1.3,勾股定理的应用,欲登12米高的建筑物，为平安需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？,复习回忆,,分析：根据题意，(如图)AC是建筑物，那么AC=12米，BC=5米，AB是梯子的长度.,解：根据题意，(如图)AC是建筑物，那么AC=12米，BC=5米，AB是梯子的长度.所以在Rt△ABC中，,,AB2=AC2+BC2,,=122+52,,=132；,,AB=13米.,答：至少需,13,米长的梯子,.,两点之间,,,线段最短,,,从二教楼到综合楼怎样走最近？说明理由,,如图，有一个圆柱体，它的高等于,12cm,，底面圆周长是,18cm,，在圆柱下底面的,A,点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与,A,点相对的,B,处的食物，需要爬行的最短路程是多少？,问题的提出：,,,蛋糕,A,,,,,,,,,B,,,蚂蚁,A→B,的路线,B,,,A,A,’,A,B,,,A,’,A,B,,,,,,B,A,O,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.,B,,,,B,12,O,,,A,,,,,,,,,3,,蛋糕,A,,,,,,,,,A,/,π,取,3,,A,B,A,’,,B,,,,,,,,,,,A,A,’,r,O,h,,怎样计算,AB,？,,,,,,,,,,在,Rt△AA,’,B,中，利用勾股定理可得，,侧面展开图,其中,AA,’,是圆柱体的高,,A,’,B,是底面圆周长的一半,(πr),假设圆柱体高为12cm，底面周长为18cm，那么:,,A,B,A,’,,B,,,,,,,,,,,A,A,’,r,O,h,,,,,,,,,,侧面展开图,如图，在棱长为10cm的正方体的一个顶点A处有一只蚂蚁，现要向顶点B处爬行，蚂蚁爬行的速度是1cm/s，且速度保持不变，问蚂蚁能否在20s内从A爬到B？,,B,A,A,,,,,,,,,蛋糕,问题的延伸,:,,,,,,,B,A,B,,,,,,,,,问题的延伸,:,AB,2,=(10+10),2,+10,2,,,=20,2,+10,2,,=500,500,＞,20,2,假设在一个长3cm、宽1cm、高2cm的长方体相对的两个顶点分别有一只昆虫和糖，请找出它应走的最短路线？,A,B,3,1,2,做一做：,,A,B,,这三条线哪条较短呢？,,,,,A,B,B,2,B,1,,,3,2,1,1,3,2,B,3,1,3,2,AB,1,2,=18,AB,2,2,=20,AB,3,2,=26,做一做：,,李叔叔想要检测雕塑底座正面的,AD,边和,BC,边是否分别垂直于底边,AB,，但他随身只带了卷尺,〔1〕你能替他想方法完成任务吗？,〔2〕李叔叔量得AD长是30cm，AB长是40cm，BD长是50cm，AD边垂直于AB边吗？为什么？,做一做：,做一做：,〔3〕小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有方法检验AD边是否垂直于AB边吗？BC边与AB边呢？,1.,如图，台阶,A,处的蚂蚁要爬到,B,处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离。
稳固提高：,2．有一个高为，半径是1m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，铁棒在油桶外的局部为，问这根铁棒有多长？,,,,解:设伸入油桶中的长度为xm,那么最长时:,最短时,:,∴,最长是,2.5+0.5=3(m),答,:,这根铁棒的长应在,2-3m,之间,,∴,最短是,1.5+0.5=2(m),,,,试一试：,在我国古代数学著作?九章算术?中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？,解：设水池的水深AC为x尺，那么这根芦苇长AD=AB=〔x+1〕尺，,在直角三角形,ABC,中，,BC=5,尺,由勾股定理得，,BC,2,+AC,2,=AB,2,即,5,2,+,x,2,= (x+1),2,,解之得,x=12,，,∴,,x+1=13,答：水池的水深,12,尺，这根芦苇长,13,尺D,A,B,C,,1、根据题意正确画出图形,〔曲面最短路线问题画侧面展开图〕.,,2、弄清题中直角三角形及线段关系.,,3、根据勾股定理求未知量,或恰当设未知量，建立方程来求解.,,,利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：,1.,如果蚂蚁处于的位置是一个长、宽、高分别为,5,、,4,、,3,的长方体的左下端,A,，它到右上端,B,的最短路线该怎样选择呢？,,A,B,课堂测试题,,A,B,,这三条线哪条较短呢？,,,,,A,B,B,2,B,1,,,5,4,3,3,5,4,B,3,3,5,4,AB,1,2,=74,AB,2,2,=80,AB,3,2,=90,2.育才中学初一〔1〕的学生想知道学校旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，如左图，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，如右图，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？,,C,A,B,5,x,x+1,解：设旗杆的高度AC为x米，那么绳子,,的长AB=〔x+1〕米，,,在直角三角形,ABC,中，,,BC=5,由勾股定理得，,BC,2,+AC,2,=AB,2,即,5,2,+,x,2,= (x+1),2,25+x,2,= x,2,+2x+1,，,2x=24,，,∴ x=12,，,x+1=13,答：旗杆的高度为,12,米，这根绳子长,13,米。
3.,甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,.,某日早晨,8∶00,甲先出发，他以,6km/h,的速度向东行走,.1h,后乙出发，他以,5km/h,的速度向北行进,.,上午,10∶00,，甲、乙两人相距多远？,,解：(如图)根据题意，可知A是甲、乙的出发点，10∶00时甲到达B点，,,那么AB=2×6=12(km)；,,乙到达C点，那么AC=1×5=5(km).,在,Rt△ABC,中，,,BC,2,=AC,2,+AB,2,,=5,2,+12,2,,=169,,=13,2,,答：甲、乙两人相距,13km.,1、根据题意正确画出图形,〔曲面最短路线问题画侧面展开图〕.,,2、弄清题中直角三角形及线段关系.,,3、根据勾股定理求未知量,或恰当设未知量，建立方程来求解.,,,利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：,第一章 三角形的证明,,复习,“原名〞 知多少,定义:对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出,,它们的定义(definition) .,,命题:判断一件事情的句子,叫做命题(statement).,,每个命题都由条件(condition)和结论(conclusion)两局部组成.条件是事项,结论是由已事项推断出的事项.,,正确的命题称为真命题(true statement),不正确的的命题称为假命题(false statement).,公理,:,公认的真命题称为公理,(axiom).,,证明,:,除了公理外,,,其它真命题的正确性都通过推理的方法证实,.,,,推理的过程称为证明,.,,定理,:,经过证明的真命题称为定理,(theorem).,,推论,:,由一个公理或定理直接推出的定理,,,叫做这个公理或定理的,推论,(corollary).,推论可以当作定理使用,.,,回顾 思考,1,作为证明根底的 几条公理,本套教材选用如下命题作为公理,:,,1,、两直线被第三条直线所截,,,如果同位角相等,,,,,那么这两条直线平行,;,,2,、两条平行线被第三条直线所截,,,同位角相等,;,,3,、两边夹角对应相等的两个三角形全等,;,,4,、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等,;,,5,、三边对应相等的两个三角形全等,;,,6,、全等三角形的对应边相等,,,对应角相等,.,,回顾 思考,2,怎么,证明,几何命题,证明命题的一般步骤:,,(1)理解题意:分清命题的条件(),结论(求证);,,(2)根据题意,画出图形;,,(3)结合图形,用符号语言写出“〞和“求证〞;,,(4)分析题意,探索证明思路(由“因〞导“果〞,执“果〞索“因〞.);,,(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证,,明过程;,,(6)检查表达过程是否正确,完善.,提示,:,,,要说明一个命题是,假命题,,,通常可以举出一个例子,,,使之具备命题的条件,,,而不具备命题的结论,,,这种例子称为,反例,(counter example).,,回顾 思考,3,2.,推论,:,,等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合,(,三线合一,).,〔1〕∵AB=AC, ∠1=∠2().,,∴BD=CD,AD⊥BC〔等腰三角形三线合一〕.,〔2〕∵AB=AC, BD=CD ().,,∴∠1=∠2,AD⊥BC〔等腰三角形三线合一〕,〔3〕∵AB=AC, AD⊥BC().,,∴BD=CD, ∠1=∠2〔等腰三角形三线合一〕,,轮换条件：,∠,1=∠2,,,,AD⊥BC,,BD=CD,,可得,三线合一,的三种不同形式的运用,.,知识要点回忆,1.,定理,:,等腰三角形的两个底角相等,简称,:,等边对等角,,A,,C,B,D,,1,,2,,回顾 思考,4,4.,等边三角形的判定：,结论,4:,,等腰三角形,腰上的高线与底边的夹角,等于顶,,角的一半,.,结论,5:,等腰三角形,底边上的任意一点,到两腰的距离,,之和,等于一腰上的高,.,3.,等腰三角形有关知识要点,:,结论,1:,等腰三角形两,底角的平分线相等,.,结论,2:,等腰三角形,两腰上的中线相等,.,结论,3:,等腰三角形,两腰上的高相等；,(3).,有一个角是,60,0,的等腰三角形,是,等边三角形,.,(1).,三条边都相等,的三角形是,等边三角形,.,(2).,三个角都相等,的三角形是,等边三角形,.,,5.,定理,:,在直角三角形中,,,如果一个锐角等于,30,0,,,那么,,,这个锐角所对直角边等于斜边的一半,它的逆命题,:,∵∠ACB=90,0,, ∠A=30,0,,∴,,在直角三角形中,,,如果,一条直角边等于斜边的一半,,,那么,这条直角边所对的锐角等于,30,0,.,∵∠ACB=90,0,,,,∴ ∠A=30,0,,A,B,C,,30,0,6.,勾股定理,:,直角三角形,两条直角边的平方和等于斜,,边的平方,.,它的逆定理,:,,如果三角形,两边的平方和等于第三边的平方,,,那么这个三角形是,直角三角形,.,7.,直角三角形全等的判定定理,:,斜边和一条直角边对应相等,的,两个直角三角形全等,.,(简称“HL〞),8.写出命题：,,“等腰三角形的两个底角相等〞的逆命题：,有,两个角相等,的三角形是,等腰三角形,.,定理：,线段垂直平分线上的点,到这条线段两个端点,,的距离相等,.,9.,线段的垂直平分线,它的逆命题,:,到一条线段两个端点距离相等,,的点,,,在这条线段的垂直平分线上,.,∵,MN,垂直平分,AB,,(MN⊥AB,AC=BC,或,P,在,AB,的垂直平分线上,),,∴PA=PB,∵PA=PB(),,,∴点P在AB的垂直平分线上,A,C,B,P,M,N,10.,角平分线,定理,:,角平分线上的点,到这个角两边的距离相等,.,∵ PD⊥OA,PE⊥OB ,,PD=PE,,∴ ∠1=∠2(OP,是角平分线,或,P,在∠,AOB,的平分线上,),逆定理,:,,在一个角的内部,,,且,到角的两边距离相等的点,,,在这个角的平分线上,.,∵∠1=∠2,PD⊥OA,PE⊥OB,,∴PD=PE,O,C,B,1,A,,,2,P,D,E,11.,定理,:,三角形三条边的垂直平分线,相交于一点,,,并且,,这一点,到三个顶点的距离相等,.,12.,定理,:,三角形的三条角平分线,相交于一点,,,并且,,这一点,到三条边的距离相等,.,(,这一点叫做三角形的,外心,),(,这一点叫做三角形的,内心,),A,B,C,P,在本章中你学到了什么,角的平分线,通过探索,猜测,计算和证明得到定理,与等腰三角形、等边三角形有关的结论,与直角三角形有关的结论,与一般的三角形有关的结论,命题的逆命题及其真假,尺规作图,线段的垂直平分线,,,,,,,,,,回顾 思考,5,与同伴交流讲述一两个命题的证明思路和证明方法,.,提示:能将证明的能力提升一个台阶的前提是:认识,,并掌握一定数量的根本图形.,如：,线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离,,相等,.,,回顾 思考,6,如：,等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于一,,腰上的高,.,如：,三角形三条边的垂直平分线相交于一点,,,并且这一,,点到三个顶点的距离相等,.,,如：,……,我能行不只是字面意义,互逆定理,与,互逆命题,在什么情况下互逆的命题才是互逆的定理,?,你能说出一对互逆的命题吗,?,一个,命题,的,逆命题,的真假性如何,?,,回顾 思考,7,一个,定理,的,逆命题,的真假性如何,?,它们的真假性如何,?,根本作图,作一条线段等于线段;,三边,两边夹角,两角夹边,斜边直角边作三角形.,作线段的垂直平分线,;,作角的平分线;,作一个角等于角;,作图题的一般步骤:,,,求作,分析,作法,证明,讨论.,做一做,:,,,任意画一个角,,,利用尺规将其,二,等分,,,四,等分,.,作图题的要求:能写出标准的作图步骤.,,回顾 思考,8,例,1:,在,Δ,ABC,中,,AB=2AC,,∠,1=,∠,2,DA=DB,,,求证,:DC,⊥,AC,2,1,A,C,E,F,证明,:,取,AB,的中点,E,,连结,DE,,∵DA=DB,AE=BE,,∴DE⊥AB(,等腰三角形三线合一,),,∵AB=2AC,E,为,AB,的中点,,∴,AE=AC,,在,Δ,AED,和,Δ,ACD,中,,,,AE=AC,∠1=∠2,AD=AD,,∴,Δ,AED≌,Δ,ACD(SAS),,∴∠AED=∠ACD=90,0,,即,AC⊥DC,或用延长法,:,延长,AC,至,F,使,CF=AC,,连结,DF,D,B,2,1,C,,小试牛刀,例,1:,在,Δ,ABC,中,,AB=2AC,,∠,1=,∠,2,DA=DB,,,求证,:DC,⊥,AC,证明,:,延长,AC,至,F,使,CF=AC,,连结,DF,,∵AB=2AC,AC=CF,,∴AB=AF,,∵∠1=∠2,AD=AD,,∴,Δ,ADB≌,Δ,ADF(SAS),,∴DB=BF,,∵DA=DB,,∴DA=DF,,∵AC=CF,,∴DC⊥AF(,等腰三角形三线合一,),即,DC⊥AC,思路探究,:,除了截短法和延长法外,,,在等腰三角形中,,,我们通常作底边的中线或高或顶角平分线,,,以便使用等腰三角形的性质,(,三线合一,).,,小试牛刀,2,1,A,C,F,D,B,2,1,C,在ΔABC中,∠C=900,∠B=300,AD是∠BAC,,的平分线, ,求AD的长.,,A,B,C,D,解,:,∵,∠C=90,0,,∠B=30,0,,,,,∴,,∠CAB=60,0,,∵AD,是角平分线,,∴∠,CAD=30,0,设,CD=x,,那么,AD=2x,，在,Rt,Δ,ACD,中，,AD,2,=CD,2,+AC,2,,∴,解得：,x=2,∴AD=4,思路探究：此题综合运用了勾股定理，含300角的直角三角形性,,质.它们都与直角有关,所以当问题中出现直角条件时,,,要善于联想到这些性质.,,我能行,,初露锋芒,作 业,１、根底作业：,,课本Ｐ33页复习题,,第1、2、3、4题,,2、预习作业：,,课本P33页“回忆与思考〞,提高证明能力的源泉,1、:如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,,,DE∥BA,DF∥CA.,,求证:∠FDE=∠A.,A,B,C,D,E,F,,作业分析,1,2、:如图,AD∥CB,AD=CB.,,求证:△ABC≌△CDA.,A,B,C,D,,提高证明能力的源泉,,作业分析,2,3、:如图,AB=AC, ∠ABD=∠ACE.,,求证:(1)OB=OC;,,(2)BE=CD.,A,B,C,E,D,O,提高证明能力的源泉,,作业分析,3,4、:如图,BD,CE是△ABC的高,且BD=CE.,,求证:△ABC是等腰三角形.,提高证明能力的源泉,,作业分析,4,5,、已知,:,如图,,,在△,ABC,中,,,∠A,∠B,∠C,的,,度数之比是,1∶2∶3 ,,.,,,求,:,AC,的长,.,提高证明能力的源泉,,作业分析,5,6、:如图,AN⊥OB,BM⊥OA,垂足分别为,,N,M,且OM=ON.,,求证:PM=PN.,提高证明能力的源泉,,作业分析,6,7、:如图,MN是线段AB的垂直平分线,C,D,,是MN上的点.,,求证:,,(1)△ABC,△ABD是等腰三角形;,,(2)∠CAD=∠CBD.,提高证明能力的源泉,,作业分析,7,8,、任意作一个钝角,,,求作它的角平分线,.,提高证明能力的源泉,,作业分析,8,9、线段a,,,求作：以a为底,以2a为高的等腰三角形.,提高证明能力的源泉,,作业分析,9,。