12第十章第十章 弯曲变形弯曲变形10-1 梁的转角和挠度梁的转角和挠度10-2 用积分法求梁的位移用积分法求梁的位移10-3 用叠加法求梁的位移用叠加法求梁的位移10-5 梁的刚度校核梁的刚度校核及及提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施 10-4 简单超静定梁简单超静定梁310-1 梁的转角和挠度梁的转角和挠度 直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成平面曲线AC1B梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直于x轴方向的线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原来位置的角位移q 称为横截面的转角(angle of rotation)4 弯曲后梁的轴线挠曲线(deflection curve)为一平坦而光滑的曲线，它可以表达为w=f(x)，此式称为挠曲线方程由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故横截面的转角q 也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之间的夹角，从而有转角方程：xfwtan5 在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；顺时针转向的转角q为正，逆时针转向的转角q为负610-2 用积分法求梁的位移用积分法求梁的位移.梁的挠曲线近似微分方程 在前面学习中曾得到梁弹性范围内纯弯曲情况下中性层的曲率为这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。
EIM17 在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还有剪力，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产生影响但工程上常用的梁其跨长l 往往大于横截面高度h的10倍，此时剪力对梁的变形的影响可略去不计，而有 EIxMx18从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作 2/3211wwx 式中，等号右边有正负号是因为曲率1/为度量平面曲线(挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w是q=w 沿x方向的变化率，是有正负的9再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w，正弯矩对应于负值的w，故从上列两式应有由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略去，于是得挠曲线近似微分方程 EIxMww 2/321 EIxMw 10.用积分法求梁的位移求梁的挠曲线方程时可将上式改写为后进行积分，再利用边界条件(boundary condition)确定积分常数xMwEI EIxMw 11 当全梁各横截面上的弯矩可用一个弯矩方程表示时(例如图中所示情况)有 1dCxxMwEI 21ddCxCxxxMEIw 以上两式中的积分常数C1，C2由边界条件确定后即可得出梁的转角方程和挠曲线方程12 边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如下图所示。
13 若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程需分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分常数要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条件(constraint condition)外，还需利用相邻两段梁在交界处的连续条件(continuity condition)这两类条件统称为边界条件14 连续条件连续条件bxbx21axaxyy21ABxylPbABxylPa15 例题例题1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并求自由端截面的挠度和转角16解：解：该梁的弯矩方程为挠曲线近似微分方程为以x为自变量进行积分得 xlFxM xlFxMwEI 122CxlxFwEI于是得0021CC，该梁的边界条件为：在 x=0 处 ，w=00w213262CxCxlxFEIw17从而有转角方程EIFxEIFxlw22q挠曲线方程EIFxEIlFxw6232 EIFlEIFlEIFlwwlx362|333max 22|222maxEIFlEIFlEIFllx当x=L时：18 例题例题2 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。
19解：解：约束力为两段梁的弯矩方程分别为 为了后面确定积分常数的方便，右边那段梁的弯矩方程M2(x)仍取x截面左边的梁为分离体，使方程M2(x)中的第一项与方程M1(x)中的项相同laFFlbFFBA ，axxlbFxFxMA0 1 lxaaxFxlbFaxFxFxMA 220两段梁的挠曲线近似微分方程亦需分段列出，并分别进行积分：挠曲线近似微分方程 xlbFxMwEI 11积分得1212CxlbFwEI11316DxCxlbFEIw axFxlbFxMwEI 22222222CaxFxlbFwEI2233266DxCaxFxlbFEIw左段梁右段梁ax 0lxa21该梁的两类边界条件为支座约束条件：在x=0处 w1=0，在 x=l 处 w2=0连续条件：在x=a处 ，w1=w221ww由两个连续条件得：由支座约束条件 w1|x=0=0 得2121 DDCC，01D02D从而也有22由另一支座约束条件 w2|x=l=0 有06|2332lCalFbllbFEIwlx即2226bllFbC从而也有2216bllFbC23从而得两段梁的转角方程和挠曲线方程如下：左段梁右段梁)0(ax)(lxa22211312xbllEIFbwq22216xbllEIFbxw222222312blxaxbllEIFbwqxblxaxbllEIFbw22332624左、右两支座处截面的转角分别为lEIblFablEIblFbxA66|2201lEIalFablxB6|2当ab时有 6maxlEIalFabB253221blx解得将上列x1的表达式代入左段梁的挠曲线方程得：3221max39|1bllEIFbwwxx0qdxd由求得求得 的位置值的位置值。
max,06)(22LEIbLFbAq)(03)(1baLEIbaFabaxC段在AC0q0)(36)(2221bLxLEIFbxq由26 由上式还可知，当集中荷载F作用在右支座附近因而b值甚小，以致 b2 和 l2 相比可略去不计时有EIFblEIFblw22max0642.039它发生在 处而此时 处(跨中点C)的挠度wC为llx577.031llx500.02EIFblEIFblblEIFbwwlxC2222210625.0164348|3221max39|1bllEIFbwwxx简支梁最大挠度的近似计算：27 当集中荷载F作用于简支梁的跨中时(b=l/2)，最大转角qmax和最大挠度wmax为EIFlBA162maxqEIFlwwC483max 可见在集中荷载作用于右支座附近这种极端情况下，跨中挠度与最大挠度也只相差不到3%因此在工程计算中，只要简支梁的挠曲线上没有拐点都可以跨中挠度代替最大挠度2810-3 用叠加法求梁的位移用叠加法求梁的位移 当梁的变形微小，且梁的材料弹性范围内工作时，梁的挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系在此情况下，当梁上有若干荷载或若干种荷载作用时，梁的某个截面处的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。
这就是计算梁的位移时的叠加原理(principle of superposition)29 悬臂梁和简支梁在简单荷载(集中荷载，集中力偶，分布荷载)作用下，悬臂梁自由端的挠度和转角表达式，以及简支梁跨中挠度和支座截面转角的表达式已在表10-1中列出根据这些资料灵活运用叠加原理，往往可较方便地计算复杂荷载情况下梁的指定截面的挠度和转角30已知已知：q、l、EI求求：wC ,q qB例题31,2431EIqlBqEIqlwC384541,33)(323EIqlEIlqlBqEIqlwC48343,1616)(322EIqlEIlqlBqEIlqlwC48)(3232321BBBBEIql48113321CCCCwwwwEIql38411433例题例题 3435,631EIqlCqEIqlwC841,6)2(322EIlqBC2222lwwBBCqEIlq8)2(422lBq3621CCCwwwEIql38441421CCCqEIql487437超静梁超静梁未知力的数目多于能列出的独立平衡方程的数目，未知力的数目多于能列出的独立平衡方程的数目，仅利用平衡方程不能解出全部未知力，则称为超静定问题（或仅利用平衡方程不能解出全部未知力，则称为超静定问题（或静不定问题）。
静不定问题）超静次数超静次数=未知力的数目未知力的数目-独立平衡方程数独立平衡方程数BqL4 4个约束反力，个约束反力，3 3个平衡方程，个平衡方程，静不定次数静不定次数=1=11、超静定的概念、超静定的概念10-4 简单超静定梁简单超静定梁382、解简单超静定梁的基本思想、解简单超静定梁的基本思想(1)(1)确定超静定次数确定超静定次数2)(2)选择基本静定梁选择基本静定梁静定梁静定梁(基本静定基基本静定基)将超静定梁的多余约束解除，得到将超静定梁的多余约束解除，得到相应的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反相应的静定系统，该系统仅用静力平衡方程就可解出所有反力以及内力力以及内力多余约束多余约束 杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约杆系在维持平衡的必要约束外所存在的多余约束或多余杆件束或多余杆件多余约束的数目多余约束的数目=超静定次数超静定次数BqL多余约束的数目多余约束的数目=139静定梁静定梁(基本静定基基本静定基)选取选取(2)2)解除解除A端阻止转动的端阻止转动的支座反力支座反力矩矩 作为多余约束作为多余约束,即选择两端即选择两端简支的梁作为基本静定梁简支的梁作为基本静定梁。
AMBqLAMA(1)1)解除解除B支座的约束支座的约束,以以 代替，代替，即选择即选择A端固定端固定B端自由的悬臂梁端自由的悬臂梁作为基本静定梁作为基本静定梁ByFByFBqLA40(2)基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协基本静定基要便于计算，即要有利于建立变形协调条件一般来说，求解变形时，悬臂梁最为简单，调条件一般来说，求解变形时，悬臂梁最为简单，其次是简支梁，最后为外伸梁其次是简支梁，最后为外伸梁基本静定基选取可遵循的原则：基本静定基选取可遵循的原则：(1)基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变基本静定基必须能维持静力平衡，且为几何不变系统；系统；41ABqLByFBqLABqLAMA3 3、列出变形协调条件列出变形协调条件比较原静不定梁和静定基在解除约比较原静不定梁和静定基在解除约束处的变形，根据基本静定梁的一束处的变形，根据基本静定梁的一切情况要与原超静定梁完全相同的切情况要与原超静定梁完全相同的要求，得到变形协调条件要求，得到变形协调条件0By0Aq42本例：本例：(1)1)4 4、用积分法或叠加法求变形，并求出多余未知力用积分法或叠加法求变形，并求出多余未知力。
仅有仅有q q作用，作用，B B点挠度为：点挠度为：EIqlyBq84仅有仅有 作用，作用，B B点挠度为：点挠度为：ByFEIlFyByBF33因此因此BqBFByyyEIql84EIlFBy330解得解得:)(83qlFByByFBqlA435 5、根据静力平衡条件在基本静定梁上求出其余的约束反力根据静力平衡条件在基本静定梁上求出其余的约束反力本例：本例：(1)1)ByFBqLAAyFAxFAM0 xF,0AxF0yF),(85qlFAy0AM281qlMA（）44ByFBqLAAyFAxFAM(+)图sF(-)ql85ql83l85图M281ql21289ql因此因此2max81qlMqlFQ85max6 6、在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形在基本静定梁上按照静定梁的方法求解内力、应力和变形45例例题题 图示静不定梁，等截面梁图示静不定梁，等截面梁AC的抗弯刚度的抗弯刚度EI，拉杆，拉杆BD的的抗拉抗拉 刚度刚度EA，在，在F力作用下，试求力作用下，试求BD杆的拉力杆的拉力BDBlwFl/2l/2ABCDl1 1、选择基本静定梁选择基本静定梁解：解：Fl/2l/2ABCNF2 2、列出变形协调条件。
列出变形协调条件NBFBFBwww而而)(485)3(6322EIFlxlEIFxwlxBF)(3)2(3EIlFwNBFN（1）46解得：解得：代入代入（1）：）：EAlFEIlFEIFlNN2448533)241(1252AlIFFNFl/2l/2ABCNF4710-5 梁的刚度校核及提高弯曲刚度的措施梁的刚度校核及提高弯曲刚度的措施.梁的刚度校核 对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满足刚度条件(stiffness condition)：式中，l为跨长，为许可的挠度与跨长之比(简称许可挠跨比)，q为许可转角上列刚度条件常称之为梁的刚度条件lwlwlwmaxmax48 土建工程中通常只限制梁的挠跨比，在机械工程中，对于主要的轴，；对于传动轴还要求限制在安装齿轮处和轴承处的转角，100012501lw10000150001lw rad001.0005.0q49.提高梁刚度的措施(1)增大梁的弯曲刚度EI 由于不同牌号的钢材它们的弹性模量E大致相同(E210 GPa)，故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢并无明显好处为增大钢梁的弯曲刚度，钢梁的横截面均采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增大截面对于中性轴的惯性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面。
50 跨长为l 的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大弯矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为22max125.08qlqlMEIqlEIqlw44max0130.03845(2)调整跨长和改变结构的体系51 如果将两个铰支座各内移一个距离a而成为如图a所示的外伸梁，且a=0.207l，则不仅最大弯矩减小为而且跨中挠度减小为22max0214.02qlqaMMMMBACEIqlEIalqaEIalqwwC4224max616000.01622238425(a)52而此时外伸端D和E的挠度也仅为)(207000.02)2(224)2(84234EIqlaEIalqaaEIalqEIqawwED53 所谓改变结构的体系来提高梁的刚度在这里是指增加梁的支座约束使静定梁成为超静定梁，例如在悬臂梁的自由端增加一个铰支座，又例如在简支梁的跨中增加一个铰支座54作业作业 10-210-2（c c）用积分法和叠加法分别计算自由端用积分法和叠加法分别计算自由端的挠度和转角的挠度和转角。