概率论与数理统计及其应用习题解答9公寓429:18943549307第1章 随机变量及其概率1，写出下列试验的样本空间：连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数连续投掷一颗骰子直至6个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况抛一枚硬币，若出现H则再抛一次；若出现T，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果解：（1）；（2）；（3）；（4）2，设是两个事件，已知，求解：，，，5，袋中有5只白球，4只红球，3只黑球，在其中任取4只，求下列事件的概率1）4只中恰有2只白球，1只红球，1只黑球2）4只中至少有2只红球3）4只中没有白球解: （1）所求概率为；（2） 所求概率为；（3）所求概率为8，（1）设，求,.（2）袋中有6只白球，5只红球，每次在袋中任取1只球，若取到白球，放回，并放入1只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球连续取球4次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率解：（1）由题意可得，所以， ，，，2）设表示“第次取到白球”这一事件，而取到红球可以用它的补来表示那么第一、二次取到白球且第三、四次取到红球可以表示为，它的概率为（根据乘法公式） 。
10，一医生根据以往的资料得到下面的讯息，他的病人中有5%的人以为自己患癌症，且确实患癌症；有45%的人以为自己患癌症，但实际上未患癌症；有10%的人以为自己未患癌症，但确实患了癌症；最后40%的人以为自己未患癌症，且确实未患癌症以表示事件“一病人以为自己患癌症”，以表示事件“病人确实患了癌症”，求下列概率1）；（2）；（3）；（4）；（5）解：（1）根据题意可得；；（2）根据条件概率公式：；（3）；（4）；（5）14，一种用来检验50岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确实患关节炎的病人有85%的给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有4%会认为他患关节炎已知人群中有10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有关节炎的概率解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件，“一名被检验者确实患有关节炎”记为事件根据全概率公式有 ，所以，根据条件概率得到所要求的概率为 即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为17.06%.15，计算机中心有三台打字机A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01, 0.05, 0.04。
已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在A,B,C上打字的概率分别为多少？解：设“程序因打字机发生故障而被破坏”记为事件，“程序在A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件则根据全概率公式有 ，根据Bayes公式，该程序是在A,B,C上打字的概率分别为，，21，用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为0.9，据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4，0.6今独立地对一产品进行了3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率注：本题较难，灵活应用全概率公式和Bayes公式）解：设“一产品真含有杂质”记为事件，“对一产品进行3次检验，结果是2次检验认为含有杂质，而1次检验认为不含有杂质”记为事件则要求的概率为，根据Bayes公式可得又设“产品被检出含有杂质”记为事件，根据题意有，而且，，所以；故， 第二章随机变量及其分布2，水自A处流至B处有3个阀门1，2，3，阀门联接方式如图所示当信号发出时各阀门以0.8的概率打开，以X表示当信号发出时水自A流至B的通路条数，求X的分布律。
设各阀门的工作相互独立解：X只能取值0，1，2设以记第个阀门没有打开这一事件则，类似有，AB213,综上所述，可得分布律为 X0120.0720.5120.4166，（1）设一天内到达某港口城市的油船的只数X~，求（2）已知随机变量X~，且有，求解：（1）；（2）根据，得到8，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以X表示铃响至结束讲解的时间设X的概率密度为， （1）确定；（2）求；（3）求；（4）求解：（1）根据，得到；（2）；（3）；（4）9，设随机变量X的概率密度为，求t的方程有实根的概率解：方程有实根表明，即，从而要求或者因为， 所以方程有实根的概率为0.001+0.936=0.937.12，（1）设随机变量Y的概率密度为试确定常数C，求分布函数，并求，2）设随机变量X的概率密度为求分布函数，并求，解：（1）根据，得到14,设一加油站有两套用来加油的设备，设备A是加油站的工作人员操作的，设备B是有顾客自己操作的A，B均有两个加油管随机取一时刻，A，B正在使用的软管根数分别记为X，Y，它们的联合分布律为YX01200.100.080.0610.040.200.1420.020.060.30求，；求至少有一根软管在使用的概率；求，。
解：（1）由表直接可得=0.2，=0.1+0.08+0.04+0.2=0.42（2）至少有一根软管在使用的概率为（3）=0.1+0.2+0.3=0.616，设随机变量（X，Y）在由曲线所围成的区域均匀分布求（X，Y）的概率密度；求边缘概率密度解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度必定是一常数，故由，得到2）；22，（1）设一离散型随机变量的分布律为-1 0 1 又设是两个相互独立的随机变量，且都与有相同的分布律求的联合分布律2）问在14题中是否相互独立？解：（1）由相互独立性，可得的联合分布律为，结果写成表格为Y1 Y2-101-1012）14题中，求出边缘分布律为YX01200.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.380.160.340.501很显然，，所以不是相互独立23，设是两个相互独立的随机变量，，的概率密度为试写出的联合概率密度，并求解：根据题意，的概率密度为所以根据独立定，的联合概率密度为24，设随机变量具有分布律-2 -1 0 1 3 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 求的分布律。
解：根据定义立刻得到分布律为1 2 5 10 1/5 7/30 1/5 11/30 25，设随机变量，求的概率密度解：设的概率密度分别为，的分布函数为则当时，，；当时，， 26，（1）设随机变量的概率密度为求的概率密度2）设随机变量，求的概率密度3）设随机变量，求的概率密度解：设的概率密度分别为，分布函数分别为则（1）当时，，；当时，， 2）此时因为， 故， ，所以，3）当时，，故， 30随机变量X和Y的概率密度分别为，，X,Y相互独立求的概率密度解： 根据卷积公式，得，所以的概率密度为34，设随机变量X和Y的联合分布律为求的分布律求的分布律求的分布律YX01201/121/61/2411/41/41/4021/81/20031/12000解：（1）的分布律为如，，其余类似结果写成表格形式为0 1 2 3 1/12 2/3 29/120 1/120 （2）的分布律为如，，其余类似。
结果写成表格形式为0 1 27/40 13/40 （3）的分布律为如，，其余类似结果写成表格形式为0 1 2 3 1/12 5/12 5/12 1/12 随机变量的数字特征.第3章 随机变量的数字特征3，解：根据古典概率公式，取到的电视机中包含的次品数分别为0，1，2台的概率分别为， ， 所以取到的电视机中包含的次品数的数学期望为5，解：（1）根据，可得，因此计算得到，即所以=62）根据题意，按照数学期望的公式可得，因此期望存在利用了）（不符书上答案）6，解：（1）一天的平均耗水量为 （百万升）2）这种动物的平均寿命为（年）8，解：11，解：R的概率密度函数为，所以14，解：求出边缘分布律如下YX01203/289/283/2815/2813/143/14012/2821/28001/2810/2815/283/281， ，，，16，解：，，17，解：根据题意，可得利润的分布律为2000 1000 0 -1000 -2000 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1（元）。
21，解：（1）根据14题中结果，得到；因为， ，所以，， 2）根据16题结果可得：；因为 ，，所以，，，3）在第2章14题中，由以下结果YX01200.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.380.160.340.501得到，，，，，，所以，；，,.22，解：根据题意有 第4章 正态分布1，（1）设，求，，；（2）设，且，，求解：（1），（2），所以；，所以，即2，设，求，解：因为，所以3，（1）设，试确定，使得2）设，试确定，使得解：（1）因为所以得到,即，2）因为，所以，即，从而，4，已知美国新生儿的体重（以g计）求；在新生儿中独立地选25个，以Y表示25个新生儿的体重小于2719的个数，求解：根据题意可得1） （或0.8673） （2），根据题意，所以5，设洗衣机的寿命（以年计），一洗衣机已使用了5年，求其寿命至少为8年的条件概率解：所要求的概率为8，将一温度调节器放置在储存着某种液体的容器内，调节器整定在，液体的温度（以计）是一个随机变量，且，若，求小于89的概率；若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问至少为多少？解：因为，所以。
1）；（2）若要求，那么就有，即或者，从而，最后得到，即至少应为81.16310，（1）某工厂生产螺栓和垫圈螺栓直径（以mm计），垫圈直径（以mm计），相互独立随机地取一只螺栓，一只垫圈，求螺栓能装入垫圈的概率2）在（1）中若，，问控制至多为多少才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于0.90解：（1）根据题意可得螺栓能装入垫圈的概率为2），所以若要控制，即要求，计算可得表明至多为0.3348才能使螺栓能装入垫圈的概率不小于0.9012，（1）设随机变量，已知，，求和；（2）相互独立且都服从标准正态分布，求解：（1）由，得到；，得到；联立和，计算得到2）由相互独立且都服从标准正态分布，得到故所以第5章 样本及抽样分布1,设总体X服从均值为1/2的指数分布，是来自总体的容量为4的样本，求（1）的联合概率密度；（2）；（3）；（4），；（5）解：因为X的概率密度为，，所以联合概率密度为，（）（2）的联合概率密度为，所以（3） ；（4），（由独立性）；（5）3，设总体，是来自的容量为3的样本，求（1）；（2）解：（1）因为相互独立，所以；（2）4，（1）设总体，是来自的容量为36的样本，求；（2）设总体，是来自的容量为5的样本，求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。
解：（1）根据题意得，所以 ；因为， 所以5，求总体的容量分别为10和15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率解：设容量分别为10和15的两独立样本的样本均值分别记为和，则，，所以， 第6章 参数估计1，设总体未知，是来自 的样本求的矩估计量今测得一个样本值0.5，0.6，0.1，1.3，0.9，1.6，0.7，0.9，1.0，求的矩估计值解：因为总体，所以总体矩根据容量为9的样本得到的样本矩令总体矩等于相应的样本矩：，得到的矩估计量为把样本值代入得到的矩估计值为2，设总体具有概率密度，参数未知，是来自的样本，求的矩估计量解：总体的数学期望为，令可得的矩估计量为5，（1）设服从参数为的几何分布，其分布律为参数未知设是一个样本值，求的最大似然估计值2）一个运动员，投篮的命中率为，以表示他投篮直至投中为止所需的次数他共投篮5次得到的观察值为5 1 7 4 9求的最大似然估计值解：（1）似然函数为 ，相应的对数似然函数为 令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为2）根据（1）中结论，的最大似然估计值为8，设总体具有分布律1 2 3 其中参数未知。
已知取得样本值，试求的最大似然估计值解：根据题意，可写出似然函数为，相应的对数似然函数为 令对数似然函数对的一阶导数为零，得到的最大似然估计值为11，已知是来自均值为的指数分布总体的样本，其中未知设有估计量， ， 指出中哪几个是的无偏估计量在上述的无偏估计量中哪一个较为有效？解：（1）因为 ，所以，是的无偏估计量2）根据简单随机样本的独立同分布性质，可以计算出，所以，是比更有效的无偏估计量12，以X表示某一工厂制造的某种器件的寿命（以小时计），设，今取得一容量为的样本，测得其样本均值为，求（1）的置信水平为0.95的置信区间，（2）的置信水平为0.90的置信区间解：这是一个方差已知的正态总体均值的区间估计问题根据标准的结论，的置信水平为的置信区间为1）的置信水平为0.95的置信区间为2）的置信水平为0.90的置信区间为14，一农场种植生产果冻的葡萄，以下数据是从30车葡萄中采样测得的糖含量（以某种单位计）16.0, 15.2, 12.0, 16.9, 14.4, 16.3, 15.6, 12.9, 15.3, 15.115.8, 15.5, 12.5, 14.5, 14.9, 15.1, 16.0, 12.5, 14.3, 15.415.4, 13.0, 12.6, 14.9, 15.1, 15.3, 12.4, 17.2, 14.7, 14.8设样本来自正态总体，均未知。
求的无偏估计值求的置信水平为90%的置信区间解：（1）的无偏估计值为， 2）的置信水平为90%的置信区间为15，一油漆商希望知道某种新的内墙油漆的干燥时间在面积相同的12块内墙上做试验，记录干燥时间（以分计），得样本均值分，样本标准差分设样本来自正态总体，均未知求干燥时间的数学期望的置信水平为0.95的置信区间解：这是一个方差未知的正态总体均值的区间估计问题根据已知结论，干燥时间的数学期望的置信水平为0.95的置信区间为16，Macatawa湖（位于密歇根湖的东侧）分为东、西两个区域下面的数据是取自西区的水的样本，测得其中的钠含量（以ppm计）如下：13.0, 18.5, 16.4, 14.8, 19.4, 17.3, 23.2, 24.9, 20.8, 19.3, 18.8, 23.1, 15.2, 19.9, 19.1, 18.1, 25.1, 16.8, 20.4, 17.4, 25.2, 23.1, 15.3, 19.4, 16.0, 21.7, 15.2, 21.3, 21.5, 16.8, 15.6, 17.6设样本来自正态总体，均未知求的置信水平为0.95的置信区间。
解：根据题中数据，计算可得样本均值，样本方差的置信水平为0.95的置信区间为17，设X是春天捕到的某种鱼的长度（以cm计），设，均未知下面是X的一个容量为13的样本：13.1, 5.1, 18.0, 8.7, 16.5, 9.8, 6.8, 12.0, 17.8, 25.4, 19.2, 15.8, 23.0求的无偏估计；求的置信水平为0.95的置信区间解：根据题中数据计算可得方差的无偏估计即为样本方差的置信水平为0.95的置信区间为，所以的置信水平为0.95的置信区间为18，为比较两个学校同一年级学生数学课程的成绩，随机地抽取学校A的9个学生，得分数的平均值为，方差为；随机地抽取学校B的15个学生，得分数的平均值为，方差为设样本均来自正态总体且方差相等，参数均未知，两样本独立求均值差的置信水平为0.95的置信区间解：根据两个正态总体均值差的区间估计的标准结论，均值差的置信水平为0.95的置信区间为19，设以X,Y分别表示有过滤嘴和无过滤嘴的香烟含煤焦油的量（以mg计），设，，均未知下面是两个样本X: 0.9, 1.1, 0.1, 0.7, 0.3, 0.9, 0.8, 1.0, 0.4Y: 1.5, 0.9, 1.6, 0.5, 1.4, 1.9, 1.0, 1.2, 1.3, 1.6, 2.1两样本独立。
求的置信水平为0.95的置信区间解：根据题中数据计算可得，未完）根据两个正态总体方差比的区间估计的标准结论，的置信水平为0.95的置信区间为20，设以X,Y分别表示健康人与怀疑有病的人的血液中铬的含量（以10亿份中的份数计），设，，均未知下面是分别来自X和Y的两个独立样本：X: 15, 23, 12, 18, 9, 28, 11, 10Y: 25, 20, 35, 15, 40, 16, 10, 22, 18, 32求的置信水平为0.95的单侧置信上限，以及的置信水平为0.95的单侧置信上限解：根据题中数据计算得到，的置信水平为0.95的单侧置信上限为的置信水平为0.95的单侧置信上限为，所以，的置信水平为0.95的单侧置信上限为21，在第17题中求鱼长度的均值的置信水平为0.95的单侧置信下限解：根据单侧区间估计的结论，正态总体均值的置信水平为0.95的单侧置信下限为第7章 假设检验1，一车床工人需要加工各种规格的工件，已知加工一工件所需的时间服从正态分布，均值为18分，标准差为4.62分现希望测定，是否由于对工作的厌烦影响了他的工作效率今测得以下数据：21.01, 19.32, 18.76, 22.42, 20.49, 25.89, 20.11, 18.97, 20.90试依据这些数据（取显著性水平），检验假设：。
解：这是一个方差已知的正态总体的均值检验，属于右边检验问题，检验统计量为代入本题具体数据，得到检验的临界值为因为，所以样本值落入拒绝域中，故拒绝原假设，即认为该工人加工一工件所需时间显著地大于18分钟2，《美国公共健康》杂志（1994年3月）描述涉及20143个个体的一项大规模研究文章说从脂肪中摄取热量的平均百分比是38.4%（范围是6%到71.6%），在某一大学医院进行一项研究以判定在该医院中病人的平均摄取量是否不同于38.4%，抽取了15个病人测得平均摄取量为40.5%，样本标准差为7.5%设样本来自正态总体，均未知试取显著性水平检验假设：解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于双边检验问题，检验统计量为代入本题具体数据，得到检验的临界值为因为，所以样本值没有落入拒绝域中，故接受原假设，即认为平均摄取量显著地为38.4%3，自某种铜溶液测得9个铜含量的百分比的观察值为8.3，标准差为0.025设样本来自正态总体，均未知试依据这一样本取显著性水平检验假设：解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于左边检验问题，检验统计量为代入本题具体数据，得到检验的临界值为因为（或者说），所以样本值落入拒绝域中，故拒绝原假设，即认为铜含量显著地小于8.42%。
4，测得某地区16个成年男子的体重（以公斤计）为77.18, 80.81, 65.83, 66.28, 71.28, 79.45, 78.54, 62.2069.01, 77.63, 74.00, 77.18, 61.29, 72.19, 90.35, 59.47设样本来自正态总体，均未知，试取检验假设：解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于双边检验问题，检验统计量为代入本题具体数据，得到检验的临界值为因为，所以样本值没有落入拒绝域中，故接受原假设，即认为该地区成年男子的平均体重为72.64公斤5，一工厂的经理主张一新来的雇员在参加某项工作之前至少需要培训200小时才能成为独立工作者，为了检验这一主张的合理性，随机选取10个雇员询问他们独立工作之前所经历的培训时间（小时）记录如下208， 180，232，168，212，208，254，229，230，181设样本来自正态总体，均未知试取检验假设：解：这是一个方差未知的正态总体的均值检验，属于右边检验问题，检验统计量为代入本题具体数据，得到检验的临界值为因为，所以样本值没有落入拒绝域中，故接受原假设，即认为培训时间不超过200小时。
6，一制造商声称他的工厂生产的某种牌号的电池的寿命的方差为5000（小时2），为了检验这一主张，随机地取26只电池测得样本方差为7200小时2，有理由认为样本来自正态总体现需取检验假设解：这是一个正态总体的方差检验问题，属于双边检验检验统计量为代入本题中的具体数据得到检验的临界值为 因为，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为电池寿命的方差为5000小时27，某种标准类型电池的容量（以安-时计）的标准差，随机地取10只新类型的电池测得它们的容量如下146，141，135，142，140，143，138，137，142，136设样本来自正态总体，均未知，问标准差是否有变动，即需检验假设（取）：解：这是一个正态总体的方差检验问题，属于双边检验问题检验统计量为代入本题中的具体数据得到检验的临界值为 因为，所以样本值落入拒绝域，因此拒绝原假设，即认为电池容量的标准差发生了显著的变化，不再为1.668，设X是一头母牛生了小牛之后的305天产奶期内产出的白脱油磅数又设X~，均未知今测得以下数据： 425，710，661，664，732，714，934，761，744， 653，725，657，421，573，535，602，537，405，874，791，721，849，567，468，975试取显著性水平检验假设。
解：题中所要求检验的假设实际上等价于要求检验假设这是一个正态总体的方差检验问题，属于右边检验检验统计量为代入本题中的具体数据得到检验的临界值为 因为，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为标准差不大于1409，由某种铁的比热的9个观察值得到样本标准差设样本来自正态总体，均未知试检验假设（）解：题中所要求检验的假设实际上等价于要求检验假设这是一个正态总体的方差检验问题，属于左边检验检验统计量为代入本题中的具体数据得到检验的临界值为 因为，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为标准差不小于0.010014，测定家庭中的空气污染令X和Y分别为房间中无吸烟者和有一名吸烟者在24小时内的悬浮颗粒量（以计）设， ，均未知今取到总体X的容量的样本，算得样本均值为，样本标准差为；取到总体Y的容量为11的样本，算得样本均值为，样本标准差为，两样本独立1）试检验假设()： 2）如能接受，接着检验假设()： 解：（1）这是一个两个正态总体的方差之比的检验问题，属于双边检验检验统计量为 代入本题中的具体数据得到检验的临界值为因为，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为两总体方差相等。
2）因为两总体方差相等，所以这是一个方差相等的两个正态总体的均值之差的检验问题，属于左边检验检验统计量为代入本题中的具体数据得到检验的临界值为因为，所以样本值落入拒绝域，因此拒绝原假设，即认为有吸烟者的房间悬浮颗粒显著大于没有吸烟者的房间15，分别在两种牌号的灯泡中各取样本容量为的样本，测得灯泡的寿命（以小时计）的样本方差分别为设两样本独立，两总体分别为，分布，均未知试检验假设()： 解：这是一个两个正态总体的方差之比的检验问题，属于右边检验检验统计量为 代入本题中的具体数据得到检验的临界值为因为，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为第一个总体的方差不比第二个总体的方差大16，在第13题中检验假设（取）以说明在该题中我们假设是合理的解：这是一个两个正态总体的方差之比的检验问题，属于双边检验检验统计量为 ，代入第13题中的具体数据得到检验的临界值为因为，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为两总体方差相等17，将双胞胎分开来抚养，一个由父母亲自带大，另一个不是由父母亲自带大现取14对双胞胎测试他们的智商，智商测试得分如下，双胞胎序号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14父母亲代大23 31 25 18 19 25 28 18 25 28 22 14 34 36非父母带大22 31 29 24 28 31 27 15 23 27 26 19 30 28设各对数据的差是来自正态总体的样本，均未知。
问是否可以认为在两种不同的环境中长大的孩子，其智商得分是不一样的即检验假设（取）解：本题要求一个基于成对数据的检验，双边检验检验统计量为代入本题中的具体数据得到检验的临界值为因为，所以样本值没有落入拒绝域，因此接受原假设，即认为两种环境中长大的孩子智商没有显著差异。