因而，由k是元素ar的阶，具有最小性，所以k £ n综合这两方面，可得k = n2).根据(1)的结论，可得，群G的母元素的数目为j(n) (欧拉函数，小于n且与n互素的数的个数)注.引理*.设(G,×)是群"xÎG，若x的阶为k，从而xk =e 则 "mÎN, xm＝e Û k | m [证].先证Þ)： 若xm＝e，则必有k | m 否则k ∤ m ，于是，由带余除法，可设 m=kq+r (0< r< k)，故可得 r=m-kq，从而 xr＝xm-kq ＝xm+(-kq) ＝xm × (xk)-q (指数律) ＝e × e-q (xm＝e, xk =e) ＝e × e ＝e 故与x的阶为k，具有最小性，矛盾次证Ü): 若k | m，则m = kq于是 xm ＝ xkq ＝(xk)q (指数律) ＝eq (xk =e ) =e 。
4.5. 试证循环群G的子群仍是循环群[证].设(H, ×)是循环群(G, ×)=的一个子群，则H中的元素都可表示成a的一些正方幂设am是H中指数最小的正方幂，我们来证(H, ×)=为此只要证明H中任一元素都可表示成am的正方幂即可任取H中一个元素ak，根据带余除法，可知有非负整数q及r，使k=qm+r 且 0£r，因而(H, ×)循环群4.6. 若H是G的子群，x和y是G的元素，试证xHÇyH或为空，或xH = yH[证].对任何x,yÎG，若xH Ç yH=Æ，则问题已证否则若xH Ç yH¹Æ，则必至少有一元素x0ÎxH Ç yH，从而x0Î xH Ç yH Þ x0Î xH Ù x0Î yH Þ x0=x×h1 Ù x0 =y×h2 (这里h1, h2ÎH) Þ x×h1 = y×h2 Þ x = y ×h2×h1-1 Ù y = x ×h1×h2–1 (*) 下面我们来证：xH = yH。
为此，要分证： (1)xH Í yH ； (2)yH Í xH ；我们只证(1) ；(2)同理可证 ；对任何元素a， aÎ xH Þ a =x×h¢ (这里h¢ÎH) Þ a = y ×h2×h1-1×h¢ (由(*)：x = y ×h2×h1-1 ) Þ a =y ×h¢¢ (由H的封闭性 ： h¢¢= h2×h1-1×h¢ÎH) Þ aÎ yH所以 xH Í yH； 所以，由包含关系的反对称性，我们得到 xH = yH 4.7. 若H是G的子群，|H|=k，试证： |xH|=k其中xÎG[证].建立自然映射 f : H®xH，使得 对任何hÎH， f(h)=x×h于是 (1)后者唯一：由×运算的结果唯一性可得；(2)满射：对任何 bÎxH，有a = hÎH，使得b = x×h于是，有 f(a)= f(h)= x×h = b ； (3)单射： f(h1)= f(h2) Þ x×h1 = x×h2 Þ h1 = h2 (群的消去律 )。
所以，f是从H到的双射，因此 |xH|=|H|=k 4.8.有限群G的阶为n，H是G的子群，则H的阶必除尽G的阶[证].这即是著名的拉格郎日(Lagrange法国著名数学家、力学家1736-1814)定理设G的子群于是令，这里，并且我们定义R是G上的二元关系，即"，从而R是G上的等价关系，其等价块的形式为aH，设其代表元为，则是所有的等价块，构成对G的一个划分(参见习题4.6.)即根据习题4.7.可得因此，所以r必能整除n，即H的阶必除尽G的阶4.10. 若x和y在群G作用下属于同一等价类，则x所属的等价类Ex，y所属的等价类Ey有|Ex| = |Ey| [证].设底基X={1,2,¼,n}对任一个元素aÎX，Ea ={bÎX | $pÎG , (a)p=b} 因为已知x和y在群G作用下属于同一等价类，因此，存在zÎX，使得x, yÎEz，于是$p1, p2ÎG , 使得 (z)p1=x, (z)p2=y 我们来证：Ex = Ey 为此，要分证： (1) Ex Í Ey ； (2) Ey Í Ex ；我们只证(1) ；(2)同理可证 ；对任何元素aÎX， aÎ Ex Þ a = (x)p¢ (这里p¢ÎG) Þ a = (z)p1p¢ (由 (z)p1=x ) Þ a = (y)p2-1p1p¢ (由(z)p2=y , 得 (y)p2-1=z (群G有逆元))Þ a = (y) p¢¢ (由群G的封闭性 ： p¢¢= p2-1p1p¢ÎG) Þ aÎ Ey所以 Ex Í Ey。
所以，由包含关系的反对称性，我们得到 Ex = Ey所以得证 |Ex| = |Ey| 4.11. 有一个3´3的正方形棋盘，若用红、蓝色对这9个格进行染色，要求两个格着红色，其余染蓝色，问有多少种着色方案？123456789[解]. 一个3´3的正方形棋盘，只能旋转，不能翻转，其详细的置换群为:不动0°： P1=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)逆时针旋转90°: P2=(5)(1793)(2486)顺时针旋转90°: P3=(5)(1397)(26 84)旋转180°: P4=(5)(19)(28)(37)(46)转动群格式置换循环节不动 0°(1)91个9个中心 ±90°(1)1(4)22个3个中心 180° (1)1(2)41个5个第4.11题 表将2个格着以r色，7个格着以b色，相当于用b，r二种颜色对3´3的正方形棋盘进行染色于是根据母函数形式的Pólya定理，方案枚举：P(b,r)=[(b+r)9+2(b+r)(b4+r4)2+(b+r)(b2+r2)4]其中b7r2的系数即为所求染色方案数： ==[36+4]/4=10(种) 。
4.12. 试用贝恩塞特引理解决n个人围一圆桌坐下的方案问题[解].(参见ppt第四章§6. 例.)目标集： n个坐位；图象集：n!个着色方案(排坐)转动群的2n个置换(参见第7题(第二版)，即第4.17题(第三版))，只有幺元有n!个不动点(图象)，其他2n-1个置换没有不动点(因为没有两个坐位坐同一人)，即c1(e)= c1(P1)= n!，c1(P2)= c1(P3)=…= c1(P2n)=0故由Burnside引理有 l=[c1(e)]/2n =n!/ 2n =(n-1)!/2个方案4.13. 对正六角形的6个顶点用5种颜色进行染色，试问有多少种不同的方案？旋转使之重合作为相同处理o1243zyx¢5x6z¢y¢[解]. 见第4.13题 图，使之重合的刚体运动群，它含有关于正六角形中心轴旋转±60°，±120°，180°的置换，绕过2个对角的轴翻转180o的置换，以及绕过2个对凹的轴翻转180o的置换：不动0°：(1)(2)(3)(4)(5)(6) 旋转 ±60°：(1 2 3 4 5 6)，(6 5 4 3 2 1)旋转 ±120°：(1 3 5)(2 4 6)，(5 3 1)(6 4 2)旋转180°：(1 4)(2 5)(3 6)翻转(角-角) 180°：(1)(2 6)(3 5)(4)，(2)(1 3)(4 6)(5)，(3)(1 5)(2 4)(6)翻转(凹-凹) 180°：(1 4)(2 3)(5 6)，(1 2)(3 6)(4 5)，(1 6)(2 5)(3 4)。
转动群格式置换循环节所求方案数不动 0°(1)61个6个56旋转 ±60°(6)12个1个 2·51旋转 ±120°(3)22个2个 2·52旋转 180°(2)31个3个 53翻转(角-角) 180°(1)2(2)23个4个3·54翻转(凹-凹) 180°(2)33个3个3·53第4.13题 表于是根据Pólya定理，可得不同的染色方案数为： l===×18060 =1505(种) 4.25. 若G和G¢是两个群 G ´G¢≜{(g,g¢)|gÎ G , g¢Î G¢ }, (g1,g¢1) (g2,g¢2)≜(g1g2,g¢1g¢2),G ´G¢的单位元素是(e,e¢)试证G ´G¢成群[证]. 1°封闭性："(g1,g¢1) , (g2,g¢2) Î G ´G¢ Þ( g1 , g2 Î G)Ù (g¢1 , g¢2 Î G¢)Þ( g1 g2 Î G)Ù (g¢1 g¢2 Î G¢) (群G和G¢的封闭性)Þ(g1g2,g¢1g¢2) Î G ´G¢Þ(g1,g¢1) (g2,g¢2) Î G ´G¢因而封闭性成立。
2°结合律："(g1,g¢1) , (g2,g¢2) , (g3,g¢3)Î G ´G¢((g1,g¢1)(g2,g¢2))(g3,g¢3)=(g1g2,g¢1g¢2)(g3,g¢3)=((g1g2)g3,(g¢1g¢2)g¢3)=(g1(g2g3),g¢1(g¢2g¢3)) (群G和G¢的结合律)=(g1,g¢1)(g2g3,g¢2g¢3)=(g1,g¢1)((g2,g¢2)(g3,g¢3))因而结合律成立3°有幺元：(e,e¢)Î G ´G¢，这里e是群 G的幺元，e¢是群G¢的幺元"(g , g¢)Î G ´G¢，(e,e¢)(g , g¢) = (eg , e¢g¢) = (g , g¢) (eg=g，e¢g¢=g¢) = (ge , g¢e¢) (g=ge，g¢=g¢e¢) = (g , g¢)(e,e¢) 因而(e,e¢)是幺元4°有逆元："(g , g¢)Î G ´G¢ Þ( g Î G)Ù (g¢Î G¢)Þ( g-1Î G)Ù (g¢-1Î G¢) (群G和G¢有逆元)Þ(g-1, g¢-1) Î G ´G¢ 使得 (g , g¢)(g-1, g¢-1) = (gg-1 , g¢g¢-1) = (e,e¢) (gg-1= e，g¢g¢-1= e¢) = (g-1g , g¢-1g¢) (g-1g = e，g¢-1g¢= e¢) = (g-1, g¢-1)(g , g¢)因而有逆元。
所以G ´G¢构成群4.26. 若G是关于X={x1, x2,¼, xn}的置换群，G¢是关于X¢ ={x¢1, x¢2,¼, x¢m}的置换群，对于G ´G¢的每一对元素 (g,g¢)(v)≜证G ´G¢是关于XÈX¢的置换群[证].将题中G ´G¢中的置换的前置定义换为如下等价的后置定义：(v)(g,g¢)≜因而G ´G¢={(g,g¢)|gÎ G , g¢Î G¢ }于是，我们可定义G ´G¢上的二元“乘法”运算如下： (g1,g¢1) (g2,g¢2)≜(g1g2,g¢1g¢2)由于置换群G和G¢也是群，故根据习题4.25.，可知G ´G¢是群又由于G ´G¢是XÈX¢上置换的集合，所以G ´G¢是关于XÈX¢的置换群o1a243dec65第4.27题图1bgf4.27. 一个项链由7颗珠子装饰而成的，其中两颗珠子是红的，3颗是蓝的，其余两颗是绿的，问有多少种装饰方案？试列举之？[解]. 见第4.27题 图，使之重合的刚体运动群，令a=，它含有关于圆环中心轴旋转=±a，=±2a，=±3a，以及绕过一个顶点及其对弧中点的轴翻转180o的置换：不动0°：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7) 旋转±a：(1 2 3 4 5 6 7)，(7 6 5 4 3 2 1)旋转±2a：(1 3 5 7 2 4 6)，(7 5 3 1 6 4 2)旋转±3a：(1 4 7 3 6 2 5) ，(7 4 1 5 2 6 3)翻转(点-弧) 180°：(1)(2 7)(3 6)(4 5)，(2)(1 3)(4 7)(5 6)，(3)(1 5)(2 4)(6 7)，(4)(1 7)(2 6)(3 5)，(5)(1 2)(3 7)(4 6)，(6)(1 2)(3 7)(4 6)，(7)(1 6)(2 5)(3 4)。
转动群格式置换循环节不动 0°(1)71个7个旋转 ±a(7)12个1个旋转 ±2a(7)12个1个旋转 ±3a(7)12个1个翻转(点-弧) 180°(1)1(2)37个4个第4.27题 表将2颗r色,2颗g色,3颗b色的珠子装饰在圆环的7个等分点上的问题，相当于用b，g， r三种颜色对正七边型进行染色于是根据母函数形式的Pólya定理，染色方案枚举：P(b,g,r)=[(b+g+r)7+6(b7+g7+r7)1+7(b+g+r)1(b2+g2+r2)3]其中b3g2r2的系数即为所求项链串珠方案数： ====18(种)所求18种项链串珠方案枚举如下：第4.27题图24.28.一个正八面体,用红、蓝两色对6个顶点进行着色；用黄、绿两种颜色对8个面进行染色，试求其中4个顶点为红, 两个顶点为蓝, 黄和绿的面各四面的方案数注. 正八面体可以看作是正方体的对偶,每一面用中心代表一个顶点,相交于一个顶点的3个面对应过3个中心的三角形,由此构成的6个顶点, 8个面的几何图形[解].(参见第二版第17题)本题相当于把正八面体的6个顶点、8个面合并起来作为目标集；6个顶点、8个面,共14个元素的置换群。
转动群格式置换循环节不动 0°(1)6-(1)81个14个面心-面 ±90°(1)2(4)1-(4)26个5个面心-面心 180° (1)2(2)2-(2)43个8个顶点-顶点 ±120° (3)2-(1)2 (3)28个116个棱中-棱中 180° (2)3-(2)46个7个1A23456(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)B1E2346(2)(3)(4)(6)(7)(8)F1D23456(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)C第4.28题 图第17题 图于是根据母函数形式的Pólya定理，染色方案枚举：P(r,b,y,g)=[(r+b)6(y+g)8+6(r+b)2(r4+b4)1(y4+g4)2+3(r+b)2(r2+b2)2(y2+g2)4+8(r3+b3)2(y+g)2(y3+g3)2+6(r2+b2)3(y2+g2)4]其中r4b2y4g4的系数即为所求项链串珠方案数： ====51(种)详细的点-面混合的置换群为:不动 0°:(1)(2)(3)(4)(5)(6)-(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)绕外接正方体面心-面心轴旋转 90°: (1)(2345)(6)-(1234)(5678)(2)(1563)(4)-(1485)(2376)(3)(1264)(5)-(1562)(3487) -90°: (1)(5432)(6)-(4321)(8765)(2)(3651)(4)-(5841)(6732)(3)(4621)(5)-(2651)(7843)180°: (1)(24)(35)(6)-(13)(24)(57)(68)(2)(16)(35)(4)-(18)(45)(27)(36)(3)(16)(24)(5)-(16)(25)(38)(47)绕外接正方体棱中-棱中轴旋转180° : (16)(25)(34)-(17)(26)(35)(48)(16)(23)(45)-(15)(28)(37)(46)(24)(15)(36)-(17)(28)(34)(56) (24)(13)(56)-(12)(35)(46)(78)(35)(12)(46)-(14)(28)(35)(67)(35)(14)(26)-(17)(23)(46)(58)绕外接正方体顶-顶轴旋转 120°:(123)(456)-(1)(245)(386)(7)(134)(265)-(2)(163)(457)(8)(145)(236)-(3)(168)(274)(5)(152)(346)-(4)(138)(275)(6) -120°:(321)(654)-(1)(542)(683)(7)(431)(562)-(2)(631)(754)(8)(541)(632)-(3)(861)(472)(5)(251)(643)-(4)(831)(572)(6) 。