处理斜碰问题的三种方法李忠相【摘 要】对于两个光滑小球的弹性斜碰问题，可以有3种较为简便的处理方法： 将运动分解到连心线和垂直于连心线的方向处理；在质心参考系中处理和借助动量 三角形处理运用该3种方法讨论了被碰小球静止的情况下两球的碰后速度以及 速度夹角的问题期刊名称】《物理通报》年(卷),期】2014(000)005【总页数】3页(P35-36,37)关键词】 斜碰;动量守恒定律;机械能守恒定律;恢复系数;质心参考系作 者】 李忠相作者单位】 重庆市第一中学校 重庆 400030正文语种】 中 文碰撞前后两物体的速度在同一条直线上的碰撞称为正碰，不满足这一条件的碰撞称 为斜碰．一般情况下，斜碰是三维问题，碰后两物体的速度与碰前速度不一定共面， 但若碰前一个物体静止，则这种碰撞是二维问题．碰撞前后总动能不变的碰撞称为 弹性碰撞，碰撞前后总动能变化的碰撞称为非弹性碰撞．斜碰过程中，如果两个物 体光滑，没有摩擦，碰后两物体只有平动没有转动；如果两物体间有摩擦，碰后物 体既有平动又有转动．为了简单起见，这里讨论两个光滑小球间的弹性斜碰，并且碰前一个小球处于静止 状态．如图 1 所示，质量为 m1 的小球以速度 u1 射向质量为 m2 的静止小球．碰后两小球的速度分别记为V1和v2，其散射角（与入射速度u1的夹角）分别记为01和 02.图1碰撞过程动量守恒，有mlul 二m1v1cos01 + m2v2cos020 = m1v1sin01-m2v2sin02如果是弹性碰撞，有其中被撞小球的散射角02由瞄准距离b以及两小球的尺寸决定•若将02视为已知量，理论上利用这些方程即可讨论这种斜碰的全部规律，但实际运算却十分繁琐•下面介绍3种较为简洁的处理方法.1 将运动分解到连心线和垂直于连心线方向处理如图2，把碰撞前后的速度都分解到连心线方向（y轴）和垂直于连心线方向（x 轴）.在连心线方向，相当于一次正碰；在垂直于连心线方向，由于没有作用力， 二者的分速度均不发生变化•值得注意的是，被撞小球的散射方向即是连心线方向. 图2在x方向，易得v1x = u1sin02在 y 方向，系统动量守恒，有m1u1cos02 = m1v1y + m2v2弹性碰撞的恢复系数e二1,有u1cos02 = v2 - v1y解得于是容易发现，若ml二m2,则vly二0,碰后两球速度夹角（01 + 02 ）为直角；若 m1>m2,则v1y>0,碰后两球速度夹角为锐角；若m1vm2,则vlyvO,碰 后两球速度夹角为钝角．2在质心参考系（C系）中处理两小球组成的系统质心速度为在质心参考系（C系）中，碰前两小球的速度大小分别为图3若碰后速度分别记为v1C和v2C,碰撞过程动量守恒和弹性碰撞恢复系数e二1,有m1u10 - m2u20 二 m1v1C - m2v2Cu10 + u20 二 v1C + v2C解得 v1C = u10 v2C = u20 这表明,在质心参考系中,弹性碰撞只改变速度的方向而不改变其大小．实验室参考系（L系）中，两小球碰后速度与质心参考系（C系）中的速度关系如 图4所示•由于v2C二u20二vC,v2与v2C的夹角也为02,于是图4考虑到v1C + v2C二ul,由余弦定理，有由正弦定理，有代入即可求得vi和ei.如图5所示，以vC的末端为圆心，以vC的大小为半径作辅助圆•若mi二m2, 则vie二v2C二vC ,碰后两球速度的夹角（01 + 02 ）为直角；若m1>m2,则 v1C vv2C二vC ,碰后两球速度夹角为锐角；若mivm2,则viC > v2C二vC , 碰后两球速度夹角为钝角.图53 借助动量三角形处理碰前mi的动量记为piO,碰后两小球的动量分别记为pi和p2，贝Upio = pi + p2可用图6所示的动量三角形表示.图6弹性碰撞前后总动能不变,有由余弦定理,有容易解得由正弦定理,有代入即可求得pi和0i. 同样地，若ml二m2,则，由勾股定理易知，碰后两球速度夹角（01 + 02 ）为直 角；若m1>m2,贝L碰后两球速度夹角为锐角；若ml vm2,贝L碰后两球速 度夹角为钝角．当然，若已知量不是02 ，或碰撞过程还有其他形式的能量参与，这 3种方法也会 在计算繁简上出现较大的差异．一般来说，在质心参考系中，由于总动量等于零， 碰撞过程最为简洁，所以，转换到质心系应是处理这类问题的首选策略．参考文献【相关文献】1 郑永令．碰撞与质心系．物理教学，2010 （10 ）：9。