《自动控制原理》实验报告（4）2011- 2012学年第1学期专业:班级:学号:姓名:2011年11月15日一•实验题目：二、三阶系统瞬态响应和稳定性二•实验目的：1. 了解和掌握典型二阶系统模拟电路的构成方法及I型二阶闭环系统的传递函数标 准式2. 研究I型二阶闭环系统的结构参数--无阻尼振荡频率3 n、阻尼比§对过渡过程的影 响3. 掌握欠阻尼I型二阶闭环系统在阶跃信号输入时的动态性能指标Mp、tp、ts的计 算4. 观察和分析I型二阶闭环系统在欠阻尼，临界阻尼，过阻尼的瞬态响应曲线，及在 阶跃信号输入时的动态性能指标Mp、tp值，并与理论计算值作比对5. 了解和掌握典型三阶系统模拟电路的构成方法及I型三阶系统的传递函数表达式6. 了解和掌握求解高阶闭环系统临界稳定增益K的多种方法（劳斯稳定判据法、代数 求解法、MATLAB根轨迹求解法）7. 观察和分析I型三阶系统在阶跃信号输入时，系统的稳定、临界稳定及不稳定三种 瞬态响应8. 了解和掌握利用MATLAB的开环根轨迹求解系统的性能指标的方法9. 掌握利用主导极点的概念，使原三阶系统近似为标准I型二阶系统，估算系统的时 域特性指标三•实验内容及步骤二阶系统瞬态响应和稳定性1.I型二阶闭环系统模拟电路见图3-1-7,观察阻尼比§对该系统的过渡过程的影响。
改变A3单元中输入电阻R来调整系统的开环增益K,从而改变系统的结构参数2. 改变被测系统的各项电路参数，计算和测量被测对象的临界阻尼的增益K,填入实 验报告3. 改变被测系统的各项电路参数，计算和测量被测对象的超调量Mp,峰值时间tp， 填入实验报告，並画出阶跃响应曲线积分环节（A2单元）的积分时间常数Ti=Ri*Ci=1S惯性环节（A3单元）的惯性时间常数T=R2*C2=0.1S 阻尼比和开环增益K的关系式为：临界阻尼响应：§ =1，K=2.5, R=40kQ欠阻尼响应：Ov§ <1 ,设 R=4kQ , K=25 § =0.316过阻尼响应：§ >1,设 R=70kQ , K=1.43§ =1.32>1实验步骤：注：'S ST'用“短路套”短接！(1) 将函数发生器(B5)单元的矩形波输出作为系统输入R连续的正输出宽度足够大 的阶跃信号)① 在显示与功能选择(D1)单元中，通过波形选择按键选中'矩形波'(矩形波指示灯 亮)② 量程选择开关S2置下档，调节“设定电位器1”，使之矩形波宽度三3秒(D1单元左 显示)③ 调节B5单元的“矩形波调幅”电位器使矩形波输出电压 =3V (D1单元右显示)。
2) 构造模拟电路：按图3-1-7安置短路套及测孔联线模块号跨接座号1A1S4，S82A2S2， S11， S123A3S8， S104A6S2，S65B5'S-ST'(a)安置短路套(3) 运行、观察、记录：① 运行LABACT程序，选择自动控制1信号输入r(t)B5 (OUT) —A1 (H1)2运放级联A1 (OUT)—A2 (H1)3运放级联A2A (OUTA) —A3 (H1)4负反馈A3 (OUT)—A1 (H2)5运放级联A3 (OUT)—A6 (H1)67跨接元件兀件库A11中直读式可变4K、40K、电阻跨接到A3 (H1)和70K(IN)之间8示波器联接A6 (OUT) —B3 (CH1)9X1档B5 (OUT) —B3 (CH2)(b)测孔联线菜单下的线性系统的时域分析下的二阶典型系统瞬态响应和稳定性实验项目,就会弹出虚 拟示波器的界面，点击开始即可使用本实验机配套的虚拟示波器(B3)单元的CH1测孔测 量波形也可选用普通示波器观测实验结果② 分别将(A11)中的直读式可变电阻调整到4K、40K、70K,等待完整波形出来后, 点击停止，用示波器观察在三种增益K下，A6输出端C(t)的系统阶跃响应。
二阶系统瞬态响应和稳定性实验结果:调整输入矩形波宽度三3秒，电压幅度=3V⑴计算和观察被测对象的临界阻尼的增益K阻尼比：:=2 v，TiKT， 因为是临界阻尼，所以Z=1，有因为Ti=lS,T=0.1S可计算K为：积分常数Ti惯性常数T增益K计算值10.12.50.21.250.30.830.50.11.250.20.5实验截图:R=4KQ时，Z = 0.3162，系统处于欠阻尼状态160ms/格-刻度-5V0V-5V「时间呈程显示方式采样周期T= — *5ms=10ms「零点控制CH1 ▲CH2/4 /2 xl x2 x4r=40kq〔时，Z = 1，系 统处于 临界阻尼状「频率特性—— r幅频特性 r相频特性 膚相特性$示波 C X—Y前一屏后一屏160ms/格 采样周期 T= — *5ms=10ms电压显示方式前一屏$示波 C X—Y后一屏160ms/格 采样周期 T= — *5ms=10ms-刻度—J 「时间星程「零点控制 CH1 ▲ CH2 亠位移+位移+/4 /2 xl k2 x4「频率特性一r幅频特性 r相频特性 r幅相特性显示方式金示波C X—Y前一屏*⑵ 画出阶跃响应曲线，测量超调量Mp,峰值时间tp。
用Matlab计算测量的结果和理论值：k=[25,25,25,20,20,40];T=[0.1,0.2,0.3,0.1,0.1,0.1];Ti=[1,1,1,0.5,0.2,0.2];%%实际输出MpA=[4.102,4.570,4.766,4.375,4.844,4.961];%%实际输出essB=[3.086,3.086,3.086,3.086,3.047,3.047];%%自然频率、阻尼比、超调量、峰值时间计算值 wn=sqrt(k./(Ti.*T))kesi=1/2.*sqrt(Ti./(k.*T))Mp=exp(-pi.*kesi./(sqrt(1-kesi.*kesi)))*100tp=pi./(wn.*sqrt(1-kesi.*kesi))ts=3./(kesi.*wn)%%超调量测量值clMp=(A-B)./B*100;%%测量的峰值时间可直接由截图读取实验结果：wn =15.811411.18039.128720.000031.622844.7214kesi = 0.31620.22360.18260.25000.15810.1118Mp =35.092048.639755.801044.434460.467970.2256tp = 0.20940.28830.35000.16220.10060.0707ts =0.60001.20001.80000.60000.60000.6000clMp = 32.9229 48.0881 54.4394 41.7693 58.9760 62.8159增益K(A3)惯性常数T(A3)积分常数Ti(A2)自然频率W n计算值阻尼比§计算值超调量Mp(%)峰值时间tp计算值/测量值计算值”" 测量值250.1115.810.316235±0^-3'2.920.209^-0.2100.211.180.223648亠63「一 48.0902883-F2800.39.1280.182655.8^-54.440.350^-0.360200.10.520.000.250044.4^-41.77Q.1622 - 01700.231.620.158260.4^-58.9802100^-0：1004044.720.11187022—一 62.82Q.0707 一 0.070K=25,T=0.1,Ti=lK=25,T=0.2,Ti=lK=25,T=0.3,Ti=l160ms/格 -刻度「二5V|At=n/mn si■i&v=1.680\MHMI4.76613.086ov-5V「零点控制CHI ▲CH2「时间呈程/4 /2 xl x2 x4显示方式前一屏「频率特性——r幅频特性r相频特性r幅相特性$示波C X—YK=20,T=0.1,Ti=0.5后一屏*K=40,T=0.1,Ti=0.2三阶系统瞬态响应和稳定性I型三阶闭环系统模拟电路如图3-1-8所示。
图3-1-8 I型三阶闭环系统模拟电路图积分环节（A2单元）的积分时间常数Ti=Ri*Ci=1S；惯性环节（A3单元）的惯性时间常数T1=R3*C2=0.1S, K1=R3/R2=1；惯性环节（A5单元）的惯性时间常数T2=R4*C3=0.5S, K=R4/R=500K/R该系统在A5单元中改变输入电阻R来调整增益K,R分别为30K、1.7K、25.2K1）.观察和分析I型三阶系统在阶跃信号输入时，系统的稳定、临界稳定及不稳定三种瞬态响应I型三阶闭环系统模拟电路图见图3-1-8,分别将（A11）中的直读式可变电阻调整到 30KQ （K=16.7）、41.7KQ （K=12）、225.2KQ （K=2.22）,跨接到 A5 单元（H1）和（IN） 之间，改变系统开环增益进行实验改变被测系统的各项电路参数，运用劳斯Routh）稳定判据法、MATLAB的开环根轨 迹法、代数求解法，求解高阶闭环系统临界稳定增益K,填入实验报告运用MATLAB的开环根轨迹法，求解闭环系统超调量Mp为30%的稳定增益，填入实验报告，並画出其系统模拟电路图和阶跃响应曲线实验步骤：注：'S ST用“短路套”短接！（1）将函数发生器（B5）单元的矩形波输出作为系统输入R。
连续的正输出宽度足够大 的阶跃信号）① 在显示与功能选择（D1）单元中，通过波形选择按键选中'矩形波'（矩形波指示灯 亮）② 量程选择开关S2置下档，调节“设定电位器1”，使之矩形波宽度三6秒（D1单元左 显示）③ 调节B5单元的“矩形波调幅”电位器使矩形波输出电压 =2.5V （D1单元右显示）2）构造模拟电路：按图3-1-8安置短路套及测孔联线a）安置短路套模块号跨接座号1A1S4，S82A2S2， S11， S123A3S4， S8， S104A5S7， S105B5'S-ST'1信号输入r（t）B5 (OUT)—A1 (H1)2运放级联A1 (OUT)—A2 (H1)3运放级联A2A (OUTA) —A3 (H1)4运放级联A3 (OUT)—A5 (H1)5负反馈A5B (OUTB) —A1 (H2)67跨接元件30K、41.7K、225K兀件库A11中直读式可变 电阻跨接到A5 （H1）和（IN）之间8示波器联接A5A (OUTA) — B3 (CH1)9X1档B5 (OUT) —B3 (CH2)（b）测孔联线（3）运行、观察、记录：② 分别将（A11）中的直读式可变电阻调整到30K、41.7K、225.2K,等待完整波形出 来后，点击停止,用示波器观察A5A单元信号输出端C （t）的系统阶跃响应。
K=2.22时的（衰减振荡）① 运行LABACT程序，选择自动控制菜单下的线性系统的时域分析下的三阶典型系 统瞬态响应和稳定性实验项目,就会弹出虚拟示波器的界面，点击开始即可使用本实验机配 套的虚拟示波器（B3）单元的CH1测孔测量波形（时间量程放在X4档）也可选用普通示 波器观测实验结果K =12临界稳定（等幅振荡）K = 16.7不稳定（发散振荡）2）.观察和验证等效于原三阶系统（图3-1-8）的二阶单位反馈闭环系统根据主导极点的概念，建立等效于原三阶系统（图3-1-8）的I型二阶闭环系统模拟电 路图，观察等效后的系统输出及原三阶系统输出，分析其响应曲线的相同点及区别，探讨其 区别产生的原因图3-1-9 等效于原三阶系统（图3-1-8）的二阶单位反馈闭环系统实验步骤：注：'S ST用“短路套”短接！（1） 将函数发生器（B5）单元的矩形波输出作为系统输入R连续的正输出宽度足够大 的阶跃信号）① 在显示与功能选择（D1）单元中，通过波形选择按键选中'矩形波'（矩形波指示灯 亮）② 量程选择开关S2置下档，调节“设定电位器1”，使之矩形波宽度三6秒（D1单元左 显示）③ 调节B5单元的“矩形波调幅”电位器使矩形波输出电压 =2.5V （D1单元右显示）。
2） 构造模拟电路：按图3-1-9安置短路套及测孔联线a）安置短路套 （b）测孔联线模块号跨接座号1A1S4，S82A2S2, S11， S123A5S10, S114B5'S-ST'（3）运行、观察、记录:1信号输入r（t）B5 (OUT) —Al (H1)2运放级联A1 (OUT) —A2 (H1)3跨接元件元件库A11中直读式可变电阻跨接到/4119KA2A (OUTA)和 A5 (IN)之间5跨接元件元件库A11中直读式可变电阻跨接到/6337KA5 (IN)和(0UTA)之间7负反馈A5A (OUTA) —Al (H2)8示波器联接A5B (OUTB) —B3 (CH1)9X1档B5 (OUT) —B3 (CH2)① 运行LABACT程序，选择自动控制菜单下的线性系统的时域分析下的三阶典型系 统瞬态响应和稳定性实验项目,就会弹出虚拟示波器的界面，点击开始即可使用本实验机配 套的虚拟示波器（B3）单元的CH1测孔测量波形（时间量程放在X4档）也可选用普通示 算系统的性能指标是可行的但是两图的过渡弧度不完全一样，导致上升时间有差别这是 由于两者相差了一个非闭环主导极点所造成的波器观测实验结果。
② 等待完整波形出来后，点击停止，用示波器观察A5B单元信号输出端C （t）的系 统阶跃响应示波器的截图详见虚拟示波器的使用实验结果分析：实验结果表明上图阶跃响应曲线与衰减震荡阶跃响应图非常接近,证明利用主导极点估三阶系统瞬态响应和稳定性实验结果改变图3-1-8所示的实验被测系统（三阶单位反馈闭环系统）的惯性时间常数Tl、T2 （分别改变模拟单元A3和A5的反馈电容C2、C3）输入矩形波宽度三6秒，电压幅度= 2.5V）1.计算和观察被测对象临界稳定的增益K （R值）运用劳斯（Routh）稳定判据法、MATLAB的开环根轨迹法、代数求解法，求解高阶 闭环系统临界稳定增益K：劳斯（Routh）稳定判据法：闭环系统的特征方程为： 1 + G(S) = 0, n 0.05S 3 + 0.6S 2 + S + K = 0(3-1-7)特 征 方 程 标 准 式 ： a S3 + aS2 + a S + a = 00 12 3（3-1-8）把式（3.1.7）各项系数代入式（3.1.8）建立得Routh行列表为：S 3S 2S1S 0aa02aa13a a 一 a a0n~1 ~2 0~3-a1a0S 30.051S 20.6KS10.6 — 0.05K00.6S 0K00.6 — 0.05 K 所以\ 0.6K > 0即:为了保证系统稳定，劳斯表中的第一列的系数的符号都应相同, 由ROUTH稳定判据判断，得系统的临界稳定增益K=12。
‘0 < K < 12 n R > 41.7KG 系统稳定< K = 12 n R = 41.7KQ 系统临界稳定K > 12 n R < 41.7KQ 系统不稳定代数求解法：系统的闭环特征方程D（S）=0中，令S=j3，其解即为系统的临界稳定增益Ko 用j3取代式（3-1-7）中的S,则可得：0.05（ j®）3 + 0.6（ j®）2 + j® + K = 0令：虚部=0 ®-0.05®3 = 0 ®2 = 20， 得系统的临界稳定增益K=12实部=0 K — 0.6® 2 = 0 K = 12用MATLAB根轨迹求解法：反馈控制系统的全部性质，取决于系统的闭环传递函数，而闭环传递函数对系统性能 的影响，又可用其闭环零、极点来表示在MATLAB的开环根轨迹图上反映了系统的全 部闭环零、极点在S平面的分布情况，将容易求得临界稳定增益Ko线性系统稳定的充分必要条件为：系统的全部闭环极点均位于左半S平面，当被测 系统为条件稳定时，其根轨迹与S平面虚轴的交点即是其临界稳定条件模拟电路的各环节参数代入式（3.1.4）,该电路的开环传递函数为:(3-1-6)0.05 S 3 + 0.6 S 2 + SKS (0.1S + 1)(0.5 S + 1)据式(3-1-6)化简为：G(S) _ 20K 根轨迹增益 K = 20K-S 3 +12 S 2 + 20 S g(3-1-9)该电路的闭环传递函数为：丄 K0 (S) _ gS 3 +12 S 2 + 20 S + Kg进入MATLAB--rlocus(num,den)，按式(3-1-9)设定: num=[20];den=[1 12 20 0];rlocus(num,den) v=[-11.5 0.5 -6 6];axis(v)grid得到按式(3-1-9)绘制的MATLAB开环根轨迹图，如图3-1-18所示Syst&m: sysGain: 12在图3-1-18的根轨迹上找到虚轴的交点（实轴值为0）,即为系统的临界稳定增益:WXV 常匚K（Gain）=12。
当Ti，T为其他值时的K的理论值计算方法一样，不再——详述2.运用MATLAB的开环根轨迹法，求解闭环系统超调量Mp为30%的稳定增益，並画出 其系统模拟电路图和阶跃响应曲线（调整被测对象的增益K （R值）来改变增益）Tl=0.1, T2=0.5时，等幅震荡A1= 1.4^0JGt1■ft"时伺it程g住z蝕辛恃i!E「雷麻一(» Ktr i—y20 KS 3 +12 S 2 + 20 S用Matlab画图计算临界增益 num=[20];den=[1 12 20 0];rlocus(num,den) v=[-11.5 0.5 -6 6]; axis(v)System: sysGain: 11.9Root Locus2«-x
20 K当TM，说5时,开环传递函数G（S）= $3 + 12S； + 20S，闭环传递函数°⑸=S3 + 12S二2S + 20K，闭环系统超调量MP为30%时，K49%%求出闭环极点，去除非主导极点den=[l 12 20 20*2.29]roots(den)%% ans =-10.5119 -0.7441 + 1.9502i -0.7441 - 1.9502istep([4.357],[1,0.7441*2,4.357])hold onstep([2.29*20],[0.05*20,0.6*20,1*20,2.29*20])hold off实验结果分析：实验结果表明等效二阶阶跃响应曲线与实际三阶系统阶跃响应曲线非常接近，证明利用 主导极点可简化系统的设计与实现但是两图不完全一样，这是由于两者相差了一个闭环非 主导极点所造成的。