2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其平面向量数量积的物理背景及其含义含义运运算算律：律：已知两个非零向量已知两个非零向量a和和b，作，作OA=a，OB=b，则，则AOB=（0 180）叫做向量叫做向量a与与b的的夹角夹角OBA当0时，a与b同向；OAB当180时，a与b反向；OABB当90时，称a与b垂直，记为ab.OAab 我们学过功的概念，即一个物体在力我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移的作用下产生位移s（如图）（如图）FS力力F所做的功所做的功W可用下式计算可用下式计算 W=|F|S|cos 其中其中是是F与与S的夹角的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量从力所做的功出发，我们引入向量“数量积数量积”的概念已知两个非零向量已知两个非零向量a与与b，它们的，它们的夹角为夹角为，我们把数量，我们把数量|a|b|cos叫做叫做a与与b的的数量积数量积（或（或内积内积），记作），记作ab ab=|a|b|cos规定规定:零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为0a|cos（|b|cos）叫）叫做向量做向量a在在b方向上（向方向上（向量量b在在a方向上）的方向上）的投影投影。
注意：向量注意：向量的数量积是的数量积是一个数量一个数量向量的数量积是一个数量，那么它向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？什么时候为正，什么时候为负？思考：ab=|a|b|cos当当0 90时时ab为正；为正；当当90 180时时ab为负当当=90时时ab为零设设ba、是非零向量，是非零向量，be是与方向相同的方向相同的单位向量，单位向量，ea与是的夹角，则的夹角，则cos|)1(aeaae0)2(baba|;|)3(bababa同向时，与当|;|bababa反向时，与当特别地特别地2|aaaaaa|或2a|cos)4(baba|)5(babaOAB abB1|c co os sa ab ba ab b 例例1 1 已知已知|a|=5|a|=5，|b|=4|b|=4，a a与与b b的夹角的夹角=120=120，求，求ababOAB|b|cos abB1ba等于等于a的长度的长度|a方向上的投影在ab与与cos|b的乘积练习：练习：1 1若若a=0，则对任一向量，则对任一向量b ，有，有a b=02若若a 0，则对任一非零向量，则对任一非零向量b,有有a b03 3若若a 00，a b b=0，则，则b=04 4若若a b=0，则，则a b中至少有一个为中至少有一个为05 5若若a0，a b=b c，则，则a=c6对任意向量对任意向量 a 有有22|aa 二、二、平面向量的数量积的运算律平面向量的数量积的运算律：数量积的运算律：数量积的运算律：cbcacbabababaabba)(3()()()(2()1(其中，其中，cba、是任意三个向量，是任意三个向量，R 则 (a+b)c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=ac+bc.ONMa+bbac 向量a、b、a+b在c上的射影的数量分别是OM、MN、ON,证明运算律证明运算律(3)注：注：？)()(cbacba例例 3：求证：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：证明：（1）(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)baabaabbba22abb2.例例 3：求证：求证：（1）(ab)2a22abb2；（2）(ab)(ab)a2b2.证明：证明：（2）(ab)(ab)(ab)a(ab)b aabaabbb a2b2.5.|3,|4,abkakbakb例 已知当且仅当 为何值时，向量与互相垂直？例例42 2)(3 3)a ab ba ab b 求求（。
6 6,|4 4,a ab ba ab b 已已知知与与6 60 0,o o 的夹角为的夹角为2.4.2 2.4.2 平面向量平面向量数量积的坐标表示、模、夹角数量积的坐标表示、模、夹角一、复习引入.cos;0)2(cos)1(2babababaaaaaaababa；或 我们学过两向量的和与差可以转我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算化为它们相应的坐标来运算,那么那么怎怎样用样用呢？的坐标表示和baba二、新课学习二、新课学习1 1、平面向量数量积的坐标表示、平面向量数量积的坐标表示如图，如图，是是x x轴上的单位向量，轴上的单位向量，是是y y轴上的单位向量，轴上的单位向量，由于由于 所以所以 ijcosbabax ijy o B(x2,y2)abA(x1,y1)iijjijji .1 1 0 下面研究怎样用下面研究怎样用.baba的坐标表示和设两个非零向量设两个非零向量 =(x1,y1),=(x2,y2),则则ab1122112222121221121212,()()ax iy jbx iy ja bx iy jx iy jx x ix y i jx y i jy y jx xy y 故故两个向量的数量积等于它们对应两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
坐标的乘积的和即即ijx o B(x2,y2)A(x1,y1)aby.2121yyxxba 根据平面向量数量积的坐标表示，向根据平面向量数量积的坐标表示，向量的量的数量积的运算数量积的运算可可转化为转化为向量的向量的坐标运坐标运算或aaaaaa2)1(221221221122222),(),2,),()1(yyxxAByxByxAyxayxayxa（则、（设）两点间的距离公式（；或则设向量的模2、向量的模和两点间的距离公式0baba（1）垂直）垂直0),(),21212211yyxxbayxbyxa则（设3、两向量垂直和平行的坐标表示0/),(),12212211yxyxbayxbyxa则（设（2）平行）平行4、两向量夹角公式的坐标运算、两向量夹角公式的坐标运算bababacos1800则），（的夹角为与设0.0.cos)180(0),(),222221212222212121212211yxyxyxyxyyxxbayxbyxa，其中则，夹角为与且（设三、基本技能的形成与巩固三、基本技能的形成与巩固.),1,1(),32,1(1)1的夹角与，求已知例babababa.),4,2(),3,2(2)）（）则（已知bababa 例例2 2 已知已知A(1A(1，2)2)，B(2B(2，3)3)，C(-2C(-2，5)5)，试判断试判断 ABCABC的形状，并给出证明的形状，并给出证明.A(1,2)B(2,3)C(-2,5)x0y 练习练习2：以原点和：以原点和A（5，2）为两）为两个顶点作等腰直角三角形个顶点作等腰直角三角形OAB，B=90，求点，求点B的坐标的坐标.yBAOx），或（），的坐标为（答案：23272723B四、逆向及综合运用四、逆向及综合运用 例例3 3（1 1）已知）已知 =（4 4，3 3），向量），向量 是是垂直于垂直于 的单位向量，求的单位向量，求 .abab./)2,1(,102的坐标，求，且）已知（ababa.43)5,(),0,3(3的值求，的夹角为与，且）已知（kbakba.532222222).54,53()54,53(1kbb）；（，）或（，）（或）答案：（提高练习提高练习的坐标为，则点，且，、已知CABBCOBACOBOA/)5,0()1,3(1)329,3(C 2、已知、已知A(1，2)、B(4、0)、C(8，6)、D(5，8)，则四边形，则四边形ABCD的形状是的形状是 .矩形矩形 3、已知、已知 =(1，2)，=(-3，2)，若若k +2 与与 2 -4 平行，则平行，则k=.abaabb-1作业作业课本课本9组组5（1），），9，10，11.小结小结 、理解各公式的正向及逆向运用；、理解各公式的正向及逆向运用；、数量积的运算转化为向量的坐数量积的运算转化为向量的坐标运算；标运算；、掌握平行、垂直、夹角及距离、掌握平行、垂直、夹角及距离公式，形成转化技能。