整数同余的性质与证明研究（纯色禁忌，书） 摘 要：整数同余在研究数论的过程中占有很重要的地位，本文简单阐述了整数同余的概念，并对整数同余的性质进行了简单说明与证明研究通过整数同余的性质与证明的研究，本文给出了整数同余的定义、性质及其证明整数同余的性质包括反身性、对称性、传递性，从这三个性质还可延伸出一些其他的性质，从这些性质中，我们可以来对整数同余有功多的了解，从而在解决实际问题时可使问题简化 关键词：整数同余，性质证明，剩余类1、引言同余是数论中的基本概念，日常生活中就常常遇到，例如，1984年元旦是星期日，由于1984年共有366天，而366=725+2，所以，1985年元旦应是星期二，这里我们只关心余数用一个固定的正整数去除所有的整数，把余数相同的归在一类，余数不相同的不在同一类，进而讨论分类整数的性质本文以m为模，其中m为正整数2、 整数同余的概念定义：给定一个正整数m，把它叫做模如果用m去除任意两个整数a与b所得的余数相同，我们就说a，b对模m同余，记作a如果余数不同，我们就说a，b对模m不同余，记作ab 上述定义也可以叙述为：若，则叫a同余b模m，记为ab自然，若ｍ不整除a-b，则a不恒等于b，例如15143-7521313、整数同余的性质及其证明性质1（反身性）a，证明：a显然成立。
性质2（对称性）若a，则b证明：由条件a，设，，显然，a， b成立 证完性质3（传递性）若a证明：由，因此a 证完定理1 整数a，b对模m同余的充要条件是m整除a-b，即，是整数证明：设，0≦﹤m，0≦﹤m，若，则，，因此反之若，因此.证完由定理1及整除的性质可以很容易得到下列与相等类似的性质：性质4 （ⅰ）（ⅱ）若a+bc，则ac-b证明：由定理1，a1=b1+mt1，a2=b2+mt2，因此a1+a2=b1+b2+m（t1+t2），即得（ⅰ）由（ⅰ），c-bc+（-b）+（-b）a，证完性质5 若特别的若ab，则证明：由定理1，，， 故，证完性质4与性质5也可叙述为：如果a:(1)；(2).通常复数的等式有消去律，即若a，b，c为复数，c0，则可得出a＝b下面引理表明，对于同余式也有类似性质，但是条件c要改成引理1 证明：由引理条件可知，于是则由于即证完引理2 （1）若 （2）若 （3）.证明：（1）是显然的2）：由条件知，存在整数x使得于是.（3）由（1）知“”是成立的另一方面，如果,则即a-b是a-b是的倍数，即 证完谈到整数同余，我想在这提一下剩余类设m是一个固定的正整数，利用带余除法，每个整数均模m同余于0,1，…，m-1当中的一个。
由于0,1，…m-1彼此模m不同余，所以每个整数也只能同余于他们当中的一个对于整数i，考虑m同余于i的整数所构成的集合，那么上面是说：是彼此不想交的m个集合，并且他们的并集就是Z我们把每个集合叫做模m的一个剩余类，于是，模m共有m个剩余类同一个剩余类中任意两个整数是模m同余的，不同的剩余类中两个整数是模m不同余的关于剩余类我们暂且讨论到这一点下面我们给出定理2，由定理2，我们还可以引出其他的性质定理2 若 ,则： 则性质6 若，即：证明：由定理1，，故，证完性质7 （1）若 （2）若 .证明：（1）由，则存在一个整数t，使（*），在（*）是两边同时乘上k（k﹥0）得：，故 （2）由（1）可证（2）成立 证完性质8 若 证明 ：由定理1，的最小公倍数整除a-b，故有： 证完性质9 若则证明：由可得， m整除a-b，又d整除m，则，d整除a-b，故 证完性质10 若,因而若d能整除m，及a，b二数之一，则d必能整除a，b中的另一个证明：由定理1，，（其中，t是整数），故，则a，m与m，b有相同的公因数，因而.证完。
关于整数同余的性质及其证明，到此我们讨论研究完毕参考文献李复中初等数论选讲，第二章第一节.东北，东北师范大学出版社1991 年6月，76—77冯克勤，余红兵初等数论，第二章第一节，合肥，中国科学技术大学出版社，1995年10月，16—17闵嗣鹤，严士健初等数论，第三版，第三章，第一节北京，高等教育出版社，2003年12月，48—50数学与应用数学专业2009级《初等数论》课程整数同余的性质与证明研究小组成员：xxx，xxx2011年6月。