极限求解的方法韩山师范学院 数学教育摘要：数学分析是以极限理论和极限方法为基础，以微积分为主要内容的学科理解并掌握求极限的方法对学习数学分析有很大的帮助，然而极限的题型技巧性很强所以要学好极限，应从两个方面着手1、考察所给的数列或函数是否有极限（极限的存在性问题）；2、若极限存在，考虑如何计算此极限（极限的计算问题）本文总结了几种求极限的一般方法，并结合具体例子对方法加以说明榜关键词：极限、洛必达法则、泰勒公式、柯西准则、定积分前言：在数学分析中极限的求法有很多种，方法虽然多但却不集中本文根据所学知识探讨了数学分析中求极限的几种方法和思想，结合具体例子分析了一般极限的求解过程并给出极限求解的方法和技巧这些方法不能适用于所有极限的求解，但具有一定的代表性1、 利用极限定义验证极限定义：设为数列，为定数若对任给的正数，总存在正整数，使得当时有 则称数列收敛于，定数称为数列的极限，并记作例1： 证：利用极限定义证明，关键是要对任意，求出，使得时有即可任给，要找N，使时，有 ，即 ，显然，当较大时，如，有因此要使 成立，当时，只要 即 所以，任给 ，取，则当时，有 因此 成立。
利用极限定义验证极限是极限问题的难点，关键在于对任意给定的正数的任意性然而，尽管有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N还有N的相应性一般说，随的变小而变大，由此常把写作，来强调是依赖于的；但重要的是的存在性，而不在于它的值的大小2、 利用迫敛性来求极限定理：设收敛数列，都以为极限，数列满足：存在正数当时有 ，则数列收敛，且例2：设，试求极限解：利用迫敛性定理求比较复杂数列的极限，应构造适当的不等式，这不仅是判定数列收敛的一种方法，而且也是求极限的一个重要的工具 ，故，由迫敛性得利用迫敛性求极限关键在于从表达式中通过放大或缩小的方法找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收敛于极限值3、 利用极限的四则运算法则求极限定理：如果存在则 若及，则例3：求解：将化作我们常见的可求极限的形式，再通过极限的四则运算法则进行计算 例4：求解：利用极限四则运算法则关键在于每项或每个因子极限存在，一般所给出的不满足条件因此必须要对变量进行变形，在变形时，要熟练掌握因式分解、有理化运算、通分化简、化无穷多项的和或积为有限项等恒等变形。
4、 利用单调有界定理求极限定理：在实数系中，有界的单调数列必有极限例5：设证明其极限存在并求其值证：利用单调有界定理求极限，首先判断所给数列是单调有界的，即用单调有界定理证明数列极限的存在；然后，设所求的极限为一个常数，并由相邻两项与的关系式两端取极限得一关于的方程；最后解所列的方程并同时利用极限保不等式性求出，即位所求的极限由题可知 假设 ，则而 ，假设则 故此数列有界，由单调有界定理可知收敛令 ，由两边取极限得 即 或由极限报不等式性得舍去，故此数列极限存在且极限值为2.例6：设，求极限解：不妨设（的情形同理可证）显然 由，得 ， 由故数列是一个单调减少且有下界的数列，因此收敛又，取极限，并设，得，故，即利用单调有界定理求极限关键在于先要证明数列极限的存在，然后根据数列的通项递推公式求其极限5、 利用两个重要的极限公式来求极限两个重要的极限公式： ； 注：在利用这两个极限球相应的极限时，一般要对函数做相应的变换。
例:7：求极限解：利用重要的极限及函数极限的运算法则 例8：求极限解： 利用两个重要的极限公式求极限关键在于所给出的函数形式是否符合或经过变形是否符合这两个极限公式一般常用的方法是换元法和配指数法6、 利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质（1） 两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量；（2） 无穷小量与有界量的乘机为无穷小量；（3） 无穷大量的倒数是无穷小量例9：求极限解：当时分母的极限为0，而分子的极限不为0，因此可先求出所给函数的倒数 利用无穷小量的倒数是无穷大量，故例10：求极限解：当时，为无穷小量，而为有界量故7、 利用等价无穷小量代换求极限定理：设函数在上有定义，且有 （1）若则有 （2）若则有等价无穷小代换的本质就是用较为简单的无穷小量去代替比较复杂的无穷小量，而将这两个无穷小量之间的差略去不计当然，前提是它们的差必须是更高阶的无穷小。
因此在计算过程中，比较稳妥的做法是保留高阶无穷小量，并时刻留意其演化的进程例11：求极限解：用等价无穷小量代换 由于时，有 利用等价无穷小量代换求极限，应注意：只有对所求极限式中响成或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代欲利用此方法求极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量：当时，8、 利用函数的连续性求极限定义：设函数在某上有定义若则称在点连续亦可：若对任给的，存在，使得当时有，则称函数在点连续首先在点连续，不仅要求在点有极限，而且要求其极限值应等于在的函数值；其次，要求在某上（包括点）有定义，此时由于当时总是成立的，所以在极限定义中的“”换成了再连续定义中的“”；最后又可表示为，可见“在点连续”意味着极限运算与对应的的可交换性定理：任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数例12：求极限解：因函数在R内有定义且连续，而所以 是的连续点于是 例13：求极限解：很显然函数在处不连续，但注意极限是存在的若令，则当时，于是，求 转换为求然而函数在处世连续的则有，即由此可知，极限符号可与函数符号f交换次序。
即此方法一般适用于复合函数的极限9、 利用导数定义求极限导数定义：设函数在点的某邻域内有定义，若极限 存在，则称函数在点处可导，并称该极限为函数在点处的导数，记作令，则 例14：求极限解：分析，令 10、 利用中值定理求极限（1）微分中值定理拉格朗日中值定理：若函数满足：①在闭区间上连续；②在开区间上可导；则在上至少存在一点，使得罗尔中值定理：若函数满足：①在闭区间上连续；②在开区间上可导；③；则在上至少存在一点，使得柯西中值定理：设函数满足：①在上都连续；②在上都可导；③不同时为零；④；则存在，使得泰勒定理：若函数在上存在直至阶的连续导函数，在上存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得（2） 积分中值定理：设函数在闭区间上连续；在上不变号且可积，则在上至少有一点使得例15：求极限解：因 则 例16：求极限解： 11、 利用洛必达法则求极限洛必达法则只能对或型才可直接使用，其他待定型必须先转化成这两种类型之一，然后再用洛必达法则。
洛必达法则只能说明档时，那么存在且等于；如果不存在时，并不能判定也不存在，只是这时不能使用洛必达法则，而须使用其他方法讨论1） 型不定式极限定理：若函数满足：①；②在点的某空心邻域上两者都可导，且；③（A可为实数，也可为或），则 例17：求极限解：显然此式满足型，由洛必达法则有 （2） 型不定式极限定理：若函数满足：①在的某个右邻域上两者可导，且；②；③可为实数，也可为；则 例18：求极限解：（3） 其他类型不定式极限不定式极限还有等类型经过简单变换，它们一般均可化为型或型的极限例19：求极限解：这是一个型不定式极限用恒等变形将它转化为型的不定式极限，并应用洛必达法则得到 例20：求极限解：这是一个型不定式极限作恒等变形其指数部分的极限是型不定式极限，由洛必达法则有 从而得到 例21：求极限为常数）解这是一个型不定式极限，作恒等变形其指数部分的极限然后得到 当时上面所得的结果显然成立例22：求极限这是一个型不定式极限作恒等变形类似地先求其对数的极限： 于是有 例23：求极限解：这是一个型不定式极限，通分后化为型的极限，即 利用洛必达法则求极限首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足洛必达法则的其他条件。
洛必达法则是求不定式极限的一种有效方法，但有时计算比较麻烦，应及时化简（通过代数，三角变形、等价无穷小代替等），且最好能与其它极限的方法结合使用，以便简化计算12、 利用泰勒公式求极限泰勒展开式：若函数在上存在直至阶的连续导函数，在上存在阶导函数，则对任意给定的至少存在一点，使得例24：求极限解：由于 从而 所以 利用泰勒展开式求极限必须熟记基本初等函数的展开式，它将原来函数求极限的问题转化为求多项式或有理分式的极限问题对于和或差中的项不能用其等价无穷小代替的情形，有时可用项的泰勒展开式来代替该项，使运算十分简便13、 利用定积分求极限定义：若函数在上连续，且存在原函数，即则在上可积，且称为牛顿—莱布尼茨公式，它也常写成由于定积分是一个有特殊结构和式的极限，这样又可利用定积分的值求出某一和式的极限若要用定积分求极限，其关键在于将和式化成某一特殊结构的和式凡每一项可提1/n，而余下的项可用通式写成n项之和的形式的表达式，一般用定积分的定义去求例25：求极限解： 上面的和式是函数在区间上的一个积分和，故有利用定积分求极限首先选好恰当的可积函数，把所求的极限和式表示成在某区间上的待定积分和式的极限。
结束语：本文对极限的求法作了小结，归纳了13种求极限的基本方法，对一般的用上述的方法可以求出来，复杂一点的可能要综合几种方法才能求出来在实际学习中要善于运用多种方法综合求解，但在求解极限的题目是，仅掌握以上的方法而不能清晰地了解并不能善于运用也是不够的必须要仔细地分析，选择适当的方法并综合地运用方法，明白其道理，体会做题的窍门，只有方法得当，做题时才能准确、快速、灵活求解极限参考文献[1] 华东师范大学数学系，《数学分析》，高等教育出版社，2010年7月第四版上册，第23、31、32、36、57、61、63、71、88、92、123、130、141、206页[2] 马慧玲，《极限的四则运算法则》，《科教文汇（上旬刊）》，2012年第四期，第100—102页，网址：[3] 徐新亚、夏海峰，《数学分析选讲》，同济大学出版社，2008年8月第一版，第7、32页[4] 方明，《如何利用连续性求极限》，《贵州商专学报》，1996年02期，网址： 第 18 页 共 18 页。