在超市购物时收银台前排长队的现象始终困扰着购物者，而过多的收银窗口导致成本增加又困扰着商场经营者前者影响到公司在消费者心中的形象，后者影响到商场的经营效益那么超市的收银窗口开得多好还是开得少好？采取什么措施才能兼顾消费者满意与商场经营者成本最低？这是商场超市值得研究的问题为此，我们对某个超市营业时段的顾客到达数及顾客平均付款时间进行了30天统计调查，数据如附件1根据调查数据，回答如下问题：建立模型分析超超市应开设收收银窗口的合合理方案；最佳答案 超市购物者排队队付款问题摘要： 在超市市里，我们常常常可以看到到这样的情景景：顾客付款款排成了长长长的队伍顾顾客们见到这这种长蛇阵，怎怎能不怨声载载道增加收收银窗口数量量，减少排队队等待时间，是是顾客们十分分关心的问题题然而就就超市的角度度来说，虽说说增加收银窗窗口数量可以以减少排队等等待时间，提提高顾客对超超市的满意度度，从而赢得得更多的顾客客到该超市购购物，但是同同时也会增加加超市的运营营成本因此此如何在这两两者之间进行行权衡，找到到最佳的收银银窗口数量，对对顾客和超市市双方来说都都是很重要的的基于这一一点，我们试试着建立模型型分析超市应应开设收银窗窗口的合理方方案及制定该该超市在各时时段的收银窗窗口开设的最最佳方案。
1、问题叙述 在超市市购物时收银银台前排长队队的现象始终终困扰着购物物者，而过多多的收银窗口口导致成本增增加又困扰着着商场经营者者前者影响响到公司在消消费者心中的的形象，后者者影响到商场场的经营效益益那么超市市的收银窗口口开得多好还还是开得少好好？采取什么么措施才能兼兼顾消费者满满意与商场经经营者成本最最低？这是商商场超市值得得研究的问题题为此，我们对某某个超市营业业时段的顾客客到达数及顾顾客平均付款款时间进行了了30天统计计调查，数据据如附件1根据调查数据，回回答如下问题题：（1）计算该超超市各时段的的顾客平均到到达率、平均均付款时间；；（2）建立模型型分析超市应应开设收银窗窗口的合理方方案；（3）经调查，购购物者在9::00－199:00时间间段内能接受受的等待时间间为0.111小时，在119：00－－21：000时间段内能能接受的等待待时间为0..13小时针针对这一调查查数据和附件件1的数据，制制定该超市在在各时段的收收银窗口开设设的最佳方案案2、模型假设1、由于顾客较较多，而收银银窗口又相对对较少，故我我们可认为在在各段时间段段中顾客源是是无限的，且且顾客单独到到来且相互独独立。
2、顾客没有特特别偏好，每每个收银窗口口对顾客来说说都是一样的的3、超市实行先先来先服务原原则，且顾客客可自由在队队列间进行转转移，并总向向较短的队列列转移，没有有顾客会因为为队列过长而而离去，故可可认为排队方方式为单一队队列等待制4、每个窗口收收银员的工作作效率是随机机的，很难对对其进行精确确的分析所所以由一般统统计规律，认认为其满足指指数分布，且且收银员之见见无差异5、顾客到达间间隔服从参数数为 的指数数分布，而服服务时间服从从参数为 的的指数分布6、超市的服务务时间为9：：00到211：00，且且以一个小时时为一个单位位时间3、符号说明 平均到到达率 平平均服务率 服务强强度 系系统中平均顾顾客数 队队列中平均等等待顾客数 空闲概率 平均逗留留时间 平均等待待时间4、模型分析和和建立 基于以以上的假设，我我们的模型符符合排队论中中的多通道等等待模型（MM/M/c）。
该该模型的特点点是：服务系系统中有C个个收银员，顾顾客按泊松流流来到服务系系统，平均到到达率为 ；收银员的的能力都是 ，服务时间间服从指数分分布当顾客客到达时，如如果所有收银银员都忙着，那那么顾客就要要参加排队，一一直等到收银银员为他服务务为止 收银台11 顾顾客 到达 排排队 收银台2 离去 收银台 顾客到达规律：： 设在 时每到达一一个顾客的概概率与 成正正比，比例系系数为 ，到到达两个及两两个以上的概概率是 由概率率论的基本知知识可知，在在上述的假设设下在 内到到达的顾客数数服从泊松（ppossioon）分布，即即到达 个顾顾客的概率为为 并有以下结结果：① 内到达的的顾客的平均均数为 ，其其中平均到达达率为 ② 内没有顾顾客到达 的的概率是 ，记记 为第一个个顾客到达的的时刻，则 服从指数分分布，即 。
所以顾顾客相继到达达的时刻为 … …，间间隔分别为 … …根据指数无后效效性 … ……相互独立且且也是服从指指数分布，而而平均到达间间隔为 收银服务时间：： 设在已已经服务过一一定时间的条条件下再服务务一端时间的的概率与一开开始就服务这这段时的概率率相同记 为服务时间间，上述假设设可表示为 如果进一步设单单位时间内被被服务顾客的的平均数为 ，即为平均均服务率也也就是说每个个顾客的平均均服务时间为为 ，那么服服务时间 服服从指数分布布 排队规则： 就模型型（M/M//c）而言，设设 个收银台台时，服务强强度 ，每个个收银员的平平均服务率 一定， 与与顾客的平均均到达率成正正比设 个个收银台时，服服务强度 ，代代入 解得在在队列中等待待的平均顾客客数就为 同同理设 个收收银台时，其其在队列中等等待的平均顾顾客数为 6 4 2 0 1 2 33 如图可可知，为了使使平均队长不不超过一定的的数值， 在在取什么范围围时应设置几几个收银窗口口。
模型（MM/M/c）的的平均队长为为 ， 其中 ， 为所所有收银员空空闲的概率 平均逗逗留时间和平平均等待时间间是衡量随机机服务过程工工作效率的最最基本的指标标，除了与 等因素有关关，还取决于于顾客到达间间隔和收银服服务时间的概概率分布 此外，如如果设置 个个收银窗口，设设运营的总成成本为 ，系系统中顾客的的平均数为 ，其中 是是服务成本，而而 是等待成成本为了要要求设置 个个收银窗口时时利润最高、总总成本最少，则则必须满足：： 又因为 再再结合上述条条件得： 就推出： 即： 这样就能确定设设置 个收银银窗口的设置置方案 另外，对对顾客来说，去去超市购物在在收银太并不不希望逗留太太长的时间同同时，顾客在在收银窗口排排队的平均逗逗留时间 决决定着顾客对对超市的选择择，决定着超超市的营利问问题所以超超市从其经济济利益的角度度出发也尽量量满足顾客的的需求而顾顾客在收银窗窗口排队的平平均逗留时间间 ，将是解解决这个问题题的关键由由公式（1）平平均逗留时间间 是由平均均等待时间 和平均付款款时间决定 对于平均均等待时间 ，我们由公公式（2）可可知它是由顾顾客平均到达达率 ，平均均付款时间 和收银窗口口数 来决定定的，一般来来说顾客对超超市有一定的的偏好，故可可认为在各时时段中顾客流流是稳定的，即即 为常数；；而收银员的的工作效率相相对来说也是是稳定的，故故 也可认为为是常数。
所所以对平均逗逗留时间 构构成影响的就就是收银窗口口数 了公式 (1) 公式（2） 5、模型求解根据调查的数据据，得出以下下表格：时段 9：000-10：000 10：：00-111：00 111：00--12：000 12：000-13：：00平均到达率 （人//小时） 6677 7776 6744 527平均付款时间 （分钟//人） 1..56 1..56 1..68 1..12时段 13：000-14：：00 144：00-115：00 15：000-16：000 16：：00-177：00平均到达率 （人//小时） 4464 5113 7311 931平均付款时间 （分钟//人） 1..23 1..28 1..52 1..52时段 17：000-18：：00 188：00-119：00 19：000-20：000 20：：00-211：00平均到达率 （人//小时） 8834 6332 7399 789平均付款时间 （分钟//人） 1..62 1..56 1..57 1..53 根据调查的数据据，亦可得出出以下表格：：时段 9：000-10：000 10：：00-111：00 111：00--12：000 12：000-13：：00平均到达率 （人//小时） 6677 7776 6744 527平均付款时间 （分钟//人） 1..56 1..56 1..68 1..12理论窗口数 117.6022 20.2202 199.04 99.8373333实际窗口数 （超市角角度） 177 20 119 10实际窗口数 （顾客角角度） 188 21 220 10时段 13：000-14：：00 144：00-115：00 15：000-16：000 16：：00-177：00平均到达率 （人//小时） 4464 5113 7311 931平均付款时间 （分钟//人） 1..23 1..28 1..52 1..52理论窗口数 99.512 10.9444 18..5183333 23..5853333实际窗口数 （超市角角度） 9 11 199 24实际窗口数 （顾客角角度） 100 11 119 24时段 17：000-18：：00 188：00-119：00 19：000-20：000 20：：00-211：00平均到达率 （人//小时） 8834 6332 7399 789平均付款时间 （分钟//人） 1..62 1..56 1..57 1..53理论窗口数 222.5188 16.4432 199.3371166 211.43455实际窗口数 （超市角角度） 222 17 119 22实际窗口数 （顾客角角度） 233 17 220 22注：在这里，实实际窗口数分分为从超市角角度和从顾客客角度的两种种实际窗口数数，这是因为为超市为了减减少运营成本本，不会多设设置窗口，从从而增加了顾顾客的平均等等待时间。
如如果从顾客的的角度出发，当当然在超市的的逗留时间越越短越好，他他们必定会支支持增加收银银窗口，但与与此同时，超超市却增加了了运营成本超市收银窗口取取整方法是向向前取整，余余下的小数加加到后一个数数上去，依次次类推而从从顾客角度的的取整反法是是直接向后取取整如何取取舍这两者需需要对服务费费用(成本))、等待费用用(损失)作作确切估计，以以便才能算出出更优的值因为购物者在99:00－119:00时时间段内能接接受的等待时时间为0.111小时，在在19：000－21：000时间段内内能接受的等等待时间为00.13小时时所以就有有： = 按上述公式就可可算出各时段段理论接受的的人数，从而而结合实际给给出实际接受受的人数如如下表：时段 9：000-10：000 10：：00-111：00 111：00--12：000 12：000-13：：00理论接受的人数数 4.233 4.233 3.933 5.899实际接受的人数数 4 4 3 5时段 13：000-14：：00 144：00-115：00 15：000-16：000 16：：00-177：00理论接受的人数数 5.366 5.166 4.344 4.344实际接受的人数数 5 5 4 4时段 17：000-18：：00 188：00-119：00 19：000-20：000 20：：00-211：00理论接受的人数数 4.077 4.233 4.977 5.100实际接受的人数数 4 4 4 5 所以各各时段顾客所所能接受的等等待人数如上上表，结合公公式： 根据数数据个时段的的平均到达率率 ，平均服服务率 从从而推算出服服务强度 ，所以在上上述公式中就就只有 为未未知的，其他他的量均为已已知的，理论论上就能算出出 。
时段 9：000-10：000 10：：00-111：00 111：00--12：000 12：000-13：：00最佳方案窗口数数 18 20 211 12时段 13：000-14：：00 144：00-115：00 15：000-16：000 16：：00-177：00最佳方案窗口数数 10 12 188 24时段 17：000-18：：00 188：00-119：00 19：000-20：000 20：：00-211：00最佳方案窗口数数 24 19 200 20 为此我我们用MATTLAB编程程（见附录）计计算系统中排排队的顾客数数L，发现与与上述的队列列中平均等待待顾客数 两两者相吻合所所以以上表格格中的就是最最优方案的收收银窗口开设设数6、模型评价和和改进本文的优点：11.我们在模模型中提出的的设置方案和和理由数据计计算的值很好好的吻合 2.本文综综合考虑了影影响顾客排队队的各种因素素 本文的缺点：：对于模型中中出现的实际际的复杂问题题作了很多简简化，最终得得到的数值可可能与实际的的 有所偏差差 改进： ①应用用排队论，用用运筹科学的的理论和方法法，对服务机机构进行定量量分析、评价价，优化服务务系统质量，提提高服务效率率，为设备的的合理配置和和有效利用提提供科学依据据。
是进行布布局规划和可可行性分析的的有效途径之之一 ②服务务机构设备和和人员配置，从从顾客和超市市两者取得平平衡出发，我我们理论和实实际两个值，以以便比较，提提出了该服务务系统的最优优选择 ③增加加收银窗口，虽虽然降低了顾顾客的等待费费用，但增加加了超市的运运营成本可可以利用经济济分析的手段段，使二者费费用之和为最最小或使纯收收入、利润为为最大，但这这要对服务费费用(成本))、等待费用用(损失)作作确切估计参考文献：[1]《运筹学学》教材编写写组编.运筹筹学（第三版版）[M] 清华大学出出版社 20006年[2] 熊启才才.数学建模模方法及应用用[M] 重重庆大学出版版社 20005年 1339-1433[3] 雷功炎炎.数学建模模方法[M]] 北京大学学出版社 22004年 163-1171[4] 萧树铁铁.数学实验验[M] 高高等教育出版版社 20004 年[5] 陆凤山山.排队论及及其应用[MM] 湖南科科学技术出版版社 19884年[6] 梁工谦谦.运筹学典典型题解析与与自测试题[[M] 西北北工业大学出出版社 20004年 2220-2221附录计算空闲概率PP0( )和和系统中排队队的顾客数LL( )：((仅举第一个个时段为例))主程序：>> a=6777；>> b=1..56;>> n=[116 17 18 199 20];;>> p=a**b;>> P0=ff(n,p));>> L=f11(n,p,,P0);M文件f.mfunctioon P0==f(n,pp)for k=11:5 sum==1;a=11; for i=1:nn(k) ffor j==1:i a=aa*j; ffnd ssum=suum+p^ii/a; endd P0((k)=(ssum+p^^(n(k))+1)/((a*(n((k)-p))))^(--1)endM文件f1.mmfunctioon L=ff1(n,pp,P0)for k=11:5 a=1;; for i=1:nn(k) aa=a*i;; end L(k))=p^(nn(k)+11)*P0((k)/(nn(k)*aa*(1-nn(k))^^2)end。