专题1 空间向量与立体几何【三年高考】1. 【2015江苏高考，22】如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，,（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成角最小时，求线段BQ的长【解析】以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为，，，．（1）因为平面，所以是平面的一个法向量，．因为，．设平面的法向量为，则，，即．令，解得，．所以是平面的一个法向量．从而，所以平面与平面所成二面角的余弦值为．2. 【2013江苏，理22】如图，在直三棱柱A1B1C1－ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．【答案】(1) ．(2) 【解析】解：(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(1,1,0)，A1(0,0,4)，C1(0,2,4)，所以＝(2,0，－4)，＝(1，－1，－4)．因为cos〈，〉＝＝，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为＝(1,1,0)，＝(0,2,4)，所以n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以，n1＝(2，－2,1)是平面ADC1的一个法向量．取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0,1,0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.由|cos θ|＝，得sin θ＝.因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.3．【2016高考新课标2理数】如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.又，而，所以.（II）如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.设是平面的法向量，则，即，所以可以取.于是， .因此二面角的正弦值是.考点：线面垂直的判定、二面角. 【名师点睛】证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②a∥b，a⊥α⇒b⊥α；③α∥β，a⊥α⇒a⊥β；④面面垂直的性质．线面垂直的性质，常用来证明线线垂直．求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．4．【2016高考山东理数】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（II）已知EF=FB=AC=，AB=BC.求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】试题分析：（Ⅰ）根据线线、面面平行可得与直线GH与平面ABC平行；（Ⅱ）立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，其中解法一建立空间直角坐标系求解；解法二则是找到为二面角的平面角直接求解.试题解析：（I）证明：设的中点为,连接,在,因为是的中点，所以又所以在中，因为是的中点，所以，又,所以平面平面，因为平面，所以平面.（II）解法一：连接,则平面，又且是圆的直径，所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，，过点作于点，所以可得故.设是平面的一个法向量. 由可得可得平面的一个法向量因为平面的一个法向量所以.所以二面角的余弦值为.解法二：连接，过点作于点，则有,又平面，所以FM⊥平面ABC,可得过点作于点，连接，可得,从而为二面角的平面角.又,是圆的直径，所以从而，可得所以二面角的余弦值为.考点：1.平行关系；2. 异面直线所成角的计算.【名师点睛】此类题目是立体几何中的常见问题.解答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，给出规范的证明.立体几何中的角与距离的计算问题，往往可以利用几何法、空间向量方法求解，应根据题目条件，灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力\转化与化归思想及基本运算能力等.5．【2016高考天津理数】（本小题满分13分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.（I）求证：EG∥平面ADF；（II）求二面角O-EF-C的正弦值；（III）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值（Ⅲ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值试题解析：依题意，，如图，以为点，分别以的方向为轴，轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.（I）证明：依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以.（II）解：易证，为平面的一个法向量.依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得.因此有，于是，所以，二面角的正弦值为.考点：利用空间向量解决立体几何问题6．【2016年高考北京理数】（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，试题解析：（1）因为平面平面，，所以平面，所以，又因为，所以平面；（2）取的中点，连结，，因为，所以.又因为平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.因为，所以.如图建立空间直角坐标系，由题意得，.设平面的法向量为，则即令，则.所以.又，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）设是棱上一点，则存在使得.因此点.因为平面，所以平面当且仅当，即，解得.所以在棱上存在点使得平面，此时.考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用.【名师点睛】平面与平面垂直的性质的应用：当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等.7．【2016高考新课标3理数】如图，四棱锥中，地面，，，，为线段上一点，，为的中点．（I）证明平面；（II）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（Ⅰ）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后通过求直线的方向向量与平面法向量的夹角来处理与平面所成角．试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.又，故，四边形为平行四边形，于是.因为平面，平面，所以平面.（Ⅱ）取的中点，连结，由得，从而，且.以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，，，，，，，.设为平面的法向量，则，即，可取，于是.考点：1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积．【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．8．【2016高考浙江理数】(本题满分15分)如图,在三棱台中,平面平面,,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(I)求证：EF⊥平面ACFD；(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.【答案】（I）证明见解析；（II）．【解析】试题分析：（I）先证，再证，进而可证平面；（II）方法一：先找二面角的平面角，再在中计算，即可得二面角的平面角的余弦值；方法二：先建立空间直角坐标系，再计算平面和平面的法向量，进而可得二面角的平面角的余弦值．试题解析：（I）延长，，相交于一点，如图所示．因为平面平面，且，所以，平面，因此，．又因为，，，所以为等边三角形，且为的中点，则．所以平面．方法二：如图，延长，，相交于一点，则为等边三角形．取的中点，则，又平面平面，所以，平面．以点为原点，分别以射线，的方向为，的正方向，建立空间直角坐标系．由题意得，，，，，．因此，，，．设平面的法向量为，平面的法向量为．由，得，取；由，得，取．于是，．所以，二面角的平面角的余弦值为．考点：1、线面垂直；2、二面角．【方法点睛】解题时一定要注意二面角的平面角是锐角还是钝角，否则很容易出现错误．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．9．【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°. （Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P-CD-A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.【解析】试题分析：（Ⅰ）探索线面平行，根据是线面平行的判定定理，先证明线线平行，再得线面平行，而这可以利用已知的平行，易得CD∥EB；从而知为DC和AB的交点；（Ⅱ）求线面角，可以先找到这个角，即作出直线在平面内的射影，再在三角形中解出，也可以利用已知图形中的垂直建立空间直角坐标系，用向量法求出线面角（通过平面的法向量与直线的方向向量的夹角来求得）．（Ⅱ）方法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD.从而CD⊥PD.所以∠PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以∠PDA=45°.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH.易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE.于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE.所以∠APH是PA与平面PCE所成的角.在Rt△AEH中，∠AEH=45°，AE=1，所以AH=.在Rt△PAH中，PH== ，所以sin∠APH= =.方法二：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PAAD=A，所以CD⊥平面PAD.于是CD⊥PD.从而∠PDA是二面角P-CD-A的平面角. 所以∠PDA=45°.由PA⊥AB，可得PA⊥平面ABCD.设BC=1，则在Rt△PAD中，PA=AD=2.作Ay⊥AD，以A为原点，以 ,的方向分别为x轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，由 得 设x=2，解得n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα= = .所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为 .考点：线线平行、线面平行、向量法.【名师点睛】本题考查线面平行、线线平行、向量法等基础知识，考查空间想象能力、分析问题的能力、计算能力.证明线面平行时，可根据判定定理的条件在平面内找一条平行线，而这条平行线一般是由过面外的直线的一个平面与此平面相交而得，证明时注意定理的另外两个条件（线在面内，线在面外）要写全，否则会被扣分，求线面角（以及其他角），一种方法可根据定义作出这个角（注意还要证明），然后通过解三角形求出这个角．另一种方法建立空间直角坐标系，用向量法求角，这种方法主要是计算，不需要“作角、证明”，关键是记住相应公式即可．10．【2015高考四川，理14】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为 .【答案】【解析】建立坐标系如图所示.设，则.设，则，由于异面直线所成角的范围为，所以. 令，则，当时取等号.所以，当时，取得最大值.11. 【2015高考新课标2，理19】如图，长方体中,，，，点，分别在，上，．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．12.【2015高考新课标1，理18】如图，，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面AFC；（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.【解析】（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=.由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，又∵AE⊥EC，∴EG=，EG⊥AC，在Rt△EBG中，可得BE=，故DF=.在Rt△FDG中，可得FG=.在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，∴，∴EG⊥FG，∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC. （Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E(1,0, )，F（－1,0，），C（0，，0），∴=（1，，），=（-1，-，），故.所以直线AE与CF所成的角的余弦值为. 13.【2014高考全国1第19题】如图，三棱柱中，侧面为菱形，.（Ⅰ）证明：;（Ⅱ）若，,,求二面角的余弦值.【解析】（I）连接，交于，连接．因为侧面为菱形，所以，且为与的中点．又，所以平面，故．又,故．（II）因为，且为的中点，所以，又因为，．故，从而两两垂直．以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．因为，所以为等边三角形．又,则，，，．,, ． 设是平面的法向量，则即所以可取．设是平面的法向量，则同理可取．则．所以二面角的余弦值为．14．【2014高考湖北理第19题】如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点分别在棱,上移动，且.（1） 当时，证明：直线平面；（2） 是否存在，使平面与面所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【解析】几何法：（1）证明：如图1，连结，由是正方体，知，当时，是的中点，又是的中点，所以，所以，而平面，且平面，故平面.（3） 如图2，连结，因为、分别是、的中点，所以，且，又，，所以四边形是平行四边形，故，且，从而，且，在和中，因为，，于是，，所以四边形是等腰梯形，同理可证四边形是等腰梯形，分别取、、的中点为、、，连结、，则，，而，故是平面与平面所成的二面角的平面角，若存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角，则，连结、，则由，且，知四边形是平行四边形，连结，因为、是、的中点，所以，在中，，，，由得，解得，故存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角.向量法：以为原点，射线分别为轴的正半轴建立如图3的空间直角坐标系，由已知得，所以，，，（1）证明：当时，，因为，所以，即，而平面，且平面，故直线平面.【2017年高考命题预测】纵观2016各地高考试题，高考对立体几何的考查，可以发现均以规则几何体为背景，这样建立空间直角坐标系较为容易，考查学生的化归与转化能力、空间想象能力以及基本运算能力. 从高考试题来看，空间向量的坐标及运算，空间向量的应用，重点考查空间向量的应用求夹角、求距离.课本淡化了利用空间关系找角、求距离这方面内容的讲解，而是加大了向量在这方面内容应用的讲解，因此作为立体几何的解答题，用向量方法处理有关夹角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度，题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考查，但有时选择题、填空题也涉及，难度中等偏高，从高考试题来看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点，题型主要为解答题，难度属于中等，主要考查向量的坐标运算，以及向量的平行与垂直的充要条件，如何用向量法解决空间角问题等，同时注重考查学生的空间想象能力、运算能力．立体几何题型一般是一个解答题，1至2个填空或选择题．解答题一般与棱柱和棱锥相关，主要考查线线关系、线面关系和面面关系，其重点是考查空间想象能力和推理运算能力，其解题方法一般都有二种以上，并且一般都能用空间向量来求解．立体几何侧重考查学生的空间概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力 ，近几年凡涉及空间向量应用于立体几何的高考试题，都着重考查应用空间向量求异面直线所成的角、二面角，证明线线平行、线面平行和证明异面直线垂直和线面垂直等基本问题.预测2017年高考，可能以锥体为几何背景，第一问以线面平行，面面平行为主要考查点，第二问可能给出一个角，计算角的问题，常见的是异面直线所成的角，直线与平面所成的角，平面与平面所成的二面角，这类试题有一定的难度和需要一定的解题技巧，通常要把它们转化为相交直线所成的角；求距离，试题中常见的是点与点之间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，直线与直线的距离，直线到平面的距离，要特别注意解决此类问题的转化方法，有可能求点的位置或设置一个探索性命题，突出考查空间想象能力和逻辑推理能力，以及分析问题、解决问题的能力．复习建议：空间图形中的角与距离，先根据定义找出或作出所求的角与距离，然后通过解三角形等方法求值，注意“作、证、算”0°＜θ≤90°，其方法是平移法和补形法；直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°，其解法是作垂线、找射影；二面角0°≤θ≤180°.平面图形的翻折与空间图形的展开问题，要对照翻折（或展开）前后两个图形，分清哪些元素的位置（或数量）关系改变了，哪些没有改变.【2017年高考考点定位】对立体几何中的向量方法部分，主要以解答题的方式进行考查，而且偏重在第二问或者第三问中使用这个方法，考查的重点是使用空间向量的方法进行空间角和距离等问题的计算，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题．【考点1】空间向量【备考知识梳理】1．空间向量的概念向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量.如位移、速度、力等相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移.2．向量运算和运算率，，加法交换律：加法结合律：数乘分配律：说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量.平行于记作∥.注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义.共线向量定理：对空间任意两个向量（≠）、，∥的充要条件是存在实数使＝注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若∥（≠0），则有＝，其中是唯一确定的实数.②判断定理：若存在唯一实数，使＝（≠0），则有∥（若用此结论判断、所在直线平行，还需（或）上有一点不在（或）上）.⑵对于确定的和，＝表示空间与平行或共线，长度为 ||，当>0时与同向，当<0时与反向的所有向量⑶若直线l∥，，P为l上任一点，O为空间任一点，下面根据上述定理来推导的表达式.推论：如果 l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式 ①其中向量叫做直线l的方向向量在l上取，则①式可化为 ②当时，点P是线段AB的中点，则 ③①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式.4．向量与平面平行：如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内，我们就说向量平行于平面，记作∥.注意：向量∥与直线a∥的联系与区别.共面向量：我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量共面向量定理 如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是存在实数对x、y，使①注：与共线向量定理一样，此定理包含性质和判定两个方面.推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使④或对空间任一定点O，有⑤在平面MAB内，点P对应的实数对（）是唯一的.①式叫做平面MAB的向量表示式又∵代入⑤，整理得 ⑥由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量、（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件5．空间向量基本定理：如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使说明：⑴由上述定理知，如果三个向量、、不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是，这个集合可看作由向量、、生成的，所以我们把{，，}叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于可视为与任意非零向量共线.与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是.推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组，使6．数量积（1）夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，，则角∠AOB叫做向量与的夹角，记作说明：⑴规定0≤≤,因而=；⑵如果=，则称与互相垂直，记作⊥；⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（3）、（4）中的两个向量的夹角不同，图（3）中∠AOB=，图（4）中∠AOB=,从而有==.（2）向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模.（3）向量的数量积：叫做向量、的数量积，记作.即=，向量:（4）性质与运算率⑴，⑵⊥=0，⑶（4），（5）=，（6）7．空间向量的坐标表示及运算(1)数量积的坐标运算设，，则①；②；③.(2)共线与垂直的坐标表示设，，则， (均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设，，则，.设，则.【规律方法技巧】1．将四点共面问题，转化为三个向量共面问题，利用共面向量定理来解决．2．利用向量共线说明两线平行时注意说明四点不共线，否则不一定正确．3. 立体几何中的向量方法(1)直线的方向向量与平面的法向量的确定①直线的方向向量：是空间一直线，是直线上任意两点，则称为直线的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线的方向向量．②平面的法向量可利用方程组求出：设是平面内两不共线向量，为平面的法向量，则求法向量的方程组为.4.易错点：（1）共线向量定理中∥⇔存在实数使＝易忽视≠0.（3）共面向量定理中，注意有序实数对()是唯一存在的．（3）一个平面的法向量有无数个，但要注意它们是共线向量，不要误为是共面向量．5.如何建立适当的坐标系：根据几何体本身的几何性质，恰当建立空间直角坐标系最为关键，如果坐标系引入的恰当，合理，即能够容易确定点的坐标，需要总结一些建系方法.常见建系方法：（1）借助三条两两相交且垂直的棱为坐标轴，如正方体，长方体等规则几何体，一般选择三条线为三个坐标轴，如图1、2；（2）借助面面垂直的性质定理建系，若题目中出现侧面和底面垂线的条件，一般利用此条件添加辅助线，确定z轴，如图3；（3）借助棱锥的高线建系等.对于正棱锥，利用定点在底面的射影为底面的中心，可确定z轴，然后在底面确定互相垂直的直线分别为x，y轴.如图4.【考点针对训练】1.一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体直观图．【答案】见解析．【解析】由已知可作出示意图． 2. 有以下命题：①如果向量、与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么、的关系是不共线；②为空间四点，且向量，，不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量，，是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底．其中正确的命题是____.【答案】②③【解析】 对于①，“如果向量、与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么、的关系一定是共线”，所以①错误．②③正确．【考点2】空间角，距离的求法【备考知识梳理】1．空间的角(1)异面直线所成的角如图，已知两条异面直线，经过空间任一点作直线.则把与所成的锐角(或直角)叫做异面直线与所成的角(或夹角)．异面直线所成的角的范围是.(2)平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．①直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；②直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是的角．直线与平面所成角的范围是.(3)二面角的平面角如图在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则叫做二面角的平面角．二面角的范围是.(4)等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等.2．空间向量与空间角的关系(1)设异面直线和的方向向量分别为和，则与的夹角满足.(2)设直线的方向向量和平面的法向量分别为，则直线与平面的夹角满足.(3)求二面角的大小(ⅰ)如图①，是二面角的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小．(ⅱ)如图②③，分别是二面角的两个半平面的法向量，则二面角的大小满足或．3.空间距离:（1）两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面直线的距离；常有求法①先证线段为异面直线的公垂线段，然后求出的长即可．②找或作出过且与平行的平面，则直线到平面的距离就是异面直线间的距离．③找或作出分别过且与，分别平行的平面，则这两平面间的距离就是异面直线间的距离．④根据异面直线间的距离公式EF ＝（“±”符号由实际情况选定）求距离.（2）点到平面的距离点Ｐ到直线的距离为点Ｐ到直线的垂线段的长，常先找或作直线所在平面的垂线，得垂足为Ａ，过Ａ作的垂线，垂足为Ｂ连ＰＢ，则由三垂线定理可得线段ＰＢ即为点Ｐ到直线的斜线上两点Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距离ＡＢ，ＡＣ的比为，则点Ａ，Ｂ到平面的距离之比也为．特别地，ＡＢ＝ＡＣ时，点Ａ，Ｂ到平面的距离相等；③体积法（3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离；（4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离.【规律方法技巧】1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角.（1）异面直线所成的角的范围是.求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决具体步骤如下：①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上；②证明作出的角即为所求的角；③利用三角形来求角; ④补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，这样有利于找到两条异面直线所成的角θ.（2）直线与平面所成的角的范围是.求线面角方法:①利用面面垂直性质定理，巧定垂足：由面面垂直的性质定理，可以得到线面垂直，这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径.②利用三棱锥的等体积，省去垂足,在构成线面角的直角三角形中，其中垂线段尤为关键.确定垂足，是常规方法.可是如果垂足位置不好确定，此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置，照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h,利用三棱锥的等体积，只需求出h，然后利用进行求解.③妙用公式，直接得到线面角课本习题出现过这个公式：，如图所示：.其中为直线AB与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时，可直接应用.但是一定要注意三个角的位置，不能张冠李戴.④万能方法，空间向量求解不用找角设AB是平面的斜线，BO是平面的垂线，AB与平面所成的角,向量与的夹角，则.注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有；（3）确定点的射影位置有以下几种方法：①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上；②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上；如果一条直线与一个角的两边的夹角相等，那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上；③两个平面相互垂直，一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上；④利用某些特殊三棱锥的有关性质，确定顶点在底面上的射影的位置：a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的内心(或旁心)；c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直，那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范围，解题时要注意图形的位置和题目的要求.求二面角的方法:①直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角,自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角；；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角, 自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角；③利用定义确定平面角, 在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角；②射影面积法.利用射影面积公式＝ ；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等.③空间向量法:法一: 是二面角的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小． 法二：设,是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧（同等异补），则二面角的平面角或.2. 求距离的关键是化归.即空间距离向平面距离化归，具体方法如下：（1）求空间中两点间的距离，一般转化为解直角三角形或斜三角形.（2）求点到直线的距离和点到平面的距离，一般转化为求直角三角形斜边上的高；或利用三棱锥的底面与顶点的轮换性转化为三棱锥的高，即用体积法.（3）求距离的一般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之.异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线a 、b 所成的角为q ，它们的公垂线AA′的长度为d ，在a 上有线段A′E ＝m ，b 上有线段AF ＝n ，那么EF ＝（“±”符号由实际情况选定）3.求空间中线面的夹角或距离需注意以下几点：①注意根据定义找出或作出所求的成角或距离，一般情况下，力求明确所求角或距离的位置.②作线面角的方法除平移外，补形也是常用的方法之一；求线面角的关键是寻找两“足”（斜足与垂足），而垂足的寻找通常用到面面垂直的性质定理.③求二面角高考中每年必考，复习时必须高度重视.二面角的平角的常用作法有三种：＝ ”求二面角否则要适当扣分.④求点到平面的距离常用方法是直接法与间接法，利用直接法求距离需找到点在面内的射影，此时常考虑面面垂直的性质定理与几何图形的特殊性质.而间接法中常用的是等积法及转移法.⑤求角与距离的关键是将空间的角与距离灵活转化为平面上的角与距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角与距离.【考点针对训练】1.已知平行六面体ABCD - A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°，则异面直线AC1与A1D所成角的余弦值_____________.【答案】【解析】设向量 ，则，，.2.在梯形中，，，，，如图把沿翻折，使得平面平面.（Ⅰ）求证:平面；（Ⅱ）若点为线段中点,求点到平面的距离． (Ⅱ)由（Ⅰ）知.以点为原点，所在的直线为轴,所在直线为轴，如图建立空间直角坐标系.则,,,,．所以,,．设平面的法向量为,则且,所以令,得平面的一个法向量为 ，所以点到平面的距离为．【考点3】空间向量的应用【备考知识梳理】1. 直线的方向向量：是空间一直线，是直线上任意两点，则称为直线的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线的方向向量．2. 如何确定平面的法向量（1）首先观察是否与存在于面垂直的法向量，若有可直接确定，若不存在，转化为待定系数法；（2）待定系数法：由于法向量没有规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，于是可把法向量的某个坐标设为1，再求另两个坐标.由于平面法向量是垂直于平面的向量，所以取平面的两条相交向量，设由解方程组求得.【规律方法技巧】1.用向量证明空间中的平行关系①设直线和的方向向量分别为和，则∥ (或与重合)⇔ ∥.②设直线的方向向量为，与平面共面的两个不共线向量和，则∥或⊂⇔存在两个实数，使.③设直线的方向向量为，平面的法向量为，则l∥α或l⊂α⇔⊥.④设平面和的法向量分别为，，则α∥β⇔∥.2.用向量证明空间中的垂直关系①设直线l1和l2的方向向量分别为和，则l1⊥l2⇔⊥⇔.＝0.②设直线l的方向向量为，平面的法向量为，则⊥⇔∥③设平面和的法向量分别为和，则α⊥β⇔⊥⇔·＝0.3.用法向量球距离：（1）用法向量求异面直线间的距离：如右图所示，a、b是两异面直线，是a和b 的法向量，点E∈a，F∈b，则异面直线 a与b之间的距离是 ；（2）用法向量求点到平面的距离如右图所示，已知AB是平面α的 一条斜线，为平面α的法向量，则 A到平面α的距离为；（3）用法向量求直线到平面间的距离首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到平面的距离问题（4）用法向量求两平行平面间的距离首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化成点到平面的距离问题.4. 用法向量求角（1）用法向量求二面角如图，有两个平面α与β，分别作这两个平面的法向量与，则平面α与β所成的角跟法向量与所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角.（2）法向量求直线与平面所成的角要求直线a与平面α所成的角θ，先求这个平面α的法向量与直线a的夹角的余弦，易知θ=或者.5.利用空间向量坐标运算求解问题的方法：用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．6.易误警示：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α、β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补，这是利用向量求二面角的难点、易错点．异面直线所成角范围是(0°，90°]，若异面直线a，b的方向向量为m，n，异面直线a，b所成角为θ，则cos θ＝|cos〈m，n〉|.解题过程是：(1)建系；(2)求点坐标；(3)表示向量；(4)计算．(1)异面直线的夹角与向量的夹角有所不同，应注意思考它们的区别与联系．(2)直线与平面的夹角可以转化成直线的方向向量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化，所以要注意它们的区别与联系．求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．【考点针对训练】1.如图，在多面体ABCDEF中，正方形与梯形所在平面互相垂直，已知，，.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值.【解析】（Ⅰ）在梯形中，取CD中点H，连接BH，因为，，所以四边形ADHB为正方形，又，，所以，所以，又平面平面ABCD，平面平面ABCD，所以平面ABCD ，，又，故平面 （Ⅱ）由（Ⅰ）知平面ABCD，，所以DE,DA,DC两两垂直.以D为坐标原点建立如图所示直角坐标系，则，，，，，， ，设为平面BMC的法向量，则，即，可取， 又，所以 ，直线与平面所成的角的正弦值为 .2.如图，在中，已知在上，且又平面.（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．（Ⅱ）以所在射线分别为轴，建立直角坐标系如图，则由（Ⅰ）知，, ，由（Ⅰ）知平面是平面的一个法向量，设平面的法向量为，令，则， ，由图可知，二面角的余弦值为.【两年模拟详解析】1. 【2016年第一次全国大联考【江苏卷】】在四棱锥中，直线两两相互垂直，且 .（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求钝二面角的大小.【答案】（1）（2）【解析】不妨设，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.（1）则因此异面直线与所成角的余弦值为.……5分（2），设平面的法向量为则即，令则所以是平面的一个法向量；同理是平面的一个法向量；所以因此钝二面角的大小为……10分2．【2016高考押题卷（1）【江苏卷】】如图，在空间直角坐标系O - xyz中，正四棱锥P - ABCD的侧棱长与底边长都为，点M，N分别在PA，BD上，且．（1）求证：MN⊥AD；（2）求MN与平面PAD所成角的正弦值．【答案】（1）详见解析（2）．【解析】（1）因为正四棱锥的侧棱长与底边长都为. 则则 3．【2016高考押题卷（2）【江苏卷】】（本小题满分10分)如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面,为的中点,为上一点,且,.（Ⅰ）若平面,试确定点的位置；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）是中点（Ⅱ）．【解析】以为原点, AB、AD、AS所在直线分别为轴建立空间直角坐标系.则,,,,,,,其中. 、 （Ⅱ） 设平面的一个法向量为, 而,,则,即,取,得. 同理可得平面的一个法向量为. 易知所求二面角是锐角,则.故二面角的余弦值为.4．【2016高考冲刺卷（4）【江苏卷】】如图，在直角梯形中，，，．直角梯形通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使得平面平面．为线段的中点，为线段上的动点．（Ⅰ）当点是线段中点时，求二面角的余弦值；（Ⅱ）是否存在点，使得直线//平面？请说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）．【解析】解：（Ⅰ）易得两两垂直．分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示．由已知 ，所以，．因为为线段的中点，为线段的中点，所以．易知平面的一个法向量．设平面的一个法向量为， 由 得 取，得．由图可知，二面角的大小为锐角，所以．所以二面角的余弦值为． 所以段上存在点，且时，使得直线//平面．5．【2016高考冲刺卷（1）【江苏卷】】（本小题满分10分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝AC＝4，AA1⊥平面ABC； AB⊥AC， （1）求二面角A1－BC1－B1的余弦值；（2）段BC1存在点D，使得AD⊥A1B，求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1）如图,以A为原点建立空间直角坐标系A－,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4), 设平面A1BC1的法向量为,则,即, 令,则,,所以. 同理可得,平面BB1C1的法向量为,所以. 由题知二面角A1－BC1－B1为锐角,所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为. ………5分（2）设D是直线上一点,且. 所以.解得,,. 所以. 由,即.解得. 因为,所以段BC1上存在点D, 使得AD⊥A1B. 此时,. ………10分6．【2016高考冲刺卷（5）【江苏卷】】（本小题满分10分)如图，已知四棱锥，底面为菱形，平面，，分别是的中点．（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明详见解析；（2）二面角的余弦值为．【解析】（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．因为为的中点，所以．又，因此．因为平面，平面，所以．而平面，平面且，所以平面．又平面，所以．（2）解法一：因为平面，平面，所以平面平面．过作于，则平面，过作于，连接，则为二面角的平面角，在中，，，又是的中点，在中，，又， 在中，，即所求二面角的余弦值为． 解法二：由（1）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以，，所以．设平面的一法向量为，则因此取，则，因为，，，所以平面，故为平面的一法向量．又，所以．因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为．7．【2015届山东省实验中学高三6月份模拟考试】如图，在四棱锥P –ABCD中，PA 平面ABCD， DAB为直角，AB//CD，AD=CD=2AB=2，E，F分别为PC，CD的中点．（Ⅰ）证明：AB平面BEF：（Ⅱ）设PA =h，若二面角E-BD-C大于45 ，求h的取值范围．【解析】（Ⅰ）由已知且为直角，故四边形是矩形，从而．又 底面， ∴平面 平面，∵，故平面，∴，在内，分别是的中点，，∴； ，由此得平面．（Ⅱ）以为原点，以为轴，轴，轴正向建立空间直角坐标系，则 ，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，可取 设二面角E-BD-C的大小为，则=，化简得，所以.8.【2015届福建省泉州五中高三模拟考试】如图，是圆的直径，是圆上异于的一个动点，垂直于圆所在的平面，DC∥EB，．（1）求证：；（2）当三棱锥C-ADE体积最大时，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值．【解析】（1）∵DC⊥面ABC，∴DC⊥BC，又∵AB是的直径，∴AC⊥BC，AC∩DC=C，面ACD，∴BC⊥平面ACD，又∵DC//EB，DC=EB，∴四边形BCDE是平行四边形，∴DE//BC，∴DE⊥平面ACD （2）， 当且仅当时取等号，∴当三棱锥C-ADE体积最大时，，如图，以C为原点建立空间直角坐标系，则, ，，设平面ADE的一个法向量，则，令得，设平面ABE的一个法向量，，令得， ，∴当三棱锥C-ADE体积最大时，平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦值为 .9.【2015届河南省南阳市一中高三下学期第三次模拟】如下图，在组合体中，是一个长方体，是一个四棱锥．，，点且．（1）证明：；（2）求与平面所成的角的正切值；（3）若，当为何值时，．【解析】方法一（综合法）：（1）证明：因为，，所以为等腰直角三角形，所以．（1分因为是一个长方体，所以，而，所以，所以．因为PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，由线面垂直的判定定理，可得． （2）过P点在平面CC1D1D作PE⊥CD于E，连接AE，因为面ABCD⊥面PCD，所以PE⊥面ABCD，所以∠PAE就是PA与平面ABCD所成的角．因为PE=1，AE=，所tan∠PAE=．所以PA与平面ABCD所成角的正切值为（3）当a=2时，PC∥平面AB1D．当a=2时，四边形CC1D1D是一个正方形，所以∠C1DC=45°，而∠PDC=45°，所以∠PDC1=90°，所以．而，与在同一个平面内，所以．而，所以，所以． 方法二：（向量法）（1）如图建立空间直角坐标系，设棱长，则有，，，．（2分）于是，，所以，．所以PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，由线面垂直的判定定理，可得．（2），所以，而平面的一个法向量为． 所以．所以与平面所成的角的正弦值为．所以与平面所成的角的正切值为．（3）∵ ，，，∴，．设平面的法向量为，则有，令，可得平面的一个法向量为．若要使得，则要，即，解得．所以当时，．10.【2015届福建省泉州一中高三下学期最后一次模拟】如图，已知四棱锥的底面为菱形，，，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）段AD上是否存在点Q，使得直线CQ和平面BCP所成角的正弦值为？若存在，请说明点Q位置；若不存在，请说明不存在的理由.【解析】（Ⅰ）证明：取的。