1.6微积分基本定理r预习导学「挑战界我，巨直落交［学习目标］1 .直观了解并掌握微积分基本定理的含义.2 .会利用微积分基本定理求函数的定积分.［知识链接］1 .导数与定积分有怎样的联系？答 导数与定积分都是微积分学中两个最基本、最重要的概念，运用它们之间的联系， 我们可以找出求定积分的方法，求导数与定积分是互为逆运算.2 .在下面图(1)、图(2)、图(3)中的三个图形阴影部分的面积分别怎样表示？闺⑴ 阳⑵ 闱⑶答根据定积分与曲边梯形的面积的关系知:图(1)中 S= bf(x)dx,a图(2)中 S=—bf(x)dx,a图(3)中 S= bf(x)dx- 0f (x)dx. 0a［预习导引］1 .微积分基本定理如果f(x)是区间［a, b］上的连续函数，并且F'(x) = f(x),那么 bf (x)dx=F(b)-F(a).a2 .函数f(x)与其一个原函数的关系(1)若 f (x) = c( c 为常数),则 F( x)=丝;..n.1…⑵若”"户―1)'则 F(x)=k x ；1⑶右 f(x)=7 则 F(x) = !n_x(x>0)； x(4)若 f(x) = ex,则 F(x) =ex;x,,x 一a 一(5)右 f (x) = a ,贝U F(x)=m~《(2>0 且 awi)；(6)若 f(x) = sin x,则 F(x) = —cos_x;(7)若 f (x) = cos x,贝U F( x) = sin x.£课堂讲义 j1点难点,个个个破要点一求简单函数的定积分 例1计算下列定积分(1)23dx；(2)2(2x+3)dx；1 0(3)3—1(4x —x2)dx；(4)2(x-1)5dx.1解(1)因为(3x) ' =3,所以 23dx=(3x)=3X 2—3X1=3.1 1(2)因为(x2+3x) ' = 2x+3,2所以 2(2x+ 3)dx=(x2+3x)00= 22+ 3X 2-(02+ 3X 0)= 10.3⑶因为 2x2-；- ' = 4x- x2,333所以 3 —1(4 x— x2)dx= 2x2—、20W.3-1=2X32-3 — 2X3(4)因为 6 x—1 6 ' = (x-1)5,所以 21(x- 1) 5dx2=6(x—1)61= 6(2 -1)6-6(i -1)61 =6.规律方法(1)用微积分基本定理求定积分的步骤:①求f(x)的一个原函数 F(x);②计算 F(b) —F(a).(2)注意事项：①有时需先化简，再求积分；②f(x)的原函数有无穷多个，如 F(x)+c,计算时，一般只写一个最简单的，不再加任意常数c.跟踪演练1求下列定积分：「支(1) / -20(3 x+sin x)dx；(2) 21 ex-x dx.解 (1) -.1 2x2—cos x ' =3x+sin x,兀-20=2* 2- 2- cos 2 — 2x 0— cos 03兀-82-+1;f _2-o(3x + sin x)d x= 2x2 — cos xxx 1(2) , (e -ln x) ' =e -x,21(ex —：)dx=(exTn x)=(e2—In 2) - (e - 0) = e2— e— In 2.要点二求较复杂函数的定积分例2求下列定积分：41 极1 — ^)d x;(2) / ■2~02cos 2xdx ；41(2x+；)dx. x(1) •,也(1 —五)=6—x|x|-1x2，=gx.3 2 22 3 1176 .4Wx(1 ->/x)dx= 3x2-2x"3」一3 42 2 4(2) ••• 2cos2x= 1 + cos x, (x+ sin兀「•原式=/ '2-0(1 + cos x)dx=(x+sin x) 2= — + 1.02xx4x 12•・ 41(2 +不dx=记+2 声 124214WE 记+2=记 + 2.规律方法求较复杂函数的定积分的方法:(1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则,正确求解被积函数的原函数，当原函数2―41T+2 =不易求时，可将被积函数适当变形后求解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为募函 数、正、余弦函数、指数、对数函数与常数的和与差.(2)确定积分区间，分清积分下限与积分上限.跟踪演练2计算下列定积分:…「汽，.・ C 、，(1) J -o(sin x —sin 2 x)dx；(2) 1n 2ex(1 +ex)dx. 0解 (1)sin x—sin 2 x的一个原函数是一 cos x+1 Tt2cos 2 x,所以/ —o(sinx—sin 2 x)d x2 2) ,. ex(1 +ex) = ex+e2x,x —cos x + 2cos 2 x 2x ,x 2xe +2e = e + e ,ln 2 xxIn 2 x 2x\e (1 + e )dx=(e + e ) dx00ex+2e2xIn 2ln 2121n 201 0=e +2e —e—]e115=2+ 一X 4 —1一 一 =一.22 2要点三定积分的简单应用例 3 已知 f(a)= 10(2 ax2-a2x)dx,求 f( a)的最大值.解 ・. |ax3-1a2x2 z =2ax2—a2x, 32110(2 ax2 — a2x)d x= |ax3-^a2x2 3201 2 4 4—2"3a+92 +93a-2a21 2即 f(a) =-a--a =322 2 2a—3 +9当a=3时，f( a)有最大值9规律方法定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用.跟踪演练 3 已知 f(x) =ax2+bx+ c(awo),且 f (―1) =2, f ' (0) =0, 10f (x)dx=-2,求a、b、c的值.解由 f (― 1) = 2,得 a— b+c=2.又f' (x) = 2ax+b,，f' (0)=b=0, 而 10f (x)dx= 10( ax2+bx+c)d x=13123ax + 2bx + cx11= 3a+2b+c，「•三a+ R+ c= — 2, 32由①②③式得 a=6, b= 0, c= - 4.要点四求分段函数的定积分例4计算下列定积分：X2xw 0⑴若f(x) =cos x— 1x>0(2) 30|x2 —4|dx.解 (1) f -2- if (x)d x=0- 1x2dx+ f -2o(cos x- 1)d x,又「 «x3 ' = x2, (sin 3x —x) ' = cos x— 1兀十 (sin x— x) 201 .兀 兀=0 + 3 + sin ―― — — (sin 0 — 0)4 兀=——.3 2(2) •••|x2-4|= x-：4-xx>2 或 xw — 2—2-,2 3( l 4x)d x + 2 2 — 26d x + /x3=—2x232 + 6x—3+ 2x2= 45.1.A.C.当堂检测当堂训嫉.体脸成比兀 兀…、一一一.2-- y(1 + COs x)d x 等于(7171答案解析.1 (x+ sinx) ' = 1 + cosx,1 + cos xdx =x+ sin xB.D.兀= -2-+sin7t7t—+ sin27t=兀 + 2.2.12x十 一 xdx=3+ln 2 ,则a的值是（A.B.C.D.答案解析12x +- dx =xa2xdx+-dx = x2| a + x1ln x=a2— 1 + lna=3 + ln 2 ,解得 a=2.3.2—3xdx =答案解析2 x223xdx= 2x2dx—22 ~3xdx0兀,计算阡(x)dx.04x—2ti, 0WxW5,4.已知 f(x) =兀cos x,「xW 兀-r- 兀…一解f (x)d x = / —of (x)d x + 错误！ f (x)d x0-兀，“一=/ ~2~o(4x —2兀)dx+错误！ cos xdx,取 Fi(x)=2x2 —2 兀 x,则 Fi' (x)=4x —2兀；取 F2(x) = sin x,贝U E' (x) = cos x. c n 2所以 2 —o(4 x— 2 兀)d x+ 错误！ cos xdx = (2x — 2 兀 x)错误！ 十；12 ,1sin x —= —2兀—1 ，即 "f(x)dx= —2兀2―i.课堂小结1 .求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分.(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和.(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分.2 .由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0,而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x轴下方的图形面积要取定积分的相反数.三分层训练 J解疑赳储.训苦检与一、基础达标1.已知物体做变速直线运动的位移函数s=s(t),那么下列命题正确的是 ()①它在时间段［a, b］内的位移是s=s(t);a②它在某一时刻t=t。
时，瞬时速度是 v=s' (t)；…一―，、一一…n b— a③它在时间段［a, b］内的位移是s=li nm-n-s' (1)；④它在时间段［a, b］内的位移是s= bs' (t)dt. aA.①B.①②C.①②④D.①②③④答案2.F'(x)=x2,则F(x)的解析式不正确的是( )A.B.F(x) =x31 3 F(x)=3x3C.1 3 F(x)=-x +1 3D.1 3F( x) =-x + c(c 为常数)3答案解析3.若 F(x) = x3,则 F' (x) =3x2,这与[ex + Zx^x 等于( )0F' (x)=x2不一致,故选B.A.B.e— 1C.D.e+ 1解析—(e° + 02) =e.4.已知f(x)x2, — 1< x< 0,1, 07,所以 S2V Sv S,选 B. 3lg x, x>0,10 .设 f(x)= x+ a3t2dt, x< 0. 若 f [f ⑴]=1,则 a=. 0答案 1解析 因为 x= 1>0,所以 f (1) = lg 1 = 0.又 xw 0 时，f(x)=x+ a3t2dt = x+13| a= x+ a3,0所以 f(0) =a3.因为 f [f (1)] = 1,所以 a3=1,解得 a=1.11 .设 f(x)是一次函数，且1f (x)dx=5,1xf(x)dx=17,求 f(x)的解析式.600解；f(x)是一次函数，设 f (x) = ax+b(aw 0),则1f (x)dx= 1( ax+ b)dx= 1axdx+ 1bdx 00001=2a+ b= 5,1xf (x)dx= 1x(ax+b)dx= 1(ax2)dx+ 1bxdx0012a+ b= 51 1 173a+2b=¥=3a+2b 4a= 4，得.即 f(x)=4x+3.b=3x\ xC [0,1],12 .若函数 f (x) = [x, xC 1,2], 求 3f (x)dx 的值.2x, xC 2, 3].03f (x)d x=0解由积分的性质，知:1f (x)dx+ 2f (x)dx+ 3f (x)d x012=1x3dx+2j7xdx+ 32xdxx4 \ 2 3 2= r+3x2 12x+ ln 25一布+4十 |n 2 .三、探究与创新13 .求定积分 3 —4|x+a|dx.解 （1）当一 aw — 4即a> 4时,原式=3—4(x+a)dx=万十ax(2)当 一 4V — av3 即 一 3V av 4 时, 原式= a[ —(x+a)]d x+ 3—a(x+a)dx-4ax—4 +2+ax3—a14 4a+8+ |+3a+2= a2—a+25.(3)当一a>3 即 aw — 3 时，、x23原式= 3—4[—(x+a)]d x=--2— ax -4=7 -7a+2.77a —2 a>4 ,综上，得 3—4|x + a|dx=a2 - a+^—3vav47—7a+2 aw — 3 .3A. 2。