圆 1.（2013昌平一摸19）如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，延长AB到E，使BE=AB，连接CE.（1）求证：直线CE是⊙O的切线；（2）连接OE交BC于点F，若OF=2 , 求EF的长.2.（2013朝阳一摸20）如图，⊙O是△ABC是的外接圆，BC为⊙O直径，作∠CAD=∠B，且点D在BC的延长线上．(1)求证：直线AD是⊙O的切线；(2)若sin∠CAD =，⊙O的半径为8，求CD长．3.（2013东城一摸21）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线 交OE的延长线于点F，连结CF并延长交BA的延长线于点P.（1）求证：PC是⊙O的切线.（2）若AB=4，∶=1∶2，求CF的长. 4.（2013房山一摸20）如图，BC为半⊙O的直径，点A，E是半圆周上的三等分点， ，垂足为D，联结BE交AD于F，过A作∥BE交CB的延长线于G．（1）判断直线AG与⊙O的位置关系，并说明理由．第20题图（2）若直径BC=2，求线段AF的长．5.（2013海淀一摸20）已知：如图，在△中，．以为直径的⊙交于点，过点作⊥于点.(1)求证：与⊙相切；(2)延长交的延长线于点.若，=求线段的长. 6.（2013怀柔一摸20）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.7.（2013门头沟一摸20）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，M为AB上一点，过点M作DM⊥AB，交弦AC于点E，交⊙O于点F，且DC＝DE．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）如果DM＝15，CE＝10，，求⊙O半径的长．8.（2013密云一摸20）如图，分别与相切于点，点在上，且，，垂足为．（1）求证：；（2）若的半径，，求的长． 9.（2013平谷一摸20）如图，是的直径，点在上，的平分线交于点，过点作的垂线交的延长线于点，连接交于点.（1）求证：是的切线；（2）若，求的长. 10.（2013石景山一摸20）如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=1，ED=2.(1)求证：∠ABC=∠ADB；(2)求AB的长；(3)延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由． 11.（2013顺义一摸20）如图，已知，以为直径的交于点，点为的中点，连结交于点，且.（1）判断直线与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若的半为2,,求的长. 12.（2013通州一摸21）已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦．过点A作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E．EA BCDO （1）求证：直线ED是⊙O的切线；（2）连接EO，交AD于点F，若5AC=3AB，求的值．13.（2013西城一摸20）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作FE⊥AB于点E，交AC的延长线于点F． (1) 求证：EF与⊙O相切； (2) 若AE=6，sin∠CFD=，求EB的长．14.（2013延庆一摸23）如图，AB是⊙O的直径，AC和BD是它的两条切线，CO平分∠ACD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC=2，BD=3，求AB的长． 15.（2013燕山一摸20）如图，△ABC中，AC ＝B C ．以B C为直径作⊙O交AB于点D，交AC 于点G．作直线DF⊥AC交AC于点，交的延长线于点．⑴求证：直线EF是⊙O 的切线；⑵若BC＝6，AB＝4，求DE的长．16.（2013朝阳二摸20）如图，在△ABC中，AC=BC，D是BC上的一点，且满足∠BAD＝∠C，以AD为直径的⊙O与AB、AC分别相交于点E、F. （1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）连接EF，若tan∠AEF＝，AD＝4，求BD的长.17.（2013丰台二摸20）已知：如图，直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过点C作CD⊥PA，垂足为点D．ABPOCDE（1）求证：CD与⊙O相切；（2）若tan∠ACD=，⊙O的直径为10，求AB的长．18.（2013海淀二摸20）如图，△ABC中，E是AC上一点，且AE=AB，,以AB为直径的⊙交AC于点D，交EB于点F.(1)求证：BC与⊙O相切；(2)若,求AC的长．19.（2013西城二摸21）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O与BC边的交点D恰好为BC的中点，过点D作⊙O的切线交AC边于点E． (1) 求证：DE⊥AC；(2) 连结OC交DE于点F，若，求的值．20.（2013东城二摸21）如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，∠B=60°，AC=3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP=AC． （1）求证：AP是⊙O的切线； （2）求PD的长．第六章 圆参考答案1.（2013昌平一模19）（1）证明：连接OC∵四边形ABCD是的内接正方形，∴AB=BC，CO平分∠DCB，∠DCB=∠ABC=90°. ∴∠1=45°，∠EBC=90°.∵AB=BE，∴BC=BE.∴∠2=45°.∴∠OCE=∠1+∠2 = 90°.∵点C在上，∴直线CE是的切线. …………………………… 2分（2）解：过点O作OM⊥AB于M, ∴. ∴. ……………………………………3分 ∵FB⊥AE, ∴FB∥OM .∴△EFB∽△EOM . ………………………………………………4分∴.∴.∴EF = 4. …………………………………………………………5分2.（2013朝阳一模20）（1）证明：连接OA.∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC=90°. ……………………………………………………………………………1分∴∠B+∠ACB=90°. ∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA.∵∠CAD=∠B，∴∠CAD+∠OAC=90°.即∠OAD=90°.∴OA⊥AD.∴AD是⊙O的切线. ……………………………………………………………………2分(2) 解：过点C作CE⊥AD于点E.∵∠CAD=∠B,∴sinB =sin∠CAD =.………………………………………………………………3分∵⊙O的半径为8，∴BC=16. ∴AC= .∴在Rt△ACE中，CE=2.…………………………………………4分∵CE⊥AD, ∴∠CED=∠OAD=90°. ∴CE∥OA.∴△CED ∽△OAD.∴.设CD=x，则OD=x+8.即.解得x=.所以CD=.………………………………………………………………………………5分3.（2013东城一模21）（本小题满分5分）解：（1）证明：连结OC ．∵ OE⊥AC， ∴ AE=CE ． ∴ FA=FC． ∴ ∠FAC=∠FCA．∵ OA=OC，∴ ∠OAC=∠OCA． ∴ ∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA． 即∠FAO=∠FCO ． ∵ FA与⊙O相切，且AB是⊙O的直径， ∴ FA⊥AB． ∴ ∠FCO=∠FAO=90°． ∴ PC是⊙O的切线． ………………………………………………… 2分（2）∵∠PCO=90°， 即∠ACO +∠ACP =90°. 又∵∠BCO+∠ACO =90°，∴ ∠ACP=∠BCO.∵ BO=CO，∴ ∠BCO=∠B.∴ ∠ACP=∠B.∵ ∠P公共角，∴ △PCA∽△PBC . ∴ . ∵ ∶=1∶2， ∴ . ∵ ∠AEO=∠ACB=90°，∴ OF∥BC.∴ .∴ .∴ .∵ AB=4，∴ AO=2 .∴ AF=1 .∴ CF=1 . ………………5分4.（2013房山一模20）解：（1）直线AG与⊙O相切. ------------------------------1分证明：连接OA，∵点A，E是半圆周上的三等分点，ABCEDFGO∴弧BA、AE、EC相等，∴点A是弧BE的中点，∴OA⊥BE．又∵AG∥BE，∴OA⊥AG．∴直线AG与⊙O相切． ------------ -----------------------------2分（2）∵点A，E是半圆周上的三等分点，∴∠AOB=∠AOE=∠EOC=60°．又OA=OB，∴△ABO为正三角形． ---------------------------------3分又AD⊥OB，OB=1，∴BD=OD=， AD=． ------------------------------------------4分又∠EBC==30°，在Rt△FBD中， FD=BDtan∠EBC= BD tan30°=，∴AF=ADDF=-= --------------------------------------------5分5.（2013海淀一模20）(1)证明：连接. ………………………1分∵=,∴.又∵,∴.∴.∴∥.∵⊥于,∴⊥.∵点在⊙上，∴与⊙相切. ………………………2分 (2)解：连接.∵为⊙的直径，∴∠=90°.∵=6，=， ∴=.………………3分∵，∴.∴在△中，∠=90°.∵，∴. ………………………4分又∵∥，∴△∽△.∴.∵,∴.∴.∴. ………………………5分6.（2013怀柔一模20）解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO ∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB ∴∠A=∠ACO=∠PCB ……………………………1分 ∵AB是⊙O的直径 ∴∠ACO+∠OCB=90° ∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP ∵OC是⊙O的半径 ∴PC是⊙O的切线 …………………………………………………2分 （2）连接MA,MB ∵点M是的中点∴ ∴∠BCM=∠ABM ……………………3分 ∵∠BMC=∠BMN ∴△MBN∽△MCB ∴ ∴BM2=MC·MN ……………………4分 ∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM ∴∠AMB=90°,AM=BM∵AB=4 ∴BM= ∴MC·MN=BM2=8 ……………………………………………………5分7.（2013门头沟一模20）（1）证明：如图1，连结OC．∵OA＝OC，DC＝DE，∴∠A＝∠OCA，∠DCE＝∠DEC．又∵DM⊥AB，∴∠A＋∠AEM＝∠OCA＋∠DEC＝90°．∴∠OCA＋∠DCE＝∠OCD＝90°．∴DC是⊙O的切线．………………………2分（2）解：如图2，过点D作DG⊥AC于点G，连结BC．∵DC＝DE，CE＝10，∴EG＝CE＝5．∵cos∠DEG＝cos∠AEM＝＝，∴DE＝13．∴DG＝＝12．∵DM＝15，∴EM＝DMDE＝2．…………3分∵∠AME＝∠DGE＝90°，∠AEM＝∠DEG，∴△AEM∽△DEG．∴．∴．∴，． ∴．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°． ∴cosA＝．∴．…………4分∴⊙O的半径长为． ………………………………………………5分8.（2013密云一模20）（1）连接，则． ∵， ∴．……………………………...分 ∵， ∴四边形是矩形．………………..2分 ∴． （2）连接，则．……………3分 ∵，，， ∴，． ∴…………………4分 ∴． 设，则． 在中，有． ∴．即．…………………….5分9.（2013平谷一模20）解：（1）证明：连结，则． ∴ ∵ 平分∴ ,∴ ． ………………………………….1分 ∴ ． ∵ ，即，∴ ，即．∴ 与相切．……………………………..2分 （2）连结．∵是的直径，∴． ∴ ……………………………………………………….3分∵ ．∴ ∴ ，即，得．∴ ． …………………………………………………4分 可证∴ ∴ ……5分10.（2013石景山一模20）(1)证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，又∵∠C=∠D，∴∠ABC=∠ADB. …………1分(2) ∵∠ABC=∠ADB又∵∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB， …………………………2分∴，∴AB2=AD·AE=(AE＋ED)·AE=(1＋2)×1=3，∴AB=．…………3分(3) 直线FA与⊙O相切，理由如下：联结OA，∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD=90°，∴，………………………………………4分BF=BO=，∵AB=，∴BF=BO=AB，可证∠OAF=90°，∴直线FA与⊙O相切．………………………………………5分11.（2013顺义一模20）⑴ 与⊙O相切证明：连接， ∵是的直径 ∴ ∴ ∵ ∴ 又 ∵为的中点 ∴ …………………………1分 ∴ 即 又∵是直径 ∴是的切线 …………………………2分（2）∵的半为2∴,∵由（1）知，，∴ ,∴ , ………………………… 3分∵, ∴∽， ∴ ∴， …………………………4分 设 由勾股定理 ， （舍负） ∴ …………………………5分12.（2013通州一模21） (1)证明：连接OD. ∵， ∴， ∵AD平分， ∴， ∴， ……………… 1分； ∴∥OD， ∵， ∴， ∵点D在⊙O上， ∴ED是⊙O的切线； ……………… 2分；（2）解法一：连接CB,过点O作于点G.…………… 3分； ∵ AB是⊙O的直径， ∴， ∵， ∴OG∥CB ， ∴， ∵5AC=3AB ，∴， ……………… 4分；设，∵，， ∴四边形EGOD是矩形， ∴，AE∥OD ， ∴，，, ∴△AEF∽△DFO ， ∴ ， ∴ ， ∴. ……………… 5分．解法二：连接CB,过点A作交DO的延长线于点H. ………… 3分；∵，， ∴四边形AHDE是矩形， ∴，AE∥HD ，AH∥ED ，∴，∵ AB是⊙O的直径， ∴， ∴， ∴△AHO∽△BCA， ∴， ∵5AC=3AB ，∴， ……………… 4分；设， ∴，, ∵AE∥HD，∴△AEF∽△DFO ， ∴ ， ∴ ， ∴. ……………… 5分．解法三：连接CB,分别延长AB、ED交于点G. ………… 3分；∵，， ∴AE∥OD ，，∴，∵ AB是⊙O的直径， ∴， ∴， ∴△GDO∽△BCA， ∴， ∵5AC=3AB ，∴， ……………… 4分；设， ∴，, ∵AE∥OD，∴△AEG∽△ODG ，△AEF∽△DFO ， ∴ ， ， ∴ ， ∴. ……………… 5分.图313.（2013西城一模20）（1）证明：连接OD . （如图3） ∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC. ∵AB=AC，∴∠ACB=∠B.∴∠ODC=∠B.∴OD∥AB. ……………………………………………… 1分∴∠ODF=∠AEF. ∵EF⊥AB， ∴∠ODF =∠AEF =90°.∴OD⊥EF . ∵OD为⊙O的半径， ∴EF与⊙O相切. ………………………………………………2分 （2）解：由（1）知：OD∥AB，OD⊥EF .在Rt△AEF中，sin∠CFD = = ，AE=6.∴AF=10. ………………………………………………………………3分∵OD∥AB，∴△ODF∽△AEF.∴.设⊙O的半径为r，∴ = .解得r= . ……………………………………………………………… 4分∴AB= AC=2r = . ∴EB=AB-AE= -6= . ………… 5 分14.（2013延庆一模23）（1）证明：过O点作OE⊥CD，垂足为E，∵AC是切线，∴OA⊥AC， ……………………………………………2分∵CO平分∠ACD，OE⊥CD，∴OA=OE， ………………………………3分∴CD是⊙O的切线． ………………………………4分（2）解：过C点作CF⊥BD，垂足为F，……………5分∵AC、CD、BD都是切线，∴AC=CE=2，BD=DE=3，∴CD=CE+DE=5， …………………………6分∵∠CAB=∠ABD=∠CFB=90°，∴四边形ABFC是矩形，∴BF=AC=2，DF=BD﹣BF=1，在Rt△CDF中，CF2=CD2﹣DF2=52﹣12=24，∴AB=CF=2． …………………………………………………7分15.（2013燕山一模20）⑴证法一：如图，连结OD，∵AC＝BC，∴∠A＝∠ABC∵OD＝OB，∴∠ABC＝∠BDO，∴∠BDO＝∠A，∴OD∥AC， ………………………1分∵，∴，∴直线是⊙O的切线． ………………………2分证法二：如图，连结OD，CD，∵BC是⊙O直径，∴∠BDC＝90°，即CD⊥AB． ∵AC＝BC，∴AD＝BD，即D是AB的中点． ………………………1分∵O是BC的中点，∴DO∥AC．∵⊥AC于，∴，∴直线是⊙O的切线． ………………………2分⑵解法一：如图，连结CD，由⑴证法二，∠BDC＝90°，D是AB的中点，AB＝4，∴AD＝BD＝2．在Rt△ADC中，AC＝6，AD＝2，由勾股定理得：CD＝＝2， ………………3分又∵⊥AC，∴DF＝＝＝2，∴CF＝＝4， …………………4分又∵DO∥CF，∴，即，解得ED＝6． ………………………5分解法二：如图，连结OD，CD，，同解法一得∠BDC＝90°，CD＝2， ………………………3分∵是⊙O直径，∴∠BGC＝90°，在△ABC中，有＝，∴BG＝＝＝4， ………………………4分又∵∠BGC＝∠CFE＝90°，∴，∴∠E＝∠GBC．在Rt△BGC中，BC＝6，BG＝4，∴CG＝＝2，tan∠GBC＝＝，在Rt△EOD中，OD＝BC＝3，tan∠E＝tan∠GBC＝，∴ED＝＝6． ………………………5分16.（2013朝阳二模20）（1）证明：在△ABC中， ∵AC=BC，∴∠ CAB = ∠B.∵∠ CAB +∠B+∠C＝180º，∴2∠B+∠C＝180º.∴＝90º. ……………………………………………………1分∵∠BAD＝∠C，∴＝90º.∴∠ADB＝90º.∴AD⊥BC.∵AD为⊙O直径的，∴直线BC是⊙O的切线. …………………………………………………2分（2）解：如图，连接DF，∵AD是⊙O的直径，∴∠AFD = 90º. ……………………………………………………………………3分∵∠ADC＝90º，∴∠ADF+∠FDC＝∠CD+∠FDC＝90º.∴∠ADF＝∠C. …………………………………………………………………4分∵∠ADF＝∠AEF，tan∠AEF＝，∴tan∠C＝tan∠ADF＝.在Rt△ACD中，设AD＝4x，则CD＝3x.∴∴BC＝5x，BD＝2x.∵AD＝4，∴x＝1.∴BD＝2. ……………………………………5分ABPOCDEG17.（2013丰台二模20）（1）证明：连结OC. ∵ 点C在⊙O上，OA=OC，∴ ∵ ，∴ ，有.∵ AC平分∠PAE，∴ ∴ ---------1分∴ ∵ 点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，∴ CD为⊙O的切线. ---------2分（2）解: 过点O作OG⊥AB于G.∵,,∴四边形OCDG是矩形.∴OG=CD, GD=OC. ---------3分∵ ⊙O的直径为10，∴OA=OC=5.∴DG=5.∵tan∠ACD，设AD=x, CD=2x ,则OG=2x.∴ AG=DG-AD=5- x . 在中，由勾股定理知∴ 解得. ----------------4分 ∴ . -------------------------5分18.（2013海淀二模20） (1)证明：连接. ∵为直径，∴∠.∵，∴△为等腰三角形.∴∠∠.∵， ∴∠∠ -------------------------1分∴∠∠∠∠.∴∠ .∴与⊙相切. -------------------------2分(2) 解：过作于点∠∠，∴.在△中，∠，∵，∴∠--------------3分∴.在△中，∠，∴------------------4分∵，⊥，∴∥∴△∽△∴.∴∴∴ -------------------------5分19.（2013西城二模21）(1)证明：连接OD . ∵DE是⊙O的切线， ∴DE⊥OD，即∠ODE=90° . ……………………………………………1分 ∵AB是⊙O的直径， ∴O是AB的中点. 又∵D是BC的中点， . ∴OD∥AC . ∴∠DEC=∠ODE= 90° .∴DE⊥AC . ……………………………………………………………… 2分 (2)连接AD .∵OD∥AC，∴. …………………………………………………………………… 3分 ∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB= ∠ADC =90° . 又∵D为BC的中点，∴AB=AC.∵sin∠ABC= =， 故设AD=3x , 则AB=AC=4x , OD=2x . ………………………………………… 4分∵DE⊥AC，∴∠ADC= ∠AED= 90°.∵∠DAC= ∠EAD，∴△ADC∽△AED.∴.∴.∴.∴.∴. ………………………………………………………………… 5分20.（2013东城二模21）解：（1）证明：连接OA．∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°．又∵OA=OC，∴∠ACP=∠CAO=30°．∴∠AOP=60°．∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°．∴∠OAP=90°，∴OA⊥AP．∴ AP是⊙O的切线． …………………2分（2）解：连接AD．∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD=90°．∴AD=AC•tan30°=．∵∠ADC=∠B=60°，∴∠PAD=∠ADC﹣∠P=60°﹣30°=30°．∴∠P=∠PAD．∴PD=AD=． …………………5分。