5.1 5.1 定积分概念与性质一、定积分问题举例 二、定积分定义三、定积分的性质 上页下页结束返回首页上页下页结束返回首页一、定积分问题举例一、定积分问题举例曲边梯形曲边梯形 设函数设函数y f(x)在区间在区间a,b上非负、连续上非负、连续.由直线由直线x a、x b、y 0及曲线及曲线y f(x)所围成的图形称为所围成的图形称为曲边梯形曲边梯形,其中曲其中曲线弧称为线弧称为曲边曲边.1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积 下页下页如何求面积如何求面积?上页下页结束返回首页观察与思考观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形在曲边梯形内摆满小的矩形,当小矩形的宽度减少时当小矩形的宽度减少时,小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差误差将如何变化将如何变化?近似值？近似值？下页下页 精确值？精确值？上页下页结束返回首页niiixfA10)(lim.求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积 (1)分割分割:a x0 x1 x2 xn 1 xn b,xi xi xi 1;小曲边梯形的面积小曲边梯形的面积近似近似为为f(i)xi (xi 1 i xi););(2)近似代替近似代替:(4)取极限取极限:设设 max x1,x2,xn,曲边梯形的面积曲边梯形的面积为为 (3)求和求和:曲边梯形的面积曲边梯形的面积近似近似为为 ;niiixfA10)(lim 下页下页积分的辩证法积分的辩证法:量变量变质变质变上页下页结束返回首页2.2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程 已知物体直线运动的速度已知物体直线运动的速度v v(t)是时间是时间 t 的连续函数的连续函数,且且v(t)0,计算物体在时间段计算物体在时间段T1,T2内所经过的路程内所经过的路程S.(1)分割分割:(2)近似代替近似代替:(3)求和求和:(4)取极限取极限:首页首页TOt1titi-1tn-1S始点终点t2.1s2s.is.nss.01tT ntT2T1 t0 t1 t2 tn 1 tn T2,ti ti ti 1;Si v(i)ti (ti 1 i ti);niiitvS1)(;记记 max t1,t2,tn niiitvS10)(lim.上页下页结束返回首页二、定积分定义v1.定积分的定义在小区间在小区间xi 1,xi上上任取任取一一点点 i(i 1,2,n),niiixf1)(;作和作和 max x1,x2,xn;记记 xi xi xi 1(i 1,2,n),a x0 x1 x2 xn 1 性质性质3 3 3 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(.注：注：值得注意的是不论值得注意的是不论a,b,c的相对位置如何上式总成立的相对位置如何上式总成立.下页下页上页下页结束返回首页三、定积分的性质1 bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(.性质1 性质2 2 babadxxfkdxxkf)()(.性质3 性质4 4 abdxdxbaba1.3 bccabadxxfdxxfdxxf)()()(.下页上页下页结束返回首页badxxf0)(ab).推论推论1 1 如果在区间如果在区间a,b上上 f(x)g(x),则则 babadxxgdxxf)()(ab).这是因为这是因为g(x)f(x)0,从而从而 bababadxxfxgdxxfdxxg0)()()()(,babadxxgdxxf)()(.所以所以如果在区间如果在区间a,b上上 f(x)0,则则 性质性质5 5 下页下页)(xg)(xfOxy上页下页结束返回首页 这是因为这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|,所以所以badxxf0)(ab).推论推论1 1 如果在区间如果在区间a,b上上 f(x)g(x),则则 babadxxgdxxf)()(ab).如果在区间如果在区间a,b上上 f(x)0,则则 性质性质5 5 babadxxfdxxf|)(|)(|(ab).推论推论2 2 bababadxxfdxxfdxxf|)(|)(|)(|,即 babadxxfdxxf|)(|)(|.下页下页上页下页结束返回首页badxxf0)(ab).推论推论1 1 如果在区间如果在区间a,b上上 f(x)g(x),则则 babadxxgdxxf)()(ab).如果在区间如果在区间a,b上上 f(x)0,则则 性质性质5 5 babadxxfdxxf|)(|)(|(ab).推论推论2 2 性质性质6 6 设设M及及m分别是函数分别是函数f(x)在区间在区间a,b上的最大值及最上的最大值及最小值小值,则则 baabMdxxfabm)()()(ab).下页下页上页下页结束返回首页例例4.4.试证试证:.2dsin120 xxx证证:设设)(xf,sinxx则在则在,0(2上上,有有)(xf2sincosxxxx)tan(xx 2cosxx0)0()()2(fxff即即2,1)(xf2,0(x故故xxxfxd1d)(d2220002即即2dsin120 xxx上页下页结束返回首页 如果函数如果函数f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续上连续,则在积分区间则在积分区间a,b上至少存在一个点上至少存在一个点 ,使下式成立使下式成立:这是因为这是因为,由性质由性质6 性质性质7(7(定积分中值定理定积分中值定理)baabfdxxf)()(.积分中值公式积分中值公式.baabMdxxfabm)()()(,即 baMdxxfabm)(1,由介值定理由介值定理,至少存在一点至少存在一点 a,b,使使badxxfabf)(1)(,两端乘以两端乘以b a即得积分中值公式即得积分中值公式.结束结束上页下页结束返回首页内容小结内容小结1.定积分的定义定积分的定义 乘积和式的极限乘积和式的极限2.定积分的性质定积分的性质3.积分中值定理积分中值定理连续函数在区间上的平均值公式连续函数在区间上的平均值公式 baIdxxf)(iinixf )(lim10 上页下页结束返回首页01xn1n2nn 1思考与练习思考与练习1.1.用定积分表示下述极限用定积分表示下述极限 :nnnnnIn)1(sin2sinsin1lim解解:10sinlimnknnkI1n0dsin1xxnn2nn)1(0 x或或)(sinlim10nknnkIn110dsinxx上页下页结束返回首页解解,sin31)(3xxf ,0 x,1sin03 x,31sin31413 x,31sin31410030dxdxxdx .3sin31403 dxx。