《管理运筹学》第四版课后习题解析（上）第2章 线性规划的图解法1．解：（1）可行域为OABC2）等值线为图中虚线部分3）由图2-1可知，最优解为B点，最优解 x = 12 ， x = 151 7 2 7图2-1；最优目标函数值 69 72．解：í = 0.6（1）如图2-2所示，由图解法可知有唯一解 ìx1 = 0.2 ，函数值为3.6îx2图2-2（2）无可行解3）无界解4）无可行解5）无穷多解ìx =í（6）有唯一解 ï 1ï203 ，函数值为 92 8 3x =ïî 2 33．解：（1）标准形式max f = 3x1 + 2x2 + 0s1 + 0s2 + 0s39x1 + 2x2 + s1 = 303x1 + 2x2 + s2 = 132x1 + 2x2 + s3 = 9x1, x2 , s1, s2 , s3 ≥ 0（2）标准形式min f = 4x1 + 6x2 + 0s1 + 0s23x1 - x2 - s1 = 6 x1 + 2x2 + s2 = 10 7x1 - 6x2 = 4x1, x2 , s1, s2 ≥ 0（3）标准形式min f = x1¢ - 2x2¢ + 2x2¢ + 0s1 + 0s2-3x1 + 5x2¢ - 5x2¢ + s1 = 70 2x1¢ - 5x2¢ + 5x2¢ = 503x1¢ + 2x2¢ - 2x2¢ - s2 = 30x1¢, x2¢ , x2¢ , s1, s2 ≥ 04．解：标准形式max z = 10x1 + 5x2 + 0s1 + 0s23x1 + 4x2 + s1 = 95x1 + 2x2 + s2 = 8x1, x2 , s1, s2 ≥ 0松弛变量（0，0）最优解为x1 =1，x2=3/2。
5．解：标准形式min f = 11x1 + 8x2 + 0s1 + 0s2 + 0s310x1 + 2x2 - s1 = 203x1 + 3x2 - s2 = 184x1 + 9x2 - s3 = 36x1, x2 , s1, s2 , s3 ≥ 0剩余变量（0, 0, 13）最优解为 x1=1，x2=56．解：（1）最优解为 x1=3，x2=72）1 < c1 < 3 3） 2 < c2 < 6 4） x1 = 6x2 = 45）最优解为 x1=8，x2=0≤（6）不变化因为当斜率 -1≤ - c1c2- 1 ，最优解不变，变化后斜率为1，所以最优解 3不变7.解：设x，y分别为甲、乙两种柜的日产量， 目标函数z=200x＋240y， 线性约束条件：ïì6x + 12 y £ 120ï8x + 4 y £ 64í 即ïx ³ 0ïî y ³ 0ìx + 2 y £ 20ïï2x + y £ 16íïx ³ 0ïî y ³ 0作出可行域．解ìx + 2 y = 20íî2x + y = 16得 Q(4,8)z最大 = 200 ´ 4 + 240 ´ 8 = 2720答：该公司安排甲、乙两种柜的日产量分别为4台和8台，可获最大利润2720元．8．解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，所用钢板面积zm2． 目标函数z=x＋2y， 线性约束条件：ìx + y ³ 12ï2x + y ³ 15ïíx + 3y ³ 27ïx ³ 0ïïî y ³ 0ìx + 3y = 27作出可行域，并做一组一组平行直线x＋2y=t．解 íîx + y = 12得 E(9 / 2,15 / 2)． 但E不是可行域内的整点，在可行域的整点中，点 (4,8) 使z取得最小值。
答：应截第一种钢板4张，第二种钢板8张，能得所需三种规格的钢板，且使所用钢板的面积最小．9．解：设用甲种规格原料x张，乙种规格原料y张，所用原料的总面积是zm2，目标函数z=ìx + 2 y ³ 23x＋2y，线性约束条件 2x + y ³ 3ïïíïx ³ 0ïî y ³ 0作出可行域．作一组平等直线3x＋2y=t． 解ìx + 2 y = 2íî2x + y = 3得 C(4 / 3,1 / 3)C不是整点，C不是最优解．在可行域内的整点中，点B(1，1)使z取得最小值．z最小=3×1＋2×1=5，答：用甲种规格的原料1张，乙种原料的原料1张，可使所用原料的总面积最小为5 m2．10．解：设租用大卡车x辆，农用车y辆，最低运费为z元．目标函数为z=960x＋360y．ì0 £ x £ 10í0线性约束条件是 ïï£ y £ 20作出可行域，并作直线960x＋360y=0．î8x + 2.5 y ³ 100即8x＋3y=0，向上平移ìx = 10由 íî8x + 2.5 y = 100得最佳点为 (8,10)作直线960x＋360y=0．即8x＋3y=0，向上平移至过点B(10，8)时，z=960x＋360y取到最小值．z最小=960×10＋360×8=12480答：大卡车租10辆，农用车租8辆时运费最低，最低运费为12480元．11．解：设圆桌和衣柜的生产件数分别为x、y，所获利润为z，则z=6x＋10y．ì0.18x + 0.09 y £ 72ïì2x + y £ 800ïï0.08x + 0.28 y £ 56 即 ï2x + 7 y £ 1400作出可行域．平移6x＋10y=0 ，如图íïx ³ 0ïî y ³ 0íïx ³ 0ïî y ³ 0ì2x + y = 800íî2x + 7 y = 1400ìx = 350得 íî y = 100即C(350，100)．当直线6x＋10y=0即3x＋5y=0平移到经过点C(350，100)时，z=6x＋10y最大12．解：模型 max z = 500x1 + 400x22x1 ≤ 3003x2 ≤ 5402x1 + 2x1 ≤ 4401.2x1 + 1.5x2 ≤ 300x1, x2 ≥ 0（1） x1 = 150 ， x2 = 70 ，即目标函数最优值是103 000。
2）2，4有剩余，分别是330，15，均为松弛变量3）50，0，200，04）在 [0,500]变化，最优解不变；在400到正无穷变化，最优解不变5）因为 - c1 = - 450 ≤ -1 ，所以原来的最优产品组合不变c2 43013．解：（1）模型 min f = 8xA + 3xB50xA + 100xB ≤1 200 0005xA + 4xB ≥ 60 000100xB ≥ 300 000xA , xB ≥ 0基金A，B分别为4 000元，10 000元，回报额为62000元2）模型变为 max z = 5xA + 4xB50xA + 100xB ≤1 200 000100xB ≥ 300 000xA , xB ≥ 0推导出 x1 = 18 000 ， x2 = 3 000 ，故基金A投资90万元，基金B投资30万元第3章 线性规划问题的计算机求解1．解：⑴甲、乙两种柜的日产量是分别是4和8，这时最大利润是2720⑵每多生产一件乙柜，可以使总利润提高13.333元⑶常数项的上下限是指常数项在指定的范围内变化时，与其对应的约束条件的 对偶价格不变比如油漆时间变为100，因为100在40和160之间，所以其对偶价格 不变仍为13.333⑷不变，因为还在120和480之间。
2．解：⑴不是，因为上面得到的最优解不为整数解，而本题需要的是整数解 ⑵最优解为(4，8)3 ．解：⑴农用车有12辆剩余⑵大于300⑶每增加一辆大卡车，总运费降低192元4．解：计算机得出的解不为整数解，平移取点得整数最优解为(10，8)5．解：圆桌和衣柜的生产件数分别是350和100件，这时最大利润是3100元相差值为0代表，不需要对相应的目标系数进行改进就可以生产该产品最优解不变，因为C1允许增加量20-6=14；C2允许减少量为10- 3=7，所有允许增加百分比和允许减少百分比之和（7.5-6）/14+（10-9）/7〈100%，所以最优解不变6．解：（1） x1 = 150 ， x2 = 70 ；目标函数最优值103 0002）1、3车间的加工工时数已使用完；2、4车间的加工工时数没用完；没用完的加工工时数为2车间330小时，4车间15小时3）50，0，200，0 含义：1车间每增加1工时，总利润增加50元；3车间每增加1工时，总利润增加200元；2车间与4车间每增加一个工时，总利润不增加4）3车间，因为增加的利润最大5）在400到正无穷的范围内变化，最优产品的组合不变6）不变，因为在 [0,500]的范围内。
7）所谓的上限和下限值指当约束条件的右边值在给定范围内变化时，约束条件1的右边值在 [200, 440]变化，对偶价格仍为50（同理解释其他约束条件）8）总利润增加了100×50=5 000，最优产品组合不变9）不能，因为对偶价格发生变化10）不发生变化，因为允许增加的百分比与允许减少的百分比之和25 + 50 ≤100%100 100（11）不发生变化，因为允许增加的百分比与允许减少的百分比之和50 + 60 ≤100% ，其最大利润为103 000+50×50−60×200=93 500元140 1407．解：（1）4 000，10 000，62 0002）约束条件1：总投资额增加1个单位，风险系数则降低0.057； 约束条件2：年回报额增加1个单位，风险系数升高2.167； 约束条件3：基金B的投资额增加1个单位，风险系数不变量是0，表示投资回报额正好是60 000；约束条件3的松弛变量为700 000，表示投资B基金的投资额为370 0004）当 c2 不变时， c1 在3.75到正无穷的范围内变化，最优解不变；当 c1 不变时， c2 在负无穷到6.4的范围内变化，最优解不变。
5）约束条件1的右边值在 [780 000,1 500 000]变化，对偶价格仍为0.057（其他同理）6）不能，因为允许减少的百分比与允许增加的百分比之和4 + 2> 100% ，理由见百分之一百法则4.25 3.68．解：（1）18 000，3 000，102 000，153 0002）总投资额的松弛变量为0，表示投资额正好为1 200 000；基金B的投资额的剩 余变量为0，表示投资B基金的投资额正好为300 000；（3）总投资额每增加1个单位，回报额增加0.1； 基金B的投资额每增加1个单位，回报额下降0.064） c1 不变时， c2 在负无穷到10的范围内变化，其最优解不变；c2 不变时， c1 在2到正无穷的范围内变化，其最优解不变5）约束条件1的右边值在300 000到正无穷的范围内变化，对偶价格仍为0.1；约束条件2的右边值在0到1 200 000的范围内变化，对偶价格仍为-0.066） 600 000 + 300 000 = 100%故对偶价格不变900 000 900 0009．解：（1） x1 = 8.5 ， x2 = 1.5 ， x3 = 0 ， x4 = 0 ，最优目标函数18.5。
函数分别提高2和3.53）第3个，此时最优目标函数值为224）在负无穷到5.5的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化5）在0到正无穷的范围内变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化10．解：（1）约束条件2的右边值增加1个单位，目标函数值将增加3.6222） x2 目标函数系数提高到0.703，最优解中 x2 的取值可以大于零3）根据百分之一百法则判定，因为允许减少的百分比与允许增加的百分比之和114.583+ 2 ≤100% ，所以最优解不变∞（4）因为 15 + 65> 100 %，根据百分之一百法则，我们不能判定其对偶30 - 9.189 111.25 -15价格是否有变化第4章 线性规划在工商管理中的应用1．解：为了用最少的原材料得到10台锅炉，需要混合使用14种下料方案 设14种方案下料时得到的原材料根数分别为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14，如表4-1所示表4-1 各种下料方式下料方式12345678910111213142 640 mm211100000000001 770 mm010032211100001 650 mm001001021032101 440 mm00010010120123min f=x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11＋x12＋x13＋x14s.t. 2x1＋x2＋x3＋x4≥80x2＋3x5＋2x6＋2x7＋x8＋x9＋x10≥350x3＋x6＋2x8＋x9＋3x11＋2x12＋x13≥420x4＋x7＋x9＋2x10＋x12＋2x13＋3x14≥10x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11，x12，x13，x14≥0通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解为：x1=40，x2=0，x3=0，x4=0，x5=116.667，x6=0，x7=0，x8=0，x9=0，x10=0，x11=140，x12= 0，x13=0，x14=3.333最优值为300。
2．解：（1）将上午11时至下午10时分成11个班次，设xi表示第i班次新上岗的临时工人数， 建立如下模型min f=16(x1＋x 2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＋x9＋x10＋x11) s.t． x1＋1≥9x1＋x2＋1≥9 x1＋x2＋x3＋2≥9 x1＋x2＋x3＋x4＋2≥3 x2＋x3＋x4＋x5＋1≥3 x3＋x4＋x5＋x6＋2≥3 x4＋x5＋x6＋x7＋1≥6 x5＋x6＋x7＋x8＋2≥12 x6＋x7＋x8＋x9＋2≥12 x7＋x8＋x9＋x10＋1≥7 x8＋x9＋x10＋x11＋1≥7x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11≥0通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解如下：x1=8，x2=0，x3=1，x4=1，x5=0，x6=4，x7=0，x8=6，x9=0，x10=0，x11=0， 最优值为320在满足对职工需求的条件下，在11时安排8个临时工，13时新安排1个临时工，14 时新安排1个临时工，16时新安排4个临时工，18时新安排6个临时工可使临时工 的总成本最小2）这时付给临时工的工资总额为320，一共需要安排20个临时工的班次。
约束 松弛/剩余变量 对偶价格------ ------------ ------------ 1 0 −42 0 03 2 04 9 05 0 −46 5 07 0 08 0 09 0 −410 0 011 0 0根据剩余变量的数字分析可知，可以让11时安排的8个人工做3小时，13时安排的1个人工作3小时，可使得总成本更小3）设xi表示第i班上班4小时临时工人数，yj表示第j班上班3小时临时工人数min f=16(x1＋x 2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8)＋12(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6＋y7＋y8＋y9) s.t． x1＋y1＋1≥9x1＋x2＋y1＋y2＋1≥9x1＋x2＋x3＋y1＋y2＋y3＋2≥9x1＋x2＋x3＋x4＋y2＋y3＋y4＋2≥3x2＋x3＋x4＋x5＋y3＋y4＋y5＋1≥3x3＋x4＋x5＋x6＋y4＋y5＋y6＋2≥3 x4＋x5＋x6＋x7＋y5＋y6＋y7＋1≥6 x5＋x6＋x7＋x8＋y6＋y7＋y8＋2≥12 x6＋x7＋x8＋y7＋y8＋y9＋2≥12 x7＋x8＋y8＋y9＋1≥7x8＋y9＋1≥7 x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，y1，y2，y3，y4，y5，y6，y7，y8，y9≥0用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下：x1=0，x2=0，x3=0，x4=0，x5=0，x6=0，x7=0，x8=6， y1=8，y2=0，y3=1，y4=0，y5=1，y6=0，y7=4，y8=0，y9=0。
最优值为264具体安排如下 在11：00－12：00安排8个3小时的班，在13：00－14：00安排1个3小时的班，在15：00－16：00安排1个3小时的班，在17：00－18：00安排4个3小时的班，在18：00－19：00安排6个4小时的班总成本最小为264元，能比第一问节省320−264=56元3．解：设xij，xij’分别为该工厂第i种产品的第j个月在正常时间和加班时间内的生产量； yij为i种产品在第j月的销售量，wij为第i种产品第j月末的库存量，根据题意，可以 建立如下模型：5 6 5 6åå i ij i ij i ijåå i ijmax z =i=1j =1[S y– C x- C' x ' ] -i=1H wj =1ì5ïå ai xij £ rj ( j = 1,Lï i=1ï 5, 6) üïïïïå i ij j ïï i=1a x'£ r'( j = 1,L, 6)ïs.t. í y£ d (i = 1,L, 5; j = 1,L, 6) ýïij ijïïw = w+ x + x'– y (i = 1,L, 5; j = 1,L, 6, 其中，w， =0w = k )ïij i, j -1ïij ij ij i 0 i6 iïx ³ 0, x'³ 0, y³ 0(i = 1,L, 5; j = 1,L, 6)ï ij ij ij ïï ïîwij ³ 0(i = 1,L, 5; j = 1,L, 6) þ4. 解：（1）设生产A、B、C三种产品的数量分别为x1，x2，x3，则可建立下面的数学模型。
max z＝10 x1＋12x2＋14x3s.t. x1＋1.5x2＋4x3≤2 0002x1＋1.2x2＋x3≤1 000x1≤200x2≤250x3 ≤100x1，x2，x3≥0用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下：x1=200，x2=250，x3=100，最优 值为6 400即在资源数量及市场容量允许的条件下，生产A 200件，B 250件，C 100件，可使生产获利最多2）A、B、C的市场容量的对偶价格分别为10元，12元，14元材料、台时的对偶价 格均为0说明A的市场容量增加一件就可使总利润增加10元，B的市场容量增加 一件就可使总利润增加12元，C的市场容量增加一件就可使总利润增加14元但 增加一千克的材料或增加一个台时数都不能使总利润增加如果要开拓市场应 当首先开拓C产品的市场，如果要增加资源，则应在0价位上增加材料数量和机器 台时数5．解：（1）设白天调查的有孩子的家庭的户数为x11，白天调查的无孩子的家庭的户数为x1 2，晚上调查的有孩子的家庭的户数为x21，晚上调查的无孩子的家庭的户数为x22， 则可建立下面的数学模型min f =25x11＋20x12＋30x21＋24x22 s.t． x11＋x12＋x21＋x22≥2 000x11＋x12 =x21＋x22 x11＋x21≥700 x12＋x22≥450x11, x12, x21, x22≥0用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。
x11＝700，x12＝300，x21＝0，x22＝1 000， 最优值为47 500白天调查的有孩子的家庭的户数为700户，白天调查的无孩子的家庭的户数为300户，晚上调查的有孩子的家庭的户数为0，晚上调查的无孩子的家庭的户数为1 000户，可使总调查费用最小2）白天调查的有孩子的家庭的费用在20～26元之间，总调查方案不会变化；白 天调查的无孩子的家庭的费用在19～25元之间，总调查方案不会变化；晚上调查 的有孩子的家庭的费用在29到正无穷之间，总调查方案不会变化；晚上调查的无 孩子的家庭的费用在-20～25元之间，总调查方案不会变化3）发调查的总户数在1 400到正无穷之间，对偶价格不会变化；有孩子家庭的最 少调查数在0到1 000之间，对偶价格不会变化；无孩子家庭的最少调查数在负无 穷到1 300之间，对偶价格不会变化管理运筹学软件求解结果如下：6．解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x,y台，总利润是P，则P=6x+8y，可建立约束条件如下：30x+20y≤300;5x+10y≤110;x≥0y≥0x,y均为整数 使用管理运筹学软件可求得，x=4,y=9,最大利润值为9600；7. 解：1、该问题的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为：0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3决策的限制条件：8x1+ 4x2+ 6x3≤500 铣床限制条件4x1+ 3x2 ≤350 车床限制条件3x1 + x3≤150 磨床限制条件 即总绩效测试（目标函数）为：max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 2、本问题的线性规划数学模型max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3 S．T． 8x1+ 4x2+ 6x3≤5004x1+ 3x2 ≤3503x1 + x3≤150x1≥0、x2≥0、x3≥0最优解（50，25，0），最优值：30元。
3、若产品Ⅲ最少销售18件，修改后的的数学模型是： max z= 0.5x1+ 0.2x2+ 0.25x3S．T． 8x1+ 4x2+ 6x3≤5004x1+ 3x2 ≤3503x1 + x3≤150x3≥18x1≥0、x2≥0、x3≥0这是一个混合型的线性规划问题代入求解模板得结果如下：最优解（44，10，18），最优值：28.5元8．解：设第i个月签订的合同打算租用j个月的面积为xij，则需要建立下面的数学模型：minf=2 800x11＋4 500x12＋6 000x13＋7 300x14＋2 800x21＋4 500x22＋6 000x23＋2 800x3 1＋4 500x32＋2 800x41s.t． x11≥15x12＋x21≥10x13＋x22＋x31≥20x14＋x23＋x32＋x41≥12xij≥0，i，j=1，2，3，4用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下x11=15，x12=0，x13=0，x14=0，x21=10，x22=0，x23=0，x31=20，x32=0，x41=12， 最优值为159 600，即在一月份租用1 500平方米一个月，在二月份租用1 000平方米一个月，在三月份租用2 000平方米一个月，四月份租用1 200平方米一个月，可使 所付的租借费最小。
9. 解：设xi为每月买进的种子担数，yi为每月卖出的种子担数，则线性规划模型为；Max Z=3.1y1+3.25y2+2.95y3-2.85x1-3.05x2-2.9x3s.t. y1≤1000y2≤1000- y1+ x1y3≤1000- y1+ x1- y2+ x21000- y1+ x1≤50001000- y1+ x1- y2+ x2≤5000x1≤（20000+3.1 y1）/ 2.85x2≤（20000+3.1 y1-2.85x1+3.25y2）/ 3.05x3≤（20000+3.1 y1-2.85x1+3.25y2-3.05x2+2.95y3）/ 2.91000-y1+x1-y2+ x2-y3 +x3=2000xi≥0 yi≥0 (i=1,2,3)10．解：设xij表示第i种类型的鸡饲料需要第j种原料的量，可建立下面的数学模型maxz=9(x11＋x12＋x13)＋7(x21＋x22＋x23)+8(x31＋x32＋x33)−5.5(x11＋x21＋x31)−4(x12＋x22＋ x32)−5(x13＋x23＋x33)s.t． x11≥0.5(x11＋x12＋x13)x12≤0.2(x11＋x12＋x13)x21≥0.3(x21＋x22＋x23)x23≤0.3(x21＋x22＋x23)x33≥0.5(x31＋x32＋x33)x11＋x21＋x31+ x12＋x22＋x32+ x13＋x23＋x33≤30x11＋x12＋x13≤5x21＋x22＋x23≤18x31＋x32＋x33≤10xij≥0，i，j=1，2，3用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。
x11=2.5，x12=1，x13=1.5，x21=4.5，x22=10.5，x23=0，x31=0，x32=5，x33=5，最优值为93..11. 解：设X i 为第i个月生产的产品Ⅰ数量，Y i 为第i个月生产的产品Ⅱ数量，Z i ，W i 分别为第i个月末产品Ⅰ、Ⅱ库存数，S 1i ，S 2i 分别为用于第（i+1）个月库存的自有及租借的仓库容积（立方米），则可以建立如下模型5 12 12min z = å(5xi + 8 yi ) + å(4.5xi + 7 yi ) + å(S1i + S2i )i=1s.t X1−10 000=Z1 X2+Z1−10 000=Z2 X3+Z2−10 000=Z3 X4+Z3−10 000=Z4 X5+Z4−30 000=Z5 X6+Z5−30 000=Z6 X7+Z6−30 000=Z7 X8+Z7−30 000=Z8 X9+Z8−30 000=Z9i=6i=1X10+Z9−100 000=Z10 X11+Z10−100 000=Z11 X12+Z11−100 000=Z12Y1−50 000=W1Y2+W1−50 000=W2 Y3+W2−15 000=W3 Y4+W3−15 000=W4 Y5+W4−15 000=W5 Y6+W5−15 000=W6 Y7+W6−15 000=W7 Y8+W7−15 000=W8Y9+W8−15 000=W9 Y10+W9−50 000=W10 Y11+W10−50 000=W11Y12+W11−50 000=W12S1i≤15 000 1≤i≤12Xi+Yi≤120 000 1≤i≤120.2Zi+0.4Wi = S1i + S2i1≤i≤12X i ≥0,Yi ≥ 0 ,Z i ≥≥0,W≥i ≥ 0, S1i0, S2i 0用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。
最优值为4 910 500X1=10 000, X2=10 000, X3=10 000, X4=10 000, X5=30 000, X6=30 000, X7=30 000,X8=45 000, X9=105 000, X10=70 000, X11=70 000, X12=70 000;Y1=50 000, Y2=50 000, Y3=15 000, Y4=15 000, Y5=15 000Y6=15 000, Y7=15 000, Y8=15 000, Y9=15 000, Y10=50 000, Y11=50 000, Y12=50 000;Z8=15 000, Z9=90 000, Z10=60 000, Z11=30 000;S18=3 000, S19=15 000, S110=12 000, S111=6 000, S29=3 000;其余变量都等于012.解：为了以最低的成本生产足以满足市场需求的两种汽油，将这个问题写成线性规划问题进行求解，令， x1=生产标准汽油所需的X100原油的桶数 x2=生产经济汽油所需的X100原油的桶数 x3=生产标准汽油所需的X220原油的桶数 x4=生产经济汽油所需的X220原油的桶数 则，min Z=30 x1+30 x2+34.8 x3+34.8 x4s.t. x1+ x3≥25000 x2+ x4≥320000.35 x1+ 0.6x3≥0.45（x1+ x3）0.55 x2+ 0.25x4≤0.5（x2+ x4）通过管理运筹学软件，可得x1=15000，x2=26666.67，x3=10000，x4=5333.33总成本为1783600美元。
13．解：（1）设第i个车间生产第j种型号产品的数量为xij, 可以建立如下数学模型 max z=25(x11+x21 + x31 + x41 + x51 ) + 20(x12 + x32 + x42 + x52 ) + 17(x13 + x23 + x43 + x53 ) +11 (x14 + x24 + x44 )s.tx11 + x21 + x31 + x41 + x51 ≤1 400x12 + x32 + x42 + x52 ≥ 300x12 + x32 + x42 + x52 ≤ 800x13 + x23 + x43 + x53 ≤ 8 000x14 + x24 + x44 ≥ 7005x11 + 7x12 + 6x13 + 5x14 ≤18 0004 x31 + 3x32 ≤14 0003x41 + 2x42 + 4x43 + 2x44 ≤12 0002x51 + 4x52 + 5x53 ≤10 000x ij≥ 0,i = 1, 2,3, 4,5j=1,2,3,4用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下最优解如下*************************目标函数最优值为：279 400变量-------最优解---------相差值----------x11011x21026.4x311 4000x41016.5x5105.28x12015.4x328000x42011x52010.56x131 0000x235 0000x4308.8x532 0000x142 4000x2402.2x446 0000即x31=1400，x32=800，x13=1000，x23=5000，x53=2000，x14=2400，x44=6000，其余均为0，得到最优值为279 400。
2) 对四种产品利润和5个车间的可用生产时间做灵敏度分析;约束 松弛/剩余变量 对偶价格------- ----------- ---------- 1 0 252 500 03 0 204 0 3.85 7 700 06 0 2.27 0 4.48 6 000 09 0 5.510 0 2.64目标函数系数范围 :变量-------下限-------当前值-------上限-------x11无下限2536x21无下限2551.4x3119.7225无上限x41无下限2541.5x51无下限2530.28x12无下限2035.4x329.4420无上限x42无下限2031x52无下限2030.56x1313.21719.2x2314.817无上限x43无下限1725.8x533.817无上限x149.1671114.167x24无下限1113.2x446.611无上限常数项数范围：约束 下限 当前值 上限------- 10-------------- 1 400------- 2 9002无下限30080033008002 80047 0008 00010 0005无下限7008 40066 00018 000无上限79 00015 00018 00088 00014 000无上限9012 000无上限10010 00015 000可以按照以上管理运筹学软件的计算结果自行进行。
14．解：设第一个月正常生产x1，加班生产x2，库存x3；第二个月正常生产x4，加班 生产x5，库存x6；第三个月正常生产x7，加班生产x8，库存x9；第四个月正常生产x10，加班生产x11，可以建立下面的数学模型min f=200(x1+ x4+ x7+ x10)+300(x2+ x5+ x8+ x11)+60(x3+ x6+ x9)s.t x1≤4 000x4≤4 000x7≤4 000x10≤4 000x3≤1000x6≤1 000x9≤1 000x2≤1 000x5≤1 000x8≤1 000x11≤1 000x1 + x2 - x3 = 4 500x3 + x4 + x5 - x6 = 3 000 x6 + x7 + x8 - x9 = 5 500 x9 + x10 + x11 = 4 500x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 , x9 , x10 , x11 ≥ 0用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下 最优值为f =3 710 000元x1=4 000吨，x2 =500吨，x3=0吨，x4=4 000吨，x5=0吨，x6=1 000吨，x7=4 000吨，x8=500吨，x9=0吨，x10=3500吨，x11=1000吨。
管理运筹学软件求解结果如下：隧篇篇篇t最优解虫日1机抵篇篇目标函数最优值为 3460000变窒 最优解 4目差{直.140000.25000.30120.440000.5060.610000x740000.85000.90160.1035000.1110000约束 松弛楝11余变里 划{高价格D D DDDD DDDOnunu nununur3nunununununununur3 噜tnU 噜tr3 噜『nU 噜『 饨，也 句Jaa哼r3噜『 饨，也 句Jaa哼r3 俨O 唁rnon3 噜『 噜『 噜『 噜『 噜『 噜『100401000000000200-300-240-300-200第5章 单纯形法1．解： 表中a、c、e、f是可行解，f是基本解，f是基本可行解2．解：（1）该线性规划的标准型如下max 5x1＋9x2＋0s1+0s2+0s3 s.t. 0.5x1＋x2＋s1＝8x1＋x2－s2＝10 0.25x1＋0.5x2－s3＝6 x1，x2，s1，s2，s3≥0（2）至少有两个变量的值取零，因为有三个基变量、两个非基变量，非基变量取零3）（4，6，0，0，-2）T（4）（0，10，-2，0，-1）T（5）不是。
因为基本可行解要求基变量的值全部非负6）略3.解：令 x3 = x3¢ - x3¢ ， f边同时乘以-= -z 改为求 max f；将约束条件中的第一个方程左右两1，并在第二和第三个方程中分别引入松弛变量 x5 和剩余变量 x6 ，将原线性规划问题化为如下标准型：max f= 4x1 - 3x2 + 2x3 + 7x4约束条件：- 4x1 - x2 - 3x3¢ + 3x3¢ + x4 = 1- x1 + 3x2 - x3¢ + x3¢ + 6x4 + x5 = 18 3x1 - 2x2 - 4x3¢ + 4x3¢ - x6 = 2x1 , x2 , x3¢ , x3¢, x4 , x5 , x6 ³ 0x¢j 、 x¢j¢ 不可能在基变量中同时出现，因为单纯性表里面 x¢j 、 x¢j¢ 相应的列向量是相同的，只有符号想法而已，这时候选取基向量的时候，同时包含两列 会使选取的基矩阵各列线性相关，不满足条件4．解：（1） 表5-1迭代次数基变量CBx1x2x3s1s2s3b630250000s1031010040s2002101050s302[1]−100120zj0000000c j - z j63025000（2）线性规划模型如下。
max 6x1＋30x2＋25x3s.t. 3x1＋x2＋s1=402x2＋x3＋s2=502x1＋x 2-x3＋s3＝20x1，x2，x3，s1，s2，s3 ≥0（3）初始解的基为（s1，s2，s3）T，初始解为（0，0，0，40，50，20）T，对应的目标函数值为04）第一次迭代时，入基变量时x2，出基变量为s311. 解：迭代 次数基变 量cBx1x2x3x4x5x6x7b0660000nx4 x5 x700010 8 10 1 0 0 04 3 9 0 1 0 02 7 6 0 0 -1 11042c j - z j0 6 6 0 0 0 0-MMM M M M M M MMn + ix4x5x200617/3 0 8 1 0 1/3 -1/3- 0 4 0 1 5/6 -5/617/67/6 1 1 0 0 -1/6 1/628/37/31/3c j - z j-7 0 0 0 0 1 -1-MMM M M M M M MM12. 解：（1）当现行解为可行解，并且对应的非基变量检验数均小于0时，该线性规划问题 才有唯一最优解，即 k1 ³ 0 ， k3 < 0 ， k5 < 0 ；（2）当某个非基变量的检验数为0时，该线性规划问题有多重最优解。
所以若满足现行解为最优解，并且有多重最优解即满足：或者 k1 ³ 0 ， k3 = 0 ， k5 £ 0 ；或者k1 ³ 0k3 = 0k5 = 0k1 ³ 0 ， k3 £ 0 ， k5 = 0 ；；或者 ， ，（3） k1 ³ 0 可以保证该线性规划问题有可行解若此时该线性规划问题目标函数 无界，也就是说一定存在某个检验数为正时，对应的列的系数向量元素全部非正，即 k5 > 0 且 k4 £ 0 ；（4）由表中变量均为非人工变量，则 k1 £ 0 且 k2 ³ 0 ，由于变量的非负性条件，第一个约束方程变为矛盾方程，从而该问题无可行解；13. 解：（1） a = 7, b = 0, c = 1, d= 0, e = 0, f= 0, g = 1, h = 7 ；（2）表中给出的解是最优解8．解： 最优解为（2.25，0）T，最优值为9图5-1迭代次数基变量CBx1x2s1s2b41000s1013107s20[4]2019z j0000c j - z j41001s1002.51−0.254.75x1410.500.252.25z j4201单纯形法如表5-2所示。
表5-2c j - z j0−10−19．解：（1）最优解为（2，5，4）T，最优值为842）最优解为（0，0，4）T，最优值为−410．解： 有无界解11．解：（1）无可行解2）最优解为（4，4）T，最优值为283）有无界解4）最优解为（4，0，0）T，最优值为812. 解：该线性规划问题的最优解为 (5,0,-1)T ,最优值为-12第6章 单纯形法的灵敏度分析与对偶1．解：（1）c1≤24（2）c2≥6（3）cs2≤82．解：（1）c1≥−0.5（2）−2≤c3≤0（3）cs2≤0.53．解：（1）b1≥250（2）0≤b2≤50（3）0≤b3≤1504．解：（1）b1≥−4（2）0≤b2≤10（3）b3≥45. 解：æ 1 0ö-1 æ 1 0ö最优基矩阵和其逆矩阵分别为： B = çè 4÷ ， B1ø= ç ÷ ；è - 4 1ø最优解变为 x1 = x2 = 0，x3 = 13 ，最小值变为-78；最优解没有变化；最优解变为 x1 = 0，x2 = 14，x3 = 2 ，最小值变为-96；6．解：（1）利润变动范围c1≤3，故当c1=2时最优解不变。
2）根据材料的对偶价格为1判断，此做法有利3）0≤b2≤454）最优解不变，故不需要修改生产计划5）此时生产计划不需要修改，因为新的产品计算的检验数为−3小于零，对原生产计划没有影响7. 解：(1)设 x1 , x2 , x3 为三种食品的实际产量，则该问题的线性规划模型为max z = 2.5x1 + 2x2 + 3x3约束条件： 8x1 +16x2 +10x3 £ 35010x1 + 5x2 + 5x3 £ 4502x1 +13x2 + 5x3 £ 400x1 , x2 , x3 ³ 0解得。