极限的常用求法及技巧引言极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念 极限的方法是微积分中的基本方法，它是人们从有限认识无限，从近似认识精确，从量变认识质变的一种数学方 法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑，它使微积分理论更加蓬勃地发展起来极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强，灵活多变极限被称为微积分学习的 第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结，我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限(定积分) ，其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类， 如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限， x趋于正无穷,x趋于负无穷函数的极限等等本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较 全面和深入的介绍.我们在解决极限及相关问题时，可以根据题目的不同选择一种或多种 方法综合求解，尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到 能够举一反三，触类旁通1数列极限的常用求法及技巧数列极限理论是微积分的基础，它贯穿于微积分学的始终，是微积分学的重要研究方 法数列极限是极限理论的重要组成部分，而数列极限的求法可以通过定义法，两边夹方 法,单调有界法，施笃兹公式法，等方法进行求解•本章节就着重介绍数列极限的一些求 法。
1.1利用定义求数列极限利用定义法即利用数列极限的定义 设an为数列若对任给的正数N,使得n大于N时有an a则称数列an收敛于a ,定数a称为数列a.的极限，并记作lim an a,或nan ,(n )读作当n趋于无穷大时，an的极限等于a或an趋于a例证明lnmn3n22由于3n2 n2 2因此,对于任给的>0,只要-n,便有即当n(2)试成立又因为(1)式是在n 3的条件下也成立，故应取9max 3,—.在利用数列的 N定义时，应意识到下几点1.的任意性 定义中的正数 的作用在于衡量数列通项 an与定数a的接近程度,越小，表示接近的愈好；而正数 可以任意的小，说明an与a可以接近到任何程度然而，尽管 有其任意性，但已经给出，就暂时的被确定下来了，以便依靠它来求出N.又1.2利用极限的四则运算极限的四则运算法则若｛an｝与｛bn｝为收敛数列，则｛anbn｝ , ｛an bn｝ , ｛ an ?bn ｝也都是收敛数列，其有lim( an bn) lim an bnn nlim(an ?bn) lim an lim bnn n n例求 lim , n ( , n 1 、. n)n1(nn(n 1 .. n)lim . n( •. n 1 、、n)121.3利用单调有界定理单调有界定理即在实数系中，有界的单调数列必有极限，单调数列即 若数列an的各项关系式,an 1(anan 1 )则称an为递增（递减）数列。
递增数列和递减数列统称为单调数列有界性即 存在使得对于一切正整数 n,有an| M这一方法是利用极限理论基本定理： 单调有界数列必有极限，其方法为:（1）判定 数列是单调有界的，从而可设其极限为 A2）建立数列相邻两项之间的关系式3） 在关系式两端取极限，得以关于 A的方程，若能解出A，问题就可以解决了一般利用单调有界原理求极限的题目都给出了第 n项和第n+1项的关系式首先应用归纳法或“差法”，“比法”等方法证明其单调性，再证明其单调性，有界性（或先证 有界，再证单调）由单调有界定理得出极限的存在性，然后对关系式两端求极限，例求数列a,・.a a a , a a L . a 、a L a L其中（a>0）极限解：设Xo a ，X1 7a Va Ja x …Xn 1 Ja x. （n 1,1,2...）an Cn bnXn i a Xn两边取极限得 A 、、a A即A2 A a 0所以A 1一1 4a，因为A>0所以A 1一1 "2 2即 lim xn1 .1 4a21 a例设 Xo>0, a>0, Xn1 = 2（Xn+ —），n=0,1,22 Xn….z证明数列Xn的极限存在，并求之。
证明:易见Xn>0,n=0,1,2….所以有Xn 11 . a、 —2（Xn；）- Xn.Xn1 / a、、1 /1=2（Xn + X；）一 2（Xna =..aXn2+ Xk）=XnXnan 1 (a“ 1 a*) (an an 1) (a? aJ a1=a1 ^^2 R由 0N°时则数列cn收敛，且lim cn a n由迫敛法则可得所求极限与已知数列极限相等例求limn135 (2n-1)2.4.6 ( 2n)解：记加為晋_ 2.4.6 (2n)，yn 3.5.7 (2n 1)显然Xn 0(i=1 , 2,3…m),记 M=maxQ.a2,…am）。
证明limnn n n na1 +a2 + …am _Mn n n+…am ak 3 n k可见k< k,令k 1,2,3于是可以得到一列 k和一列 k ,显然k是单调递减的，k是单调递增的，所以这两个数列的极限都存在，我们称 k的极限为数列an的上极限,k为数列an的下极限。
我们可根据上下极限处理一些极限问题例设limn冷=入求证12X1lim 2-n2 n3X2 厂 Xnn证明由lim Xn=A，知对任给 0,存在N,使得当n >N时，有n1 2于是y=4XL_n n_ 1 1 2=n(2X1 3x2I 2花为3x2旦) N 1XN)旦 )N 1XN)1 ( N 1n(L xn 11(n N)(An两边取上极限得lim yn an同理可证lim y A于是lim y An于是 A lim yn lnm y lim y“ An由 的任意性得lim yn an1 2 _n_亦即lim 2X1 3二 n lXn a1.7利用stolz定理Stolz定理若所求极限为仏型，且yn是单调增加的无穷大量limnXn Xn1=a则 lim 0i=ayn yn1 n Xn或｛Xn｝，｛ yn｝都是无穷小量，且｛ yn｝是严格单调减少数列lim 一Xn^ a ( a 为有限量，n yn yn 1)，则 lim $yn证明｛ yn｝是严格单调增加的正无穷大量，且lim Xn Xn1 a (a为有限量， 与n yn yn 1yn证：(1)考虑a= 0的情况由 lim Xn XnnYnn 1Yn 1,N,n(nXnXn 1YnYn 1N),XnXnXnXnXn 1Xn 1Xn 1Yn YnynXn 1XnYnYn 1Xn 2XnYnXnXnYnXnXnXnXnYnXnYn是严格单调增加的，因此XnYn Yn 1 Yn 1 Yn 2 L Yn 1 YnYnYnXNXnYn YnYnXnYnYnXnYnXn|Yn|Yn是正无穷大量N2, n(nN2),XnYn取 N' max(N,N2) 1,n(nN')有XYn⑵当a是非零有限数时,XnXn aYn，于是由lim Xn Xn1 lim Xnn Yn Yn 1 n注aYn Yn 1得到lim沧0n Yn⑶a 的情况从而lim &n Yn12n Yn首先 N, n(n N ), Xn 1Yn Yn 1说明｛ Xn｝也严格单调增加，且从Xn Xn yn Yn可知｛x“｝是正无穷大量将前面的结论应用到 ，得到Xnyn limn Xnlimnyn yn 1 0Xn Xn 1因而limXnnyn(4)对于a的情况，证明方法类同2. ｛Xn｝ , ｛yn｝都是无穷小量，且｛yn｝是严格单调减少数列，且lim ―心 a(a为有n yn yn 1限量， 与)，贝U lim丸n yna证：a为有限量因 lim Xn Xn 1limXn Xn 1a，所以n yn yn 1nyn yn 1,N, n(nN),aXnXn 1a -其中yn yn 1 02 ynyn 12(a才仏yn 1))Xn Xn1 (a-)(ynyn 1)采用类似定理1的证明，可以得到(a 2)(ynyn p)Xn Xnp (a2)(ynyn p)令P ，且Xn p0，ynp 0利用Stolz定理时，应注意验证题目所给数列是否满足定理的内容k k k求极限..1_2_ n_lim k 1n n经检验分母nn 时，且单调递增，所以满足条件。
令k kXn=1 +2 "F，yn= nXn Xn 1 lim n Yn y(kk1)n2 nCnn可得原极限=例 已知数列Xn满足条件lim (Xn Xn 2)0n证明limnXn Xn 1n显然由Stolz定理可得limnX2n X2n 12n=limn(X22X2n-2 X2n-3 X?n 12n (2n 1)2 lim ( X2n2 nX2n 1 + X2n-3X2n-2)=0又v limnX2n 1 X2n 一‘2n 1 (2n 1)即X2n 1 X2n X?n 1 X?n 22n 1 (2n 1)1 lim (X2n2 n—— +1 X2n-2 X2n 1X2n)=0•- limn(Xn Xn 1) =0n1.8利用特殊极限n1利用特殊极限法即将题目变成一些特殊的极限形如 lim (1 - )=en现证明：lim(1 -)n存在n n先建立一个不等式，设b>a>0,于是对任一自然数n有(n 1)bn或bn 1 an 1 (n 1)bn(b a),整理后得不等式a证明：n 1 n 1b ab a(1)令 a=1+^^ , b=1+^ ,将它们代入(1) o 由于(n 1)a nb (n 1)(1 n 1 nbn[(n1)anb] on(11-)1 , n故有(1 丄)n1 (1 l)n，这就是说｛(1丄)、为递增数列。
n 1 n n再令a=1, b=1+丄代入(1)由于(n 1)a nb (n 1) n(1丄)丄，故有1 (1丄)n丄,2n 2n 2 2n 22 (1丄)n不等式两端平方后有4 (1丄)2n，它对一切自然数n成立联系数列的单2n 2n是存n调性，由此又推得数列｛(1是有界的于是由单调有界定理知道极限lim(1n n我们通常用拉丁字母代该数列的极限即lim(1 l)n=en n在的n利用该种方法应该记忆一些常用数列的极限 2 求 lim(1 ) n nlim(1 2)nn nlimn求极限limn(黑)nlimn(黑)"=和(142n 32n 3* 4n■24 2n 3) =e1.9利用定积分利用定积分求极限的方法即利用定积分的定义计算项数无限增多的无穷小量之和， 有时可设法把问题化为某一函数在某一区间上的积分和的极限问题，从而利用定积分求解 有时问题呈现乘积的形式，也可试用本方法，只式要先取对数将问题转化为和的形式定积分的定义设函数f(x)在［aa Xob]上有界X1 X2在[axb］中任意插入若干个分点1 Xn b[X0 X1] [ X1 X2][Xn 1 Xn]各小段区间的长依次为X1 X1 X0X2 X2 X1Xn Xn在每个小区间［Xi 1Xi］上任取一个点i ( Xi 1Xi Xi)间长度Xi的乘积f ( Xi ) Xi (i 1 2 n)并作出和XiXn 1作函数值f ( xi)与小区nf( i)把区间［a b］分成n个小区间S记 max{ xi X2 Xn}如果不论对［a b］怎样分法也不论在小区间［Xi 1 xj上点i怎样取法 只要当 0时 和S总趋于确定的极限I这时我们称这个极限I 为函数f ( x)在区间［a b］上的定积分 记作:f(x)dxbaf(x)dxnlim f( i)务0i 1其中f (X)叫做被积函数f(x)dx叫做被积表达式x叫做积分变量a叫做积分下限b 叫做积分上限［a b］叫做积分区间定义 设函数f (x)在［a b］上有界 用分点a Xo Xi X2 Xn 1 Xn b把［a b］分成n个小区间 [Xo Xi] [ Xi X2][Xn 1 Xn]记 Xi Xi Xi i(i 12 n)任 i [Xi 1 Xi]( i 1 2 n)作和nS f( i) Xii 1记 max{ Xi X2值与区间［a b］的分法和定积分记作& f(X)dXXn}如果当 0时 上述和式的极限存在 且极限i的取法无关 则称这个极限为函数f(x)在区间［a b］上的f (x)dxnlimo f( i) Xi0 i 1根据定积分的定义 曲边梯形的面积为A :f(x)dx而我们经常利用积分定义中的下面的式子nlimn i 11((b-a) i — )x( b-a)nf(x)dx利用这种方法时应注意区间的对应性例求极限limn1( sin —n.2sinnsin©1)n1 sin (i-1/n)i 11sin02 x=求极限limn1nn*(n 1)* (n 2)* (2n 1)n1"1、*" 2 n 1(1 )* (1 )* (1 )n n n设 Xn== lim 1n n*(n 1)*(n 2)* (2n 1) =lim nn n n S分析直接不能使用积分法，可先取对数，再去求解1 n 1 k 1lim ln Xn二— 山（〔+ —） = 0 In （1+x）=2ln2-1n n n 0 n例计算lim 1( 2n)! n nV n!1 n S)!解 ann!n(11 2 n')(1 2)...(1+n )、 n n n先考虑In an1 ln(1n i 1ln(1丄）丄，从而有n n1lim In an In(1 x)dxn 0(1x) In(1x) 110 2|n2 1因此 lim an e2ln2 1 4n e1.10利用级数利用级数方法即根据数列构造相应的级数，当级数收敛时，所求数列极限为 0,判别级数收敛的方法常用的如下（一） 比较原则：设 un与 vn是两个正项级数，若（1） 当0 1 时，两级数同时收敛或同时发散；（2） 当l 0且级数 Vn收敛时，级数 Un也收敛；（3） 当l 且级数 vn发散时，级数 un也发散；（二） 比式判别法（极限形式）若 un为正项级数，且lim q则Un（1） 当q 1时，级数 Un也收敛；⑵当q 1时，或q 时，级数 Un发散；注：当q 1时，）比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，因为它可能是收敛的，也可能是发散的.例如，级数 +与 -，它们的比式极限都是lim 山 1但 n2 n n Un1 1-2是收敛的，而 -是发散的.n n（三）根式判别法（极限形式）若 un为正项级数，且lim n un 1则（1）当I 1时，级数收敛⑵当I 1时，级数发散注：当I 1时，根式不能对级数的敛散性作出判断例如，级数 厶与 丄，二者都有n nlim n u； 1，但 丄是收敛的，而 1是发散的•但 —是收敛的n ■ n n n1而丄是发散的•n（四） 积分判别法：设f是1, 上非负递减函数那么正项级数 f（n）与非正常积分1 f （x）dx同时收敛或同时发散；（五） 拉贝判别法（极限形式）若 un为正项级数，且lim n（1 血）rn Un存在，则(1)当 r1时，级数 u；收敛；⑵当r1时，级数 u；发散；(3)当 r1时拉贝判别法无法判断•构造一般项级数或构造相应的幕级数，求得其数项级数的和。
利用这种方法时应注意所代入的数是否在收敛域内，否则不能用该种方法n求极限n!lim台nn n 1 n解 构造级数刀 2吕！用达朗贝尔判别法有|im 2 （n n1）! n =n n （n 1） 2n!limn2n 1 2 ,=—<1 (n 1) n e(1 ^)n n从而级数刀 咎收敛由收敛的必要条件得|im 咎二n n nn+…na1 2例求级数|im a +2an解构造幕级数f（x）=n xn,显然该幕级数的收敛域为-1,1 ）下面求和函数n 1因为f(x)=n x =xnnX=xg(x),其中 g(x)=，所以g(t)dt=1dt=n _ xx =「1 2 n a故lim a+2a + …na =f( a)=— (0
又xn 1=sin Xn W Xn， n = 1,2….即数列Xn是递减的 故数列 xn 的极限存在记 xn 1=A, 对 xn 1=sin xn 俩边求极限 即 linm Xn =0，n若-1 < sin a < 0,贝 U xn =- sin sin sin a,可转化为①，同样有］jm Xn =°。