单元检测(五) 四边形(考试用时:90分钟 满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分) 1.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,添加下列条件不能判定▱ABCD是菱形的只有 ( )A.AC⊥BD B.AB=BCC.AC=BD D.∠1=∠2答案C解析A.正确.对角线相等是平行四边形的菱形.B.正确.邻边相等的平行四边形是菱形.C.错误.对角线相等的平行四边形是矩形,不一定是菱形.D.正确.可以证明平行四边形ABCD的邻边相等,即可判定是菱形.2.如图,在菱形ABCD中,AC=8,BD=6,则△ABC的周长是 ( )A.14 B.16 C.18 D.20答案C解析∵在菱形ABCD中,AC=8,BD=6,∴AB=BC,∠AOB=90,AO=4,BO=3,∴BC=AB=42+32=5,∴△ABC的周长=AB+BC+AC=5+5+8=18.3.如图,在矩形OACB中,A(-2,0),B(0,1).若正比例函数y=kx的图像经过点C,则k的取值为( )A.-12 B.12C.-2 D.2答案A解析∵A(-2,0),B(0,1),∴OA=2,OB=1,∵四边形OACB是矩形,∴BC=OA=2,AC=OB=1,∵点C在第二象限,∴C点坐标为(-2,1),∵正比例函数y=kx的图像经过点C,∴-2k=1,∴k=-12.4.如图,矩形纸片ABCD中,AD=4 cm,把纸片沿直线AC折叠,点B落在E处,AE交DC于点O,若AO=5 cm,则AB的长为( )A.6 cm B.7 cm C. 8cm D. 9cm答案C解析根据折叠前后角相等可知∠BAC=∠EAC,∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD,∴∠EAC=∠ACD,∴AO=CO=5 cm,在直角三角形ADO中,DO=AO2-AD2=3 cm,AB=CD=DO+CO=3+5=8 cm.5.如图,在▱ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF=8,AB=5,则AE的长为( )A.5 B.6 C.8 D.12答案B解析连接EF,AE与BF交于点O,∵四边形ABCD是平行四边形,AB=AF,∴四边形ABEF是菱形,∴AE⊥BF,OB=12BF=4,OA=12AE.∵AB=5,在Rt△AOB中,AO=25-16=3,∴AE=2AO=6.6.(xx山东临沂)如图,点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点.则下列说法:①若AC=BD,则四边形EFGH为矩形;②若AC⊥BD,则四边形EFGH为菱形;③若四边形EFGH是平行四边形,则AC与BD互相平分;④若四边形EFGH是正方形,则AC与BD互相垂直且相等.其中正确的个数是( )A.1 B.2 C.3 D.4答案A解析因为一般四边形的中点四边形是平行四边形,当对角线BD=AC时,中点四边形是菱形,当对角线AC⊥BD时,中点四边形是矩形,当对角线AC=BD,且AC⊥BD时,中点四边形是正方形,故④选项正确.7.(xx浙江宁波)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连接OE.若∠ABC=60,∠BAC=80,则∠1的度数为( )A.50 B.40 C.30 D.20答案B解析∵∠ABC=60,∠BAC=80,∴∠BCA=180-60-80=40,∵对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,∴EO是△DBC的中位线,∴EO∥BC,∴∠1=∠ACB=40.8.(xx山东威海)矩形ABCD与CEFG,如图放置,点B,C,E共线,点C,D,G共线,连接AF,取AF的中点H,连接GH.若BC=EF=2,CD=CE=1,则GH=( )A.1 B.23 C.22 D.52答案C解析如图,延长GH交AD于点P,∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形,∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90,AD=BC=2,GF=CE=1,∴AD∥GF,∴∠GFH=∠PAH,又∵H是AF的中点,∴AH=FH,在△APH和△FGH中,∵∠PAH=∠GFH,AH=FH,∠AHP=∠FHG,∴△APH≌△FGH(ASA),∴AP=GF=1,GH=PH=12PG,∴PD=AD-AP=1,∵CG=2、CD=1,∴DG=1,则GH=12PG=12PD2+DG2=22.9.(xx江苏宿迁)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E为边CD的中点,若菱形ABCD的周长为16,∠BAD=60,则△OCE的面积是( )A.3 B.2 C.23 D.4答案A解析∵菱形ABCD的周长为16,∴菱形ABCD的边长为4,∵∠BAD=60,∴△ABD是等边三角形,又∵O是菱形对角线AC、BD的交点,∴AC⊥BD,在Rt△AOD中,∴AO=AD2-OD2=16-4=23,∴AC=2AO=43,∴S△ACD=12ODAC=12243=43,又∵O、E分别是中点,∴OE∥AD,∴△COE∽△CAD,∴OEAD=12,∴S△COES△CAD=14,∴S△COE=14S△CAD=1443=3.10.(xx山东潍坊)如图,菱形ABCD的边长是4 cm,∠B=60,动点P以1 cm/s的速度自A点出发沿AB方向运动至B点停止,动点O以2 cm/s的速度自 B点出发沿折线BCD运动至D点停止.若点P,Q同时出发运动了t秒,记△BPQ的面积为S cm2,下面图象中能表示S与t之间的函数关系的是( )答案D解析当0≤t<2时,S=2t32(4-t)=-3t2+43t;当2≤t<4时,S=432(4-t)=-23t+83;只有选项D的图形符合.二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)11.在平行四边形ABCD中,∠B+∠D=200,则∠A= .答案80解析∵四边形ABCD为平行四边形,∴∠B=∠D,∠A+∠B=180,∵∠B+∠D=200,∴∠B=∠D=100,∴∠A=180-∠B=180-100=80.12.(xx湖南株洲)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AC=10,P,Q分别为AO,AD的中点,则PQ的长度为 .答案2.5解析∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD=10,BO=DO=12BD,∴OD=12BD=5,∵点P、Q是AO,AD的中点,∴PQ是△AOD的中位线,∴PQ=12DO=2.5.13.一个正多边形的一个外角为30,则它的内角和为 .答案1 800解析这个正多边形的边数为36030=12,所以这个正多边形的内角和为(12-2)180=1 800.14.(xx浙江杭州)用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如图1所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE,其中∠BAC= .答案36解析∵∠ABC=(5-2)1805=108,△ABC是等腰三角形,∴∠BAC=∠BCA=36.15.(xx广东深圳)如图,四边形ACDF是正方形,∠CEA和∠ABF都是直角且点E,A,B三点共线,AB=4,则阴影部分的面积是 .答案8解析∵四边形ACDF是正方形,∴∠CAF=90,AC=AF,∴∠CAE+∠FAB=90,又∵∠CEA和∠ABF都是直角,∴∠CAE+∠ACE=90,∴∠ACE=∠FAB,在△ACE和△FAB中,∵∠E=∠B,∠ACE=∠FAB,AC=FA,∴△ACE≌△FAB(AAS),∵AB=4,∴CE=AB=4,∴S阴影=S△ABC=12ABCE=1244=8.16.如图,在平行四边形ABCD中,连接BD,且BD=CD,过点A作AM⊥BD于点M,过点D作DN⊥AB于点N,且DN=32,在DB的延长线上取一点P,满足∠ABD=∠MAP+∠PAB,则AP= .答案6解析∵BD=CD,AB=CD,∴BD=BA,又∵AM⊥BD,DN⊥AB,∴DN=AM=32,又∵∠ABD=∠MAP+∠PAB,∠ABD=∠P+∠BAP,∴∠P=∠PAM,∴△APM是等腰直角三角形,∴AP=2AM=6.17.(xx山东烟台)如图,反比例函数y=kx的图象经过▱ABCD对角线的交点P,已知点A,C,D在坐标轴上,BD⊥DC,▱ABCD的面积为6,则k= .答案-3解析过点P做PE⊥y轴于点E∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD.又∵BD⊥x轴,∴ABDO为矩形∴AB=DO,∴S矩形ABDO=S▱ABCD=6,∵P为对角线交点,PE⊥y轴,∴四边形PDOE为矩形,面积为3,即DOEO=3,∴设P点坐标为(x,y),k=xy=-3.18.(xx浙江湖州)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx(a>0)的顶点为C,与x轴的正半轴交于点A,它的对称轴与抛物线y=ax2(a>0)交于点B.若四边形ABOC是正方形,则b的值是 .答案-2解析∵四边形ABOC是正方形,∴点B的坐标为-b2a,-b2a.∵抛物线y=ax2过点B,∴-b2a=a-b2a2,解得b1=0(舍去),b2=-2.三、解答题(本大题共6小题,共58分)19.(6分)(xx湖南湘潭)如图,在正方形ABCD中,AF=BE,AE与DF相交于点O.(1)求证:△DAF≌△ABE;(2)求∠AOD的度数.(1)证明∵四边形ABCD是正方形,∴∠DAB=∠ABC=90,AD=AB,在△DAF和△ABE中,AD=AB,∠DAF=∠ABE=90,AF=BE,∴△DAF≌△ABE(SAS).(2)解由(1)知,△DAF≌△ABE,∴∠ADF=∠BAE,∵∠ADF+∠DAO=∠BAE+∠DAO=∠DAB=90,∴∠AOD=180-(∠ADF+∠DAO)=90.20.(10分)(xx湖南娄底)如图,已知四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD,过O点作EF⊥BD,分别交AD,BC于点E,F.(1)求证:△AOE≌△COF;(2)判断四边形BEDF的形状,并说明理由.(1)证明∵OA=OC,OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠EAO=∠FCO,在△AOE和△COF中,∠EAO=∠FCO,OA=OC,∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(ASA).(2)解结论:四边形BEDF是菱形,∵△AOE≌△COF,∴AE=CF,∵AD=BC,∴DE=BF,∵DE∥BF,∴四边形BEDF是平行四边形,∵OB=OD,EF⊥BD,∴EB=ED,∴四边形BEDF是菱形.21.(10分)(xx贵州安顺)如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F,连接CF.(1)求证:AF=DC;(2)若AB⊥AC,试判断四边形ADCF的形状,并证明你的结论.(1)证明∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE,∵E是AD的中点,AD是BC边上的中线,∴AE=DE,BD=CD,在△AFE和△DBE中∠AFE=∠DBE,∠FEA=∠BED,AE=DE,∴△AFE≌△DBE(AAS),∴AF=BD,∴AF=DC.(2)解四边形ADCF是菱形,证明:AF∥BC,AF=DC,∴四边形ADCF是平行四边形,∵AC⊥AB,AD是斜边BC的中线,∴AD=12BC=DC,∴平行四边形ADCF是菱形.22.(10分)(xx江苏连云港)如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.(1)求证:四边形ACDF是平行四边形;(2)当CF平分∠BCD时,写出BC与CD的数量关系,并说明理由.(1)证明∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠FAE=∠CDE,∵E是AD的中点,∴AE=DE,又∵∠FEA=∠CED,∴△FAE≌△CDE(ASA),∴CD=FA,又∵CD∥AF,∴四边形ACDF是平行四边形;(2)解BC=2CD.证明:∵CF平分∠BCD,∴∠DCE=45,∵∠CDE=90,∴△CDE是等腰直角三角形,∴CD=DE,∵E是AD的中点,∴AD=2CD,∵AD=BC,∴BC=2CD.23.(10分)(xx山东潍坊)如图,点M是正方形ABCD边CD上一点,连接AM,作DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,连接BE.(1)求证:AE=BF;(2)已知AF=2,四边形ABED的面积为24,求∠EBF的正弦值.(1)证明∵四边形ABCD为正方形,∴BA=AD,∠BAD=90,∵DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,∴∠AFB=90,∠DEA=90,∵∠ABF+∠BAF=90,∠EAD+∠BAF=90,∴∠ABF=∠EAD,在△ABF和△DAE中∠BFA=∠DEA,∠ABF=∠EAD,AB=DA,∴△ABF≌△DAE(AAS),∴BF=AE;(2)解设AE=x,则BF=x,DE=AF=2,∵四边形ABED的面积为24,∴12xx+12x2=24,解得x1=6,x2=-8(舍去),∴EF=x-2=4,在Rt△BEF中,BE=42+62=213,∴sin∠EBF=EFBE=4213=21313.24.(12分)(xx四川自贡)如图,抛物线y=ax2+bx-3过A(1,0),B(-3,0),直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为-2,点P(m,n)是线段AD上的动点.(1)求直线AD及抛物线的解析式;(2)过点P的直线垂直于x轴,交抛物线于点Q,求线段PQ的长度l与m的关系式,m为何值时,PQ最长?(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R,使得P,Q,D,R为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点R的坐标;若不存在,说明理由.解(1)把(1,0),(-3,0)代入函数解析式,得a+b-3=09a-3b-3=0,解得a=1b=2,抛物线的解析式为y=x2+2x-3;当x=-2时,y=(-2)2+2(-2)-3,解得y=-3,即D(-2,-3).设直线AD的解析式为y=kx+b,将A(1,0),D(-2,-3)代入,得k+b=0-2k+b=-3,解得k=1b=-1,直线AD的解析式为y=x-1;(2)设P点坐标为(m,m-1),Q(m,m2+2m-3),l=(m-1)-(m2+2m-3)化简,得l=-m2-m+2配方,得l=-m+122+94,当m=-12时,l最大=94;(3)DR∥PQ且DR=PQ时,PQDR是平行四边形,由(2)得0