第三章第三章中值定理及其应用（中）中值定理及其应用（中）1)lim()lim()0 xaxaf xF x ()3)lim()xafxF x 存在存在(或为或为 )()()limlim()()xaxaf xfxF xF x 2)()()(),f xF xa 与与在在内内可可导导()0F x 且且定理定理 1.(洛必达法则洛必达法则)推论推论1.定理定理 1 中中xa换为换为,xa,xa,x x 之一之一,推论推论 2.若若()lim()fxF x 0,(),()0fx F x 仍仍属属型型 且且满满足足定定理理1条件条件,则则()()limlim()()f xfxF xF x ()lim()fxFx 条件条件 2)作相应的修改作相应的修改,定理定理 1 仍然成立仍然成立.,x 二、洛比达法则及其应用二、洛比达法则及其应用1)lim()lim()xaxaf xF x ()3)lim()xafxF x 存在存在(或为或为)()lim()xaf xF x定理定理 2.()lim()xafxF x (洛必达法则洛必达法则)2)()()(),f xF xa 与与在在内内可可导导()0F x 且且说明说明:定理中定理中xa换为换为之一之一,条件条件 2)作相应的修改作相应的修改,定理仍然成立定理仍然成立.,xa,xa,x x ,x 例例130sincos limsinxxxxx 计计算算解解原原式式0 xxxeln1lim xxxelnlim 01.e xxx1lim例例230sincoslim,xxxxx 30(sincos)lim()xxxxx =20coscossinlim3xxxxxx 2201lim.33xxx 用用罗罗比比达达法法则则1 limxxx 计计算算解解1limxxe lim1nnn 注意：注意：1)条件充分但不必要条件充分但不必要.洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件.()lim(),()fxF x 若若不不存存在在时时()()limlim.()()f xfxF xF x 例如例如,sinlimxxxx 1 coslim1xx 极限不存在也极限不存在也不是无穷大不是无穷大sinlim(1)xxx 1 2)对有些极限失效对有些极限失效对数列极限失效对数列极限失效.对对()lim()()f xg x 不存在时失效不存在时失效.有时出现循环，这时罗比达法则失效有时出现循环，这时罗比达法则失效.如：如：xxxxxeeeelim事实上：事实上：xxxxxeeeelim有时会越用越复杂，这时不必用罗比达法则有时会越用越复杂，这时不必用罗比达法则.xxxxxeeeelimxxxxxeeee lim.111lim22 xxxee如：如：xxxx3sincos1seclim220 xxxx3sincostanlim220 220)3(coslimxxxx.91cos91lim0 xx3)用洛必达法则之前应先用洛必达法则之前应先(1)检查极限的类型是否为检查极限的类型是否为(2)结合以前的方法化简函数，如等价无穷小代换、结合以前的方法化简函数，如等价无穷小代换、四则法则、变量代换等四则法则、变量代换等.00 型型、型型注意：注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好它求极限方法结合使用，效果更好.常用的有等常用的有等价无穷价无穷小代换、重要极限、变量代换，极限的运算法则等小代换、重要极限、变量代换，极限的运算法则等.三、函数单调性的判别法三、函数单调性的判别法若若),(bax 有有，0)(xf 若若),(bax 有有，0)(xf 设函数设函数)(xfy 在在,ba上上连续连续，),(ba内内可导可导，在在则则)(xf在在上上单调增加单调增加.,ba则则)(xf在在上上单调减少单调减少.,ba注意：判别法的条件是充分条件而非必要条件注意：判别法的条件是充分条件而非必要条件.3(-,)yx 如如:在在内内单单调调增增加加，而而23yx 0 ，0.y 却却不不是是问题：问题：00()0,()fxfxx 若若必必有有在在 的的邻邻域域内内单单调调增增加加？错！一个点不存在单调性错！一个点不存在单调性四、函数的极值四、函数的极值，)()(0 xfxf 0 x设函数设函数)(xf在点在点的某个邻域内有定的某个邻域内有定对于该邻域内异于对于该邻域内异于0 x的点的点，x如果对适合不等式如果对适合不等式则称函数在点则称函数在点0 x有有),(0 xf如果对适合不等式如果对适合不等式，)()(0 xfxf 函数在点函数在点0 x有有),(0 xf0 x将点将点则称则称0 x点点义，义，极值与最值的区别：极值与最值的区别：是对整个区间而言，是对整个区间而言，绝对的、绝对的、是对某个点的邻域而言、是对某个点的邻域而言、相对的、可以不是唯一的相对的、可以不是唯一的.如何求极值？如何求极值？观察图形知：观察图形知：是整体的、是整体的、唯一的唯一的.是局部的、是局部的、0 x)(xf在点在点处处且在点且在点.0)(0 xf0 x)(xf,3xy,00 xy0 x0 x0 x0 x,xy 0 x,31xy 0 x设设函数函数)(xf的极值的极值的一个邻域内的一个邻域内在在0 x0(x可除外可除外)可导可导.到大到大经过点经过点0 x时，时，若若(1)(1)在在0 x的两侧，的两侧，)(xf，)(0 xf则则是是(2)(2)在在0 x的两侧，的两侧，)(xf)(0 xf则则是是)(xf 在在0 x的两侧，的两侧，(3)(3)则则0 xxyoxyo0 x0 x xyo0 x 当当x由小由小，0 x为为xyo0 x 0 x设函数设函数)(xf在点在点处具有处具有二阶导数，二阶导数，0)(0 xf那么那么0(1,)0()fx 当当时时0 x函数函数)(xf在点在点处取得极大值；处取得极大值；(2)当当0)(0 xf时，时，0 x函数函数)(xf在点在点处取得处取得极小值极小值.，0)(0 xf且且()f x问题：问题：0()0fx 是是否否为为极极值值？五、函数的最值五、函数的最值1.1.闭区间闭区间 a,b 上连续函数的最值的求法上连续函数的最值的求法(比较法比较法)步骤步骤:(1)求驻点和不可导点求驻点和不可导点;(2)求区间端点及驻点和不可导点的求区间端点及驻点和不可导点的函数值函数值,就是最小值就是最小值;比较大小比较大小,最大的数就是最大值最大的数就是最大值,最小的数最小的数2.)(xf在在 ba,上连续，上连续，在在),(ba内可导，内可导，且只有一个驻且只有一个驻点，点，它是极大它是极大(小小)点，点，则它则它一定是最大一定是最大(小小)值点值点.3.对于实际问题，对于实际问题，且知最且知最若在一定区间内有唯一驻点，若在一定区间内有唯一驻点，大大(小小)值一定存在，值一定存在，而且一定在定义区间内取得，而且一定在定义区间内取得，那么那么可以可以不必讨论是否为极值，不必讨论是否为极值，就可就可断定该点就是最大断定该点就是最大(小小)值点值点.六、曲线的凹凸性和拐点六、曲线的凹凸性和拐点xyo()yf x 1x2xxyo1x2x()yf x yox2x1x221xx 1.定义：定义：()f xI设设函函数数在在区区间间 上上连连续续，12,xxI ，(1)若恒有若恒有1212()()()22xxf xf xf ，()f x则则称称的的图图形形是是凹凹的的；(2)若恒有若恒有1212()()()22xxf xf xf ，()f x则则称称的的图图形形是是凸凸的的；yox1x221xx 2x连续曲线上有切线的连续曲线上有切线的凹凸分界点称为拐点凹凸分界点称为拐点.yox注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2.凹凸区间的求法凹凸区间的求法如果如果)(xf在在),(ba内具有二阶导数，内具有二阶导数，若在若在),(ba内内(1),0)(xf(2),0)(xf则曲线则曲线在在),(ba内是内是凹的凹的.)(xf)(xf则曲线则曲线在在),(ba内是内是凸的凸的.注意：注意：该定理换成其它区间仍然成立该定理换成其它区间仍然成立.3.拐点的求法拐点的求法(第一充分条件第一充分条件)0(),f xx设设在在处处连连续续0,x在在的的左左右右邻邻域域内内二二阶阶可可导导0(1)(),xfx 若若在在两两侧侧异异号号 00,()();xf xf x则则点点为为的的拐拐点点0(2)(),xfx 若若在在两两侧侧同同号号 00,()().xf xf x则则点点不不是是的的拐拐点点拐点的求法拐点的求法(第一充分条件第一充分条件)00()0()0 fxfx 设设且且 00,()();xf xf x则则点点为为的的拐拐点点七、曲线的渐近线七、曲线的渐近线1.1.水平渐近线水平渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线平平行行于于 x lim(),xxxf xb 若若yb 则则为为水水平平渐渐近近线线；2.2.垂直渐近线垂直渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线垂垂直直于于 xlim(),xaxaxaf x 若若xa 则则为为垂垂直直渐渐近近线线；3.3.斜渐近线斜渐近线()lim,xf xax 如如果果lim(),xf xaxb .yaxb 则则为为曲曲线线的的一一条条斜斜渐渐近近线线曲线弯曲程度的描述曲线弯曲程度的描述曲率曲率;曲率圆曲率圆(弧弧)可以近似代替曲线弧可以近似代替曲线弧.(2)曲率曲率(3)曲率半径曲率半径32)1(yyK K1 2d1 dsyx (1)弧微分弧微分:222(d)(d)(d).sxy 思考：思考：曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答答:有公切线有公切线;凹向一致凹向一致;曲率相同曲率相同.TyxO),(DR),(yxMC1MMTR0M0 xxxx xyodydxds八、曲率、曲率半径八、曲率、曲率半径典型例题分析典型例题分析题型一、证明不等式题型一、证明不等式可以利用：可以利用：1)单调性单调性2)中值定理中值定理3)泰勒公式泰勒公式4)凹凸性凹凸性5)求最值求最值例例1310tan.23xxxx 当当时时，证证明明证证31()tan,3f xxxx 设设()(0,)2f x 则则在在内内连连续续可可导导，2222()sec1tanf xxxxx 且且(tan)(tan)x xx x ()tan,g xxx 再再构构造造函函数数2()sec1g xx 则则2tan x20tan0,2xx 当当时时，()0,g x ()0,fx 从从而而(0)0,f 又又()(0,)2f x 在在内内单单调调增增加加，0,()(0)0 xf xf 当当时时 有有，31tan0,3xxx 即即31tan.3xxx 所所以以说明说明1)用单调性证明不等式的步骤：用单调性证明不等式的步骤：将不等式变形为一边为零将不等式变形为一边为零,另一边就是要设的辅助函数另一边就是要设的辅助函数().f x判断判断 的单调性的单调性.()f x用单调性的定义与端点的函数值比较可得所证的不等式用单调性的定义与端点的函数值比较可得所证的不等式.2)为快速的证明为快速的证明,可先对不等式做恒等变形后再设辅助函数可先对不等式做恒等变形后再设辅助函数.3)为证不等式为证不等式 可用可用 的单调性的单调性.()0fx ()fx 01x 如如：时时，11xxxeex 思考思考:证明证明1ln(1)(01)1arcsinxxxxx 时时,如何设辅助如何设辅助函数更好函数更好?2()(1)ln(1)1arcsinxxxxx 提示提示:（提提示示：两两边边取取对对数数）例例2.证明证明arctanln(1)(0).1xxxx 证证()(1)ln(1)arctan,(0)xxxxx 设设(0)0,21()1 ln(1)1xxx ()(0,)x 则则在在内内连连续续可可导导,且且22ln(1)1xxx 0 ，(0),x 故故0 x 时时,单调增加单调增加,从而从而所以原不等式成立所以原不等式成立.()x 0()(0)0,xx 时时,例例3.ee 证证明明分析分析 取对数取对数ln,e()ln,f xxex 设设0,x ()1efxx 0,xe 得得驻驻点点2()efxx 又又，1()fee 0,(),f xxe 在在处处取取得得极极小小值值()f x又又可可导导且且只只有有唯唯一一驻驻点点，()f x的的极极小小值值就就是是最最小小值值，,()()xef xf e 对对一一切切有有，()()0ff e ，ln0,e .ee 即即(1)设设()yf x 是方程是方程240yyy 的一个解的一个解,0()0,f x 若0()0,fx 且则则0()()f xx在在(A)取得极大值取得极大值;(B)取得极小值取得极小值;(C)在某邻域内单调增加在某邻域内单调增加;(D)在某邻域内单调减少在某邻域内单调减少.提示提示:(),f x将将代代入入方方程程00()4()0fxf x A0,xx 令令得得例例4题型二、极值和拐点题型二、极值和拐点sin()(2)+-0 xyf xyy e 设设是是满满足足微微分分方方程程的的解解，0()=0,()()fxf x 且且则则在在0000()()()().xxxBxACD；取取得得极极小小值值；的的某某邻邻域域内内单单调调增增加加的的某某邻邻域域内内单单调调减减少少处处取取得得极极大大值值处处sin()(2)+-0 xyf xyy e 设设是是满满足足微微分分方方程程的的解解，0()=0,()()fxf x 且且则则在在0000()()()().ABxDxxxC；取取得得极极小小值值；的的某某邻邻域域内内单单调调增增加加的的某某邻邻域域内内单单调调取取得得减减处处处处极极大大值值少少提示提示:(),f x将将代代入入方方程程0sin0()e0,xfx 00()=0,fxxx 令得0 x所所以以 处处取取得得极极小小值值；()C选选(3)设设2()()lim1,()xaf xf axa 则在点则在点 a 处处().()()()0A f xf a 的的导导数数存存在在且且；B()()B f x 取取得得极极大大值值；()()C f x 取取得得极极小小值值；()().D f x 的的导导数数不不存存在在()0,1 cosf xx()(0)0,f xf 有有(0)f为为极极小小值值，(D)选选D()(6(f xg xxa 设设和和都都在在处处取取得得极极大大值值,则则()=()()()F xf x g xxa 在在处处()()()().ABCD必必取取极极大大值值；必必取取极极小小值值；不不可可能能取取极极值值；是是否否取取极极值值不不能能确确定定只只能能用用极极值值的的定定义义，()(),()()f xf a g xg a 而而由由,(),xUa 不不能能推推得得()()()()f x g xf a g a,或或()()()()f x g xf a g a,(D)所所以以选选D解解例例532291,yxaxbxx 函函数数有有两两个个极极值值点点2,.x 求求它它的的极极值值解解262yxaxb ，1,2xx 是是它它的的两两个个极极值值点点，1,2xx 是是它它的的两两个个驻驻点点，(1)620,(2)2440yabyab 9,12,ab 解解得得3229129,yxxx 261812yxx，1218yx 从从而而，(1)60y ，1(1)14yxy 在在处处取取得得极极大大值值，(2)60y 又又，2(2)13.yxy 在在取取得得极极小小值值000()()=0,()0,()1fxfxfx 设设则则下下列列选选项项正正确确的的是是00000()()()()()()(),()()()()().xxxxxxA ffB ffxxC ffDff x 是是是是的的极极大大值值；的的极极大大值值；的的极极小小值值；是是线线是是曲曲的的拐拐点点0()0,fx 因因为为000()-()lim=-xxfx fxx x 则则00()lim-xxfxx x 0,由由保保号号性性定定理理：0(),xUx 0()0,-fxx x 有有0,xx 当当时时0,xx 当当时时()0,fx ()0;fx 即即曲曲线线是是凹凹的的，00(,()().x f xf x点点是是曲曲线线的的拐拐点点()D选选解解例例6Dd(),=(4-)(0),d(2)yyf xy yx 设设二二阶阶可可导导 且且若若设设0()(,3),.yf xx 的的一一个个拐拐点点是是求求解解:注注意意拐拐点点的的横横坐坐标标来来自自于于二二阶阶导导数数为为零零的的根根，.或或者者来来自自于于二二阶阶导导数数不不存存在在的的点点2-12d=4-(+1),dyy yyx 即即22d=0,=3,dyyx令令且且0y -1 34-3-3=0y 即即，2-12d=4-(+1)dyyyy yx +1d=4-dyyyx 得得=3.例例7 求数列求数列 nn的最大项的最大项.证证1()(1),xf xxx 设设求导得求导得12()(1ln)xfxxx ，11ln(),xxxf xxe 1ln1()(ln)xxfxexx 1ln2211(ln)xxexxx 1ln2(1 ln)xxexx ()0f x 令令x e 列表判别列表判别:x()fx()f x(1,)ee(,)e 01ee,x e 因此在因此在处处()f x也取最大值也取最大值.又因又因x e 23,e 33.nn故故为为数数列列中中的的最最大大项项内只有唯一的极大点内只有唯一的极大点()1,)f x 因因为为在在2 且且 有有68 69 33,。