二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分二次函数基础知识◊相关概念及定义A二次函数的概念：一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a丰0)的函数，叫做二次函数这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a乂0，而b,c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．A二次函数y=ax2+bx+c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2.⑵a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项.◊ 二次函数各种形式之间的变换> 二次函数y=ax2+bx+c用配方法可化成：y=a(x—hI+k的形式，其中ib74ac—b2h=—，k=2a4a> 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y=ax2；②y=ax2+k；③y=a(x—h)2:④y=a(x—h》+k；@y=ax2+bx+c.◊ 二次函数解析式的表示方法A—般式：y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a丰0)；A顶点式：y=a(x—h)2+k(a，h，k为常数，a丰0)；A两根式：y=a(x—x)(x—x)(a丰0，x，x是抛物线与x轴两交点的横坐标).A注意：任何二次函数1的解析2式都可以化成1一般2式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2—4ac>0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.A二次函数y=ax2的性质a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(0,0)y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0.a<0向下(0，0)y轴x>0时，y随x的增大增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0.◊二次函数y=ax2+c的性质a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质性质a>0向上(0,c)y轴x>0时，y随x的增大而增大；x<0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值c.a<0向下(0，c)y轴x>0时，y随x的增大而减小；x<0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值c.◊二次函数y=a(x-h)2的性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a>0向上(h,0)X=hx>h时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；x0向上(h,k)X=hx>h时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；x a的符号决定抛物线的开口方向：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下;a|相等，抛物线的开口大小、形状相同.b> 对称轴:平行于y轴（或重合）的直线记作x=-.特别地，y轴记作直线x=0.2ab4ac-b2A顶点坐标坐标：（——，2a4a> 顶点决定抛物线的位置•几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.◊抛物线y二ax2+bx+c中，a,b,c与函数图像的关系> 二次项系数a二次函数y=ax2+bx+c中，a作为二次项系数，显然a丰0.⑴当a>0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当a<0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大.总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，|a|的大小决定开口的大小.> 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴.⑴在a>0的前提下，b当b>0时，-2<0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；2a当b=0时，上=0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b<0时，-2a〉°，即抛物线对称轴在y轴的右侧.⑵在a<0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b>0时，-—>0，2a即抛物线的对称轴在y轴右侧;当b=0时，-—=0，2a即抛物线的对称轴就是y轴；当b<0时，-—<0，2a即抛物线对称轴在y轴的左侧.总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置.总结：>常数项c⑴当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;⑵当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负.总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置.总之，只要a,b,c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.24ac-b2+4a◊求抛物线的顶点、对称轴的方法>公式法y=ax2+bx+c=x+?]I2a丿b4ac-b2b(—^~，),对称轴是直线x=—^—.2a4a2a> 配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y二a(x—h》+k的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x二h.> 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.◊用待定系数法求二次函数的解析式> 一般式：y二ax2+bx+c•已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.> 顶点式：y二a(x-h》+k•已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式> 交点式：已知图像与x轴的交点坐标xi、x2，通常选用交点式：y=a(x-x)(—x).12◊直线与抛物线的交点> y轴与抛物线y=ax2+bx+c得交点为(0,c).> 与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个交点(h,ah2+bh+c).> 抛物线与x轴的交点：二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x、x，是对应一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根•抛物线与x轴的12交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：① 有两个交点OA>0O抛物线与x轴相交；② 有一个交点(顶点在x轴上)OA=0O抛物线与x轴相切；③ 没有交点OA<0O抛物线与x轴相离.> 平行于x轴的直线与抛物线的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2+bx+c=k的两个实数根.一次函数y=kx+n(k丰0)的图像l与二次函数y=ax2+bx+cC丰0)的图像Iy=kx+nG的交点，由方程组<7的解的数目来确定：①方程组有两组不同y=ax2+bx+c的解时ol与G有两个交点；②方程组只有一组解时ol与G只有一个交点；③方程组无解时ol与G没有交点.抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点为A(x,0)B(jc,0)，由于x、x是方程ax2+bx+c=0的两个根，故1212bcx+x=一一,x-x=12a12aAB=|x一xJ=—x)2—4xx12124calal◊ 二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达> 关于x轴对称y=ax2+bx+c关于x轴对称后，得到的解析式是y=—ax2—bx—c；y=a(x-h)2+k关于x轴对称后，得到的解析式是y=—a(x-h)2-k；> 关于y轴对称y=ax2+bx+c关于y轴对称后，得到的解析式是y=ax2—bx+c；y=a(x-h)2+k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a(x+h)2+k；> 关于原点对称y=ax2+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=—ax2+bx—c；y=a(x—h)2+k关于原点对称后，得到的解析式是y=—a(x+h)2—k；> 关于顶点对称b2y=ax2+bx+c关于顶点对称后，得到的解析式是y=—ax2—bx+c；2ay=a(x—h)2+k关于顶点对称后，得到的解析式是y=—a(x—h)2+k.> 关于点(m,n)对称y=a(x—h)2+k关于点(m,n)对称后，得到的解析式是y=—a(x+h一2m)2+2n一k> 总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．◊ 二次函数图象的平移>平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x—h匕+k，确定其顶点坐标(h,k)；⑵保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到(h,k)处，具体平移方法如下：y二a;2向上(k>0)【或下(k<0)】平移kl个单位向上(k>0)【或向下(k<0)】平移kl个单位”向右(h>0)【或左(h<0)】平移lkl个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移lkl个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移kl个单位y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移kl个单位y=a(x-h)2y=ax-h)2+k平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减，上加下减”．◊根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。
>三点式1, 已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(w'3，0)，B(2扌3，0)，C(0，-3)三点，求抛物线的解析式2, 已知抛物线y=a(x-1)2+4,经过点A(2，3)，求抛物线的解析式>顶点式1, 已知抛物线y=x2-2ax+a2+b顶点为A(2，1)，求抛物线的解析式2, 已知抛物线y=4(x+a)2-2a的顶点为(3，1)，求抛物线的解析式>交点式1, 已知抛物线与x轴两个交点分别为(3,0),(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式12, 已知抛物线线与x轴两个交点(4,0),(1,0)求抛物线丫=-a(x-2a)(x-b)的解析式>定点式15-a1,在直角坐标系中，不论a取何值，抛物线y=--X2+—x+2a-2经过x轴上一定点Q,直线y=(a-2)x+2经过点Q,求抛物线的解析式2, 抛物线y=X2+(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式3, 抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A,求抛物线的解析式A平移式1, 把抛物线y=-2x2向左平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到抛物线y=a(x-h)2+k,求此抛物线解析式。
2, 抛物线y二-x2+x-3向上平移，使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.>距离式1, 抛物线y=ax2+4ax+1(a>0)与x轴的两个交点间的距离为2,求抛物线的解析式2, 已知抛物线y=mx2+3mx-4m(m>0)与x轴交于A、B两点，与轴交于C点，且AB=BC，求此抛物线的解析式>对称轴式1、抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点至l」y轴距离的2倍,求抛物线的解析式2、已知抛物线y=-x2+ax+4,交x轴于A,B(点A在点B左边)两点，交y轴于点C,且3OB-OA=OC，求此抛物线的解析式4>对称式1,平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A(-10,0),AC=16,D(2,6)AD交y轴于E,将三角形ABC沿x轴折叠，点B到B］的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式2,求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴(或x轴)对称的抛物线的解析式＞切点式1, 已知直线y=ax-a2(aZ0)与抛物线y=mx2有唯一公共点，求抛物线的解析式2, 直线y=x+a与抛物线y=ax2+k的唯一公共点A(2,1),求抛物线的解析式。
A判别式式1、已知关于X的一元二次方程(m+1)x2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x2+(m+1)x+3解析式2、已知抛物线y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的顶点在x轴上,求抛物线的解析式3、已知抛物线y=(m+1)x2+(m+2)x+1与x轴有唯一公共点，求抛物线的解析式知识点一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念一般地，如果特y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a丰0),特别注意a不为零那么y叫做x的二次函数y二ax2+bx+c(a,b,c是常数，a丰0)叫做二次函数的一般式2、二次函数的图像b二次函数的图像是一条关于x=-对称的曲线，这条曲线叫抛物线2a抛物线的主要特征：① 有开口方向；②有对称轴；③有顶点3、二次函数图像的画法五点法：(1) 先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M,并用虚线画出对称轴(2) 求抛物线y二ax2+bx+c与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C,再找到点C的对称点D将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。
由C、M、D三点可粗略地画出二次函数的草图如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A、B,然后顺次连接五点，画出二次函数的图像知识点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀一般两根三顶点(1) 一般一般式：y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a丰0)(2) 两根当抛物线y二ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax2+bx+c=0有实根x和x存在时，根据二次三项式的分解因式12ax2+bx+c=a(x一x)(x一x),二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式12y二a(x—x)(x—x)如果没有交点，则不能这样表示12a的绝对值越大，抛物线的开口越小,a的绝对值越大，抛物线的开口越小.(3)三顶点顶点式：y=a(x-h)2+k(a,h,k是常数，a丰0)知识点三、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)，即当b4ac-b22-是否在自变量取值范围2a云时'y最值二―7^"如果自变量的取值范围是Xi
最小22☆、几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标y=ax2当a>0时x=0(y轴)(0,0)y=ax2+k开口向上x=0(y轴)(0,k)y=a(x-h)2当a<0时x二h(h,0)y=a(x-h)2+k开口向下x二h(h,k)y=ax2+bx+cbx=2ab4ac-b2(——，)2a4a知识点四、二次函数的性质1、二次函数的性质函数二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a丰0)图像a>0a<00xy0x(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸；(1)抛物线开口向下,并向下无限延伸；b一b(2)对称轴是x=-丁，顶点坐标是(-丁，2a2ab(2)对称轴是乂=-——2ab，顶点坐标是(-丁,2a4ac一b24ac-b2)4a'4a'b(3)在对称轴的左侧，即当x〈-丁时，y随x2a(3)在对称轴的左侧,bt即当x〈一丁时，y随2a性质的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当bx>-丁时，y随x的增大而增大，简记左减2abx>-时，y随x2a的增大而减小，简记左右增；增右减；b当乂=一丁时，y有最2ab(4)抛物线有最低点，当x=时，y有最小2a(4)抛物线有最高点,4ac一b24古y-4ac-b21值,y.最小值4a丿J旦,J最大值4a2、二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数'a丰0)中，a、b、c的含义:a表示开口方向：a〉0时，抛物线开口向上a〈0时，抛物线开口向下bb与对称轴有关：对称轴为x=--2ac表示抛物线与y轴的交点坐标：(0,c)3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。
因此一元二次方程中的A=b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点当A〉0时，图像与x轴有两个交点；当A=0时，图像与x轴有一个交点；当A〈0时，图像与x轴没有交点知识点五中考二次函数压轴题常考公式(必记必会，理解记忆)1、两点间距离公式(当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法)如图：点A坐标为（X],yi）点B坐标为（x2，y2）则AB间的距离，即线段AB的长度为-x》+（y-y》Av12120xBy=ax2+bx+c知识点五二次函数图象的画法A五点绘图法：利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y=a（x-h）2+k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点（0,c）、以及（0,c）关于对称轴对称的点（2h，c）、与x轴的交点（x,0），（x,0）（若与x轴没有交点，则取两组关于12对称轴对称的点）.A画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.八、、•☆、已知二次函数y=ax2+bx+c（a丰0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A、a>0,b>0,c>0B、a<0,b>0,c<0C、a<0,b<0,c>0d、a<0,b<0,c<0☆、函数y=ax2—。
与歹=（a丰0）在同一坐标系中的图象可能是（）x特别记忆--同左上加异右下减（必须理解记忆）说明①函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，ab值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右② 向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减3、直线斜率：y-yb为直线在y轴上的截距4、直线方程：k=tana=1x-x214、①两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式：y-y此公式有多种变形牢记y一y=kx+b=(tana)x+b=t1x(x一x)1x-x121②点斜y一片=kx（x一xi）③ 斜截直线的斜截式方程，简称斜截式：y=kx+b（kzo）④ 截距由直线在X轴和y轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式:■X+2ab牢记口诀---两点斜截距--两点点斜斜截截距5、设两条直线分别为，1:y=kx+b1:y=kx+b若1〃1，则有111222121//1ok=k且b丰b若1212121丄1ok-k=-112126、点P(x，y)到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0)的距离:00kx-y+bkx-y+bd=—,00―=——0,o——耳k2+(—1)2k2+17、抛物线y=ax2+bx+c中，abc,的作用(1)a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样.(2) b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线bbx=—，故：①方=0时，对称轴为y轴；②一>0(即a、b同号)时，对称轴2aab在y轴左侧;③一<0(即a、b异号)时，对称轴在y轴右侧.口诀一-同左异a右(3) c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置.当x=0时，y=c,・•.抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点(0,c)：① c=0，抛物线经过原点；② c>0，与y轴交于正半轴；③c<0，与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则b<0.a二次函数y=ax2、y=ax2+k、y=a(x—h》、y=a(x—h)2+k的性质函数解析式y=ax2y=ax2+ky=a(x—h)2y=a(x—h)2+k开口方向当a>0时，开口向上;当a<0时，开口向下.顶点(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)对称轴x二0（y轴）x二0（y轴）x二hx二h最值当x=0时，最小值为0.当x=0时，最小值为k当x=h时，最小值为k.当x=h时，最小值为k增减性对称轴左右侧a>0a<0a>0a<0a>0a<0a>0a<0在对称轴的左侧,y随着X的增大而减小.在对称轴的右侧，y随着X的增大而增大在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小•在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小•在对称轴的右狈^，y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大.注：图形呈上升状态fy随着X的增大而增大图形呈下降状态一y随着x的增大而减小。