1 1《20xx艺体生文化课-百日突围系列》抛物线的定义与标准方程【背一背基础知识】1．抛物线的定义(1)平面内与一个定点和一条定直线（点不在直线上）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线．(2)其数学表达式：（其中为点到准线的距离）．2．抛物线的标准方程图形标准方程的几何意义：焦点到准线的距离【讲一讲基本技能】1．必备技能：（1）抛物线是历年高考的重点，在高考中除了考查抛物线的定义、标准方程、几何性质外，还常常与函数问题、应用问题结合起来进行考查，难度往往是中等；（2）求抛物线的标准方程时，应从“定形”“定式”“定量”三个方面去思考．“定形”就是指抛物线的顶点在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，能否确定抛物线的焦点在x轴的正半轴、负半轴上，还是在y轴的正半轴、负半轴上．“定式”就是根据“形”设出抛物线的具体形式，若焦点在x轴正半轴上，则设方程为；若焦点在x轴负半轴上，则设方程为；若焦点在y轴正半轴上，则设方程为；若焦点在y轴负半轴上，则设方程为．“定量”就是指利用定义和已知条件确定方程中的系数．2．典型例题例1 设抛物线的顶点在原点，准线方程，则抛物线的方程是 ( )A． B． C． D．【答案】例2抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为1，则 .【答案】2【解析】依题意，点为坐标原点，所以，即.【考点定位】抛物线的性质，最值.【名师点睛】由于抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等，所以抛物线的顶点到焦点的距离最小.例3 已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时P点的坐标．分析：由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，求|PA|＋|PF|的问题可转化为|PA|＋d的问题．【解析】将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±．∵>2，∴A在抛物线内部．如图，设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2)．【名师点评】涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．【练一练趁热打铁】1． 已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ( )A． B．1 C． D．【答案】C．【解析】设抛物线的准线为l，作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，则AB的中点到y轴的距离为(|AA1|＋|BB1|)－＝．2． 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝ ( )A．2 B．2 C．4 D．2【答案】B．3． 已知点A(2,0)，抛物线C：x2＝4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|FM|∶|MN|＝( )A．2∶ B．1∶2 C．1∶ D．1∶3【答案】C．【解析】根据抛物线的定义和相似三角形的判定及性质求解．如图所示，由抛物线定义知|MF|＝|MH|，∴|MF|∶|MN|＝|MH|∶|MN|．由于△MHN∽△FOA，则＝＝，则|MH|∶|MN|＝1∶，即|MF|∶|MN|＝1∶．故选C．4． 设O是坐标原点，F是抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正方向的夹角为60°，则△OAF的面积为( ) A． B．2 C． D．1【答案】C．【解析】过A作AD⊥x轴于D，令FD＝m，则FA＝2m,2＋m＝2m，m＝2，∴AD＝2，S△OAF＝·1·2＝．故选C．5．已知正六边形ABCDEF的边长是2，一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是( )A． B．C． D．2【答案】B．6．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8．(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积．【答案】(1) y2＝8x；(2) S△FAB＝24．【解析】(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为y2＝8x．(2)直线l2与l1垂直，故可设l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M．由，得y2－8y－8m＝0，Δ＝64＋32m>0，∴m>－2．y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝＝m2．由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，∴m＝8或m＝0(舍)，∴l2：x＝y＋8，M(8,0)．故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|＝3＝24．抛物线的几何性质【背一背基础知识】抛物线的几何性质图 形标准方程的几何意义：焦点到准线的距离几何性质顶 点开 口方 向向 右向 左向 上向 下范 围，且，且，且，且对称轴离心率焦 点准 线方 程焦半径长公式焦点弦长公式通 径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：关于抛物线焦点弦的几个结论：设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则⑴ ⑵ ⑶ 以为直径的圆与准线相切；⑷ 焦点对在准线上射影的张角为⑸ 【讲一讲基本技能】1．必备技能：（1）一个重要转化一次项的变量与焦点所在的坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即“对称轴看一次项，符号决定开口方向”．（2）六个常见结论直线AB过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图．①y1y2＝－p2，x1x2＝；②|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥2＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p；③＋为定值；④弦长AB＝(α为AB的倾斜角)；⑤以AB为直径的圆与准线相切；⑥焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°．2．典型例题例1已知抛物线的准线经过点，则抛物线焦点坐标为（ ）A． B． C． D．【答案】【考点定位】抛物线方程和性质.【名师点睛】1.本题考查抛物线方程和性质，采用待定系数法求出的值.本题属于基础题，注意运算的准确性.2.给出抛物线方程要求我们能够找出焦点坐标和直线方程，往往这个是解题的关键.例2若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线－＝1的右焦点重合，则p的值为________．分析：由已知及双曲线的简单几何性质可得其焦点坐标，从而可得p的值．解析：双曲线－＝1的右焦点F(3,0)是抛物线y2＝2px的焦点，∴＝3，p＝6．例3抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．分析：由于△ABF为等边三角形可以判断A、B两点关于y轴对称，只需把准线方程y＝－代入双曲线方程即可求得A、B两点坐标，问题即可解决．解析：由于x2＝2py(p>0)的准线为y＝－，由解得准线与双曲线x2－y2＝3的交点为A，B，∴AB＝2．由△ABF为等边三角形，得AB＝p，解得p＝6．例4定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________．分析：首先由圆心到直线的距离减去圆的半径得圆C2到直线l的距离，再求抛物线与直线l平行的切线方程，由两平行线距离公式求得曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离，最后列出方程并求解可得a的值．【名师点评】把抛物线、圆、新定义综合起来，是不落俗套的新题．最值问题是圆锥曲线中的一类重要题型，这类问题中含有变化的因素，解题时需要在变化的过程中，掌握运动规律，抓住主变元．如本题，读懂新定义的含义，再依题干中所含的等式，即可找到关于参数的方程，即可破解此交汇性试题．【练一练趁热打铁】1．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的实轴长是虚轴长的一半，则该双曲线的方程为 （ ）A． B． C． D． 【答案】A【解析】抛物线的焦点为，故双曲线的，又，根据，求得，故双曲线的方程为，选A．2．已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称，直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为__________．【答案】x2＋(y－1)2＝10．【解析】设所求圆的半径是r，依题意得，抛物线y2＝4x的焦点坐标是(1,0)，则圆C的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝1，则r2＝d2＋()2＝10，因此圆C的方程是x2＋(y－1)2＝10．3．抛物线的顶点在原点，焦点F与双曲线的右焦点重合，过点且切斜率为1的直线与抛物线交于两点，则弦的中点到抛物线准线的距离为_____________________．【答案】114．抛物线绕轴旋转一周形成一个如图所示的旋转体,在此旋转体内水平放入一个正方体,该正方体的一个面恰好与旋转体的开口面平齐,则此正方体的棱长是 ．【答案】【解析】根据旋转体的对称性，不妨设正方体的一个对角面恰好在平面内，组合体被此面所截得的截面图如下：设正方体的棱长为，则， ，因为，所以， ，即：解得：，因为，所以．（一） 选择题（12*5=60分）1．如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）A. B. C. D. 【答案】A.【解析】，故选A.【考点定位】抛物线的标准方程及其性质【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题，解题时，需结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质，结合抛物线的性质：抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习.2．过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|等于（ ）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】B3．已知抛物线的准线与双曲线的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（ ）A． B． C． D．【答案】A 【解析】抛物线的准线为，双曲线的渐近线方程为，由抛物线的准线与双曲线的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，可知渐近线互相垂直，所以，，双曲线的离心率是，故选A．4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F恰好是双曲线－＝1的右焦点，且双曲线过点，则该双曲线的离心率是 ( )A．2 B．C． D．【答案】D．5．已知双曲线的一条渐近线为，且右焦点与抛物线的焦点重合，则常数的值为 （ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】双曲线的渐近线方程为，它的其中一条渐近线方程为，则，所以双曲线的半焦距，抛物线的焦点坐标为，因此有．6．已知轴上一点抛物线上任意一点满足则的取值范围是 （ ）A． B． C． D．【答案】B．【解析】设则又恒成立，故选B．7．已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为 （ ）A． B． C． D． 【答案】C．8．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是坐标原点，若，则△的面积为 （ ）A． B． C． D．【答案】B．【解析】由已知可得．如图过作，垂足为，则由抛物线的定义得代入得（舍去），．又直线方程为，即，代入得．9．圆心在抛物线x2＝2y(x>0)上，并且与抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程是( )A．x2＋y2－x－2y＋1＝0 B．x2＋y2－2x－y＋1＝0C．x2＋y2－x－2y＋＝0 D．x2＋y2－2x－y＋＝0【答案】D．【解析】设圆心坐标为(x0>0)．∵抛物线x2＝2y的准线方程为y＝－，由题意知，x0＝＋⇒x0＝1，∴所求圆的圆心坐标为，半径为1，∴所求圆的方程为(x－1)2＋2＝1，化为一般式为x2＋y2－2x－y＋＝0．故选D．10．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则的值为 （ ）A． B． C． D．【答案】C11．抛物线上的任意一点到直线的最短距离为 （ ）A． B． C． D．以上答案都不对【答案】B12．如图，F是抛物线的焦点，A是抛物线E上任意一点．现给出下列四个结论：①以线段AF为直径的圆必与y轴相切；②当点A为坐标原点时，|AF|为最短；③若点B是抛物线E上异于点A的一点，则当直线AB过焦点F时，|AF|+|BF|取得最小值；④点B、C是抛物线E上异于点A的不同两点，若|AF|、|BF|、|CF|成等差数列，则点(A)(B)C的横坐标亦成等差数列． 其中正确结论的个数是( ) (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个【答案】C【解析】①由已知抛物线的焦点，设，则圆心坐标为，∴圆心到y轴的距离为，圆的半径为，∴以线段FA为直径的圆与y轴相切．故①正确；②设，则 ,∴x=0时，即当点A为坐标原点时，|AF|为最短，②正确；③设，，则|AF|+|BF|=x1+x2+p，显然x1+x2=0，即A、B关于x轴对称时，|AF|+|BF|取得最小值，故③不正确；④设点A、B、C的横坐标分别为a，b，c，则∵|AF|、|BF|、|CF|成等差数列，∴2|BF|=|AF|+|CF|，∴2（b+p）=（a+p）+（c+p），∴2b=a+c，∴点A、B、C的横坐标亦成等差数列，故④正确．综上知，正确结论的个数是3个．（二） 填空题（4*5=20分）13若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点，则 ．【答案】【考点定位】双曲线的几何性质和抛物线标准方程【名师点晴】本题主要考查的是抛物线的简单几何性质和双曲线的简单几何性质，属于容易题．解题时要注意抛物线和双曲线的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是抛物线的准线方程和双曲线的焦点坐标，即抛物线（）的准线方程是，双曲线（，）的左焦点，右焦点，其中．14．已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且．则抛物线的方程为 .【答案】．【考点定位】抛物线标准方程．【名师点睛】利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离进行转化，从而简化问题的求解过程，在解抛物线问题的同时，一定要善于利用其定义解题．15.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点,为坐标原点．若双曲线的离心率为2,的面积为,则_________． 【答案】 【解析】由渐进线联立可得交点A．B．所以．…①又因为所以．…②．所以由①②可得．本小题的关键是解出A，B两点的坐标即可．16．平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为 .【答案】 【考点定位】1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质. 【名师点睛】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程与几何性质，意在考查学生对圆锥曲线基本问题的把握以及分析问题解决问题的能力以及基本的运算求解能力，三角形的垂心的概念以及两直线垂直的条件是突破此题的关键. 。
