面，放在场强为３００Ｎ／Ｃ的匀强电场中，试计算平面法线与场强的夹角θ取如下数值时通过此平面的电通量〔１〕θ＝００；〔２〕θ＝３００；〔３〕θ＝９００；〔４〕θ＝１２００；〔５〕θ＝１８００解： ２、 均匀电场与半径为a的半球面的轴线平行，试用面积分计算通过此半球面的电通量解：通过半球面的电通量与通过半球面在垂直于场强方向上的投影面积的电通量相等３、 如附图所示，在半径为Ｒ１和Ｒ２的两个同心球面上，分别均匀地分布着电荷Ｑ１和Ｑ２，求：OQ1Q2R1R2〔１〕Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域的场强分布；〔２〕假设Ｑ１＝－Ｑ２，情况如何？画出此情形的Ｅ－r曲线。
解：〔１〕应用高斯定理可求得三个区域的场强为E－r曲线ＥrR1R2(r R2)( 2 ) 假设Ｑ１＝－Ｑ２，E1=E3=0, E－r曲线如下列图４、 根据量子理论，氢原子中心是一个带正电子qe的原子核〔可以看成是点电荷〕，外面是带负电的电子云在正常状态〔核外电子处在Ｓ态〕下，电子云的电荷密度分布是球对称的：式中a0为一常数〔它相当于经典原子模型中s电子圆形轨道的半径，称为玻尔半径〕求原子电场的分布 解：电子云是球对称分布，核外电子的总电荷量为 可见核外电荷的总电荷量等于电子的电荷量 应用高斯定理：核外电荷产生的场强为 原子核与核外电荷产生的总场强为５、 实验明确：在靠近地面处有相当强的电场，Ｅ垂直于地面向下，大小约为１００Ｎ／Ｃ；在离地面千米高的地方，Ｅ也是垂直地面向下的，大小约为２５Ｎ／Ｃ１） 试计算从地面到此高度大气中电荷的平均密度；（２） 如果地球上的电荷全部均匀分布在外表，求地面上电荷的面密度解：〔１〕以地心为心作球形高斯面，恰好包住地面，由对称性和高斯定理得（２） 以地球外表作高斯面６、 半径为Ｒ的无穷长直圆筒面上均匀带电，沿轴线单位长度的电量为λ.求场强分布，并画出E－r曲线。
ＥrR解：应用高斯定理，求得场强分布为 Ｅ＝０ rRE－r曲线如下列图７、 一对无限长的共轴直圆筒，半径分别为Ｒ１和Ｒ２，筒面上匀带电沿轴线单位长度的电量分别为λ１和λ２，（１） 求各区域的场强分布；（２） 假设λ１＝－λ２，情况如何？画出此情形的E－r曲线解：〔１〕由高斯定理，求得场强分布为ＥrR1R2 r R2 〔２〕假设λ１＝－λ２，Ｅ１＝Ｅ３＝０，Ｅ２不变此情形的E－r曲线如下列图８、 半径为Ｒ的无限长直圆柱体均匀带电，电荷的体密度为ρ，求场强分布，并画出Ｅ—r曲线解：应用高斯定理，求得场强分布为ＥrR圆柱体 圆柱体外 E－r曲线如下列图９、 设气体放电形成的等离子体圆柱的体电荷分布可用下式表示 ，式中r是到轴线的距离，ρ０是轴线上的密度值，a是常数，求场强的分布解：应用高斯定理，作同轴圆柱形闭合柱面为高斯面Ｅ方向沿矢径r方向１０、 两无限大的平行平面均匀带电，电荷的面密度分别为±σ，求各区域的场强分布解：无限大均匀带电平面所产生的电场强度为σ－σnE1E2E3根据场强的叠加原理，各区域场强分别为可见两面外电场强度为零，两面间电场是均匀电场。
平行板电容器充电后，略去边缘效应，其电场就是这样的分布１１、 两无限大的平行平面均匀带电，电荷的面密度都是σ，求各区域的场强分布解：与上题同理，无限大均匀带电平面所产生的电场强度为应用场强叠加原理，场强在各区域的分布为σσnE1E2E3可见两面间电场强度为零，两面外是均匀电场，电场强度大小相等，方向相反１２、 三个无限大的平行平面均匀带电，电荷的面密度分别为σ１、σ２、σ３，求如下情况各处的场强：〔１〕σ１＝σ２＝σ３＝σ；〔２〕σ１＝σ３＝σ；σ２＝－σ；〔３〕σ１＝σ３＝－σ；σ２＝σ；〔４〕σ１＝σ；σ２＝σ３＝－σ解：无限大均匀带电平面所产生的电场强度为σ１σ２σ３Ｅ１Ｅ２Ｅ３Ｅ４各区域场强为各带电面产生场强的叠加Ｅ１Ｅ２Ｅ３Ｅ４〔１〕〔２〕〔３〕〔４〕１３、 一厚度为d的无限大平板，平板体均匀带电，电荷的体密度为ρ，求板、板外场强的分布解：根据对称性，板外的电场强度方向均垂直于板面，并对中心对称应用高斯定理可求得：板〔rd/2〕+++++- - -- - -- - -- - -- - -Ox-xnxpn区 p区１４、 在半导体p-n结附近总是堆积着正、负电荷，在n区有正电荷，P区有负电荷，两区电荷的代数和为零。
把p-n结看成是一对带正、负电荷的无限大平板，它们相互接触取坐标x的原点在p、n区的交界面上，n区的围是-xn≤x≤0,p区的围是０≤x≤xP.设两区电荷体密度分布都是均匀的：n区 ， P区 (突变结模型)这里ＮＤ、ＮＡ是常数，且ＮＡxp=NDxn(两区电荷数量相等)试证明电场的分布为：n区 ，P区 并画出ρ和Ｅ随x变化的曲线解：将带电层看成无数无限大均匀带电平面的叠加， 由叠加原理可知，在p-n结以外区域，E=0（１） 对高斯面S1，应用高斯定理+++++- - -- - -- - -- - -- - -Ox-xnxpn区 p区S1S2 〔 2 〕对高斯面S2，应用高斯定理-xn 0 xp xE 〔 3 〕ρ和Ｅ随x变化的曲线如下列图xn 0 xp xρ-１５、 如果在上题中电荷的体分布为p-n结外 ρ〔x〕=0-xn≤x≤xp ρ〔x〕=-eax (线性缓变结模型)这里a 是常数，xn= xp〔为什么？〕，统一用xm/2 表示试证明电场分布为并画出ρ和Ｅ随x变化的曲线解：正负电荷代数和仍为零，p-n结外E=0 作高斯面-xn 0 xp xEρ和Ｅ随x变化的曲线如下列图。
xn 0 xp xρ----------------------------------------------------------------------§1.4 电位与其梯度思考题：１、 假设电场力的功与路径有关，定义电位差的公式还有没有意义？从原如此上说，这时还能不能引入电位差、电位的概念？答：如果电场力的功与路径有关，积分在未指明积分路径以前就没有意义，路径不同，积分结果也不同，一样的位置，可以有无限多取值，所以就没有确定的意义，即不能根据它引入电位、电位差的概念来描写电场的性质PQ图a２、 〔1〕在附图a所示的情形里，把一个正电荷从P点移动到Q，电场力的功APQ是正还量负？它的电位能是增加还是减少？P、Q两点的电位哪里高？〔2〕假设移动负电荷，情况怎样？〔3〕假设电力线的方向如附图b所示，情况怎样？答：(1)正电荷在电场中任一点受电场力F= qE，方向与该点E方向一样，在ＰＱ路径上取任一微元， dA>0PQ图bP→Q，电场力的功APQ>0，APQ=q(UP-UQ)=Wp-WQ>0,所以电位能减少，q>o ,A>0,所以ＵＰ>UQ〔２〕负电荷受力与电场方向相反，P→Q，电场力的功APQ<0，电位能增加，但仍有ＵＰ>UQ 〔３〕由于场强方向与前述相反，如此所有结论与〔１〕〔２〕相反。
３、 电场中两点电位的上下是否与试探电荷的正负有关？电位差的数值是否与试探电荷的电量有关？答：电位上下是电场本身的性质，与试探电荷无关电位差的数值也与试探电荷的电量无关４、 沿着电力线移动负试探电荷时，它的电位能是增加还是减少？答：沿着电力线移动负试探电荷时，假设dl与Ｅ同向，电场力作负功，电位能增加；反之电位能减少５、 说明电场中各处的电位永远逆着电力线方向升高答：在任何情况下，电力线的方向总是正电荷所受电场力的方向，将单位正电荷逆着电力线方向由一点移动到另一点时，必须外力克制电场力作功，电位能增加电场中某点的电位，在数值上等于单位正电荷在该点所具有的电位能，因此，电位永远逆着电力线方向升高６、 〔1〕将初速度为零的电子放在电场中时，在电场力作用下，这电子是向电场中高电位处跑还是向低电位处跑？为什么？〔2〕说明无论对正负电荷来说，仅在电场力作用下移动时，电荷总是从电位能高处移向电位能低处答：〔１〕电子带负电，被电场加速，逆着电力线方向运动，而电场中各点的电位永远逆着电力线方向升高——电子向高电位处移动〔２〕假设电子初速度为零，无论正负电荷，单在电场力作用下移动，电场力方向与位移方向总是一致的，电场力作正功，电位能减少，所以电荷总是从电位能高处向电位能低处移动。
７、 可否规定地球的电位为+100伏，而不规定它为零？这样规定后，对测量电位、电位差的数值有什么影响？答：可以因为电位零点的选择是任意的，假设选取地球的电位是100V而不是0V，测量的电位等于以地为零电位的数值加上100V，而对电位差无影响８、 假设甲、乙两导体都带负电，但甲导体比乙导体电位高，当用细导线把二者连接起来后，试分析电荷流动的情况答：在电场力作用下，电荷总是从电位能高处向电位能低处移动负电荷由乙流向甲，直至电位相等９、 在技术工作中有时把整机机壳作为电位零点假设机壳未接地，能不能说因为机壳电位为零，人站在地上就可以任意接触机壳？假设机壳接地如此如何？答：把整机机壳作为零电位是对机上其他各点电位而言，并非是对地而言假设机壳未接地，它与地之间可能有一定的电位差，而人站在地上，与地等电位，这时人与机壳接触，就有一定电位差加在人体上当电压较高时，可能造成危险，所以一般机壳都要接地，这样人与机壳等电位，人站在地上可以接触机壳１０、 〔1〕场强大的地方，是否电位就高？电位高的地方是否场强大？（２） 带正电的物体的电位是否一定是正的？电位等于零的物体是否一定不带电？（３） 场强为零的地方，电位是否一定为零？电位为零的地方，场强是否一定为零？（４） 场强大小相等的地方电位是否相等？等位面上场强的大小是否相等？以上各问题分别举例说明之。
答：（１） 不一定E仅与电势的变化率有关，场强大仅说明U的变化率大，但U本身并不一定很大例如平行板电容器，B板附近的电场可以很强，但电位可以很低同样电位高的地方，场强不一定大，因为电位高不一定电位的变化率大如平行板电容器A板的电位远高于B板电位，但A板附近场强并不比B板附近场强大２） 当选取无限远处电位为零或地球电位为零后，孤立的带正电的物体电位恒为正，带负电的物体电位恒为负但电位的正负与零电位的选取有关假设有两个电位不同的带正电的物体，将相对于无限远电位高者取作零电位，如此另一带电体就为负电位，由引可说明电位为零的物体不一定不带电３） 不一定场强为零仅说明U的变化率为零，但U本身并不一定为零例如两等量同号电荷的连线中点处，E=0而U≠0U为零时，U的变化率不一定为零，因此E也不一定为零例如两等量异号电荷的连线中点处，U=0而E≠0（４） 场强相等的地方电位不一定相等例如平行板电容器部，E是均匀的，但U并不相等等位面上场强大小不一定相等如带电导体外表是等位面，而外表附近的场强与面电荷密度与外表曲率有关１１、 两个不同电位的等位面是否可以相交？同一等位面是否可以与自身相交？答：在零电位选定之后，每一等位面上电位有一确定值，不同等位面U值不同，故不能相交。
同一等位面可与自身相交如带电导体部场强为零，电位为一常量，在导体任意作两个平面或曲面让它们相交，由于其上各点的电位都一样，等于导体的电位，这种情况就属于同一等位面自身相交习题：１、 在夏季雷雨中，通常一次闪电里两点间的电位差约为100MV〔十亿伏特〕，通过的电量约为30C问一次闪电消耗的能量是多少？如果用这些能量来烧水，能把多少水从00C加热到1000C？解： 一次闪电消耗的能量为 W=QU=30×109=3×1010〔J〕 所求的水的质量为M=W/J=72〔t〕２、 空气的击穿场强为2×106V/m,测得某次闪电的火花长100米，求发生这次闪电时两端的电位差解：U=2×106×100=2×108〔V〕３、 证明：在真空静电场中但凡电力线都是平行直线的地方，电场强度的大小必定处处相等；或者但凡电场强度的方向处处一样的地方，电场强度的大小必定处处相等dc证明：在电场中作任意矩形闭合回路 abcd，ba移动电荷q一周，电场力作功为４、 求与点电荷q=1.0×10-6C分别相距为和的两点间的电位差解：５、 一点电荷q在离它10厘米处产生的电位为100V，求q 解：６、 求一对等量同号电荷联线中点的场强和电位，设电荷都是q ,两者之间距离为2l.解：７、 求一对等量异号电荷联线中点的场强和电位，设电荷分别是±q ,两者之间距离为2l.解：８、 如下列图，AB=2l,OCD是以B为中心，l为半径的半圆，A点有正点电荷+q，B点有负点电荷-q。
１） 把单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电场力对它作了多少功？（２） 把单位负电荷从D点沿AB的延长线移到无穷远去，电场力对它作了多少功？解：电荷在电场中移动时，电场力作功等于电势能减少的值Cq-qA O B D〔1〕〔2〕９、 两个点电荷的电量都是q，相距为l，求中垂面上到两者联线中点为x处的电位Px解：根据电势的叠加原理１０、 有两个异号点电荷me 和-e(n>1),相距为a ,（１） 证明电位为零的等位面是一个球面；（２） 证明球心在这两个点电荷的延长线上，且在-e点电荷的外边；（３） 这球的半径是多少？解：以-e为原点O，两电荷的联线为x轴，取坐标系如下列图根据电势叠加原理，空间任一点的电势为xyz-enea１１、 求电偶极子p=ql电位的直角坐标表达式，并用梯度求出场强的直角分量表达式xyzOpP(x,y,z)解：〔1〕取坐标系如下列图，根据电势叠加原理当r>>l时，〔2〕由电势梯度求得场强为+q –2q +qPr１２、 证明如下列图电四极子在它的轴线延长线上的电位为，并由梯度求场强解：取坐标系如下列图，根据电势的叠加原理１３、 一电四极子如下列图，证明：当r>>l时，它在P〔r,θ〕点产生的电位为+q -q-q +qO 极轴llllrP(r, θ)θ图中的极轴通过正方形中心O点，且与一边平行。
解：〔1〕根据电势叠加原理 当r>>l时，〔2〕由电势梯度求场强 此题也可以将平面电四极子当作两个电偶极子，由电偶极子产生的电势叠加求U与E１４、 求均匀带电圆环轴线上电位的分布，并画U—x 曲线ORPx解：〔1〕P点的电势与场强为〔2〕由电势表达式得Q/4πε0RR/√2 R 2R拐点Ux因此得U-x曲线为１５、 求均匀带电圆面轴线上的电位分布，并画U—x 曲线解：〔1〕利用上题结果，求得电位与场强分布为 〔2〕由电势表达式得q/2πε0RUxU—X曲线如下列图１６、 求两个均匀带电的同心球面在三个区域的电位分布，并画U—r 曲线R2Q1Q2R1O解：〔1〕均匀带电球面产生的电场中电位的分布为 由电势叠加原理可知：UrR1R2 〔2〕U-r曲线如下列图１７、 在上题中，保持球上电量Q1不变，当外球电量Q2改变时，试讨论三个区域的电位有何变化？两球面之间的电位差有何变化？解：保持Q1不变，当外球电量Q2变化时，各区域电位随之变化１８、 求均匀带电球体的电位分布并画U—x 曲线OR解：〔1〕由高斯定理可求得场强分布为〔2〕由场强求得电势为RrU 〔3〕U—r曲线如下列图１９、 金原子核可当作均匀带电球，半径约为6.9×10-15米，电荷为Ze=79×1.6×10-19C,求它外表上的电位。
解：２０、 〔1〕一质子〔电荷为e=1.6×10-19C,质量为1.67×10-27kg〕,以1.2×102m/s的初速从很远的地方射向金原子核，求它能达到金原子核的最近距离〔2〕α粒子的电荷为2e，质量为6.7×10-27kg,以1.6×102m/s的初速度从很远的地方射向金原子核，求它能达到金原子核的最近距离解：由能量守恒定律得〔1〕〔2〕 2 1 、在氢原子中，正常状态下电子到质子的距离为5.29×10-11m,氢原子核〔质子〕和电子带电各为±e把氢原子中的电子从正常状态下离核的最近距离拉开到无穷远处所需的能量，叫做氢原子核的电离能求此电离能是多少电子伏和多少焦耳解：设电子的质量为m，速度为v,氢原子基态的能量为 负号是因为，以电子和质子相距无穷远时为电势能的零点，要把基态氢原子的电子和质子分开到相距无穷远处，需要外力做功这功的最小值便等于氢原子的电离能量E E=-W=-一摩尔氢原子的电离能量为 Emol=NAE=8.19eV=1.31×106(J)2 2、 轻原子核〔如氢与其同位素氘、氚的原子核〕结合成为较重原子核的过程，叫做核聚变核聚变过程可以释放出大量能量。
例如，四个氢原子核〔质子〕结合成一个氦原子核〔α粒子〕时，可释放出28MeV的能量这类核聚变就是太阳发光、发热的能量来源如果我们能在地球上实现核聚变，就可以得到非常丰富的能源实现核聚变的困难在于原子核都带正电，互相排斥，在一般情况下不能互相靠近而发生结合只有在温度非常高时，热运动的速度非常大，才能冲破库仑排斥力的壁垒，碰到一起发生结合这叫做热核反响根据统计物理学，绝对温度为T时，粒子的平均平动动能为，k=1.38×10-23J/K.试计算：（１） 一个质子以怎样的动能〔以eV表示〕才能从很远的地方达到与另一个质子接触的距离？（２） 平均热运动动能达到此数值时，温度〔以K表示〕需为多少？解：〔1〕设两个质子迎头相碰，碰撞时两者中心距离为2r (2) 实际上，由于量子力学的隧道效应，使质子不需要那么大的动能就可以穿过静电壁垒而达到互相接触，故发生热核聚变所需的温度可以低一些，据估算，108K即可２３、在绝对温度为T时，微观粒子热运动能量具有KT的数量级有时人们把能量KT折合成电子伏，就说温度T为假设干电子伏问：（１） T=1eV相当于多少开？（２） T=50keV相当于多少开？（３） 室温〔T=300K〕相当于多少 eV?解： 〔1〕 〔2〕 〔3〕 又如：太阳外表温度约为6000K，T= 热核反响时温度高达108K，T=8.6(keV)２４、电量q均匀地分布在长为2l的细直线上，求如下各处的电位U：（１） 中垂面上离带电线段中心O为r处，并利用梯度求Er;（２） 延长线上离中心O为Z处，并利用梯度求EZ；（３） 通过一端的垂面上离该端点为r 处，并利用梯度求Er.解：〔１〕中垂面上离中心为r1处，xyzOll〔２〕延长线上离中心为r2处xyzO ( 3 )端垂面上离该端为r3处，xyzOll２５、如下列图，电量q均匀地分布在长为2l的细直线上，（１） 求空间任一点P〔r,z〕的电位U(0
O解：(１)在图示坐标系中， 〔２〕由电势梯度求场强 〔３〕与上题比拟：r＝r1,z=0时, 得中垂面上任一点的电位与场强 r=0,Z=r2时，得延长线上任一点的电位与场强r＝r3,Z=|l|时，得端面上任一点的电位与场强２６、一无限长直线均匀带电，线电荷密度为η，求离这线分别为r1和r±两点的两点之间的电位差 解：２７、如附图所示，两条均匀带电的无限长平行直线〔与图纸垂直〕，电荷的线密度分别为±η，相距为2a求空间任一点P〔x,y〕的电位xOP(x,y)-ηya a+η解：取Ｏ点为电势零点时，空间任一点的电势为两无限长带电线电势的叠加假设以无穷远处为电势零点，一条无限长带电线所产生的电势是无穷大，但两条无限长带等量异号电荷的直线产生的电势是有限值，因为单位长度的电荷量大小相等而符号相反，结果电势在相加时，消去无穷大，而成为有限值xyzP(x,y,z)a O aη-η２８、证明在上题中电位为U的等位面是半径为的圆筒面，筒的轴线与两直线共面，位置在处，其中Ｕ＝０的等位面是什么形状？解：P点的电势为 由于对称性，U与z无关 为方便，令，在三维空间，这是一个圆柱同，轴线在z-x平面并与Z轴平行，位置在处，其半径为。
U=0的等位面为X=0的Y-Z平面２９、求两无限长共轴圆筒间的电势分布和两筒间的电位差〔设〕，并画出Ｕ—r曲线解：根据高斯定理可求得两筒间的电场强度为UrO R1 R2３０、求无限长直圆柱体的电位分布〔以轴线为参考点，设它电位为零〕解：由高斯定理可求得圆柱体的场强分布为３１、求电荷密度为的无限长等离子体柱的电势分布〔以轴线为参考点，设它的电位为零〕解：由高斯定理可求得场强分布为以轴线为电势零点，其电位分布为３２、一电子二极管由半径的圆柱形阴极Ｋ和套在阴极外同轴圆筒形的阳极Ａ构成，阳极半径Ｒ＝阳极电位比阴极电位高３００Ｖ设电子从阴极发射出来时速度很小，可忽略不计求：（１） 电子从Ｋ向Ａ走过时的速度；（２） 电子到达Ａ时的速度解：设离阴极K的轴线为r 处的电势为U，如此O+σ-σxd３３、如下列图，一对均匀、等量异号的平行带电平面假设其间距离d远小于带电平面的线度时，这对带电面可看成是无限大的这样的模型可叫做电偶极层求场强和电位沿垂直两平面的方向x 的分布，并画出Ｅ—x曲线和Ｕ—x曲线〔取离两平面等距的Ｏ点为参考点，令该处的电位为零〕 解：由高斯定理可求得电偶极层部 电偶极层外部 以O点为电势的参考点UＲx-d/2 O d/2ＥＲx-d/2 O d/2Ｅ－x曲线为 Ｕ－x曲线为３４、证明半导体突变型p-n结的电位分布为 n区 , p区 这公式是以哪里作为电位参考点的？p-n结两侧的电位差是多少？解：n区 p区 以交界面处为电势的零点。
P-n结两侧的电势差为３５、证明半导体线性缓变p-n结的电位分布为 这公式是以哪里作为电位参考点的？p-n结两侧的电位差是多少？解：〔１〕此电位是以Ｏ点为参考点的 〔２〕p-n结两侧的电位差为 ++++++++++------------lDyy′电子V0偏转电极荧光屏PO３６、在示波管中，假设的不是偏转电极间的场强Ｅ，而是两极板间的距离和电压１２０伏，其余尺寸一样求偏转距离y和y′.解：示波器部 〔与§２习题１６结果一样〕３７、电视显象管的第二和第三阳极是两个直径一样的同轴金属圆筒两电极间的电场即为显象管中的主聚焦电场图中所示为主聚焦电场中的等位面，数字表示电位值试用直尺量出管轴上各等位面间的距离，并求出相应的电场强度中心轴U1=0VU2=+1V解：用直尺量出管轴上各等位面间的距离 根据 可求出各等位间的电场强度—— 场强分布是非均匀电场，但具有对称性从左至右各等位面间的场强分布为 〔单位：伏／米〕4.44 50 66 50 ３８、带电粒子经过加速电压加速后，速度增大电子的质量为,电荷绝对值为（１） 设电子质量与速度无关，把静止电子加速到光速c=3×108m/s要多高的电压？（２） 对于高速运动的物体来说，上面的算法不对，因为根据相对论，物体的动能不是，而是。
按照这公式，静止电子经过上述电压加速后，速度v是多少？它是光速c的百分之几？（３） 按照相对论，要把电子从静止加速到光速，需要多高的电压？这可能吗？解：〔１〕根据能量守恒定律〔２〕对于高速运动的物体，根据能量守恒定律〔３〕根据 所需电压为 因此，根据狭义相对论，不可能把带电粒子加速到光速―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――§ 带电体系的静电能思考题：１、 为什么在点电荷组相互作用能的公式中有因子１／２，而点电荷在外电场中的电位能公式Ｗ(P)＝qU(P)中没有这个因子？答：在计算点电荷组的相互作用能时，每一对点电荷之间的相互作用能计算了两两次，所以求和公式中有因子１／２点电荷在外电场中的电位能公式没有重复计算２、 在电偶极子的位能公式Ｗ＝－Ｐ·Ｅ中是否包括偶极子的正、负电荷间的相互作用能？答：公式中的电场是外电场，因此此位能不包括偶极子正负电荷之间的相互作用能――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题：lq１、 计算三个放在等边三角形三个顶点的点电荷的相互作用能设三角形的边长为l，顶点上的点电荷都是q。
解：根据点电荷组的相互作用能公式lq２、 计算上题三角形中心的电荷q′=处在其余顶点上三个电荷产生的外电场中的电位能解：３、 求均匀带电球体的电位能，设球的半径为Ｒ，带电总量为q解： 根据静电能量公式 ４、 利用虚功概念计算电偶极子放在点电荷Ｑ的电场中时，偶极子所受的力和力矩解：〔１〕P//QO时Q rPOQ rPO〔２〕Ｐ⊥QO时Q rPOθ当r与Ｐ成夹角θ时，５、 利用虚功概念证明：均匀带电球壳在单位面积上受到的静电排斥力为σ２／２ε０解：均匀带电球壳的自能为第一章 结 束38 / 38。