第五节第五节 利用柱面坐标和球面利用柱面坐标和球面 坐标计算三重积分坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分,0 r,20 .z的柱面坐标的柱面坐标就叫点就叫点个数个数，则这样的三，则这样的三的极坐标为的极坐标为面上的投影面上的投影在在为空间内一点，并设点为空间内一点，并设点设设MzrrPxoyMzyxM,),(规定：规定：xyzo),(zyxM),(rPr一、利用柱面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分 .,sin,coszzryrx 柱面坐标与直角坐标的关系为柱面坐标与直角坐标的关系为:为常数为常数r为常数为常数z为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平面平面),(zyxM),(rPrzxyzo dxdydzzyxf),(.),sin,cos(dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如图，柱面坐标系中的如图，柱面坐标系中的体积元素为体积元素为,dzrdrddv 解解 zrzr34222,3,1 rz知交线为知交线为.3 4 ,22222所所围围的的立立体体与与是是球球面面其其中中计计算算zyxzyxzdxdydzI ,sincos zzryrx 由由例例1 1 I.413 ，面上，如图所示面上，如图所示投影到投影到把闭区域把闭区域xoy.20,3043:22 rrzr，2324 2 0 3 0 rrzdzrdrd 解解.82 2 22立体如图所示立体如图所示所围成的所围成的，两平面两平面与与曲面曲面 zzzyx .8,2 2 )(2222所所围围的的立立体体与与两两平平面面曲曲面面是是，其其中中计计算算 zzzyxdxdydzyxI例例2 2:2D,422 yx.222020:22 zrr :1D,1622 yx,824020:21 zrr 所围成立体的投影区域如图所示，所围成立体的投影区域如图所示，2D1D 128 2 1DrfdzrdrdI,345 222 2 2DrfdzrdrdI,625 8 24 0 2 0 22rdzrrdrd 2 22 0 2 0 22rdzrrdrd 21III ,)()(212222 dxdydzyxdxdydzyx 623455 I原式原式.336 的球面坐标的球面坐标就叫做点就叫做点，这样的三个数这样的三个数面上的投影，面上的投影，在在为点为点这里这里的角，的角，段段逆时针方向转到有向线逆时针方向转到有向线轴按轴按轴来看自轴来看自为从正为从正轴正向所夹的角，轴正向所夹的角，与与为有向线段为有向线段间的距离，间的距离，与点与点点点为原为原来确定，其中来确定，其中，三个有次序的数三个有次序的数可用可用为空间内一点，则点为空间内一点，则点设设MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(Pxyzo),(zyxMr zyxA二、利用球面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分,0 r.20 ,0 规定：规定：为常数为常数r为为常常数数 为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平半平面面Pxyzo),(zyxMr zyxA .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐标与直角坐标的关系为：球面坐标与直角坐标的关系为：如图所示，如图所示，Pxyzo),(zyxMr zyxA，轴上的投影为轴上的投影为在在点点，面上的投影为面上的投影为在在设点设点AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 则则 dxdydzzyxf),(.sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr如图所示，如图所示，az ,cos ar 222zyx ,4 .20,40,cos0:ar解法（一）解法（一）.)0()(22222所围成的立体所围成的立体与平面与平面面面是锥是锥，其中，其中计算计算 aazzyxdxdydzyxI采用球面坐标采用球面坐标例例3 3 dxdydzyxI)(22drrdda 4 0 cos 0 342 0 sin da)0cos(51sin2554 0 3 .105a .20,40,cos0:ar dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd 2 0 2 0 adrrar 0 3)(2 54254aaa .105a 222zyx ,rz ,20 ,0 ,:arazr解法解法（二）（二）采用柱面坐标采用柱面坐标,:222ayxD 解解,2ar ,4 .20,40,20:ar.2 222222所所围围成成的的立立体体体体积积与与求求曲曲面面yxzazyx .用球面坐标用球面坐标由锥面和球面围成，利由锥面和球面围成，利 22222 azyx 由由22yxz 例例4 4 adrrddV2 0 2 0 2 0 sin4 4 0 33)2(sin2 da.)12(343a ,dxdydzV由三重积分的性质可知由三重积分的性质可知.20,40,20:ar,2 dvzIxy 三、三重积分的应用三、三重积分的应用 （转动惯量）（转动惯量）,2 dvxIyz,2 dvyIzx,)(22 dvzyIx,)(22 dvxzIy,)(22 dvyxIz.)(222 dvzyxIo 轴轴及及原原点点的的转转动动惯惯量量为为该该物物体体对对坐坐标标面面、坐坐标标上上连连续续，则则在在，假假设设密密度度为为处处的的，在在点点设设物物体体占占有有空空间间闭闭区区域域 ),(),(),(zyxzyxzyx 。