离散型随机变量的分布列学习指导随机变量是概率与统计中的基本概念，由于随机变量的引入，我们可以用变量来刻划随机试验的结果(即样本点)以及随机事件(即样本点的集合)，以便更好地利用数学工具对随机现象进行研究．本节要求：1．了解随机变量的概念与意义，随机变量的可能取值与随机试验的结果之间的关系，会根据实际问题用随机变量正确表示某些随机试验的结果与随机事件．2．理解离散型随机变量及其分布列的概念，掌握分布列的两个基本性质，会求一些简单的离散型随机变量的分布列．3．掌握二项分布，了解它的实际背景，会用二项分布计算有关随机事件的概率．4．会根据离散型随机变量ξ的分布列求出η=aξ+b(a，b为常数)的分布列．一、例题1．袋中有1个白球，2个红球，4个黑球．现从中任取一球观察其颜色，确定这个随机试验中的随机变量，并指出在这个随机试验中随机变量可能取的值及分布列．解：设集合M=(x1，x2，x3)，其中x1为”取到的球为白色的球”，x2为”取到的球为红色的球”，x3为”取到的球为黑色的球”．在本题中可规定：ξ(xi)=i, (i=1，2，3)，即当试验结果x=xi时，随机变量ξ(x)=i，这样，我们确定ξ(x)是一个随机变量，它的自变量x的取值是集合M中的一个元素，即x∈M，而随机变量ξ本身的取值则为1，2，3．ξ分别取1，2，3三个值的概率为P(ξ=1)=，P(ξ=2)=，P(ξ=3)=. ξ的分布列为ξ123P 说明：分布列的表示形式可有如下几种：① 如教材所述的表格形式；② 一组等式 (ξ的所有取值的概率)；③ 有时可将②压缩为一个带“i”的等式． 2．若离散型随机变量ξ的分布列为：ξ01P9c2－c3－8c 试求出常数c． 解：由离散型随机变量分布列的基本性质知 9c2－c+3－8c=l， 0≤9c2－c≤1, 0≤3－8c≤1, 解得常数c=，即ξ的分布列为ξ01P 说明：应熟悉分布列的两个基本性质：若随机变量ξ的取值为x1，x2，……，xi，……，取这些值的概率为P(ξ=xi)=Pi，i=1，2，……，则 ① pi≥0，i=1，2，……，② P1+P2＋……=1． 3．一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量ξ的分布列． 解：随机变量ξ的可能取值为1，2，3． 当ξ=1时，即取出的三只球中最小号码为1，则其他两只球只能在编号为2，3，4，5的四只球中任取两只，故有P(ξ=1)=； 当ξ=2时，即取出的三只球中最小号码为2，则其他两只球只能在编号为3，4，5的三只球中任取两只，故有P(ξ=2)= ； 当ξ=3时，即取出的三只球中最小号码为3，则其他两只球只能在编号为4，5的两只球中任取两只，故有P(ξ=3)= ． 因此，ξ的分布列如表所示．ξ123P二、练习题 1．袋中有2个黑球6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是（B） （A）取到的球的个数 （B）取到红球的个数 （C）至少取到一个红球 （D）至少取到一个红球的概率 提示：（A）的取值不具有随机性，（C）是一个事件而非随机变量，（D）是概率值而非随机变量，而（B）满足要求． 2．抛掷两颗骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是（D） （A）一颗是3点，一颗是1点 （B）两颗都是2点 （C）两颗都是4点 （D）一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点 提示：对（A）、（B）中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而（D）是ξ=4代表的所有试验结果．掌握随机变量的取值与它刻划的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键． 3．下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是（C）ξ－101ξ123P0.30.40.4P0.40.7－0.1 （A） （B）ξ－101ξ123P0.30.40.3P0.20.40.5 （C） （D） 提示（A）、（D）不满足分布列的基本性质②，（B）不满足分布列的基本性质①，正确选择是（C）． 4．在三次独立重复试验中，若已知A至少出现一次的概率等于，则事件A在一次试验中出现的概率为 。
提示：=1－(1－p)3, P(A)=p=. 5．设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=，k=1，2，3，c为常数，则P(0.5<ξ<2.5)= . 提示：1=c·()=c, 故c=. 所以P(0.5<ξ<2.5)=p(1)+p(2)=+=. 6．设随机变量ξ～B(2，p)，η～B(4，p)，若 P(ξ>1)=，则 P(η≥1)= ·提示：=P(ξ≥1)=1－P(ξ=0)=1－(1－p)2, 即(1－p)2=, p=,故P(η≥1)=1－P(η=0)=1－(1－p)4=1－()4=.7．一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是1）求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列；（3） 这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．解：（1）ξ~B(5, )，ξ的分布列为P(ξ=k)=，k=0，1，2，3，4，5； （2）η的分布列为P(η=k)=p(前k个是绿灯，第k+1个是红灯)=，k=0，1，2，3，4；P(η=5)=P(5个均为绿灯)=；（3）所求概率=P(ξ≥1)=1－P(ξ=0)=1－≈0.8683. 8．设ξ的分布列为P(ξ=k)=，(k=0，1，2，……，10)，求： （1） a；（2） P(ξ≤2)；（3） P(9<ξ<20)．解：（1）由P(ξ=0)＋P(ξ=1)＋……＋P(ξ=10)=1，即=1，解得. （2）P(ξ≤2)=P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=2)=. （3）P(9<ξ<20)=P(ξ=10)=.三、思考题 设随机变量ξ的概率分布如表所示：ξ012P 求：（1） P(ξ<1)，P(ξ≤1)，P(ξ<2)，P(ξ≤2)； （2）F(x)=P(ξ≤x)，x∈R． 解：（1）P(ξ<1)=P(ξ=0)=，P(ξ≤1)=P(ξ=0)＋P(ξ=1)=， P(ξ<2)=P(ξ≤1)=，P(ξ≤2)=1； （2）F(x)=P(ξ≤x)=.｛ 四、备用题1．将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（A） （A）两次掷得的点数 （B）两次掷得的点数之和 （C）两次掷得的最大点数 （D）第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数差 提示：(A)两次掷得的点数的取值是一个数对，不是一个数，以后若学习了多维随机变量的知识就知道，它是一个二维随机变量．2．现有一大批种籽，其中优质良种占30％，从中任取5粒，记ξ为5粒中的优质良种粒数，则ξ的分布列是P(ξ=k)=，k=0，1，……，5 提示： ξ～B(5，0.3)，ξ的分布列是P(ξ=k)= ， k=0，1，……，5.3．己知随机变量ξ的分布列如下表所示，分别求出随机变量η1=2ξ+1；η2=ξ2的分布列。
ξ－2－1012P 解：由于η1=2ξ－1对于不同的ξ有不同的取值y=2x－1，即 y1＝2x1－1=－5，y2＝2x2－l＝－3，y3=2x3－1=－1，y4=2x3－1=1，y5=2x5－1=5，故η1的分布列如表． η1－5－3－115Pη2=ξ2对于ξ的不同的取值－1与1．取相同的值，故分布列如下：η20149P 说明：在得到的随机变量的分布列中，取值行中应无重复数；概率行中各项必须非负，且各项之和为1． 4．将一颗骰子掷2次，求下列随机变量的概率分布． （1）两次掷出的最大点数ξ1； （2）两次掷出的最小点数ξ2； （3）第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差ξ3 解：（1）ξ1=k包含两种情况，两次均为k点，或一个k点，另一个小于k点． 放P(ξ1=k)=，k=1，2，……，6. （2）ξ2=k包含两种情况，两次均为k点，或一个k点，另一个大于k点．故 P(ξ2=k)=，k=1，2，……，6. （3）ξ3的取值范围是－5，－4，……，4，5，ξ3=－5，即第1次是l点，第2次是6点；ξ2=－4，即第1次是1或2点，第2次对应是5或6点，……，ξ3=0，即第1次是1至6点，第2次对应是至6点，……，ξ3=5，即第二次是6点，第2次1点．并的分布列是：ξ3－5－4－3－2－1012345P。