1)作业作业8-2，8-4，8-5，8-11，8-14，8-16，8-20，8-23，8-27，8-31放电时，笼中人安然无恙放电时，笼中人安然无恙触摸带电球时，温柔女怒发冲冠触摸带电球时，温柔女怒发冲冠8.1.1 导体的静电平衡导体的静电平衡(Electrostatic equilibrium about conductors)8.1.2 有导体存在时静电场的分析与计算有导体存在时静电场的分析与计算(重点重点)8.1.3 静电屏蔽静电屏蔽(electrostatic shielding)(3)本节讨论三个问题本节讨论三个问题:(1)导体如何达到静电平衡导体如何达到静电平衡?(2)静电平衡时有哪些特点静电平衡时有哪些特点?(3)有导体时有导体时,电荷、场强电荷、场强 和电势和电势 的分布的分布?E 8.1.1 导体的静电平衡导体的静电平衡(Electrostatic equilibrium about conductors)一一、静电平衡状态静电平衡状态(electrostatic equilibrium)导体内部和表面都没有电荷的宏观导体内部和表面都没有电荷的宏观(或定向或定向)移动移动,且且电场分布不随时间变化。
电场分布不随时间变化q(4)EEE 0int感应电荷感应电荷 产生的场产生的场 Eq 导体导体E0E+-q 二、静电平衡时的特点二、静电平衡时的特点1.场强特点场强特点:2.电势特点电势特点:导体是等势体导体是等势体;表面是等势面表面是等势面3.电荷分布特点电荷分布特点:(1)实心导体上的电荷只分布在表面上实心导体上的电荷只分布在表面上 (可用高斯定理分析可用高斯定理分析)(5)0 intE表表面面表表面面 E0d SSE0 intqa b.0d)()(babarE 0 e S+0 intq(6)证明证明:0d SSE0intq在导体壳内紧贴内表面作高斯面在导体壳内紧贴内表面作高斯面S高斯定理高斯定理0内内表表面面Q若内表面有等量的正负电荷若内表面有等量的正负电荷,则会从正电荷向负电荷则会从正电荷向负电荷发射电场线发射电场线,场强沿闭合回路场强沿闭合回路L的线积分为的线积分为(2)对空腔导体对空腔导体,腔内无其他带电体时腔内无其他带电体时,电荷只分布在外表面上电荷只分布在外表面上0ddd 导体内沿电场线rErErEL与环路定理矛盾与环路定理矛盾 0intqSL+(4)对孤立导体对孤立导体,表面各处的面电荷密度和该处表面的表面各处的面电荷密度和该处表面的 曲率有关。
曲率大处曲率有关曲率大处,面电荷密度大面电荷密度大7)用导线将相距甚远的两个用导线将相距甚远的两个孤立带电导体球体相连孤立带电导体球体相连020044 RRRRQRRQ 020044 rrrrqrrq rRQqRr 说明说明:因导线将两球相连因导线将两球相连,有有 R=r(3)对空腔导体对空腔导体,腔内有其他带电体时腔内有其他带电体时,内表面上有等量内表面上有等量 异号的感应电荷异号的感应电荷凹进去的地方凹进去的地方,面电荷密度如何面电荷密度如何?rRQq三、导体表面的场强与面电荷密度的关系三、导体表面的场强与面电荷密度的关系(8)0int ES E0 EP P SqSEint01d Sqint 0 SSE 下侧面SESESESSddd SSESEdd上侧面SE 此此E只是电荷只是电荷 S产生的产生的,还是所有电荷产生的还是所有电荷产生的?S (9)四、静电现象的应用四、静电现象的应用3.范德格拉夫静电起电机范德格拉夫静电起电机1.尖端放电尖端放电(Point Discharge)2.静电除尘静电除尘烟气烟气净气净气烟尘烟尘高压高压离子流形成离子流形成“电风电风”(10)8.1.2 有导体存在时静电场的分析与计算有导体存在时静电场的分析与计算(重点重点)分析方法分析方法:用电荷守恒定律用电荷守恒定律:用高斯定理用高斯定理 电势概念电势概念用静电平衡条特点用静电平衡条特点:例例1:二块平行导体板面积相同二块平行导体板面积相同,面积面积S比二板间距的比二板间距的平方大很多平方大很多,设二板分别带有电荷设二板分别带有电荷QA,QB,且且QAQB0求求:每块板表面面电荷密度。
每块板表面面电荷密度忽略两板的边缘效应忽略两板的边缘效应)0 intEC .constQ设设:导体板表面的面电荷密度分别为导体板表面的面电荷密度分别为 1,2,3,4解解:由电荷守恒有由电荷守恒有:设设x轴为正方向轴为正方向,由导体内场强为零有由导体内场强为零有:(11)1 2 3 4 SSQ21A (1)SSQ43B (2):P1:P2022043201p1 E(3)022040321p2 E(4)(1)、(2)、(3)、(4)联立解得联立解得:S2BA41 S2BA32 xP1P2QAQB讨论讨论1)电场强度电场强度 分布分布?EIIIIEEE 1 2 3 4QAQB)2222(04030201 ExS0BA2 040302012222 ES0BA2 040302012222 ES0BA2 (12)(13)3)设导体板设导体板B接地接地,B右表面上的电荷就分散到更右表面上的电荷就分散到更 远的地球表面上远的地球表面上(为什么？为什么？)2)设设QB=0SQ2A41 SQ2A32 04 SQA21 032 04321 由电荷守恒由电荷守恒由高斯定理由高斯定理由导体中场强为零由导体中场强为零所以所以SQA32 01 04 解解:1)各表面电荷分布均匀各表面电荷分布均匀(由对称性及曲率相同由对称性及曲率相同)取高斯面取高斯面S包围包围球壳球壳B内表面内表面,(14)B外表面电荷为外表面电荷为:Q+q由电荷守恒定律由电荷守恒定律:B内外表面电荷之和为内外表面电荷之和为Q3)将将B接地接地,各表面的电荷分布各表面的电荷分布 及电势及电势;4)将将B的地线拆掉后的地线拆掉后,再将再将A接接 地地,各表面的电荷分布。
各表面的电荷分布Qq BqAq 1R2R3R例例2:导体球导体球A(带电带电q)与导体球壳与导体球壳B(带电量带电量Q)同心放置同心放置求求:1)各表面电荷分布各表面电荷分布;2)A的电势的电势 A,球壳球壳B内、外内、外 表面的电势表面的电势;S 由高斯定理可知，由高斯定理可知，B内表面电荷为内表面电荷为-q2)A的电势的电势 A方法方法1:由场强积分法由场强积分法 方法方法2:由电势叠加法由电势叠加法AQ+q-本问可看成三个带电球面的电势叠加本问可看成三个带电球面的电势叠加,由此可得由此可得(15)(A)AdrE 303220B4)(41RQqRQqRqRq 内内表表面面303330B4)(41RQqRQqRqRq 外外表表面面302010A444RQqRqRq 3)将将B接地接地,各表面电荷分布各表面电荷分布:BAq-q得得B内表面电荷为内表面电荷为-q外表面电荷为零外表面电荷为零16)各面的电势分别为各面的电势分别为)11(4210ARRq 0BB外外表表面面内内表表面面 导体接地时导体接地时,电势为零电势为零4)将将B的地线拆掉后的地线拆掉后,再将再将A接地接地,此时各表面电荷分布此时各表面电荷分布:BAq-q 由电势叠加由电势叠加:设设A带电为带电为q则则B内表面电荷为内表面电荷为-q外表面电荷为外表面电荷为-q+q0444302010A RRqRq 31322121RRRRRRRqRq(17)O 直线直线+d导导体体板板例例3:如图，求如图，求 O 点处感应电荷面密度点处感应电荷面密度 。
xO解：取导体板内很邻近解：取导体板内很邻近O点的点的O点，直线在点，直线在O点产生的电场点产生的电场dxxEd020144d 感应电荷在感应电荷在 O 点产生的电场点产生的电场022 E由总电场由总电场021 EEEOd 2 得得(18)(19)8.1.3 静电屏蔽静电屏蔽(electrostatic shielding)一、导体空腔放在外电场中一、导体空腔放在外电场中:达静电平衡后达静电平衡后1.电荷分布在外表面电荷分布在外表面,内表面上无电荷内表面上无电荷2.导体内部导体内部0 intE3.导体空腔中导体空腔中0 E屏蔽外电场屏蔽外电场腔外电场不影响腔内腔外电场不影响腔内1.若空腔导体未接地若空腔导体未接地(20)空腔内表面电荷为空腔内表面电荷为:-q空腔外表面无电荷空腔外表面无电荷2.若空腔导体接地若空腔导体接地-q+q屏蔽内电场屏蔽内电场q-q+-q+二、空腔导体内放有带电体二、空腔导体内放有带电体(q):达静电平衡后达静电平衡后 封闭导体壳封闭导体壳C内有一些带电体，所带电量分别内有一些带电体，所带电量分别 为为q1、q2、,C外也有一些带电体外也有一些带电体,所带电量所带电量 分别为分别为Q1、Q2、。
问问:(1)q1、q2、等的大小和分布对等的大小和分布对C外的外的 电场强度和电势有无影响？电场强度和电势有无影响？(2)Q1、Q2、等的大小和分布对等的大小和分布对C内的内的 电场强度和电势有无影响？电场强度和电势有无影响？(21)或电势或电势:导体是等势体导体是等势体 表面是等势面表面是等势面 场强场强:Eint=0 E表面表面 表面表面一、导体的静电平衡时条件一、导体的静电平衡时条件二、静电平衡的导体上的电荷分布二、静电平衡的导体上的电荷分布 静电场中的导体小结静电场中的导体小结(22)Eq00 ,int当地表面紧邻当地表面紧邻处的电场强度处的电场强度(2)常见导体组常见导体组:板状导体组板状导体组 球状导体组球状导体组(1)分析方法分析方法:用电荷守恒用电荷守恒 用静电平衡条件用静电平衡条件 用高斯定理用高斯定理 电势概念电势概念三、有导体存在时静电场的分析与计算三、有导体存在时静电场的分析与计算四、静电屏蔽四、静电屏蔽:静电平衡时静电平衡时,金属空壳的外表面上及壳外的电荷金属空壳的外表面上及壳外的电荷 在壳内的合场强总为零在壳内的合场强总为零,因而对壳内无影响因而对壳内无影响。
23)(24)8.2.1 电介质对电场的影响电介质对电场的影响(The Influence of electric field by dielectric)8.2.2 电介质的极化电介质的极化(The polarization of dielectric)8.2.3 电极化强度电极化强度(polarization)电介质电介质(Dielectric)的主要特征：的主要特征：电子处于束缚状态电子处于束缚状态,几乎不存在可以自由移动的电荷几乎不存在可以自由移动的电荷各向同性的理想的电介质，其内部没有可以自由移动各向同性的理想的电介质，其内部没有可以自由移动的电荷也称为绝缘体也称为绝缘体本节研究：本节研究：实验现象：两块金属板带相同电荷时实验现象：两块金属板带相同电荷时rUU /0dEU00 EdU rEE /0其中其中 r 称为称为相对介电常数相对介电常数,大于大于1 r标志电介质对静电场影响的程度标志电介质对静电场影响的程度,是反映物质电学是反映物质电学性能的一个重要参数性能的一个重要参数25)+-电介质电介质真空真空0Ud静电计偏转小静电计偏转小+-dU 8.2.1 电介质对电场的影响电介质对电场的影响(The Influence of electric field by dielectric)8.2.2 电介质的极化电介质的极化(The polarization of dielectric)一、电介质的微观图象及其模型一、电介质的微观图象及其模型分子电偶极子模型分子电偶极子模型根据分子正、负电荷分布根据分子正、负电荷分布“重心重心”是否重合是否重合,划分划分为为有极分子有极分子(Polar molecule)分分p+无极分子无极分子(Non-polar molecule)如如H2,CO2,CH4,He等等如如H2O,NH3,HCl等等(26)分p H2OCH4-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+束束缚缚电电荷荷E 二、电介质的极化二、电介质的极化(polarization of dielectric)E0有极分子电介质有极分子电介质 取向极化取向极化(orientation polarization)-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+无极分子电介质无极分子电介质位移极化位移极化(displacement polarization)束束缚缚电电荷荷E0E EEE 0电介质内部场强电介质内部场强说明说明(27)(28)8.2.3 电极化强度电极化强度(polarization)一、电极化强度的定义一、电极化强度的定义:C/m2VpP 分分单位体积内分子电偶极矩的矢单位体积内分子电偶极矩的矢量和量和,称为电极化强度。
称为电极化强度在电介质内任取一物理在电介质内任取一物理无限小的体积元无限小的体积元 V(即宏观上无限小即宏观上无限小,微观微观上无限大的体积元上无限大的体积元 V)一般一般:介质中各点极化强度不等介质中各点极化强度不等,若相等为均匀极化若相等为均匀极化物理意义物理意义:电介质内分子电偶极矩电介质内分子电偶极矩(或因位移极化形或因位移极化形 成的电偶极矩成的电偶极矩)转向外电场方向的程度转向外电场方向的程度对于均匀极化对于均匀极化,其极化电荷其极化电荷只集中在表面层里或在两只集中在表面层里或在两种不同介质的界面层里种不同介质的界面层里V+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-电介质的静电平衡电介质的静电平衡:(29)电场与电介质相互作用关系电场与电介质相互作用关系:qPE 0EE -+0E束缚电荷束缚电荷 产生附加电场产生附加电场),(q E0E-+E介质中电场介质中电场0E外电场外电场EEE0E E这种关系类似于电路中的负反馈效应这种关系类似于电路中的负反馈效应1.电极化强度与电场强度的关系电极化强度与电场强度的关系实验表明：实验表明：在各向同性电介质在各向同性电介质(isotropy linearity)中中EPe0 E1 re :电极化率电极化率(electric susceptibility)(无单位无单位)与与 无关无关,只与介质有关。
只与介质有关30)E:介质中场强介质中场强;当当 很强时很强时,与与 为非线性关系为非线性关系EEP当外加电场很强时当外加电场很强时,会导致电介质的击穿会导致电介质的击穿二、电介质的极化规律二、电介质的极化规律意义意义:电介质内各处的电极化强度电介质内各处的电极化强度P是由各处的合场是由各处的合场 强强E决定的2.电极化强度与极化电荷面密度的关系电极化强度与极化电荷面密度的关系整个斜柱体相当于一个大电整个斜柱体相当于一个大电偶极子偶极子(一端电荷量为一端电荷量为 dS)其电偶极矩的大小为其电偶极矩的大小为 dSL等于等于dV内所有分子电偶极内所有分子电偶极矩的矢量和矩的矢量和 的大小的大小,即即 分pLSp)d(分 cosd VpP分nP 介质外法线方向的单位矢量介质外法线方向的单位矢量n(31)P nSSdd L均匀电介质均匀电介质真空真空Vd+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-cosdd SLV例例4:半径半径R 的介质球被均匀极化的介质球被均匀极化,电极化强度电极化强度 如图如图求求:(1)介质球表面的极化面密度介质球表面的极化面密度;(2)极化电荷在球心处的场强。
极化电荷在球心处的场强cosPnP右半球面上右半球面上 0左半球面上左半球面上 0最最大大处处，及及；处处，002(2)在球面上取环带在球面上取环带 d dsin2dRRq 解解:(1)极化电荷面密度极化电荷面密度 对对x轴轴具有旋转对称具有旋转对称,球面上任一点球面上任一点:P n o dcossin22 RPox dE d(32)Px(33)cos4dd20RqE E 沿沿x轴负方向轴负方向环带在球心处的场强环带在球心处的场强(第第7章课件例题章课件例题4):00203dcossin2d PPEE ox dE d d20cossin2P 或或iPE03 -+DS取柱形高斯面取柱形高斯面 S，由高斯定理，由高斯定理 int01dqSES)(1intint00 自由电荷自由电荷极化电荷极化电荷下底面下底面SSnPSPS dd int00d)(qSPES 下底面Sqi int(34)PE引入电位移矢量引入电位移矢量:PED0 8.3.1 电位移电位移D 介质中的高斯定理介质中的高斯定理int0dqSDS 自由电荷自由电荷讨论讨论2)对各向同性介质对各向同性介质 将将EPr)1(0 代入代入PED 0 EDr 0 ED(35)D的高斯定理的高斯定理:1)D的通量只与曲面内的自由电荷有关的通量只与曲面内的自由电荷有关,但但D不仅与不仅与 自由电荷有关自由电荷有关,还与极化电荷有关。
还与极化电荷有关意义意义:通过任意封闭曲面的电位移通量通过任意封闭曲面的电位移通量(又叫又叫D通量通量)等于该封闭曲面所包围的等于该封闭曲面所包围的自由电荷自由电荷的代数和的代数和其中其中 =0 r 称为电介质的介电常数称为电介质的介电常数(或电容率或电容率)电介质电介质DPE0 00orEE 00orEE 空隙空隙空隙空隙导体导体导体导体+q+q3)3 种力线的分布特点：种力线的分布特点：(36)电位移线电位移线(D线线)起于正自由电荷起于正自由电荷,止于负自由电荷止于负自由电荷PED0(37)E线线D线线是是E线线?还是还是D线线?通过各界面的通过各界面的E通量和通量和D通量通量?两个同心的介质球，中心有个自由电荷两个同心的介质球，中心有个自由电荷8.3.2 D的高斯定理的应用的高斯定理的应用(38)在电荷分布具有某种对称性的情下在电荷分布具有某种对称性的情下,首先由首先由 的的高斯定理出发求解高斯定理出发求解D q?EEE 0问题问题:qPEDq0 EDr 0 EPr10 Sqd nP int0dqSDS S2S1d导体板导体板导体板导体板 b电介质电介质 r例例5:如图如图:求求(1)导体板与电介质板之间空隙中的电导体板与电介质板之间空隙中的电场强度场强度 E0;(2)电介质中的电场强度电介质中的电场强度 E;(3)两导体板两导体板间的电势差。
间的电势差下底面下底面SDSSDS 1d(2)仍取柱形高斯面仍取柱形高斯面S2上底面上底面SDSSDS 2d(3)U=E0(d b)+Eb(39)000/DED，)/()/(,00rrDED 解：解：(1)取如图所示柱形高斯取如图所示柱形高斯面面S1,应用应用D的高斯定理的高斯定理D例例6:一个带正电的金属球一个带正电的金属球,半径为半径为R,电量为电量为q,浸在油浸在油中中,油的相对介电常数为油的相对介电常数为 r;求求:球外的电场分布以及球外的电场分布以及贴近金属球表面上的束缚电荷贴近金属球表面上的束缚电荷 qDRr,4,4,d22rqDqrDqSDS rrqDErrqDrr,200244 可见带电体周围充满电介质时可见带电体周围充满电介质时,场强为真空时的场强为真空时的 1/r 倍倍n rrqDDDEDPrrr411112000 qRqPPnPrRRR ,)11(4,cos2 高高斯斯面面(40)解解:利用利用D的高斯定理的高斯定理P例例7:无限长均匀带电圆柱体无限长均匀带电圆柱体(R、0)求求 1)以轴为标准点以轴为标准点(电势零点电势零点)2)以外表面为标准点以外表面为标准点,圆柱内、圆柱外任一点的电势圆柱内、圆柱外任一点的电势?ro解解:先求柱内任一点场强先求柱内任一点场强(rR)hRrhD222 rRD222 rRE0222 (41)hr1P2P 01)以轴为标准点以轴为标准点 4dd201011rrErErr 0122ddRRrrErE)4ln2(202 RRrR2)外表面为标准点外表面为标准点)(4d2d2211rRrrrERrRr rRRrRrRrErEln2dd02222 (42)ro1P2P引言引言:电容器是一储能元件。
电容器是一储能元件纸质电容器纸质电容器陶瓷电容器陶瓷电容器电解电容器电解电容器钽电容器钽电容器可变电容器可变电容器(43)电容电容(与热容类比与热容类比)是指导体储存电荷的能力是指导体储存电荷的能力它依赖于导体的大小、形状，表示升高单位电势所需它依赖于导体的大小、形状，表示升高单位电势所需要的电量要的电量球状导体：球状导体：,40RQ RQC04 求得地球的电容仅为求得地球的电容仅为 0.74 mF8.4.1 孤立导体的电容孤立导体的电容(the capacity of an isolated conductor)一个孤立带电导体一个孤立带电导体,其电势其电势 (取无穷远为电势零点取无穷远为电势零点)与其电量与其电量 Q 成正比成正比,其比值是一个常数其比值是一个常数QC 定义孤立导体的电容定义孤立导体的电容单位单位:C/V=F,1F=10-6 F,1pF=10-12 F44)8.4.2 电容器的电容电容器的电容(the capacity of capacitor)1.两个导体的电容两个导体的电容对两导体的电容器对两导体的电容器,定义电容定义电容:UCba 其中其中a、b 两导体分别带电两导体分别带电 Q,电势分别为电势分别为 a 和和 bC与导体几何形状、大小、介质有关与导体几何形状、大小、介质有关,与所带电量无关与所带电量无关求电容的过程即为求电场的过程求电容的过程即为求电场的过程:E U C,本课程涉及的电容器包括平行板、球形、本课程涉及的电容器包括平行板、球形、圆圆柱形。
柱形2.由电介质和真空隔开的两个导体的电容之间的关系由电介质和真空隔开的两个导体的电容之间的关系(45)所以所以 r 也叫相对电容率也叫相对电容率0CCr 3.电容的计算电容的计算(重点重点)(46)Q设设EUUQC (1)平行板电容器平行板电容器只决定于形状、尺寸、介质只决定于形状、尺寸、介质,与带电量无关与带电量无关设二板分别带等量异号电荷设二板分别带等量异号电荷 Q(电荷怎样分布？电荷怎样分布？)二板之间场强二板之间场强:二板之间电势差二板之间电势差:dSQU dSUQC rrEE00dUS+Q-Q2002124,4rQDERrRrQDrr (2)球形电容器球形电容器球形电容器由两个同心的导体球壳组成球形电容器由两个同心的导体球壳组成R1R2 r+Q-Q当当 R2 时时,得到孤立球形导体的电容得到孤立球形导体的电容C=4 0 rR1仍设电容器带电仍设电容器带电 Q,得得 21020114d4d2121RRQrrQrEUrRRrRR 12214RRRRUQC (47)(3)圆柱形电容器圆柱形电容器l+Q-Q圆柱形电容器由两个同轴的金属圆桶组成圆柱形电容器由两个同轴的金属圆桶组成,忽略两端边缘效应。
忽略两端边缘效应rlQDERrRrlQrDrr 00212,22 1200ln2d12d2121RRlQrrlQrEUrRRrRR )/ln(212RRlUQC (48)R1R2 r8.4.3 电容器的连接电容器的连接(the link of capacitor)+q q +q qC1,U1 C2,U2 21212121212211)(CCCCCqCUUqCUUCUCUCq 2.并联并联:电压相等电压相等C1 q1C2 q2U2121212211CCUUqCCCqCqU 1.串联串联:每个电容电量相等每个电容电量相等(电荷守恒的结果电荷守恒的结果)(49)电容器是一种常用的电工和电子学元件电容器是一种常用的电工和电子学元件如如:在交流电路中电流和电压的控制在交流电路中电流和电压的控制;发射机中振荡电流产生发射机中振荡电流产生;接收机中的调谐接收机中的调谐;整流电路中的滤波等等整流电路中的滤波等等4.电容器的应用电容器的应用3.电容器的两个主要指标电容器的两个主要指标电容电容:电容器储存电荷能力电容器储存电荷能力;耐压能力耐压能力:外加电压超过耐压能力外加电压超过耐压能力,电容器会被击穿电容器会被击穿;串联时串联时:总电容减小总电容减小,但电容器组的耐压能力提高但电容器组的耐压能力提高;并联时并联时:总电容增大总电容增大,但电容器组的耐压能力取决于耐但电容器组的耐压能力取决于耐 压能力最低的电容器。
压能力最低的电容器50)例例8:二块平行导体板二块平行导体板A和和B,相距相距 d,面积为面积为S(Sd2)求求:1)插入相对介电常数为插入相对介电常数为 r 厚度为厚度为 t 的介质板，的介质板，2)插入厚度为插入厚度为 t 的导体板时的导体板时,A和和B间的电容各为多少间的电容各为多少?解解:1)设二板设二板A和和B带电分别为带电分别为 QttdEttdEUr 000)()(ttdSUQCr 00)(51)trrrttdSttdS /)()(00dAB2)(0tdU tdStdSUQC 00)(真空时：真空时：dSC00 插介质插介质:rttdSC /)(0插导体插导体:tdSC0(52)(小小)(大大)(最大最大)讨论讨论S1例例9:平行板电容器两极板面积为平行板电容器两极板面积为S,如图所示如图所示,两极板两极板之间充有两层电介质之间充有两层电介质,电容率分别为电容率分别为 1 和和 2,厚度分厚度分别为别为d1 和和d2,电容器两极板上自由电荷面密度为电容器两极板上自由电荷面密度为 求求(1)在各层电介质的电位移和场强在各层电介质的电位移和场强;(2)电容器的电容电容器的电容。
d1d2 1 2-1E2E1D2D解解:(1)取柱面高斯面取柱面高斯面S1,按有电介按有电介 质时的高斯定理得质时的高斯定理得右右右右1111dSSDSDS 0111 rE 1D(53)方向如图所示方向如图所示S2在两个介质交界面附近取高斯面在两个介质交界面附近取高斯面S2,在此高斯面内的自由电荷为零由在此高斯面内的自由电荷为零由电介质时的高斯定理得电介质时的高斯定理得+d1d2 1 2-1E2E1D2D0d22212右右左左SDSDSDS 12DD(54)0222 rE(2)正、负两极板间的电势差为正、负两极板间的电势差为 221122112211 ddSQdddEdE方向如图所示方向如图所示2211 ddSQC Q=S 是每一极板上的电荷是每一极板上的电荷,电容器的电容为电容器的电容为可见电容与电介质的放置次序无关上述结果可以推可见电容与电介质的放置次序无关上述结果可以推广到两极板间有任意多层电介质的情况广到两极板间有任意多层电介质的情况55)怎样计算下图的电容怎样计算下图的电容?使物体带电的过程就是分离正负电荷的过程使物体带电的过程就是分离正负电荷的过程,外力克服外力克服电场力做功电场力做功,将其它形式的能将其它形式的能(如化学能如化学能)转化为电能。
转化为电能8.5.1 电荷系的静电能电荷系的静电能(electrostatic energy of the electric charge)把电荷从无限远离的状态聚合到一起，外力克服静电把电荷从无限远离的状态聚合到一起，外力克服静电力所作的功，称为力所作的功，称为电荷系的静电能电荷系的静电能56)一、点电荷系的静电能一、点电荷系的静电能1.两个点电荷系的静电能两个点电荷系的静电能第一步：第一步：先把先把q1从无限远移到某处从无限远移到某处 外力不作功外力不作功第二步：第二步：再把再把q2从无限远移过来从无限远移过来,使系统处于状态使系统处于状态a 外力克服外力克服q1的电场作功的电场作功1qAW rEqrd12 rEqrd12 r0124 12 q 想象想象q1,q2初始时相距无限远初始时相距无限远设无穷远处的电势能：设无穷远处的电势能：W=0(57)1q1q1q2q2q2q状态状态ar 1:q1在在q2所在所在处激发的电势处激发的电势210214 qrW 12 q 为了便于推广为了便于推广 写为写为22112121 W iiiqW 21 i:除除qi 以外的电荷以外的电荷在在qi 所在处激发的电所在处激发的电势势 也可以先移动也可以先移动q22.N个点电荷系的静电能个点电荷系的静电能 与与 同号时同号时,W0;异号时异号时,W0,外力作负功外力作负功2q1q有介质时有介质时,qi 仍是自由点电荷仍是自由点电荷,i 则改为有介质时的电势则改为有介质时的电势 2:q2在在q1所在所在处激发的电势处激发的电势点电荷系点电荷系注意注意(58)二、电荷连续分布的静电能二、电荷连续分布的静电能 Wd21 :带电体上带电体上所有电荷所有电荷q在电荷元在电荷元dq 所在处激发的电势所在处激发的电势 VVWd21 SSWd21 llWd21 dq,q(59)例例10:如图所示如图所示,在一边长为在一边长为d 的立方体的每个顶点上的立方体的每个顶点上放有一个点电荷放有一个点电荷-e,立方体中心放有一个点电荷立方体中心放有一个点电荷+2e。
求求此带电系统的相互作用能量此带电系统的相互作用能量(即静电能即静电能)2e e e e e e e e e解法一解法一:先求每对相互作用能先求每对相互作用能de02412 面对角线长度为面对角线长度为 的也有的也有12对对:d2de241202 (60)dd3d22/3d距离为距离为d的共有的共有12对对:立方体对角线长度为立方体对角线长度为 的有的有4对对:d3de34402 2/342802de 2/3d立方体中心到每一个顶点的距离是立方体中心到每一个顶点的距离是 的有的有8对对:点电荷系的总相互作用能量点电荷系的总相互作用能量(静电能静电能)为为 dedededeW33234212124122220 (61)解法二解法二：利用公式利用公式dedededei2342)34()24(3)4(30000 在体心处的电势为在体心处的电势为de234800 (62)iiiqW 21任一顶点处的电势为任一顶点处的电势为+2e e e e e e e e edd3d22/3d这个点电荷系的总相互作用能为这个点电荷系的总相互作用能为结果与解一相同结果与解一相同 dedededeeeWi022220034.03282121241221218 (63)drqd解法一：由电荷系静电能定义解法一：由电荷系静电能定义334rq 再聚集再聚集rrrd 这层球壳电荷元这层球壳电荷元dq，Wrrd)(dd 球体是一层层无限分割的球壳电荷从球体是一层层无限分割的球壳电荷从无限远逐渐聚集而成，无限远逐渐聚集而成，(64)例例11:求求半径为半径为R 带电量为带电量为Q 的均匀带电球的静电能的均匀带电球的静电能外界需克服电场力作功为外界需克服电场力作功为当球体半径为当球体半径为r 时时,已聚集电荷为已聚集电荷为334RQ rqRQWWR020203d rqr04 rrqd4d2 rrrqWd44d20 (65)解法二：由公式解法二：由公式 QqWd21 rdrqd RRrrrrrQrrRQrEd4d4d3030 3020883RQrRQ 与与 r 是不同的：是不同的：是整个带电体是整个带电体Q在在dq处激发的电势处激发的电势 r 是带电体具有电量是带电体具有电量q时在时在dq处激发的电势处激发的电势 RVrrRQrRQVW023020d4)883(21d21 RQ02203(66)注意注意 8.5.2 电容器的能量电容器的能量(The energy stored in capacitors)设设:某时刻二板带电量为某时刻二板带电量为 q(Q)时时,A、B板间的电势差为板间的电势差为+将将dq从负极板移到正极板外力克服从负极板移到正极板外力克服静电力的元功静电力的元功:(67)F使二板带电量使二板带电量 Q,电容器储存的能量电容器储存的能量?qdqCqAAed)(d)(ddd +ABCQqCqAAQ2021dd 外力作的功外力作的功:22212121CUUQCQW dSC,(,加介质时加介质时)W如何改变如何改变?讨论讨论(1)保持电压不变保持电压不变:WC,(2)保持保持Q不变不变:WC,(68)根据功能关系根据功能关系,可得电容器的能量可得电容器的能量:dSCr 0 SQErr 00 SdSQSdQCQWrrr200022)(22121 SdEr202 电场能量密度电场能量密度2021ESdWVWwre 22212121DDEEwe 8.5.3 静电场的能量静电场的能量(The electric field energy)以平行板电容器为例以平行板电容器为例公式虽然由平行板电容器特例导出公式虽然由平行板电容器特例导出,但它普遍成立。
但它普遍成立可以用它来计算任意带电体的电场储存的能量可以用它来计算任意带电体的电场储存的能量:VeVwWdV电场所占居的空间电场所占居的空间(69)lR1R2+Q-Q rrlQEr 02 解解:两极面间的电场两极面间的电场电场中取圆柱壳体积元电场中取圆柱壳体积元:rrlVd)2(d 则在则在 dV 中的电场能量为中的电场能量为VEVwWred2dd20 例例12:一圆柱形电容器一圆柱形电容器,两个极面的半径分别为两个极面的半径分别为R1和和R2两极面间充满相对介电常数为两极面间充满相对介电常数为 r的电介质的电介质求求此电容器带有电量此电容器带有电量Q时所储存的电能时所储存的电能21d221d02RRrrrlQWW 1202ln4RRlQr r(70)dr例例13:平行板电容器平行板电容器(S,d)充电后断开电源设带电量充电后断开电源设带电量 Q(或己知或己知U)将二板间距由将二板间距由d拉到拉到2d 求求:1)外力克服二板之间吸引力所作的功为多少外力克服二板之间吸引力所作的功为多少?2)二板间吸引力为多少二板间吸引力为多少?解解:1)外力所作的功外力所作的功A等于两极板的间距拉等于两极板的间距拉开到开到2d后电容器中电场能量的增量后电容器中电场能量的增量W2W11222122121CQCQWWASQdSQdSdQ020202221221 (71)AB+Q-QAB+Q-Q0A2 E2)方法一方法一:设两板间的相互作用力为设两板间的相互作用力为F电电,设拉开两板时所施加设拉开两板时所施加的外力为的外力为F外外,而而F电电F外外又因外力所作的功为又因外力所作的功为AF外外dSQdAFF022/外外电电方法二方法二:可以理解为由板可以理解为由板A在空间激发电场在空间激发电场EA板板B上的电荷受到上的电荷受到EA的作用的作用SqEFQ0200A22d 电(72)例例14:一平板电容器一平板电容器,极板面积为极板面积为S,极板间距为极板间距为d,使极使极板间电势差保持为板间电势差保持为U。
今把一厚度为今把一厚度为d的电介质的电介质(相相对介电常数为对介电常数为 r)插入电容器中插入电容器中,正好占满一半空间正好占满一半空间忽略边缘效应忽略边缘效应)求求(1)极板上的电荷分布极板上的电荷分布,介质中、空气中的场强与介质中、空气中的场强与 电位移电位移,以及电容以及电容;(2)插入电介质过程中电源的功及电场能量的变化插入电介质过程中电源的功及电场能量的变化U2/S2/S解解:(1)插入电介质前插入电介质前:dSC00 UdSUCq000 dUE 0(73)插入电介质后插入电介质后:设介质内场强为设介质内场强为E2,空气内场强为空气内场强为E1 UdEdE 12dUEE 21由由 D=0 rE 可得可得dUD01 dUDr 02 由由D的高斯定理可求得的高斯定理可求得2/111SqD 2/222SqD dSUq201 dSUqr202 (74)U2/S2/S1E1D2E2D2q2q 1q1q 设面向介质与面向空气的极设面向介质与面向空气的极板上的自由电荷分别为板上的自由电荷分别为q2与与q1 板上总电荷为板上总电荷为02121r 021CUqCr 电容为电容为或或dSdSUqUqCr220021 相当于两电容器的并联相当于两电容器的并联(2)由于插入电介质后由于插入电介质后,极板上电荷增加极板上电荷增加:0021r 电源作功为电源作功为202)1(UdSqUAr 电场能量增加电场能量增加:202024)1(2121UdSUCCUWr (75)AW,还有一部分能量跑哪去了呢还有一部分能量跑哪去了呢?U2/S2/S1E1D2E2D2q2q 1q1q 一、电介质的极化一、电介质的极化 在外电场的作用下在外电场的作用下,电介质表面出现束缚电荷的现象电介质表面出现束缚电荷的现象 (均匀电介质均匀电介质),叫做电介质的极化。
叫做电介质的极化静电场中的电介质小结静电场中的电介质小结EEPre)1(00介质电极化率介质电极化率1re 二、电极化强度二、电极化强度 对各向同性线性电介质对各向同性线性电介质,不太强时不太强时,可由实验证明可由实验证明:电极化强度与电场强度成正比电极化强度与电场强度成正比,方向相同方向相同E无极分子电介质的极化无极分子电介质的极化-位移极化位移极化 有极分子电介质的极化有极分子电介质的极化-取向极化取向极化束缚电荷束缚电荷(76)三、电介质表面束缚电荷密度三、电介质表面束缚电荷密度束缚电荷的面密度束缚电荷的面密度:在数值上就等于极化强度矢量在数值上就等于极化强度矢量 在介质表面外法线方向的分量在介质表面外法线方向的分量PED 0 四、电位移矢量四、电位移矢量五、五、的高斯定理的高斯定理 通过任意封闭曲面的电位移通量等于该封闭面包通过任意封闭曲面的电位移通量等于该封闭面包 围的自由电荷的代数和围的自由电荷的代数和Dint0dqSDS ED nP(77)六、静电场中有电介质时解题思路六、静电场中有电介质时解题思路在电荷分布具有某种对称性的情下在电荷分布具有某种对称性的情下,首先由首先由 的的高斯定理出发求解高斯定理出发求解D q?EEE 0问题问题:(78)UQC 七、电容器的电容七、电容器的电容设设QE UUQC 1.典型电容器电容的计算典型电容器电容的计算qPEDq0 EDr 0 EPr10 Sqd nP int0dqSDS 柱形柱形R1R2)/ln(2120RRlUQCr 球形球形R1R2122104RRRRUQCr 平行板平行板ddSUQCr 0 (79)iCC111.串联串联:2.并联并联:iCC2.电容器组电容器组八、静电场的能量八、静电场的能量QUCUCQW21212122 2.电容器的能量电容器的能量 3.电场能量密度电场能量密度 22212121DDEEwe VEVwWed2d2 4.电场能量电场能量(80)iiiqW 21 Wd21 1.电荷系的静电能电荷系的静电能。