导数与恒成立、能成立问题及课后练习

解：，对x Î[0,2]恒有f ( x) >0即ax2 +x +1 >0变形为ax 2 >-(x +1)当x =0时对任意的 a 都 满足 f (x) >0只须考虑 x ¹0 的情况-(x +1) 1 1a > 即 a >- - 要满足题意只要保证 比右 边的最大值大就行x 2 x x 21 1 1 1 1 1 1 现 求 - - 在 x Î 0,2 上的最大值令 t = \ t ³ g(t) =-t2 -t =-(t + )2 + （ t ³ ）x x 2 x 2 2 4 23g(t) g( ) =- 所以 a >-2 4 43又 f (x) =ax 2 +x +1是二次函数 \ a ¹0 所以 a >- 且a ¹04例 3、对于满足 0 £a £4 的所有实数 a 求使不等式x2+ax >4x +a -3都成立的 x 的取值范围答案： x <-1或 x >3题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）此类问题可把要求的参变量分离出来， 单独放在不等式的一 侧，将另一 侧看成新函数，于是将 问题转化成新函数的最值问题：若对于x取值范围内的任一个数都有f (x) ³g(a)恒成立，则g(a) £f (x)；若对于x取值范围内的任一个数都有f (x) £g(a)恒成立，则g(a) ³f (x).3x 2m 2 . ∴ú ê úê úg () =- max, 3 ë 3û a ， 即例 1、当x Î(1,2)时，不等式 +mx +4 <0恒成立，则 的取值范围是.x +4解析: 当x Î(1,2)时，由x2+mx +4 <0得m <-xm £-5.例 2、已知函数f (x) =ln(ex +a)（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g(x) =x -cos x在区间éêë2,3 3ù上是减函数. û（Ⅰ）求 a 的值与 的范围；（Ⅱ）若 对（Ⅰ）中的任意 实数都有g( x) £t-1在é2 ù, 上恒 成立，求 实数t的取值范围.ë3 3 û（Ⅲ）若m >0，试讨论关于 x 的方程ln xf (x)=x2 -2ex +m的根的个数.解：（Ⅰ、（Ⅲ）略（Ⅱ）由题意知，函数g(x) =x -cos xé 2 ù在区间 , 上是减函数.1, g ( x) £=\ g (x)3 3 21 1 \t £ + ( £-1) ,\t .£ -3 2 3 2t-1在ë3 3 ûé 2 ù上恒成立ê úÛ1t-1 ,³ -3 2题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法）例 1、若对任意x ÎR,不等式| x |³ax恒成立，则实数 的取值范围是解析：yy =| x | y =axy =| x |y =axxO对"x Î R,不等式| x |³ax恒成立、则由一次函数性 质及图像知-1 £a £1 -1 £a £1。

例 2、不等式ax £x(4 -x)在 x Î[0,3] 内恒成立，求实数 a 的取值范围4y =î 解：画出两个 凼数y =ax和y =x(4 -x)在x Î[0,3]上的图象如图yy =ax0 3 xa =33知当x =3时y=3，当a £33x Î[0,3]时总有ax £x(4 -x)所以a £33yy =| x |y =axy =| x |y =axxOì3x +6, x ³-2 f ( x) = ,例 4、 已知函数 í-6 -3x, x <-2若不等式f ( x) ³2x -m恒成立，则实数m的取值范围是.解：在同一个平面直角坐 标系中分别作出函数y =2x -m及y =f f (x)的图象，由于不等式( x) ³2x -m恒成立，所以函数y =2x -m的图象应总在函数y =y f (x)的图象下方，因此，当x =-2时，=-4 -m £0, 所以 m ³-4, 故m 的取 值范围是[-4,+¥).题型五、其它（最值）处理方法若在区间 D 上存在实数x使不等式f (x)>A成立,则等价于在区间 D 上f (x) >A max；若在区间 D 上存在实数x使不等式f (x)

f (x)=x+3+x-1 f (x)£a2-3a Þ a2 -3a ³f (x)，min又x +3 +x -1 ³(x+3)-(x-1)=4，∴a2-3a ³4，解得a ³4 或a £-12、若关于x的不等式x -2 +x +3 ³a恒成立，试求 a 的范围解：由题意知只须 a 比x -2 +x +3的最小值相同或比其最小 值 小即可，得a £( x -2 +x +3 )min由x -2 +x +3 ³ x -2 -(x +3) =5所以a £5利用分类讨论1、已知函数f (x) =x-2ax +4在区间[-1 ，2] 上都不小于 2，求 a 的值解：由函数f (x) =x-2ax +4的对称轴为 x=a所以必须考察 a 与-1，2 的大小， 显然要进行三种分 类讨论1．当 a³2 时 f(x)在[-1 ，2] 上是减函数此时3f (x)min = f(2)=4-4a+4£2即 a³2结合 a³2，所以 a³22．当 a£-1 时 f(x)在[-1，2] 上是增函数，此时 f(-1)=1+2a+4 £2 f ( x) min = f(-1)=1+2a+4 £2 结合 a £-1323．当-1 - x Î 0, +¥ u x = -(0,+¥)有解.即 x2 x 能成立, 设 x2 x1 2 æ1 öu (x)=2-x =çx -1÷ -1 u (x)=-1由 x è ø 得 , min .于是, a >-1, a ¹0 (-1,0)(0,+¥)3、已知函数 f ( x) =x(ln x +m), g ( x) = x3 +x.3.（Ⅰ）当m =-2时，求 f (x) 3的单调区 间；（Ⅱ）若m =时，不等式 2g(x) ³f (x)恒成立，求 实数 a 的取值范围.解：（Ⅰ）略3 a 3（Ⅱ）当 m = 时，不等式 g( x) ³ f (x) 即 x3 +x ³x(ln x + ) 恒成立. 由于 x >0 ，\2 3 21 1a 3 a 1 3(ln x + ) 3(ln x + )-6 ln xx2 +1 ³ln x + ，亦即 x2 ³ln x + ，所以 a ³2. 令h( x) = 2， 则h¢(x) =，3 2 3 2 x2x2x3由h¢(x) =0得x =1.且当0 0；当x >1 时， h¢(x) <0，即h(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+¥)上单调递减，所以h(x)在x =1处取得极大值h(1) =3，也就是函数h(x)在定义域上的最大值.因此要2使a ³13(ln x + )2恒成立，需要a ³3，所以a 的取值范围为é3 ö, +¥.x22ë2÷注：恒成立问题多与参数的取 值范围问题联 系在一起，是近几年高考的一个 热门题型，往往与函数的单调性、 极值、最 值等有关。

令h¢(x)=6x2-6x-12=6 (x+1)(x-2)=0，得x =-1或2由导数知识，可知 在 单调递 增，在 单调递减，在 单调递增，且h(-3)=c-45，h (x) =h (-1)=c+7 h (x) =h (2)=c-20 极大值 极小值，h(3)=c -9，∴hmin (x)=h(-3)=c-45，由c -45 ³0 ，得 c ³45 2）据题意：存在x Î[-3,3]，使f (x)£g(x)成立，即为：h (x)=g(x)-f(x)³0xÎ[-3,3] h max (x)³0由（1）知h (x)=c+7³0c ³-7，于是得3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立 问题，但却有很大的区 别，对任意x , x Î[-3,3] 1 2，都有f (x)£g(x1 2)成立，不等式的左右两端函数的自 变量不同， ， 的取值在1[-3,32]上具有任意性，∴要使不等式恒成立的充要条件是：fmax(x) £gmin( x ) • , • x Î[-3•,3]f (x)=7(x-2)-c-28,xÎ[-3,3] 。

∵ ∴f(x)max=f(-3)=147 -c，∵g¢(x)=6x2+8x-40 =2(3x+10)(x-2)g¢(x)=0 [-3,3]x =2∴g (x)=g (2)=-48 min， ∴147 -c £-48，即 c ³195 .（4）存在 1 2[-3,3]，都有 1)£g(x2)f (x)£g ，等价于 min 1max(x2)，由(3)得f(x)=f(2)=-c-28，g(x )=g(-3)=102，-c -28 £102 Þ c ³-130点评：本题的三个小题，表面形式非常相似，究其本 质却大相径庭， 应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用 其成立的充要条件2、B 解析：由方程 ì a2logax +log y =3可得y =a3x，对于任意的x Î[a, 2a]，可得2a2a3££2x，依题意得í 2 îa2 ³a 2Þ a ³225a £1+2y 33、答案： 解析：由不等式a(x2+y2) £(x +y)2可得x y+y x，由 线性规划可得1 ££x 2。

1② 0 < p < 1 时，由 x Î [1,e] Þ x－ ≥013x xx e ee11∴f(x)=p (x － )－2lnx≤x － －2lnx右 边为 f (x) 当 p = 1 时的表达式，故在 [1,e] 递 增111∴f (x)≤x－ －2ln x≤e－ －2ln e = e － －2 < 2 ，不合题意 ................................... 12 分③ p≥1 时，由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 连续递增，f (1) = 0 < 2，又 g(x) 在 [1,e] 上是减函数∴本命 题 Û f (x)max > g(x)min = 2 ，x Î [1,e]1 4eÞ f (x)max = f (e) = p (e － )－2ln e > 2Þ p >e 2－1………… 13 分综上，p 的取 值范围是 (4ee 2－1,+¥) ........................ 14 分14“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。