欢迎指导,欢迎各位领导、老师莅临指导!,,直角三角形三边的关系 华夏中学,这就是本届大会会徽的图案,你见过这个图案吗？,你听说过勾股定理吗？,这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”,2002年国际数学家大会在北京召开相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系,学习目标： 1、会用数格子的方法求正方形的面积 2、在直角三角形中，已知两边能求第三边3、找出勾股定理的内容？,,,,,,,,,,,,1,1,2,SP+SQ=SR,C,图甲,1.观察图甲，小方格 的边长为1. 正方形P、Q、R的 面积各为多少？,正方形P、Q、R的 面积有什么关系？,C,图乙,2.观察图乙，小方格 的边长为1. 正方形P、Q、R的 面积各为多少？,9,16,25,SP+SQ=SR,正方形P、Q、R的 面积有什关系？,1,1,2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,“割”,“补”,么,图乙,2.观察图乙，小方格 的边长为1.,9,16,25,SP+SQ=SR,正方形P、Q、R的 面积有什么关系？,4,4,8,SP+SQ=SR,图甲,a,c,a,b,c,b,3.猜想a、b、c 之间的关系？,a2 +b2 =c2,分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立。
13,5,12,勾股定理(毕达哥拉斯定理)（gougu theorem）,如果直角三角形两直角边分别为a， b，斜边为c，那么,即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.,,a,c,勾,弦,b,股,c2=a2 + b2,a2=c2 b2,b2 =c2 a2,,,,,结论变形,直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；,,走进勾股世界,商高是公元前十一世纪的中国人当时中国的朝代是西周，是奴隶社会时期在中国古代大约是战国时期西汉的数学著作 周髀 算经中记录着商高同周公的一段对话商高说：“故折矩，勾广三，股修四，经隅五商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5以后人们就简单地把这个事实说成“勾三股四弦五”这就是著名的勾股定理.,关于勾股定理的发现，周髀算经上说：故禹之所以治天下者，此数之所由生也此数指的是勾三股四弦五，这句话的意思就是说：勾三股四弦五这种关系是在大禹治水时发现的毕达哥拉斯,在国外，相传勾股定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的因此又称此定理为“毕达哥拉斯定理” 法国和比利时称它为“驴桥定理”，埃及称它为“埃及三角形”等。
但他们发现的时间都比我国要迟得多还有称法为: “百牛定理”,2002年的世界数学家大会在中国北京举行，这是21世纪数学家的第一次大聚会，这次大会的会标就选定了验证勾股定理的“弦图”作为中央图案，可以说是充分表现了我国古代数学的成就，也充分弘扬了我国古代的数学文化，,我国数学家赵爽的“弦图”,利用拼图来验证勾股定理：,1、准备四个全等的直角三角形（设直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c）；,2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形吗？拼一拼试试看,3、你拼的正方形中是否含有以斜边c的正方形？,4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？, c2= 4ab/2 +(b-a)2,=2ab+b2-2ab+a2,=a2+b2,a2+b2=c2,大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为,,,c2,4ab/2+(b- a)2, (a+b)2 = c2 + 4ab/2,a2+2ab+b2 = c2 +2ab,a2+b2=c2,大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为,,,(a+b)2,c2 +4ab/2,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,议一议：用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2？,a,a,b,b,c,c,算一算：,3、在直角三角形中，两直角边的长分别为33，44， 求斜边的长。
4、在直角三角形中，两边的长为5，4， 求第三边的平方提高：,,解:设斜边长为X, 由勾股定理得,X = 33 + 44 = 55 ,所以 X = 55,解：1.如果5为斜边，设第三边为X,,5 = X + 4 ,所以 X = 9,2.如果5为直角边，设第三边为X,X = 5 + 4 ,所以 X = 41,例1 .在RtABC中，=90. (1) 已知：a=6，=8，求c； (2) 已知：a=40，c=41，求b； (3) 已知：c=13，b=5，求a； (4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.,例题分析,(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边; (2)可用勾股定理建立方程.,,方法小结,1、求出下列直角三角形中未知边的长度6,,x,25,24,8,X,试一试:,5 或,2、已知：RtBC中，AB，AC,则BC的长为 .,试一试:,例题2 : 如图，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，BC长为2.16米，求梯子上端A到墙的底端B的距离AB.（精确到0.01米）,,解:在RtABC中ABC=90, BC=2.16,CA=5.41, 根据勾股定理得 4.96（米）,蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）,,,,,,,G,F,E,例1 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩5000米，飞机每小时飞行多少千米？,,,,4000,5000,5、如图，ABC中，C=90，CD AB 于D， AC=12，BC=9， 求：CD的长。
解：在三角形ABC中,AC = 12 ，BC = 9,由勾股定理得：,AB = 12 + 9 ,所以 AB = 25,3、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，求这个三角形的面积,,,8,D,A,B,C,解：设这个三角形为ABC，高为AD，设BD为X，则AB为（16-X），,由勾股定理得： X2+82=(16-X)2,即X2+64=256-32X+X2, X=6, SABC=BCAD/2=2 6 8/2=48,1、这节课你学到了什么知识？,小 结：,3、你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？,2 、运用“勾股定理”应注意什么问题？,1、课本55页第2、3题作业,2、查阅有关勾股定理的历史资料3.（选做） 已知等腰直角三角形斜边的长为2cm，求这个三角形的周长？,再见,,14.1.2验证勾股定理,huaxia中学,如果直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c,那么这三边a、b、c有什么关系呢？勾股定理揭示了直角三角形的边与边的关系，那么如何证明这个定理呢？,问题：,学习目标：,1.会通过拼图，用面积的方法说明勾股定理的正确性 2.能通过实例应用勾股定理自学指导：,1. 阅读教材51-52页，试用两种方法表示大正方形的面积，得出结论。
2.注意应将例题中的实际问题转化为数学问题，抽象出直角三角形b,a,c,勾股定理的证明(一),大正方形的面积可以表示为 ； 也可以表示为 a+b)2,所以,,,,,勾股定理的证明(二),最早是由1700多年前三国时期的数学家赵爽为周髀算经作注时给出的，他用面积法证明了勾股定理,你能写证明过程吗？,“弦图”,,2ab +（b-a）2 = c2 即 2ab + b2 -2ab + a2 = c2 所以 a2 + b2 = c2,美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明， 就把这一证法称为“总统”证法有趣的总统证法,,伽菲尔德证法,例1 小丁的妈妈买了一部34英寸（86厘米）的电视机小丁量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有70厘米长和50厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了你能解释这是为什么吗？,售货员没搞错,荧屏对角线大约为86厘米,解：702+502=7400,862=7396,例2 如图所示，为了求出湖两岸的A、B两点间的距离，一个观测者在点C设桩，使三角形ABC恰好为直角三角形通过测量，得到AC的长为160米，BC长为128米问从点A穿过湖到点B有多远？,,答： 从点A穿过湖到点B有96米。
解： 在直角三角形ABC中， AC=160米，BC=128米， 根据勾股定理可得,.如图，小方格都是边长为1的正方形， 求四边形ABCD的面积与周长.,,,,,,,,,E,F,G,H,现学现用：,假期中，王强和同学到某海岛上去玩探宝游戏，按照探宝图，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走3千米，在折向北走到6千米处往东一拐，仅走1千米就找到宝藏，问登陆点A 到宝藏埋藏点B的距离是多少千米？,,,,,,A,B,8,2,3,6,1,,,1这节课你学到了什么知识？,3、你还有什么疑惑或没有弄懂的地方？,2 运用“勾股定理”应注意什么问题？,小结,作业,1、课本第55页4、5题 2、阅读课本55页的阅读材料 3、（选做题）九章算术勾股章第6题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长几何？ （本题的意思是：有一水池一丈见方，池中生有一棵类似芦苇的植物，露出水面一尺，如把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多长？）,再见！,古埃及人曾用下面的方法得到直角,直角三角形的判定,未来华夏中学,,,,,,按照这种做法真能得到一个直角三角形吗？,古埃及人曾用下面的方法得到直角：,用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结，4个结，5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。
1、了解勾股定理的逆定理与勾股定理的互逆性 2、会通过三角形三边的数量关系来判断它是否为直角三角形学习目标：,自学指导：,1、按要求作出53页的三角形，并观察是什么三角形 2、阅读教材53-54页，理解勾股定理的逆定理下面的三组数分别是一个三角形的三边长a，b，c：,3，4，4； 2，3，4； 3，4，5,动手画一画,勾股定理,,互为逆定理,勾股定理的逆定理,设AB是ABC中三边中最长边，则有：,AC2+BC2AB2 ACB为锐角,例1 设三角形三边长分别为下列各组数,试判断各三角形是否是直角三角形: (1) 7, 24 , 25 (2)12 , 35 , 37 (3)13 , 11 , 9,分析：由勾股定理的逆定理，判断三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方解 : 因为 所以根据前面的判定方法可知 , 以(1)、(2)两组数为边长的三角形是直角三角形，而以组(3)的数为边长的三角形不是直角三角形下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？,(1) a=25 b=20 c=15 ____ _____ ;,(2) a=13 b=14 c=15 ____ _____ ;,是,不是,是, A=900, B=900,(3) a=1 b=2 c= ____ _____ ;,像25,20,15,能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.,1、请你写出三组勾股数； 2、一组勾股数的整数倍一定是勾股数吗？为什么？,例2 设三角形ABC分别满足下列条件,试判断各三角形是否是直角三角形:,提示：三角形的内角和等于1800,B,A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等边三角形,,例3 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中A和DBC都应为直角。
工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个 零件符合要求吗？,思考:此时四边形ABCD的面积是多少?,,解释“古埃及人画直角”的理论根据.,,,A,C,B,解：如图，设每两个结的距离为a（a0）， 则AC=3a，BC=4a，AB=5a.,,,,,,,,本节课你有什么收获?,,,,,,,,1.教科书54页，习题14.1 第6题2.（选做题）已知ABC的三边分别为a,b,c，且a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2(mn,m、n是正整数)， ABC是直角三角形吗？说明理由作业：,提示：先来判断a,b,c三边哪条最长，可以代m,n为满足条件的特殊值来试，m=5,n=4.则a=9,b=40,c=41,c最大再见！,勾股定理的应用 （1）,未来华夏中学,学习目标：,能利用勾股定理和勾股定理逆定理解决简单的实际问题； 在学习的过程中注意理论与实际问题的联系； 通过学习提高同学们的空间想象能力.,,,A,B,,,,,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程. (精确到0.01cm),,,,,C,D,了解下面题目，再自学课本 第57页例1； 重点了解怎样利用课本知识解决实际问题.,,我怎么走 会最近呢?,例1 如图，一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程. (精确到0.01cm),,,A,B,,,,,,,,,C,D,,我怎么走 会最近呢?,分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（如图），得到矩形 D，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面展开图矩形对角线AC之长,解 如图，在Rt中， 底面周长的一半cm， AC （cm）（勾股定理） 答： 最短路程约为cm,,拓展1 如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？,,,,,,,,拓展2 如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？,,分析：蚂蚁由A爬到B过程中较短的路线有多少种情况？,(1)经过前面和上底面;,(2)经过前面和右面;,(3)经过左面和上底面.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(1)当蚂蚁经过前面和上底面时，如图，最短路程为,解:,,,,,,,,,,AB,,,(2)当蚂蚁经过前面和右面时，如图，最短路程为,,,,,,,AB,,,,(3)当蚂蚁经过左面和上底面时，如图，最短路程为,AB,,,,,,,,,,例2 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?说明理由。
O,C,,D,H,2米,2.3米,,分析：由于厂门宽度足够,所以卡车能否通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CDAB, 与地面交于H,解：,CD,CH0.62.32.9(米)2.5(米).,因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门,在RtOCD中，由勾股定理得,,0.6米，,,练习1.如图,从电杆离地面5米处向地面拉一条长7米的钢缆，求地面钢缆固定点A到电杆底部B的距离.,C,,,解：如图，在Rt中，AC=7米，BC=5米，,答：地面钢缆固定点A到电杆底部B的距离是 米.,（米）,由勾股定理，得,练习2. 如图所示，校园内有两棵树相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 米.,,,,A,B,C,,,13,2. 在运用勾股定理时，我们必须首先明确哪两条边是直角边，哪一条是斜边.,3. 数学来源与生活，同时又服务于我们的生活.数学就在我们的身边，我们要能够学以致用.,,1.运用勾股定理解决实际问题,关键在于“找”到合适的直角三角形.,小 结,作业 1. 必做题：课本P60习题14.2第1、3题. 2. 选做题:在一棵树的10米高处B有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20米的池塘A，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过距离相等，试问这棵树有多高？,再见！,勾股定理的应用 （2）,未来华夏中学,学习目标：,能熟练运用勾股定理及其逆定理解决实际问题； 通过学习提高同学们的逻辑推理能力.,自学指导：,阅读教材59页，注意理解例题中的逻辑推理过程。
例1 如右图，已知CDm， ADm， ADC， BCm， m求图中阴影部分的面积,解：在RtADC中，, ACB为直角三角形（如果三角形的三边长a、 b、 c有关系： a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形），,,例2 葭生池中 今有方池一丈， 葭生其中央， 出水一尺， 引葭赴岸， 适与岸齐问：水深、葭长各几何？,解：可设葭长为x尺，,则水深为(x-1)尺,则有: (x-1)2+52=x2,解得： x=13,所以：葭长13尺，水深12尺水池,,X尺,,,,1.一架飞机在天空中水平飞行,某一时刻正好飞到一个男孩头顶正上方3000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米，试求这架飞机的飞行速度?,,,,20秒,3000米,5000米,A,B,C,试一试:,2.一艘轮船以20海里/小时的速度离开港口O向东北方向航行，另一艘轮船同时以22海里/小时的速度离开港口向东南方向航行，2小时后两船相距多远？,,,,甲(A),乙(B),,3、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险.某日早晨8:00 甲先出发,他以6千米/小时的速度向东行走,1小时 后乙出发,他以5千米/小时的速度向北行进,上午 10:00,甲、乙二人相距多远?,请谈谈你的收获！,1.教科书60页，习题14.2 第4、5、6题。
2.（选做题）利用勾股定理分别画出长度为,作业：,就到这里吧，,就到这里了！,。