工程应用软计算模糊数学第第 1 章章理学院应用数学系理学院应用数学系立体化教学资源系列立体化教学资源系列工程应用软计算工程应用软计算工程应用软计算模糊数学1.1 模糊集合与运算模糊集合与运算1.3 模糊关系模糊关系 1.2 模糊模式识别模糊模式识别1.4 模糊综合评价模糊综合评价1.5 模糊聚类分析模糊聚类分析工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学1.1 模糊集合与运算模糊集合与运算 模糊数学是研究和处理自然界与信息技术中广泛模糊数学是研究和处理自然界与信息技术中广泛存存在的模糊现象的数学理论，它的产生既反映了信息革在的模糊现象的数学理论，它的产生既反映了信息革命的迫切需要，也为信息科学提供了一种新的有力的命的迫切需要，也为信息科学提供了一种新的有力的数学工具数学工具美国控制论专家美国控制论专家L.A.Zadeh教教授于授于1965年发表年发表模模糊集合糊集合论文并建立模糊集合论文并建立模糊集合应用领域：人工智能、信息处理、图应用领域：人工智能、信息处理、图像处理、自动像处理、自动控制、预测与决策、经济学、管理科学、运筹学等。
控制、预测与决策、经济学、管理科学、运筹学等工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学1.1.1 概念与集概念与集 概念是客观事物在人概念是客观事物在人脑中抽象概括的反映脑中抽象概括的反映概念具有内涵和外延，概念的内涵是指概念对事概念具有内涵和外延，概念的内涵是指概念对事物的特有属性的反映物的特有属性的反映概念的外延是指具有概概念的外延是指具有概念所反映的那些对象全体，念所反映的那些对象全体，它是特有对象的集合它是特有对象的集合如如果用概念外延的全体的集合来表示这个概念，那果用概念外延的全体的集合来表示这个概念，那么，么，计算机就可以很容易的理解和表示概念计算机就可以很容易的理解和表示概念工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学一、基本一、基本概念概念 论域：论域：被讨论的对象全体被讨论的对象全体例如：例如：讨论学生的某门课程成绩讨论学生的某门课程成绩分数分数在在0,1,100范围内，用集合表示范围内，用集合表示X=0,1,100 幂集：幂集：设设X是一论域，是一论域，X中部分元素组成的集合称中部分元素组成的集合称为为X的子集合（简称子集）的子集合（简称子集）。
X的全体子集构成一个集合的全体子集构成一个集合族，称为族，称为X的幂集，记为的幂集，记为(X)集合可以表示概念集合可以表示概念则成绩则成绩“优秀优秀”概念可由集合概念可由集合A=90,91,100表示表示;例如：例如：论域论域 X=0,1,100为考试成绩分数集合为考试成绩分数集合工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学“良好良好”：B=80,81,89;“中等中等”：C=70,71,79;“及格及格”：D=60,61,69;“不及格不及格”：E=0,1,59.论域论域X有两个特殊的子集合，即有两个特殊的子集合，即自身自身X和和空集空集在表示概念上，空集表示虚概念在表示概念上，空集表示虚概念设设A,B是是X的任意两个子集，记的任意两个子集，记A,B (X)CAB AB A分别表示分别表示A和和B的的并集并集、交集交集和和A的的余余（补）集（补）集，有，有 AB=x|x A或或x B;A B=x|x A且且x B|CAx xA工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学二、特征二、特征函数函数 特征函数：特征函数：设设A (X)，称，称X到到0,1的映射的映射 10AxAxxA，为集合为集合A的特征函数。
的特征函数对于任意的对于任意的 x X,特征函数特征函数 Ax表明了元素表明了元素x属于属于集合集合A的的“程度程度”经典集合论中：经典集合论中：x 属于或不属于属于或不属于A是绝对明确的，是绝对明确的，因此用因此用 0 和和 1 二值表示二值表示集合集合A可以由特征函数可以由特征函数 Ax唯一确定，反之亦然唯一确定，反之亦然三、关系三、关系与运算与运算 工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 设设A,B (X)，特征函数分别为，特征函数分别为 Ax和和 Bx ,ABABxxxX 则有则有 ,ABABxxxX max,A BABABxxxxxxX min,A BABABxxxxxxX 1,CAAxxxX 注注：“取大取大”；：“取小取小”即对即对 01，,有有 max，min，工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学四、性质四、性质 对于任意对于任意A,B (X),集合的并、交、余运算性质集合的并、交、余运算性质：（p1）幂等律）幂等律,AAAAAA（p2）交换律）交换律,ABBAABBA（p3）结合律）结合律()()ABCABC()()ABCABC（p4）吸收律）吸收律(),()AABAAABA（p5）分配律）分配律()()()()()()ABCABACABCABAC工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学（p6）0-1律律,AA A XAAA XX（p7）复原律）复原律()CCAA（p8）互补律）互补律,CCAAE AA（p9）对偶律）对偶律 CCCCCCABABABAB工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学1.1.2 模糊概念模糊概念与模糊集合与模糊集合 概念所反映的对象是一个具有某种属性的事物类。
概念所反映的对象是一个具有某种属性的事物类例如例如，“年轻人年轻人”,“绵绵细雨绵绵细雨”和和“倾盆大雨倾盆大雨”模糊概念模糊概念:外延不明确的概念外延不明确的概念经典集合可以表示明确概念而不能表现模糊概念经典集合可以表示明确概念而不能表现模糊概念例如例如，“秃子悖论秃子悖论”定义定义 1.1论域论域X的一个模糊子集的一个模糊子集 A是指是指 X到到0,1的的一个映射：一个映射：01AX：，映射映射A称为称为A的隶属函数，的隶属函数，Ax表示元素表示元素x 属于集合属于集合的程度，或称为的程度，或称为 x 对对A的隶属度的隶属度A工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 经典集合是模糊集合的特例经典集合是模糊集合的特例模糊幂集模糊幂集:论域论域 X的所有模糊子集全体的所有模糊子集全体,记为记为(X)模糊集合的表示方法模糊集合的表示方法:1）Zadeh表示法表示法1122()/()/()/nnAAAA u xxu xxu xx2）有序对表示法）有序对表示法1122(),),(),),(),)AAAnnAu xxu xxu xx3）向量表示法）向量表示法12(),(),()AAAnAu x u xu x 例如例如:论域论域 X 为掷一颗骰子观察的点数，有为掷一颗骰子观察的点数，有X=1,2,3,4,5,6，集合，集合A表示表示“较大的点数较大的点数”，则可记，则可记0/1 0/2 0.2/3 0.6/4 1/5 1/6A (0,1),0,2,0.2,3,0.6,4,1,5,1,6A(0,0,0.2,0.6,1,1)A 工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 当论域当论域 X是不可数集合时，是不可数集合时，AxA是是的隶属度函数，的隶属度函数，则则Zadeh表示法为表示法为()/Ax XAxx 例例1.1 取论域取论域 X 为正实数集合，为正实数集合，的隶属函数为：的隶属函数为：A为为“比比0大得多的实数大得多的实数”的模糊集，的模糊集，A 2100(1 100),0Axxxx隶属函数图形如图。
隶属函数图形如图0.51.0010 工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 例例1.2 以年龄作论域，以年龄作论域，取取X=0,100，模糊概念，模糊概念“年老年老”与与“年青年青”分别分别用用O与与 Y来表示，来表示，隶属函数分别为：隶属函数分别为：21210 050()501()5010051 025()251()251005oYxxxxxxxx年轻年轻年老年老25050751 隶属函数图形隶属函数图形OY工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学1.1.3 模糊集合模糊集合的运算的运算 定义定义1.2 设设,A B 是论域是论域 X 的模糊子集，隶属函数分的模糊子集，隶属函数分别为别为 Ax和和 Bx,则模糊集合的相等、包含关系及并则模糊集合的相等、包含关系及并集、交集、余集表示为：集、交集、余集表示为：ABABxxxX ABABxxxX A BABxxxxX A BABxxxxX 1CAAxxxX 工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学模糊集的并集、交集、余集隶属函数如图模糊集的并集、交集、余集隶属函数如图。
模糊集合011100ABABAAB的并集、交集.A的补集图形CAABABCA工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 容易证明，在普通集合并、交、运算所满足的性质容易证明，在普通集合并、交、运算所满足的性质（P1）（）（P9）中，除了性质（）中，除了性质（P8）以外，其余的）以外，其余的八个性质对于模糊集合均成立，即对于八个性质对于模糊集合均成立，即对于A (X)，一般地，有：一般地，有：,CCAAXAA即互补律一般不成立从图中可以看出即互补律一般不成立从图中可以看出ACACAACAAACA模糊集互补律一般不成立的示例0011工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 例例1.3 设论域设论域模糊子集模糊子集,其隶属函数分别用向量式表示其隶属函数分别用向量式表示12345,Xx x x x xA B 为为 X 的两个的两个(0,0.2,0.5,0.8,1)(0,0.5,1,0.5,0)AB采用采用“最大最大”和和“最小最小”算子算子,有有(00,0.20.5,0.51,0.80.5,10,)(0,0.5,1,0.8,1)(00,0.20.5,0.51,0.80.5,10,)(0,0.2,0.5,0.5,0)(10,10.2,10.5,10.8,1 1)(1,0.8,0.5,0.2,0)CABABA工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 定义定义1.3 设设，记，记A为论域为论域 X上的模糊子集，隶属函数上的模糊子集，隶属函数()Ax对于任意实数对于任意实数0,1|,()AAx xXx称集合称集合A截集截集。
为模糊集为模糊集A的的水平截集水平截集,或简称或简称 注注 对于任给对于任给 0,1,A是普通集是普通集 例如例如:设论域设论域 ,Xa b c d e f,X 中的模糊子集中的模糊子集 0.1/0.3/0/0.5/0.9/1/Aabcdef则则 00.50.91,AXa b c d e fAd e fAe fAf工程应用软计算模糊数学截集截集工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 若若AA是连续域是连续域 X上的模糊集，上的模糊集，A的的是是 X上上的一个普通集合，如图所示的一个普通集合，如图所示X10模糊集合的截集AA工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 定义定义1.4 称称 1|()1,AAxxxX 为模糊集为模糊集 A的核，的核，记作记作KerA；A的隶属度大于零的元素构成的集合为的隶属度大于零的元素构成的集合为A的承集（或支撑集）记的承集（或支撑集）记|()0,ASuppAxxxX截集具有性质：截集具有性质：1212AA 2）若）若 ，则，则,ABABABAB 1）0AX 3）性质性质1）可以推广到任意多个模糊集合的并、交运算可以推广到任意多个模糊集合的并、交运算。
称称 工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学1.2 模糊模式识别模糊模式识别 “模式识别模式识别”：研究用机器代替人来识别事物的科学：研究用机器代替人来识别事物的科学模式是供模仿用的客体集合，识别就是判定所给定的模式是供模仿用的客体集合，识别就是判定所给定的对象应归属哪一个客体对象应归属哪一个客体例：例：读一篇手写稿子；与人交谈；医生诊断疾病读一篇手写稿子；与人交谈；医生诊断疾病模糊模式识别：模糊模式识别：模式或被识别的对象只能用模糊模式或被识别的对象只能用模糊集合表达的这类识别集合表达的这类识别工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学1.2.1 模糊模式模糊模式识别的原则识别的原则 （一）最大隶属度原则（一）最大隶属度原则 设论域设论域 X 有有 n 个模式个模式 12,nA AA是被识别对象，是被识别对象，0 xX若若1,2,in使得使得 120000()max(),(),()inAAAAxxxx则认为则认为0 x相对属于模式相对属于模式iA （二）贴近度与最大贴近原则（二）贴近度与最大贴近原则 贴近度是两个模糊集合接近程度或相似程度的一种贴近度是两个模糊集合接近程度或相似程度的一种度量。
度量0 表示最不贴近，表示最不贴近，1 表示完全贴近或相同表示完全贴近或相同通常用通常用0,1之间的数表示两个模糊集的贴近度之间的数表示两个模糊集的贴近度工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 定义定义1.5 设设 为映射X)(X)0,1(,)(,)A BA B 若若 满足：满足：)(,)1,(,)0)(,)(,)aA AXbA BB A),cA B C (X),且且(,)(,)(,)ABCACA BB C 则称则称(,)A B 为为,A B 的贴近度的贴近度常用的贴近度定义：常用的贴近度定义：格贴近度格贴近度1(,)(1)2A BA BAB 其中其中()()()()ABu UABu UA BuuABuu 分别称为分别称为与与的内积和外积的内积和外积AB工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 距离贴近度距离贴近度112211(,)1()()1(,)1()()nAiBiinAiBiiA BxxnA Bxxn 这里假定论域这里假定论域 12,nXx xx (,)0 ABABABA BAB，其中其中 AB和和 AB分别为集合分别为集合 AB和和 AB的基数。
的基数对于给定的模糊子集对于给定的模糊子集 M(X),M的基数定义为的基数定义为 1()nMiiMx工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学2(),(,)0,ABABABA BAB 11()()(,)1()()nAiBiinAiBiixxA Bxx 11min(),()(,)1max(),()nAkBkknAkBkkxxA Bxx 设论域设论域 X 有有 n 个模式个模式 12,nA AA是被识别对象，是被识别对象，若若1,2,in使得使得 则认为则认为相对合于模式相对合于模式 iAB12(,)max(,),(,),(,)inB AB AB AB A B工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 模糊模式识别的应用中，关键问题是模式或被识别模糊模式识别的应用中，关键问题是模式或被识别对象的隶属函数构造，即如何建立刻画模式或对象的对象的隶属函数构造，即如何建立刻画模式或对象的模糊集合模糊集合1.2.2 简单模式简单模式的模糊模式识的模糊模式识别别 步骤：步骤：选取模式的特征因子集合选取模式的特征因子集合12,mXXXX被识别的对象表示为被识别的对象表示为 12mXXX上的向量上的向量 12(,),1,2,miix xxxX im或者表示为或者表示为 12mXXX上的模糊子集；上的模糊子集；实际应用的三种主要方法：实际应用的三种主要方法：简单模式的识别方法简单模式的识别方法，语言模式的识别方法和统计模式的识别方法。
语言模式的识别方法和统计模式的识别方法工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 建立模糊模式及其隶属函数建立模糊模式及其隶属函数 利用最大隶属度原则或最大贴近度原则对被利用最大隶属度原则或最大贴近度原则对被识别的对象进行归属判决识别的对象进行归属判决例例1.4 三角形识别三角形识别 建立模糊模式及其隶属函数建立模糊模式及其隶属函数 首先选取识别的特征因子集首先选取识别的特征因子集,180,Xx y z xyzxyz其中其中 x,y,z 分别为三角形的三个内角分别为三角形的三个内角考虑五个具有典型特征的三角形：等腰三角形考虑五个具有典型特征的三角形：等腰三角形 ，直角三角形直角三角形 ，正三角形，正三角形 ，等腰直角三角形，等腰直角三角形 和和非典型三角形非典型三角形 IREIRO 等腰三角形隶属函数：等腰三角形隶属函数：1(,)1min,60Ix y zxy yz 12(,)iAmx xx工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 直角三角形隶属函数：直角三角形隶属函数：正三角形隶属函数：正三角形隶属函数：等腰直角三角形隶属函数：等腰直角三角形隶属函数：非典型三角形隶属函数：非典型三角形隶属函数：1(,)19090Rx y zx 1(,)1max,180Ex y zxy yz(,)(,)(,)11min 1min,1906090IRIRx y zx y zx y zxy yzx(,)(,)(,)(,)1(,)1(,)1(,)111minmin,90,max,6090180cccoIREIREx y zx y zx y zx y zx y zx y zx y zx y y zxx y y z 工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 给定一个待识别的三角形给定一个待识别的三角形 计算其关于各三角形的隶属度，得到计算其关于各三角形的隶属度，得到 按照最大隶属度原则，该三角形近似判定为直角三按照最大隶属度原则，该三角形近似判定为直角三角形。
角形0001(,)1min 9545,45400.9260Ixyz 0001(,)195900.9490Rxyz 0001(,)1max 9545,45400.69180Exyz 000(,)0.920.940.92IRxyz000(,)(1 0.92)(1 0.94)(1 0.69)0.080.060.310.06oxyz 000,95,45,40 xyz工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学1.2.3 基于语言基于语言模式的模糊模模式的模糊模式识别式识别 模式可以借助于所研究客体的语言表达来得到模式可以借助于所研究客体的语言表达来得到例如，感冒模式可以理解为头晕、发烧、流鼻涕例如，感冒模式可以理解为头晕、发烧、流鼻涕三个特征集合的交集三个特征集合的交集例例1.5 癌细胞识别癌细胞识别 癌细胞的特征的语言描述：癌细胞的特征的语言描述：“细胞畸形，或者细细胞畸形，或者细胞核增大且核染色增深且核浆比倒置且核内染色质胞核增大且核染色增深且核浆比倒置且核内染色质不匀，或者细胞核增大且核染色增深且核浆比倒置不匀，或者细胞核增大且核染色增深且核浆比倒置且核畸形且核畸形”。
引入模糊概念的集合表示：引入模糊概念的集合表示：为细胞畸形，为细胞畸形，为核增大，为核增大，为核染色增深，为核染色增深，为为核浆比倒置，核浆比倒置，为核内染色质不匀，为核内染色质不匀，为核畸形，它为核畸形，它们分别为相应论域上的模糊集们分别为相应论域上的模糊集ABCDEF工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 癌细胞模式为癌细胞模式为 对于给定的待识别细胞，可测得各种特征数据对于给定的待识别细胞，可测得各种特征数据，则该细胞属于癌细胞的程度为，则该细胞属于癌细胞的程度为()()()MABCDEBCDFABCDEF126(,)x xx123456()()()()()()()MABCDEFxxxxxxx 建立描述癌细胞特征概念的模糊集合隶属函数建立描述癌细胞特征概念的模糊集合隶属函数1）细胞畸形的隶属函数）细胞畸形的隶属函数 11210()(1)()Axxx 表示细胞周长的平方与细胞面积之比，表示细胞周长的平方与细胞面积之比，为正常比值，为正常比值，为待定参数为待定参数1x0 x1工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 2）核增大的隶属函数）核增大的隶属函数 3）核染色增深的隶属函数）核染色增深的隶属函数 12022()1Byyx 表示细胞核的面积，常数表示细胞核的面积，常数 小于正常细胞核面积，小于正常细胞核面积，为待定参数。
为待定参数2x0y21323()(1)czx 表示核内总光密度，表示核内总光密度，为待定参数为待定参数3x3类似的，可以构建模糊集类似的，可以构建模糊集 、的隶属函数的隶属函数DEF工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学1.2.4 基于统计基于统计模式的模糊模模式的模糊模式识别式识别 例例1.6 应用民间谚语作降水量预测应用民间谚语作降水量预测 设设X是实数域，是实数域，X 上的模糊集上的模糊集的隶属函数为的隶属函数为A2(),(0)x abAxeb，则称，则称 为正态模糊集为正态模糊集A 01X正态模糊集的隶属函数曲线工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 概率论中正态分布随机变量的概率密度函数为：概率论中正态分布随机变量的概率密度函数为：22()21(),(0)2xf xe其中其中 为数学期望，为数学期望，2为方差正态模糊集的隶属函数仅仅是将正态模糊集的隶属函数仅仅是将 f(x)作了一个简单作了一个简单的变换，使其最大值等于的变换，使其最大值等于1因此，可以把正态模糊因此，可以把正态模糊集看成是由正态概率分布诱导出的上的模糊集。
集看成是由正态概率分布诱导出的上的模糊集例例1.7 1.7 小麦亲本识别小麦亲本识别 设有设有5种小麦品种：早熟、矮秆、大粒、高肥丰产种小麦品种：早熟、矮秆、大粒、高肥丰产和中肥丰产和中肥丰产考察百粒重一个指标，利用统计方法求出各品种小考察百粒重一个指标，利用统计方法求出各品种小麦百粒重的均值和方差，分别构建相应的模糊集合麦百粒重的均值和方差，分别构建相应的模糊集合工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学表：表：5 5种小麦百粒重的均值、方差及相应的模糊集种小麦百粒重的均值、方差及相应的模糊集工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 采用格贴近度公式采用格贴近度公式 现有一种不知品种的小麦现有一种不知品种的小麦 ，用统计方法测得其百，用统计方法测得其百粒重的均值为粒重的均值为a=3.43，均方差，均方差b=0.28，于是，该品种，于是，该品种模糊集的隶属函数为模糊集的隶属函数为 B23.430.28()xBxe1(,)(12A BA BAB 得到得到 12(,)0.91,(,)0.72,B AB A 34(,)0.50,(,)0.76,B AB A 5(,)0.89B A 按最大贴近度原则，按最大贴近度原则，与与 贴近度最大，故判定小麦贴近度最大，故判定小麦属于早熟型。
属于早熟型1AB工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 例例1.8 1.8 矿藏预报矿藏预报-多指标识别的例子多指标识别的例子 综合贴近度定义综合贴近度定义 设用向量形式表出模糊模式设用向量形式表出模糊模式 设另一模式为设另一模式为 综合贴近度定义为综合贴近度定义为12,nAA AA12,nBB BB其中其中 与与 是同一论域是同一论域 上的模糊子集上的模糊子集iBiAiX1122(,)(,),(,),(,)nnA BfA BA BA B 例如，例如，我们可以取我们可以取 1(,)(,)niiiiA BA B 权重权重 表示第表示第 i 个特征变量在样本分类（或识别）个特征变量在样本分类（或识别）中的重要程度中的重要程度i其值域为其值域为0,1工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学1.3 模糊关系模糊关系 首先简单介绍普通关系的概念、运算及性质，然后首先简单介绍普通关系的概念、运算及性质，然后重点介绍模糊关系以及模糊关系运算重点介绍模糊关系以及模糊关系运算1.3.1 普通关系普通关系 （一）关系的定义（一）关系的定义 (集合的笛卡尔积集合的笛卡尔积)两个集合两个集合U和和V的笛卡尔积的笛卡尔积U V定义为：定义为：U V=(u,v)|u U 且且 v V 这这是两个集合元素间的无约束有序搭配。
是两个集合元素间的无约束有序搭配工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 定义定义 1.6 设设 U、V 是两个集合，笛卡尔积是两个集合，笛卡尔积 U V的子集的子集 R 称称 U 为为 V 到的一个关系（确切地说，到的一个关系（确切地说，R 是是一个二元关系），记作一个二元关系），记作VUR对于元素对于元素 uU,v V 若若(u,v)R 则称则称 u 对对 v 有关系有关系R，记作，记作 uRv；vRu当当 U=V 时，称时，称 R 为为 U 中的关系中的关系例例1.9 设设 123RRR、是是 U V 的子集的子集,有有 ),(1vuvuR（如图（如图（a）所示）所示）;1),(222vuvuR（如图（如图（b）所）所示）；示）；)(),(3ufvvuR（如图（如图（c）所示）否则称否则称 u 对对 v 无关系无关系R，记作，记作工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学(a)0uuuvvv001-1v=f(u)v =u(b)(c)三种关系的图示 由由 R3看到，函数也是一种特殊的关系看到，函数也是一种特殊的关系普通关系矩阵普通关系矩阵:有限集合之间的关系也可以用矩阵来有限集合之间的关系也可以用矩阵来表示表示,设设1212,nmUu uuVv vv，,R 表示表示 U 到到V 的一个关系，则的一个关系，则 R 可以用矩阵表示可以用矩阵表示工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学111212122212mmnnnmrrrrrrRrrr其中其中1,0,ijijiju Rvru Rv普通关系矩阵是一个（普通关系矩阵是一个（0-1）矩阵。
矩阵例例1.10 恒等关系恒等关系),(UuuuR,相应的矩阵为相应的矩阵为单位阵单位阵100010001 工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 （二）关系的运算（二）关系的运算 设设 U、V 都是有限集，都是有限集，R 和和 S 是是 U 到到 V 的两个关系，的两个关系，即即,RUV SUVR 和和 S相应的矩阵为相应的矩阵为 ijRrM和和ijSsM,则关系的则关系的运算对应为矩阵的运算运算对应为矩阵的运算相等相等ijijSRsrMMSR 包含包含ijijSRsrMMSR 并并 RSR SRSMMM记记 R SijMt,其中其中 ijijijsrt工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 交交RSR SRSMMM记记 R SijMt,其中其中 ijijijtrs 补补CCCRRRMM记记,其中其中 CRijMtijijrt1 合成合成假设假设 R 是是 U 到到 V 的关系，的关系，S 是是 V 到到 W 的关系，的关系，Q是是 U 到到 W 的关系，对于的关系，对于 uU,w W,若若 uQw当且当且仅当存在仅当存在 vV，使得，使得 uRv 且且 vSw，则称关系，则称关系 Q 是是关系关系 R 对对 S 的合成，记作的合成，记作SRQ关系的合成图示关系的合成图示UVWRSQ工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 合成关系的重要性：通过已知关系可得出新关系。
合成关系的重要性：通过已知关系可得出新关系例如例如，若，若 R表示表示“弟兄弟兄”关系，关系，S表示表示“父子父子”关系，则关系，则QR S给出了给出了“叔侄叔侄”关系例例1.11 设设(1,2),(3,4),(2,2),(4,2),(2,5),(3,1)RS则有则有(1,5),(3,2),(2,5)(4,2),(3,2)(4,5)(1,2),(2,2)R SSRS SR R合成运算的矩阵表示合成运算的矩阵表示RSR SR SMMM其中其中 1,()R SijijijijnkMttrs 工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 例例1.12 设设 U=V=W=1,2,3,4,5，则例，则例1.11中关系中关系R、S 的相应矩阵的相应矩阵SRMM 和分别为分别为 01000000000100000001,000101000000000010000000000000RSMM利用矩阵乘法，有利用矩阵乘法，有0 1 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 10 1 0 0 00 0 0 0 10 0 0 0 10 0 0 1 01 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 0 00 1 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0R SRSMMM 工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 （三）关系的性质（三）关系的性质 定义定义 1.7 设设 R 是是 U 中的关系，中的关系，1uUuRuR（）如果对于任意，有，则称 是自反的。
2ijjiu Ruu RuR（）如果，必有，则称 是对称的3ikkjiju Ruu Ruu RuR（）如果，且，必有则称 是传递的设设 RM是关系是关系 R 对应的矩阵，很容易看出：若对应的矩阵，很容易看出：若 R 是是自反关系，则自反关系，则RM的主对角线元素均为的主对角线元素均为1，设，设 I 表示单表示单位矩阵，则有位矩阵，则有RMI；若；若 R 是对称关系，则相应的矩是对称关系，则相应的矩阵满足阵满足RTRMM;若若 R 是传递关系，则是传递关系，则RRRMMM工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 定义定义 1.8 设设 R为为 U 中的关系，若中的关系，若 R 同时满足自反性，同时满足自反性，对称性和传递性，则称对称性和传递性，则称 R 为为 U 中的中的等价关系等价关系例如例如，实数集上的，实数集上的“相等相等”关系是等价关系；两三关系是等价关系；两三角角形的形的“相似相似”也是等价关系；一所大学在校学生中，也是等价关系；一所大学在校学生中，“同同班级班级”关系是等价关系关系是等价关系定义定义 1.9 设设 U 是一个集合，是一个集合，mAAA,21是是U 的一组非的一组非空子集，若它满足：空子集，若它满足：1,(1,2,1,2,)iji j im jmijAA）对所有，若，则122mAAAU）则称则称 mAAA,21为为 U 的一个分类，或称为一个划分的一个分类，或称为一个划分，每个，每个iA称为分类的一个类。
称为分类的一个类工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 定理定理1.1 集合集合 U 的一个分类决定的一个分类决定 U 的元素间的一个的元素间的一个等价关系；等价关系；例如，例如，假设假设 U 是某大学全体在校学生的集合是某大学全体在校学生的集合同班级同班级”R 是是 U 中的一个等价关系，因此，利用中的一个等价关系，因此，利用班级可以对班级可以对 U 进行分类进行分类类似地，也可以利用类似地，也可以利用“同专业同专业”或或“同年级同年级”等价等价关系对全体在校学生进行分类关系对全体在校学生进行分类反之，集合反之，集合 U 的元素间的一个等价关系决定的元素间的一个等价关系决定 U 的一的一个分类工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 例如例如，“相像相像”是是模糊关系，可以用模糊集合模糊关系，可以用模糊集合来表来表现定义定义 1.10 称称 UV 的一个模糊子集的一个模糊子集R为从为从 U 到到V 的一个模糊关系，记作的一个模糊关系，记作RUV 的隶属函数用的隶属函数用 R(,)Ru v表示表示,对于给定的对于给定的 0000(,)(,)Ru vu v，00(,)u vRUVRU表示具有关系 的程度。
当时，称 为 中的模糊关系当模糊关系当 (,)Ru v只取只取0，1时，就是普通关系时，就是普通关系因此，模糊关系是普通关系的拓广因此，模糊关系是普通关系的拓广1.3.2 模糊关系模糊关系与模糊矩阵与模糊矩阵工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 例例1.13 设设 1,2,3,4,5,6UVuv，(u远远的大于远远的大于v)是是 U 到到 V 的一个模糊关系的一个模糊关系RR，则可以写成下表：工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 例例1.14 设身高论域：设身高论域：U=140,150,160,170,180(厘米厘米)又设体重的论域为又设体重的论域为V=40,50,60,70,80（单位：公斤）（单位：公斤）表示人的身高与体重的模糊关系见下表表示人的身高与体重的模糊关系见下表工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 模糊关系矩阵模糊关系矩阵:或简称为或简称为模糊矩阵模糊矩阵),01RijijRijijMrru vr 例例1.13与例与例1.14中的模糊关系中的模糊关系,可以分别表示为可以分别表示为R模糊矩阵模糊矩阵:0000000000000000.300000.70.300010.70.300RM和和 10.8 0.2 0.100.810.8 0.2 0.10.2 0.810.8 0.20.1 0.2 0.810.800.1 0.2 0.81RM 利用模糊关系矩阵讨论模糊关系也是非常方便的。
利用模糊关系矩阵讨论模糊关系也是非常方便的常将模糊矩阵符号常将模糊矩阵符号 RM写成写成 R工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学1.3.3 模糊矩阵模糊矩阵的运算及模糊的运算及模糊关系的合成关系的合成 (一一)模糊矩阵的运算与性质模糊矩阵的运算与性质 定义定义 1.11 设模糊关系设模糊关系 ijijn mn mRrSs，则，则 1,ijijRSi j rs）当且仅当对所有成立；2,ijijRSi j rs）当且仅当对所有成立；3ijijn mRSrs）4ijijn mRSrs）51ij n mRr）上述五种运算分别对应于模糊关系的相等、包含、上述五种运算分别对应于模糊关系的相等、包含、交、并、补运算交、并、补运算工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 例例1.15 设设0.20.80.90.60.50.40.30.7RS，则则0.20.90.80.60.90.80.50.30.40.70.50.7RS0.20.90.8 0.60.20.60.5 0.30.40.70.3 0.4RS1 0.21 0.80.80.21 0.51 0.40.50.6R工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 (二二)模糊关系的合成与意义模糊关系的合成与意义 定义定义1.12 设模糊矩阵设模糊矩阵 m nn lRMSM，表示两个模糊表示两个模糊关系，则关系，则RS与的合成运算定义为的合成运算定义为 R SQ其中其中 1()nij m lm lijikkjkQqMqrs，模糊矩阵的合成运算表现模糊关系的合成。
当模糊矩阵的合成运算表现模糊关系的合成当 ijijrs、仅取仅取0，1时，即是普通关系合成时，即是普通关系合成模糊关系的合成运算是普通关系合成运算的推广模糊关系的合成运算是普通关系合成运算的推广在矩阵的运算中，如果在矩阵的运算中，如果、看成是实数的加法和看成是实数的加法和乘法，那么它与线性代数中定义的矩阵乘法规则一样乘法，那么它与线性代数中定义的矩阵乘法规则一样工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 例例1.16 设设0.30.70.20.10.9100.40.90.100.510.60.40.60.70.8RS，则则0.70.30.40.90.60.40.70.6RS工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 容易验证，合成运算满足如下性质：容易验证，合成运算满足如下性质：1()()R SQRS Q）2()()()()()()RSQR SR QRSQR QS Q）3()TTTR SSRT）（表示转置）注意，合成运算对于注意，合成运算对于 一般不满足分配律一般不满足分配律工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 (三三)几种形式模糊关系的合成几种形式模糊关系的合成 定义定义1.13 1n 的模糊矩阵称为模糊向量，记的模糊矩阵称为模糊向量，记12(,),01niAa aaa模糊向量有双重意义：模糊向量有双重意义：121),nUu uuA它表示有限论域上的模糊子集，其分量定义为义为(),1,2,iAiauin2)代表一个模糊关系代表一个模糊关系 所表现的模糊概念名称为所表现的模糊概念名称为a，定义从名称集，定义从名称集a 到到A设设U 的一个模糊关系为的一个模糊关系为A,即即 AaU(,)()iAiiAa uuaAAAA把用矩阵的形式写出来，就是模糊向量，以后将直接记成工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 (1)(1)合成形式合成形式I I（叉积）（叉积）定义定义1.14 设设 11nmAMBM，记，记 TA BAB称为模糊向量称为模糊向量 AB与的笛卡尔乘积，简称叉积。
的笛卡尔乘积，简称叉积例例1.17 设设(0.3,0.5,0.6,0.8)(0.7,0.4,0.2)AB，则则 0.30.5(0.7,0.4,0.2)0.60.8TABAB0.30.70.30.40.30.20.30.30.20.50.70.50.40.50.20.50.40.20.60.70.60.40.60.20.60.40.20.80.70.80.40.80.20.70.40.2工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 在实际应用中，考虑如下情况：设模糊向量在实际应用中，考虑如下情况：设模糊向量 AB、分别是同一概念分别是同一概念 a 在不同论域在不同论域 U 和和 V 上的表现，把上的表现，把AB、理解为模糊关系理解为模糊关系 TABUaaV ，按照模糊关系的合成运算，应有按照模糊关系的合成运算，应有TABUV AB就表现了论域就表现了论域 U 和和 V 元素间存在的联系（关系）元素间存在的联系（关系）工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 (2)(2)合成形式合成形式IIII（内积）（内积）定义定义1.15 设设 1 nABM、，记，记 TA BA B称为称为 AB与的内积。
的内积例例1.18 设设(0.8,0.5,0.7)(0.4,0.7,0.2)AB，则则 0.4(0.8,0.5,0.7)0.70.2(0.80.4)(0.50.7)(0.70.2)0.40.50.20.5TA BA B 一般地，有：一般地，有：1()niiiA Bab A B表示同一论域的两个模糊概念之间的相关程度表示同一论域的两个模糊概念之间的相关程度工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 (3)(3)合成形式合成形式IIIIII（变换）（变换）设有限论域设有限论域 1212,nmUu uuVv vv，R是从是从 U 到到 V 的模糊关系的模糊关系,相应模糊矩阵为相应模糊矩阵为 ij n mRr 设有一个概念设有一个概念 a，它在论域，它在论域 U 上表现为模糊向量上表现为模糊向量),(21naaaA1 mBA RM令令按模糊关系合成定义按模糊关系合成定义 A RaV BA R表现同一概念表现同一概念a在论域在论域V上的模糊向量上的模糊向量在这个意义上说在这个意义上说,R 决定了一个模糊变换，或说是决定了一个模糊变换，或说是一个论域转换器一个论域转换器工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学 例如例如，假设某地区人的体重与身高的模糊关系如例，假设某地区人的体重与身高的模糊关系如例1.14所示，相应的模糊矩阵所示，相应的模糊矩阵:10.80.20.100.810.80.20.10.20.810.80.20.10.20.810.800.10.20.81R 它是身高论域它是身高论域 U 到体重论域到体重论域 V 的模糊关系。
的模糊关系又设又设 a 是是“男少年男少年”，a 在身高论域在身高论域 U 上表现为上表现为:0.8/1.41/1.50.6/1.60.2/1.70/1.8A米米米米米相应向量为相应向量为:(0.8,1,0.6,0.2,0)A 工程应用软计算模糊数学工程应用软计算工程应用软计算模糊数学模糊数学则则 a 在体重论域在体重论域 V 上表现为上表现为10.8 0.20.100.810.8 0.20.1(0.8,1,0.6,0.2,0)0.20.810.8 0.20.1 0.20.810.800.1 0.20.81(0.8,1,0.8,0.6,0.2)BA R或表示成或表示成0.8/401/500.8/600.6/700.2/80B公 斤公 斤公 斤公 斤公 斤。