第二节 串联、并联与混联电路在电路中，用电器按照不同的方式连接起来，就组成了串联、并联和混联电路不同连接方式所对应的电压、电流等的规律也不相同一、串联电路1．串联电路的定义串联电路是指各用电器沿着单一路径顺次连接在一起，电流只沿着一条路径流动的电路图8.10为常见的串联电路2．串联电路的规律以图8.10为例，设串联电路的总电压为，总电流为，各电阻两端电压分别为，，，流过各电阻的电流分别为，，，串联的总电阻为，则申联电路的规律可总结如下：（1）串联电路电流处处相等：2）串联电路两端总电压等于各电阻两端电压之和：3）串联电路的总电阻等于各电阻之和：；串联电路的总电阻大于其中任何一个电阻，串联电路中任一电阻增大，总电阻也增大4）串联电路各电阻两端的电压与其阻值成正比：二、并联电路1．并联电路的定义各用电器连接时，首端连接在一起作为首端，尾端连接在一起作为尾端，电流分别流过各个用电器的电路叫做并联电路图8.11为常见的并联电路2．并联电路的规律以图8.11为例，设并联电路总电压为，总电流为，各电阻两端电压分别为，，，流过各电阻的电流分别为，，，并联的总电阻为，则并联电路的规律可总结如下：（1）并联电路各电阻（或支路）两端电压相等：。
2）并联电路干路上的电流等于各支路电流之和：3）并联电路的总电阻的倒数等于各支路电阻倒数之和：；并联电路的总电阻小于任何一个支路电阻，且总电阻与最小的支路电阻更接近并联电路中任一电阻增大，总电阻也增大4）并联电路各电阻通过的电流与电阻阻值成反比：三、混联电路1．混联电路的定义混联电路是指用电器的连接方式中，既有串联方式又有并联方式图8.12（a）为典型的混联电路在混联电路中，弄清楚各个用电器的连接方式是关键在图8.12（b）中，虚线框中的电阻，并联，然后虚线框再与串联组成虚线框，虚线框与电阻并联组成虚线框，虚线框最后与电阻串联，即为整个电路的总电阻其中：虚线框内的等效电阻为，虚线框内的等效电阻为；虚线框内的等效电阻为，电路总电阻为2．混联电路的电压、电流关系在图8.12（b）中，设电源电压为，通过电源的电流为，电阻两端的电压分别为，通过它们的电流分别为，则有：在虚线框中，有在虚线框中，有，在虚线框中，有，电源电压分析清楚电路的连接方式和各个用电器电压、电流之间的关系，是解决混联电路问题的关键例1 （上海第26届大同杯初赛）三个阻值相等的电阻和电阻，，组成如图8.13所示的电路，且若电阻两端的电压为，电阻两端的电压为，则电阻两端的电压为（ ）。
A． B．C． D．分析与解 本题是典型的混联电路问题，解题的关键是弄清楚各个电阻之间的连接关系，以及它们电压、电流之间的关系设，，两端电压分别为，，，通过的电流分别为，，，根据电路图，电阻与串联后再与并联，则有 ①又，代入①式，可得 ②电阻两端的电压为，等于与位于中间的电阻两端电压之和，即 ③将，代入③式，并结合，可得 即 ④由②式解得，并代入④式，得到关于的方程：解得或（舍去）因此选项B正确例2 （上海第10届大同杯复赛）在图8.14所示电路中，（且保持不变），，，为了使电流表读数在同样的电阻链任意加长或减短时均保持不变，求：（1）最后一个电阻的取值2）这时电流表的读数分析与解 （1）根据欧姆定律，电流表读数在同样的电阻链任意加长或减短时均保持不变，则电路中的总电阻为定值，与电阻链的个数无关考察最右端电阻链的四个电阻，显然，当这四个电阻的总阻值恰等于时，方能符合题意则有，代入数据，解得2）由题意可知总电阻，电流表读数例3 在如图8.15所示电路图中，，两端电压为，，，1）若，间接理想电压表，求电压表的读数2）若，间接理想电流表，求电流表的读数。
3）若各个电阻阻值未知，但已知，则（1）、（2）两小问的结果分别如何？分析与解 本题是典型的桥式电路问题，希望本题的解答可以帮助同学们理解这一模型1），间接理想电压表时，，间并没有电流我们可以先求出电阻，两端的电压，即，与，之间的电压，从而可以求出，间的电压如图8.15所示，与的电压之和，且根据串联分压，解得，；同理，，可见，，两点间的电压为，，两点间的电压为，则，间的电压2），间接理想电流表时，如图8.16（a）所示、将各个支路电流画出，并设流过电流表的电流为，方向从流向，则可得，只要求出,，则可求出将图8.16（a）改画为图8.16（b），这不会改变通过各个电阻的电流在图8.16（b）中，与并联，与并联，然后两部分再串联起来与并联后的电阻，与并联后的电阻，根据串联分压原理，可知两部分所分电压，且，解得，，所以，所以，可见，通过电流表的电流大小为，方向应从点流向点3）若各电阻阻值满足，在，两点未接通时，根据串联分压规律，显然有，，即图8.15中，两点间电压与，两点间电压相等，则可推知，两点间电压为零，因此在，间接电压表或电流表，读数都将为零这也是一个重要结论，反过来也成立：若，之间电流为零，则一定有。
练习题1．（上海第12届大同杯初赛）在图8.17所示的电路中，电流表的读数为，若要使电流表的读数变为，则要（ ）A．在电路中串联一个电阻且B．在电路中串联一个电阻且C．在两端并联一个电阻且D．在两端并联一个电阻且2．（上海第13届大同杯初赛）在如图8.18所示电路中，电流表，，的示数比为5：3：1，则电阻，，之比为（ ）A．1：3：5 B．3：5：15 C．1：1：2 D．2：2：13．（上海第12届大同杯初赛）现有四个电阻，，和，其中，现将和组成串联电路，和组成并联电路，则（ ）A．串联电路的总电阻一定大于并联电路的总电阻B．串联电路的总电阻一定小于并联电路的总电阻C．串联电路的总电阻可能大于并联电路的总电阻D．串联电路的总电阻可能等于并联电路的总电阻 4．（上海第27届大同杯初赛）在如图8.19所示的电路中，电阻，若保持电路的总电流不变，那么为了使通过的电流稍增大一点，可采用的措施是（ ）A．与并联一个比小得多的电阻B．与并联一个比大得多的电阻C．与串联一个比小得多的电阻D．与串联一个比大得多的电阻5．（上海第19届大同杯初赛）某电压表的量程为，如给该电压表串联一个电阻，则电路两端允许的最大电压为；如给该电压表串联一个电阻，则电路两端允许的最大电压为。
现将电阻和并联后再与该电压表串联，如图8.20所示，则此时电路两端允许的最大电压为（ ）A． B． C． D．6．（上海第12届大同杯初赛）如图8.21所示，已知，保持电压不变，当电键闭合后（ ）A．电流表、电压表的读数均不变B．电流表读数不变，电压表读数变为原来的2倍C．电压表读数不变，电流表读数变为原来的2倍D．电流表、电压表的读数均变为原来的2倍7．（上海第12届大同杯初赛）如图8.22所示，当闭合后，电压表的示数为，电压表的示数为，电流表的示数为，将和对换位置后，，和的示数均不变，则（ ）A．通过，，的电流之和为 B．C．电源电压为 D．两端电压为8．（上海第12届大同杯初赛）在如图8.23所示的电路中，已知，当电键闭合时，电压表的示数为，那么电流表的示数为（ ）A． B． C． D．9．（上海第12届大同杯初赛）在如图8.24所示的电路中，的电阻值为，，，的电阻值都相等，电流表的电阻忽略不计，电路两端的电压恒定不变当电键,同时合上或同时打开时，发现电流表的示数不变，可以推知未知电阻的阻值为（ ）A． B． C． D．10．（上海第8届大同杯复赛）在图8.25所示的电路图中，四个小灯泡完全相同。
在电键闭合前，各灯都能正常发光当电键闭合后，应该出现的情况是（ ）A．各灯都比电键闭合前亮 B．各灯都比电键闭合前暗C．各灯都不可能发光 D．各灯仍能正常发光11．（上海第26届大同杯初赛）在如图8.26所示的电路中，，，是三个完全相同的电压表是两个定值电阻，若电压表，的示数分别是和，则，之间的电压可能为（ ）A． B． C． D．12．（上海第14届大同杯初赛）如图8.27所示的电路较为复杂，但采用合理的估算，就可以计算出表与表的示数分别为（ ）A．0.13，30 B．0.11，10 C．0.33，30 D．0.31，1013．（上海第14届大同杯初赛）图8.28所示电路是由12个不同的电阻组成的，已知，其余电阻阻值未知，测得，间的总电阻为今将换成的电阻，则，间的总电阻为（ ）A． B． C． D．14．（上海第14届大同杯初赛）在图8.29所示的电路中，电源电压保持不变，电键闭合前，电流表，的示数比为5：3，电键闭合后，两电流表的示数比为3：2，则，的大小关系是（ ）A． B． C． D．无法确定 15．（上海第13届大同杯初赛）如图8.30所示，滑动变阻器的总电阻为，定值电阻，电源电压为。
断开电键，移动滑动片使电压表的示数为，然后闭合电键，则通过的电流为（ ）A． B． C． D．16．（上海第16届大同杯初赛）在如图8.31所示的两种电路中，电源电压相同，四个电阻器的电阻值均相等，四个电流表也完全相同，但电流表的内阻均不可忽略不计电流表，，，八的示数分别为，，，，则下列不等式中错误的是（ ）A． B． C． D．17．（上海第21届大同杯初赛）如图8.32所示，电源电压恒为，滑动变阻器的滑片位于中点，则下列情况中，可使电阻两端的电压最接近的是（ ）A．， B．，C．， D．，18．（上海第23届大同杯初赛）如图8.33所示，图（a），（b）中两个电路的电源完全相同，且则下列说法中正确的是（ ）A．电流表没有示数，电流表有示数B．电流表，都有示数，且示数相同C．电流表，都有示数，且电流表的示数较大D．电流表，都有示数，且电流表的示数较大19．（上海第28届大同杯初赛）在如图8.34所示的电路中，为一个稳压管，其作用是确保，之间的电压不变，只要流过稳压管的电流在和之间，将稳定为为一可变电阻，它的最小值为，最大值为无穷大（即断路）设电源电压为，则当变化时，为了确保为，的阻值范围应为（ ）。
A． B． C． D． 20．（上海第29届大同杯初赛）在如图8.35所示的电路中，电阻标有“，”，标有“，”，电流表，的量程均为，电压表的量程为，在，间接入电压可调的电源闭合电键后，为保证，均不损坏，则允许的最大电源电压和此时通过电流表的电流分别为（ ）A．， B．， C．， D．，21．（上海第31届大同杯初赛）在如图8.36所示的电路中，电阻和并联，则三个电表中（ ）A．表1、表2是电流表，表3是电压表 B．表1、表2是电压表，表3是电流表C．表1、表2、表3都是电流表 D．表1、表2、表3都是电压表22．（上海第22届大同杯复赛）如图8.37（a）所示，在一个电阻均匀的金属圆环上有，，，四点其中为圆心，，为圆环的两条互相垂直的直径现把，两点接入电源电压保持不变的如图9.39（b）所示的电路两端时，发现电流表示数为，当换接，两点时，电流表的示数应为（ ）A． B． C． D．23．（上海第32届大同杯初赛）在如图8.38所示的电路中，电源电压保持不变为定值电阻，为滑动变阻器，且，闭合电键，移动滑片至点时，电压表示数为；移动滑片至点时，电压表示数为；移动滑片至点时，电压表示数为（ ）。
A． B． C． D．24．（上海第12届大同杯初赛）在图8.39所示的电路中，电源电压为，定值电阻为，滑动变阻器标有“，”字样，则该电路正常使用时总电阻的变化范围是（ ）A． B． C． D． 25．（上海第17届大同杯初赛）在图8.40所示电路中，已知，将接通时，电阻的电压为，流过电阻的电流为，将接通时，电阻的电压为，流过电阻的电流为，则电阻的阻值为________，电阻的阻值为________26．（上海第7届大同杯复赛）如图8.41所示，若每个电阻的阻值均为，则两端的总电阻是________ 27．（上海第7届大同杯复赛）如图8.42所示，已知，的示数为，的示数为，则的示数为________ 28．（上海第10届大同杯复赛）在图8.43所示的电路中，电阻，，，，电压且保持不变如在，间接一电阻，使流过的电流为零，则的阻值为_________；如在，间接一电压表，其读数为________；如在，间接一电流表，其读数为________电压表、电流表的内阻对电路的影响可以忽略）29．（上海第2届大同杯复赛）在图8.44中，电源电压，，，，闭合电键后，电流表的读数。
求：电压表读数和变阻器中通有电流的那部分的电阻值30．（上海第4届大同杯复赛）在图8.45所示的电路中，，电源电压为，电压表的示数为，电流表的示数为如果再取一个定值电阻接入电路，要使电流表的示数变为，试问：（1）的阻值为多大？（2）的阻值应为多大，以什么方式接入电路？（3）接人电路后，电压表的读数为多少？ 参考答案1．D电流表读数由变为，总电阻应从变为，应将与并联，且应有，解得提示：题中三个电阻并联，测总电流，测通过与的电流之和，测通过的电流提示：串联的总电阻大于，并联的总电阻小于，考虑到，选项A正确设总电流为，通过，的电流分别为，，则根据并联电路的规律，有，，解得可见，在总电流不变时，的大小依赖于的大小，当略微增大（即与串联一个比小得多的电阻，使得原支路电阻略微变大），略微变小，从而略微增大电路两端达到允许的最大电压时，电压表应达到最大量程，即通过电压表的电流为满偏电流，电路两端的电压超出电压表量程的部分由定值电阻分担，则，，设和并联后分担的最大电压为，则，可解得并，因此此时整个电路两端允许的最大电压为电键闭合时，电流表的读数为，电压表的读数为；电键断开时，电流表的读数为，电压表的读数为。
7．D电路中三个电阻为串联，电流均为，选项A错误；电压表的示数等于与电压之和，即，电压表的示数等于与电压之和，即，又和对换位置后，的示数不变，可知，即，，电源电压为，电阻，选项D正确由电路图知电压表测电源电压，则电源电压为，电阻，，并联，并联部分总电阻为，然后再与串联，由分压关系，电阻两端电压为，并联部分电压为，则并联部分每个支路的电流为电流表测通过与的电流之和，因此其示数为设，闭合前后电流表示数始终为，设电键，闭合前，电阻，，串联，与的电压之和；电键，闭合后，与并联，与并联，这两个并联部分再与串联此时与，的总电阻为，由于流过的电流仍为，与并联后的电压不变，因此其余部分电压仍为电路中的总电流等于流过与的电流之和，即，则，将两个含有的式子联立解得10．D提示：四个灯泡完全相同，开关闭合后，并没有电流通过11．AC依题意，三个电压表内阻相同，电压表内阻不能视为无穷大，要考虑流过电压表的电流之间的电压等于电压表和的示数之和两个电阻与电压表之间为桥式连接，求解的示数时，判断通过的电流方向是关键不妨设点接电源正极，点接电源负极，设通过的电流为，方向向右，则通过的电流为，方向可能向左也可能向右若通过的电流向左，则通过的电流为，的示数为，，之间的电压为；若通过的电流向右，则通过的电流为，的示数为，，之间的电压为。
12．A最上面的两个电阻串联后总阻值为，然后再与的电阻并联，则并联后的总阻值近似为，再与左边一个的电阻串联后总阻值近似为，这样，电路就近似等效为一个和一个的电阻并联，最后的总电阻约为，因此表的读数为，电流表的读数为选项A正确13．B将以外的部分视为一个电阻，则，解得，则当将换成的电阻时，，解得14．A设电键闭合前后，两电流表读数分别为，和，，则闭合前，；设闭合后，与并联后的等效电阻为，则，又，由以上关系解得选项A正确15．A断开电键时电压表的读数为，说明滑片在变阻器中央，滑片以下部分的阻值为闭合电键后，变阻器滑片以下的部分与并联，并联部分阻值，则并联部分所分的电压，通过的电流为16．C设电源电压为，电流表内阻均为，再设与一个串联后的电压之和为，显然由欧姆定律，得，，显然选项AB正确；又，选项C错误；由于与分别是左右两个电路的总电流，在电源电压相等时，比较总电流的大小关系，可以从比较两个电路的总电阻入手左边电路的总电阻，右边电路的总电阻，，可见，因此，选项D正确17．D与滑动变阻器的下半部分并联，并联部分的总电阻越接近，并联部分所分的电压就越接近电源电压的一半可见，越小，越大，越接近，选项D正确。
18．D四个电阻的阻值不满足，则，的读数均不为零设在图8.33（a）中，通过，，，的电流分别为，，，，显然，图8.33（b）中各个电阻通过的电流也对应地分别为，，，，各电阻电流方向均向右则电流表的读数为通过的电流可能向上，也可能向下，若向上，则；若向下，则，故的读数一定大于19．B稳压管的电压为不变，则两端电压为不变当的阻值为时，通过的电流为，通过的电流范围是到，可求得的阻值范围为当的阻值为无穷大时，通过的电流为零，通过的电流范围是到，可求得的阻值范围为而这两部分的公共部分是，选项B正确20．B让通过的电流为，则电压表读数为，通过的电流为，电流表的示数为21．A22．D提示：设圆周导线的电阻为，则，两点接入电路时，，间的等效电阻，电流表的读数两点接入电路时，，间的等效电阻，电流表的读数23．C不妨设，则滑片在点时，电路中的电流为电压表的读数为；同理，滑片滑至点时，电压表示数，可解得，，则滑片滑至点时，电压表读数为24．B变阻器连人电路的阻值为时，总电阻最大值，当变阻器通过的电流为时，变阻器连人的电阻为，总电阻最小值25.7，3080接时，电阻两端的电压等于电源电压，即接时，两端的电压为，则两端的电压为，，且，，的电流之和等于，有。
在接时，两端的电压为，两端的电压为，则，由此可解得26.3提示：自右向左逐个求解等效阻值即可27.0.6由电路图可知四个电阻并联，的示数等于通过，的电流之和，的示数等于通过，，的电流之和，因此通过的电流为并联的各支路电阻之比等于电阻的反比，则，，则的示数为28．；9；若要使得流过的电流为零，则其余四个电阻必须满足，可解得当，间接电压表时，电路的连接方式为与串联后再与并联，最后并联部分再与串联电压实际测量的是电阻与的电压之和，等效电路图如图8.46（a）所示易得，，的总阻值为，则由分压关系可知两端的电压为，两端电压为，因此电压表读数为当，间接电流表时，电路的连接方式变为，并联，然后再与串联，最后这整个部分再与并联，电流表测量的是通过电阻与的电流之和，等效电路图如图8.46（b）所示容易求得通过的电流为，通过的电流为，则电流表的示数为329．电阻两端的电压，通过的电流，通过变阻器和电阻的电流，电压表的读数，变阻器两端的电压，变阻器连人电路的阻值30．（1）2）接入电路前，电路的总电阻，接入电路后，电路的总电阻，可见，接入后总电阻减小了，只能并联在电路中①若并联在，之间，则并联后，之间的阻值应为，故有，解得。
②若并联在，之间，则并联后，之间的阻值应为，故有，解得③若并联在，之间，则并联后，之间的阻值应为，显然只有将无阻值的导线接在，之间才能满足，这不符合题意3）将并联在不同的位置，电压表的读数不同①当并联在，之间时，，根据串联分压规律，电压表示数②当并联在，之间时，并未影响，所在的这条支路，因此。