八年级（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 2. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）A. 4，5，6 B. 3，4，5 C. 2，3，4 D. 1，2，33. 如图，∠B=∠D=90°，CB=CD，∠1=30°，则∠2=（ ）A. 30∘B. 40∘C. 50∘D. 60∘4. 等腰三角形两边分别为3和7，那么它的周长为（ ）A. 10 B. 13 C. 17 D. 13或175. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）A. ∠A=∠DB. AB=DCC. ∠ACB=∠DBCD. AC=BD6. 如图，AC=AD，BC=BD，则下列判断正确的是（ ）A. AB垂直平分CDB. CD垂直平分ABC. AB与CD互相垂直平分D. CD平分∠ACB7. 与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的（ ）A. 三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点C. 三条高的交点 D. 三边的垂直平分线的交点8. 如图，△ABC中，AB=5，AC=4，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，过点O作直线平行于BC，交AB、AC于D、E，则△ADE的周长为（ ）A. 8 B. 9 C. 10 D. 12二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）9. 等腰△ABC中，若∠A=100°，则∠B= ______ ．10. 如图，要使四边形木架不变形，至少要钉上______ 根木条．11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，若AB=4，则CD= ______ ．12. 已知一个三角形的三边分别是6cm、8cm、10cm，则这个三角形的面积是______ ．13. 如图，一块三角形玻璃裂成①②两块，现需配一块同样的玻璃，为方便起见，只需带上碎片______ 即可．14. 如图，已知AB∥CF，E为DF的中点，若AB=7cm，CF=4cm，则BD= ______ cm．15. 如图，△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于D，如果∠B=35°，则∠CAD= ______ °．16. 如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD交于O，OB=OC，则图中全等三角形共有______ 对．17. 如图，以直角三角形各边向外作正方形，其中两个正方形的面积为225和144，则正方形A的面积为______ ．18. 如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在点C′，D′处，若∠AFE=68°，则∠C′EF= ______ °．三、解答题（本大题共10小题，共96.0分）19. 如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知△ABC的三个顶点在格点上．（1）画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1．（2）△ABC ______ 直角三角形（填“是”或“不是”）．20. 如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：△ABC≌△DEF．21. 已知：如图，∠EAC是△ABC的一个外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．求证：△ABC是等腰三角形．22. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D在AC上，BD=BC，求∠ABD的度数．23. 某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90°，AC=80m，BC=60m．线段CD是一条水渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为1000元/m，问：当水渠的造价最低时，CD长为多少米？最低造价是多少元？24. 如图，△ABC中，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）如果BC=8，求△DAF的周长．（2）如果∠BAC=110°，求∠DAF的度数．25. 已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，AB平分∠DAE，BE⊥AE，垂足为E，（1）求证：AD=AE．（2）若BE∥AC，试判断△ABC的形状，并说明理由．26. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E．（1）求证：△ADC≌△CEB；（2）若AD=10cm，DE=6cm，求线段BE的长．27. 如图，△ABC为等边三角形，D为边BA延长线上一点，连接CD，以CD为一边作等边△CDE，连接AE．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）判断AE与BC的位置关系，并说明理由．28. 如图1，△ABC中，∠C=90°，AB=20cm，BC=12cm，若动点P从点C开始，沿着C→A→B的路径运动，且速度为每秒1cm，设点P运动的时间为t秒．（1）当t=5秒时，求△ABP的周长．（2）当t为几秒时，PC=PB；（3）当t为几秒时，BP平分∠ABC．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，故此选项错误． 故选：C． 直接根据轴对称图形的概念求解． 此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】B【解析】解：A、∵42+52≠62，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误； B、∵32+42=52，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确； C、∵22+32≠42，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误； D、∵12+22≠32，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误； 故选：B．根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．3.【答案】D【解析】解：∵∠B=90°，∠1=30°，∴∠3=90°-∠1=90°-30°=60°，在Rt△ABC和Rt△ADC中，，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠2=∠3=60°．故选D．根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再利用“HL”证明Rt△ABC和Rt△ADC全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3．本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．4.【答案】C【解析】解：（1）当7是底边时，3+3＜7，不能构成三角形； （2）当3是底边时，可以构成三角形，周长=7+7+3=17． 故选C． 因为题目的已知条件底边和腰没有确定，所以分两种情况讨论． 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．5.【答案】D【解析】解：A、可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B、可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C、利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意； D、SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意； 故选：D．本题要判定△ABC≌△DCB，已知∠ABC=∠DCB，BC是公共边，具备了一组边对应相等，一组角对应相等，故添加AB=CD、∠ACB=∠DBC、∠A=∠D后可分别根据SAS、ASA、AAS能判定△ABC≌△DCB，而添加AC=BD后则不能．本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．6.【答案】A【解析】解：在△ABC与△BDC中，， ∴△ABC≌△ABD， ∴∠CAB=∠DAB， ∴AB垂直平分CD， 故选A． 根据全等三角形的性质得到∠CAB=∠DAB，根据等腰三角形的性质即刻得到结论． 本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判断和性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．7.【答案】D【解析】解：如图： ∵OA=OB，∴O段AB的垂直平分线上， ∵OB=OC，∴O段BC的垂直平分线上， ∵OA=OC，∴O段AC的垂直平分线上， 又三个交点相交于一点， ∴与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的三边的垂直平分线的交点． 故选：D． 可分别根据线段垂直平分线的性质进行思考，首先满足到A点、B点的距离相等，然后思考满足到C点、B点的距离相等，都分别在各自线段的垂直平分线上，于是答案可得． 此题考查了线段垂直平分线的性质；题目比较简单，只要熟知线段垂直平分线的性质即可．分别思考，两两满足条件是解答本题的关键．8.【答案】B【解析】解：∵BO平分∠ABC， ∴∠DBO=∠OBC， ∵DE∥BC， ∴∠DOB=∠OBC， ∴∠DBO=∠DOB， ∴DB=DO． 同理可得：EC=EO． ∴AD+AE+DE=AD+AE+DO+EO =AD+AE+DB+EC=AB+AC=5+4=9， 即三角形ADE的周长为9． 故选B． 欲求△ADE的周长，根据已知可利用平行线的性质及等腰三角形的性质、角平分线的定义求解． 本题综合考查等腰三角形的判定与性质，平行线的性质及角平分线的定义等知识；证明三角形是等腰三角形是解题的关键．9.【答案】40°【解析】解：分两种情况讨论： 当∠A=100°为顶角时，∠B==40°； 当∠A=100°为底角时，∠B为底角时∠B=∠A=100°，100°+100°=200°＞180°，不能构成三角形，此种情况不存在． 故答案为：40°． 本题要分两种情况讨论：当∠A=100°为顶角；当∠A=100°为底角时，则∠B为底角时或顶角．然后求出∠B． 本题考查的是等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键．10.【答案】1【解析】解：根据三角形具有稳定性，在四边形的对角线上添加一根木条即可． 故答案为：1 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性． 本题主要考查了三角形的稳定性，解题时注意：三角形具有稳定性，这一特性主要应用在实际生活中．11.【答案】2【解析】解：如图，∵D是AB的中点， ∴CD=AB=2． 故填空答案：2． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CD． 此题主要是运用了直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．12.【答案】24cm2【解析】解：∵62+82=102， ∴此三角形是直角三角形， ∴此直角三角形的面积为：×6×8=24（cm2）． 故答案为：24cm2． 先利用勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，再利用三角形的面积公式即可求出其面积． 本题考查了勾股定理的逆定理，能够根据具体数据运用勾股定理的逆定理判定该三角形是一个直角三角形是解决此类问题的关键．13.【答案】②【解析】解：只需带上碎片②即可．理由：碎片②中，可以测量出三角形的两边以及夹角的大小，三角形的形状即可确定． 故答案为②． 根据全等三角形的判定方法“SAS”即可判定． 本题考查全等三角形的应用，灵活运用所学知识是解题的关键，属于基础题，中考常考题型．14.【答案】3【解析】解：∵AB∥FC， ∴∠ADE=∠EFC， ∵E是DF的中点， ∴DE=EF， 在△ADE与△CFE中，， ∴△ADE≌△CFE（ASA）， ∴AD=CF=4cm， ∴BD=AB-AD=7-4=3（cm）． 故答案为：3． 根据平行的性质求得内错角相等，根据ASA得出△ADE≌△CFE，从而得出AD=CF，已知AB，CF的长，即可得出BD的长． 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．15.【答案】20【解析】解：∵∠C=90°，∠B=35°， ∴∠BAC=55°， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴DB=DA， ∴∠DAB=∠B=35°， ∴∠CAD=∠BAC-∠DAB=20°， 故答案为：20． 根据三角形内角和定理求出∠BAC=55°，根据线段垂直平分线的性质得到DB=DA，得到∠DAB=∠B=35°，计算即可． 本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．16.【答案】4【解析】解：在△BOD和△COE中，，∴△BOD≌△COE，同理△ABO≌△ACO，△ADO≌△AEO，△ADC≌△AEB，故答案为：4．根据全等三角形的判定定理进行判断即可．本题考查的是全等三角形的判定，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．17.【答案】81【解析】解：如图，∵∠CBD=90°，CD2=225，BC2=144， ∴BD2=CD2-BC2=81， ∴正方形A的面积为81， 故答案为：81． 根据正方形可以计算斜边和一条直角边，则另一条直角边根据勾股定理就可以计算出来． 本题考查了勾股定理的运用，考查了正方形面积的计算，本题中解直角△BCD是解题的关键．18.【答案】68【解析】解：∵AD∥BC， ∴∠AFE=∠FEC=68°， ∵将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在点C′，D′处， ∴∠C′EF=∠FEC=68°， 故答案为：68． 根据平行线的性质得到∠AFE=∠FEC=68°，然后根据折叠的性质即刻得到结论． 本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，邻补角定义的应用，熟记折叠的性质是解题的关键．19.【答案】是【解析】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求； （2）∵AB2=12+22=5， BC2=22+42=20， AB2=25， ∴AB2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形． 故答案为：是． （1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用勾股定理逆定理得出答案． 此题主要考查了轴对称变换以及勾股定理逆定理，正确得出对应点位置是解题关键．20.【答案】证明：∵BE=CF，∴BC=EF，--------------------------（2分）在△ABC和△DEF中，AB=DE，AC=DF，BC=EF，----------------------------（4分）∴△ABC≌△DEF（SSS）．------------------（6分）【解析】根据BE=CF得到BC=EF，然后利用SSS判定定理证明△ABC≌△DEF即可． 本题主要考查三角形全等的判定；要牢固掌握并灵活运用这些知识．21.【答案】证明：∵AD平分∠CAE，∴∠EAD=∠CAD，∵AD∥BC，∴∠EAD=∠B，∠CAD=∠C，∴∠B=∠C，∴AB=AC．故△ABC是等腰三角形．【解析】根据角平分线的定义可得∠EAD=∠CAD，再根据平行线的性质可得∠EAD=∠B，∠CAD=∠C，然后求出∠B=∠C，再根据等角对等边即可得证． 本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，比较简单熟记性质是解题的关键．22.【答案】解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠C=70°，∵BD=BC，∴∠C=∠BDC=70°，∴∠CBD=40°，∴∠ABD=30．【解析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C=70°，∠C=∠BDC=70°，由三角形的内角和得到∠CBD=40°，于是得到结论． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．23.【答案】解：当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最低，∵∠ACB=90°，AC=80米，BC=60米，∴AB=AC2+BC2=602+802=100米，∵CD•AB=AC•BC，即CD•100=80×60，∴CD=48米，∴在Rt△ACD中，AC=80，CD=48，∴AD=AC2−CD2=802−482=64米，所以，CD长为48米，水渠的造价最低，其最低造价为48000元．【解析】当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最低，根据已知条件可将CD的长求出，在Rt△ACD中运用勾股定理可将AD边求出． 此题考查勾股定理的应用，本题的关键是确定D点的位置，在运算过程中多次用到勾股定理．24.【答案】解：（1）∵DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，∴DA=DB，FA=FC，∴△DAF的周长=AD+DF+AF=BD+DF+FC=BC=8；（2）∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=70°，∵DA=DB，FA=FC，∴∠BAD=∠B，∠CAF=∠C，∴∠BAD+∠CAF=70°，∴∠DAF=110°-70°=40°．【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，FA=FC，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到∠B+∠C=70°，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，FA=FC，得到∠BAD=∠B，∠CAF=∠C，计算即可． 本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．25.【答案】（1）证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∵AE⊥AB，∴∠E=90°=∠ADB，∵AB平分∠DAE，∴∠BAD=∠BAE，在△ADB和△AEB中，∠ADB=∠E∠BAD=∠BAEAB=AB，∴△ADB≌△AEB（AAS），∴AD=AE；（2）△ABC是等边三角形．理由：∵BE∥AC，∴∠EAC=90°，∵AB=AC，点D是BC的中点，∴∠BAE=∠BAD=∠CAD=30°，∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°，∴△ABC是等边三角形．【解析】（1）由边角关系求证△ADB≌△AEB即可； （2）由题中条件可得∠BAC=60°，进而可得△ABC为等边三角形． 本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．26.【答案】证明：∵∠E=∠CDA=∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠CBE=∠ACD，在：△ADC与△CEB中，∠CBE=∠ACD∠E=∠CDABC=AC，∴△ADC≌△CEB；（2）∵△ADC≌△CEB，∴BE=CD，AD=CE，∴AD-BE=CE-CD=DE，∵AD=10cm，DE=6cm，∴BE=4cm．【解析】（1）根据判断出∠CBE=∠ACD，根据AAS推出△BCE≌△CAD； （2）根据全等三角形的性质得出BE=CD，AD=CE，即可推出答案． 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△BCE≌△CAD，注意：全等三角形的对应边相等．27.【答案】（1）证明：∵△ABC，△DCE为等边三角形，∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=∠B=60°，∴∠ACE=∠BCD，在∠ACE和△BCD中，AC=BC∠ACE=∠BCDEC=DC， ∴△ACE≌△BCD（SAS），（2）解：结论：AE∥BC．理由：∵△ACE≌△BCD，∴∠EAC=∠DBC=60°，∵∠ACB=∠DBC=60°，∴∠EAC=∠ACB=60°，∴AE∥BC．【解析】（1）只要证明∠ACE=∠BCD，根据SAS即可证明． （2）结论：AE∥BC．只要证明∠CAE=∠ACB=60°即可． 本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，学会利用全等三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．28.【答案】解：（1）如图1，∵∠C=90°，AB=20cm，BC=12cm，∴AC=16cm，∵点P的速度为每秒1cm，∴出发5秒时，CP=5cm，AP=11cm，∵∠C=90°，∴Rt△BCP中，BP=13cm，∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=44cm；（2）当点P在AC边上时，PB＞PC； 如图，当点P在AB边上时，若BP=CP，则∠PCB=∠B，∵∠ACP+∠PCB=90°，∠B+∠A=90°，∴∠ACP=∠A，∴PA=PC，∴PA=PB=10cm，∴点P的运动路程=AC+AP=26cm，∴t=26÷1=26s，∴当t为26秒时，PC=PB；（3）如图，过点P作PD⊥AB于点D，∵BP平分∠ABC， ∴PD=PC，在Rt△BPD和Rt△BPC中，PC=PDBP=BP，∴Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），∴BD=BC=12cm，∴AD=20-12=8cm，设PC=xcm，则PD=xcm，AP=（16-x）cm，在Rt△APD中，PD2+AD2=AP2，即x2+82=（16-x）2，解得x=6，∴当t=6秒时，BP平分∠ABC．【解析】（1）根据勾股定理求得AC=16cm，根据运动的速度和时间求得CP=5cm，AP=11cm，最后根据勾股定理得到BP=13cm，即可得到△ABP的周长为：AP+PB+AB=44cm； （2）根据BP=CP，则∠PCB=∠B，进而得出PA=PB=10cm，故点P的运动路程=AC+AP=26cm，最后根据t=26÷1=26s，得到当t为26秒时，PC=PB； （3）过点P作PD⊥AB于点D，判定Rt△BPD≌Rt△BPC（HL），得到BD=BC=12cm，AD=20-12=8cm，再设PC=xcm，则PD=xcm，AP=（16-x）cm，在Rt△APD中，根据勾股定理得到PD2+AD2=AP2，即x2+82=（16-x）2，解得x=6，即可得到当t=6秒时，BP平分∠ABC． 本题属于三角形综合题，主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质的综合应用，解决第（3）问的关键是作辅助线构造直角三角形，运用勾股定理列出方程进行求解．解题时注意方程思想的运用．第16页，共16页。
