皮克公式在中考中的出现和应用奥地利数学家皮克（ Georg Pick ，1859 ～1943 ）发现了一个计算正方形点阵中格点多边S 1 xn 1形面积的公式： 2 ，其中 n 表示多边形内部的点数， x 表示多边形边界上的点数．熟悉这个公式的人不多， 但是还是被中考命题者挖掘来作为中考命题的内容． 用这个公式来求格点多边形面积是非常方便的．首先来探究这个公式是怎么来的？例 1 用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为 1 的小正方形格子， 小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为 S，它各边上格点的个数和为 x．（ 1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出 S与 x 之间的关系式．答： S ________ 多边形的序号①②③④多边形的面积 S22.534各边上格点的个数和4568（ 2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2 格点．此时所画的各个多边形的面积S 与它各边上格点的个数和x 之间的关系式是：S________ 3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n 个格点时，猜想S 与x 有怎样的关系？答： S ________ ．（江苏省常州市 2004 年中考试题）分析 皮克公式的证明是采用特殊到一般的方法，考查学生推理的能力．本题是按多边形内部的点来分情况深究的．（ 1）当多边形内部的点数为 1 时，本题第一问画出了四个不同的图形，并且列表给出S 1 x相应的数据，因此学生容易得出S 与x 之间的关系式：2。
2）当多边形内部的点数为 2 时，本题第二间要求画出一些图形，再得出S 与x 之间的关系式．这时可以仿照第一问，画出上面的图形并且列出下面的表格．多边形的序号 ⑤ ⑥ ⑦ ⑧多边形的面积S3 3.545各边上格点的个数和x4568S1x1学生也容易得出S 与x 之间的关系式：2 3）当多边形内部的点数为 n 时，本题第三问猜想一般的关系式．这时也可以研究当多边形内部的点数为 3 、4 、5 等的情况， 再去探究出一般式． 由上述的几种特殊情况可以看1x出随着格点多边形内部的点数的增加2是不变化的，面积逐步增加1，由此可以猜想S 与S1xn 1x 之间的关系式是：2．因此得出皮克公式．下面再来看皮克公式在中考试题中的应用．例 2 如图，已知图中每个小方格的边长为 1，则点 C 到 AB 所在直线的距离等于．（浙江省湖州市 2004 年中考试题）分析 此题若直接求距离难度较大． 可以通过求ABC 的面积，进而求出高． 连结 AC、BCS ABC14314后，由皮克公式可知2，又因为AB10,S ABC12S ABC 24 410ABh, h1052AB。
所以点 C 到 AB 所在直线的距4 10离等于 5 例 3 已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为 1 的正方形， A、B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点 C 也在小方格的顶点上，且以 A、B、C 为顶点的三角形的面积为 1 个平方单位，则点 C 的个数为（ ）．（黑龙江省——年中考试题）（A）3 个 （B）4 个 （C）5 个 （D）6 个S ABC1 x n1 1，因为 x, n 是整数，又因为 x2 ，所分析由皮克公式可知：2以 x4, n0 ．因此这个三角形 ABC内部没有格点，三边上共有4 个格点．又因为已有了两点，因此三角形边上还有两个格点，则有AC和BC边上，一边上有三个格点，另一A、B边上有两个格点．因此在过A 、 B 两点的水平和竖直线上易得点C．有图中的6 个(C1, C2,C3,C4 ,C5 ,C 6) ，因此答案选择（ D）．例 4 已知右边方格纸中的每个小方格是边长为 1 的正方形， A、B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示．请在小方格的顶点上确定一点 C，连结 AB、AC、BC，使 ABC 的面积为 2 个平方单位．（江西省 2003 年中考试题）S ABC1 x n 122，所分析由皮克公式可知：2。
因为 x, n是整数，又因为 xx4x6以 n1 或 n0 x4当 n1 时，三角形 ABC 内部有一个格点，三边上共有4 个格点．又因为已有了两点，因此三角形边上还有两个格点，则有AC和BC边上，一边上有三个格点，另一边上A、B有两个格点因此在过A、B 两点的竖直线上易得点C 有图中的 4 个位置 (C1 ,C2 ,C3, C4) ．x6当 n0时，三角形 ABC 内部没有格点，三边上共有6 个格点，此时，在过点 B 的水平线上易得点C有一个（C5）．因此本题共有符合条件的点5 个，学生只要作出一个就行．例 5在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1 的正方形．点A、B 是方格纸中的两个格点 （即正方形的顶点） ，在这个 55 的方格纸中， 找出格点 C 使ABC 的面积为 2 个平方单位，则满足条件的格点C 的个数是（）．（A） 5 （ B）4 （C）3 （D）2（重庆市 2004 年中考题）S ABC1 x n 12x, n 是整数，又因为分析 由皮克公式可知：2，因为这时三角形x4x6x 2，所以n1或 n0 x4当 n1 时，这时三角形 ABC内部有一个格点，三边上共有4 个格点、又因为已有了两点 A、B，因此三角形边上还有两个格点，则有AC 和 BC 边上，一边上有三个格点，另一边上有两个格点．因此在过A、B 两点的水平直线上易得点C 有图中的 3 个 (C1,C2,C3 ) 位置．x6当 n0时，三角形 ABC 内部没有格点，三边上共有6 个格点，此时，在过点A 的竖直线上易得点C有一个（C4）．在过点 A 的斜线上点C有一个（C5），因此答案选择 （ A）．值得强调的是，本题中的点 C 5 学生若不知道皮克公式，是很难把它找出来的．感谢您的阅读，祝您生活愉快 。