第第2章章 连续时间信号与系统的时域分析连续时间信号与系统的时域分析 2.1 引言引言 连续时间LTI系统的数学模型是常系数线性微分方程因此，本章首先复习微分方程经典解法，即先求齐次解和特解，再由初始条件求待定系数为了理解系统的物理特性，通常将系统的完全响应分解为零输入响应和零状态响应对于仅取决于起始状态的零输入响应，可通过求解齐次微分方程得到零状态响应的求解则除了用经典方法求解外，还可以用卷积方法冲激响应和阶跃响应是两种很重要的零状态响应，它们在求解系统响应和进行系统特性分析、连续系统的各种变换域分析中都起到了很重要的作用，是本章介绍的重要概念2.2 连续连续LTI系统微分方程模型的建立和求解系统微分方程模型的建立和求解2.2.1 连续连续LTI系统微分方程模型的建立系统微分方程模型的建立 mkkknkkkdttxdbdttyda0k0k)()()()()()()()(011-m1m011-n1ntxbtxdtdbtxdtdbtyatydtdatydtdammmmnnnn一个线性连续LTI系统，可以用下面一般形式的微分方程来描述或者2.2 连续连续LTI系统微分方程模型的建立和求解系统微分方程模型的建立和求解2.2.1 连续连续LTI系统微分方程模型的建立系统微分方程模型的建立 根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。
对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程元件特性约束：表征元件特性的关系式例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL，KVL这些内容在电路分析中已有介绍，这里介绍一种简单方便的算子法列写电路的微分方程2.2 连续连续LTI系统微分方程模型的建立和求解系统微分方程模型的建立和求解2.2.1 连续连续LTI系统微分方程模型的建立系统微分方程模型的建立 用 p 表示微分算子，即有1/p 表示积分算子，即有nnndtdpdtdpdtdp,222 dpt12.2 连续连续LTI系统微分方程模型的建立和求解系统微分方程模型的建立和求解2.2.1 连续连续LTI系统微分方程模型的建立系统微分方程模型的建立 有了算子，电路微分方程的建立就像代数方程的建立一样方便简单如果把 看成电阻、电感、电容的算子阻抗，方程的列写更简单由此可以得到电阻、电感、电容的算子伏安关系：pCpLR1,2.2 连续连续LTI系统微分方程模型的建立和求解系统微分方程模型的建立和求解2.2.1 连续连续LTI系统微分方程模型的建立系统微分方程模型的建立 0)()1()(1)()(1)()1(21tiRLpCPtiCPtxtiCPtiCPRLL根据电路微分算子运算模型，列写回路方程，得 例例2-2-1：2.2 连续连续LTI系统微分方程模型的建立和求解系统微分方程模型的建立和求解2.2.1 连续连续LTI系统微分方程模型的建立系统微分方程模型的建立 象解代数方程组那样，使用克莱姆法则解此方程，得)()1()1()11(1111101)()(1212211221212txLCRRLCpCRLRpLCRpLRRpRRLpCpCpCpCpRRLpCpCptxti则微分方程可表示为)()11()()1()1(1122112122txLCRpLRRpRtiLCRRLCpCRLRp代入元件参数，可得)(4)(dd6)(dd)(10)(dd7)(dd22txtxttxttitittit2.2 连续连续LTI系统微分方程模型的建立和求解系统微分方程模型的建立和求解2.2.2 连续连续LTI系统微分方程的经典解法系统微分方程的经典解法 一个线性系统，其激励信号 与响应信号 之间的关系，可以用下列形式的微分方程式来描述)(tx)(ty若系统为时不变的，则a，b均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。
方程的阶次由独立的动态元件的个数决定)()()()()()(011-m1m011-n1ntxbtxdtdbtxdtdbtyatydtdatydtdammmmnnnn微分方程所表示系统的完全解)(ty可表示为)()()(tytytyph2.2 连续连续LTI系统微分方程模型的建立和求解系统微分方程模型的建立和求解2.2.2 连续连续LTI系统微分方程的经典解法系统微分方程的经典解法齐次解齐次解 齐次微分方程nktkkC1e特征方程特征根0)()()(011-n1ntyatydtdatydtdannnnaaaannnn11100齐次解形式：（和特征根有关）12,n2.2 连续连续LTI系统微分方程模型的建立和求解系统微分方程模型的建立和求解2.2.2 连续连续LTI系统微分方程的经典解法系统微分方程的经典解法齐次解齐次解 微分方程的齐次解形式2.2 连续连续LTI系统微分方程模型的建立和求解系统微分方程模型的建立和求解2.2.2 连续连续LTI系统微分方程的经典解法系统微分方程的经典解法齐次解齐次解 例例2-2-2：求微分方程)()(12)(16)(7)(txtytytyty的齐次解微分方程的特征方程为 0121672322,133ttthCCtCty332221eee)(特征根为，。
因此，微分方程的齐次解为2.2 连续连续LTI系统微分方程模型的建立和求解系统微分方程模型的建立和求解2.2.2 连续连续LTI系统微分方程的经典解法系统微分方程的经典解法齐次解齐次解 例例2-2-3：求微分方程的齐次解微分方程的特征方程为 其特征根为共轭复根因此，微分方程的齐次解为)()(4)(4)(txtytyty0842j222,1)2sin2cos(e)(212tCtCtyth2.2 连续连续LTI系统微分方程模型的建立和求解系统微分方程模型的建立和求解2.2.2 连续连续LTI系统微分方程的经典解法系统微分方程的经典解法特解特解 特 解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式代入原方程，比较系数 定出特解根据下表可以由微分方程右端函数假设特解形式2.2 连续连续LTI系统微分方程模型的建立和求解系统微分方程模型的建立和求解2.2.2 连续连续LTI系统微分方程的经典解法系统微分方程的经典解法特解特解 2.2 连续连续LTI系统微分方程模型的建立和求解系统微分方程模型的建立和求解2.2.2 连续连续LTI系统微分方程的经典解法系统微分方程的经典解法特解特解 例例2-2-4：求微分方程)()(12)(16)(7)(txtytytyty的特解。
已知激励 ，ttx e)(1tpAtye)(不为微分方程的特征根，则代入系统微分方程，有已知激励 ，且ttx e)(方程的特解形式为tttttAAtAtAte)e(12)e(dd16)e(dd7)e(dd2233整理后比较方程两端，对应项的系数应相等，从而确定待定系数21A tptye21)(所以2.2 连续连续LTI系统微分方程模型的建立和求解系统微分方程模型的建立和求解2.2.2 连续连续LTI系统微分方程的经典解法系统微分方程的经典解法完全解完全解 完全解：齐次解+特解，由初始条件定出齐次解中的待定系数)(e)()()(1tyCtytytypnitiphi)(ee)()()(11tyCtCtytytypnkjtjkitikiphji若微分方程的特征根均为单根，则微分方程的完全解形式为 若特征根 均为 重根，而其余 个根均为单根时，则微分方程的完全解形式为 1k)(kn iCjC、由初始条件确定2.2 连续连续LTI系统微分方程模型的建立和求解系统微分方程模型的建立和求解2.2.2 连续连续LTI系统微分方程的经典解法系统微分方程的经典解法完全解完全解 例例2-2-5：求当 、时的完全解。
已知微分方程)(2)()(2)(3)(txtxtytytyttx e)(0)0(y3)0(y微分方程的特征方程为 02321122得特征根为 、，因此，微分方程的齐次解为 tthCCty221ee)(2.2 连续连续LTI系统微分方程模型的建立和求解系统微分方程模型的建立和求解2.2.2 连续连续LTI系统微分方程的经典解法系统微分方程的经典解法完全解完全解 将代入系统微分方程，得ttttttAtAttAtte2)e(dd)e(2)e(dd3)e(dd22整理后比较方程两端，对应项的系数应相等，确定待定系数 1A因此，特解为 tptty e)(tpAttye)(2.2 连续连续LTI系统微分方程模型的建立和求解系统微分方程模型的建立和求解2.2.2 连续连续LTI系统微分方程的经典解法系统微分方程的经典解法完全解完全解 因此，完全解可表示为 tttphtCCtytytyeee)()()(221其一阶导数为tttttCCtyeee2e)(2212.2 连续连续LTI系统微分方程模型的建立和求解系统微分方程模型的建立和求解2.2.3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应)()()(tytytyzszi2.2 连续连续LTI系统微分方程模型的建立和求解系统微分方程模型的建立和求解2.2.3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应即在0t的瞬间)0()0()0()0(LLCCiiuu2.2 连续连续LTI系统微分方程模型的建立和求解系统微分方程模型的建立和求解2.2.3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应例例2-2-6：首先易得V10)0(CuA5)0(LiV10)0()0(CCuuA5)0()0(LLii所以求零输入响应2.2 连续连续LTI系统微分方程模型的建立和求解系统微分方程模型的建立和求解2.2.3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应零输入等效电路0)()(dd2)(dd2tututtutzizizitzitzizitCCtuee)(21)0(t其微分方程零输入初始值等效电路 V10)0(ziuRiuLzi)0()0(0)0(dd)0(LLitLu又V/s0)0(dd)0(ddRitutLzi所以求零输入响应2.2 连续连续LTI系统微分方程模型的建立和求解系统微分方程模型的建立和求解2.2.3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应V10)0(ziuV/s0)0(dd)0(ddRitutLzi将初始条件代入上面两式，则求出待定系数 101ziC102ziC因此，零输入响应为 ttzittue10e10)()0(t求零输入响应2.2 连续连续LTI系统微分方程模型的建立和求解系统微分方程模型的建立和求解2.2.3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应求零状态响应零状态等效电路)(2)()(dd2)(dd2titututtutszizszs其微分方程0)0(zsu其中0)0(ddzsut)(3)(tutis易求得零状态响应中的特解为常数6。
于是，零状态响应可表示为 6ee)(21tzstzszstCCtu)0(t2.2 连续连续LTI系统微分方程模型的建立和求解系统微分方程模型的建立和求解2.2.3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应求零状态响应零状态初始值等效电路 V0)0(zsu又因RiuLzs)0()0(0)0(dd)0(LLitLu所以V/s0)0(dd)0(ddRitutLzs2.2 连续连续LTI系统微分方程模型的建立和求解系统微分方程模型的建立和求解2.2.3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应求零状态响应V0)0(zsuV/s0)0(dd)0(ddRitutLzs将初始条件代入上面两式，则求出待定系数 61zsC62zsC6e6e6)(ttzsttu因此，零状态响应为)0(t完全响应为6e4e4)()()(ttzszittututu)0(t2.2 连续连续LTI系统微分方程模型的建立和求解系统微分方程模型的建立和求解2.2.3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应2.2 连续连续LTI系统微分方程模型的建立和求解系统微分方程模型的建立和求解2.2.3 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应 如果将LTI系统的响应分解为零输入响应和零状态响应，则可以对LTI系统的线性性进一步有如下理解：（1）响应的可分解性：系统的完全响应可分解为零输入响应和零状态响应；（2）零输入线性性：当外加激励信号为零时，系统的零输入响应对于各起始状态呈线性关系，称为零输入线性；（3）零状态线性性：当起始状态为零时，系统的零状态响应对于各个外加激励信号呈线性关系，称为零状态线性。
2.3 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应2.3.1 冲激响应冲激响应系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示)(t 2.3 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应2.3.1 冲激响应冲激响应一般地，若描述一个连续LTI系统的微分方程式为)()()()()()(0)1(1)(0)1(1)(txbtxbtxbtyatyatyammmmnnnn根据定义，为了求冲激响应，令 ，则)()(ttx)()()(thtytyzs所以有)()()()()()(0)1(1)(0)1(1)(tbtbtbthathathammmmnnnn2.3 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应2.3.1 冲激响应冲激响应为了保证上式的等号两端各奇异函数项相平衡)()()()()()(0)1(1)(0)1(1)(tbtbtbthathathammmmnnnn2.3 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应2.3.1 冲激响应冲激响应设特征根为简单根（无重根的单根）)(e)(1tuAthnitii 及其各阶导数应包含时，当；中应包含时，当及其各阶导数；不含时，当tthmntthmntthmn与与n,m相对大小有关相对大小有关 与特征根有关与特征根有关2.3 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应2.3.1 冲激响应冲激响应例例2-3-1：某线性时不变系统的微分方程为)(4)(3)(2)(3)(txtxtytyty试求其冲激响应)(th2.3 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应2.3.1 冲激响应冲激响应)()e2e()()()()e2e()()ee()(22121221221tuCCtCCtuCCtCCthtttttt)()e4e()()2()()()()e4e()()e2e()()()(221212122122121tuCCtCCtCCtuCCtCCtCCthtttttt代入系统微分方程两端并整理，得)(4)(3)()2()()(2121tttCCtCC321CC4221CC11C22C所以)()e2e()(2tuthtt2.3 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应2.3.1 冲激响应（总结）冲激响应（总结）冲激响应的求解至关重要。
冲激响应的定义零状态；单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况下加同样的激励 ，看响应 ，不同，说明其系统特性不同，冲激响应可以衡量系统的特性t)(th)(th用变换域(拉氏变换)方法求冲激响应和阶跃响应简捷方便，但时域求解方法直观、物理概念明确2.3 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应2.3.2 阶跃响应阶跃响应系统在单位阶跃信号 作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用 表示)(tu)(tg2.3 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应2.3.2 阶跃响应阶跃响应)()()()()()(0)1(1)(0)1(1)(tubtubtubtgatgatgammmmnnnn易得求解阶跃响应的微分方程表达式特解为)()(00tuabtyp2.3 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应2.3.2 阶跃响应阶跃响应例例2-3-2：某线性时不变系统的微分方程为)(4)(3)(2)(3)(txtxtytyty试求其阶跃响应)(tg2.3 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应2.3.2 阶跃响应阶跃响应)()e2e()()2()(22121tuCCtCCtgtt)()e4e()()2()()2()(2212121tuCCtCCtCCtgtt代入系统微分方程两端并整理，得)(4)(3)(4)()62()()2(2121tuttutCCtCC11C12C所以0221CC36221CC)()ee2()(2tutgtt2.3 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应2.3.2 阶跃响应阶跃响应)(dd)(tutt d)()(ttu)(dd)(tgtthd)()(tthtg阶跃响应与冲激响应的关系2.3 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应2.3.2 阶跃响应阶跃响应例例2-3-3：)()()(e2)(1tgtytutyzit)(dd)()()(2tgttyttyzi)(e2)()()(ddtuttgtgtt易得特解为te完全解为)()ee()(tuAtgtt)(e2)()()ee()()ee()()1(tuttuAtuAtAttttt2.3 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应2.3.2 阶跃响应阶跃响应可得 0A)(e)(tutgt所以)(e)()(dd)(tuttgttht)(e)(tutytzi2.4 卷积积分及其应用卷积积分及其应用2.4.1 卷积积分的定义卷积积分的定义2.4 卷积积分及其应用卷积积分及其应用2.4.2 卷积求系统零状态响应卷积求系统零状态响应)(t)(th)(t)(th)()(tx)()(thxd)()(txd)()(thx即)()(d)()()(thtxthxtyzs2.4 卷积积分及其应用卷积积分及其应用2.4.2 卷积求系统零状态响应卷积求系统零状态响应例例2-4-1：某线性时不变系统的冲激响应为)(e)(tutht系统的输入为)(tu，求该系统的零状态响应。
d)(e)()()()()(tuuthtutytzs)()e1(1e)(0)(tudtytttzs2.4 卷积积分及其应用卷积积分及其应用2.4.3 卷积运算的图解法卷积运算的图解法2.4 卷积积分及其应用卷积积分及其应用2.4.3 卷积运算的图解法卷积运算的图解法例例2-4-2：2.4 卷积积分及其应用卷积积分及其应用2.4.3 卷积运算的图解法卷积运算的图解法两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为0 021tff 021tftfth2t2.4 卷积积分及其应用卷积积分及其应用2.4.3 卷积运算的图解法卷积运算的图解法141)d(211d)()()(2221ttttfftft02t2.4 卷积积分及其应用卷积积分及其应用2.4.3 卷积运算的图解法卷积运算的图解法1)d(211)(2ttttf20 t2.4 卷积积分及其应用卷积积分及其应用2.4.3 卷积运算的图解法卷积运算的图解法ttttft22241)d(211)(42 t2.4 卷积积分及其应用卷积积分及其应用2.4.3 卷积运算的图解法卷积运算的图解法两波形没有公共处，二者乘积为0，即积分为00)(tf4t2.4 卷积积分及其应用卷积积分及其应用2.4.3 卷积运算的图解法卷积运算的图解法42 ,4120 ,102 ,1414or 2 ,0)(22ttttttttttf2.4 卷积积分及其应用卷积积分及其应用2.4.3 卷积运算的图解法卷积运算的图解法积分上下限和卷积结果区间的确定 tf1 tf2A,BA,BC,DC,DA+C,B+DA+C,B+D tf一般规律：上限下限 021的范围（区间）确定。
由tff上限取小，下限取大(1)积分上下限(2)卷积结果区间-2 tf2 tf2 tf1024+22.4 卷积积分及其应用卷积积分及其应用2.4.4 卷积运算的性质卷积运算的性质卷积代数卷积代数1交换律)()()()(1221tftftftf d)()(2121tfftftf，令tdd:，则卷积结果与交换两函数的次序无关因为倒置 与倒置 积分面积与t无关1f 2f一般选简单函数为移动函数如矩形脉冲或(t)tftftfftftf121221d)()(证明：2.4 卷积积分及其应用卷积积分及其应用2.4.4 卷积运算的性质卷积运算的性质卷积代数卷积代数2结合律)()()()()()(2121tftftftftftf结论：时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积2.4 卷积积分及其应用卷积积分及其应用2.4.4 卷积运算的性质卷积运算的性质卷积代数卷积代数3分配律)()()()()()()(3121321tftftftftftftf结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系统冲激响应之和2.4 卷积积分及其应用卷积积分及其应用2.4.4 卷积运算的性质卷积运算的性质时移性质时移性质设设则则)()()()()(txththtxtg)()()()()(00tthttxthtxtg)()()()()(000tthtxthttxttg2.4 卷积积分及其应用卷积积分及其应用2.4.4 卷积运算的性质卷积运算的性质微分与积分性质微分与积分性质)()()()()(2)1(1)1(21)1(tftftftftff(t)的积分积分性质：微分性质：推广：)()()()()()(12)(21)(tftftftftfnnn)(dd)()(dd)()(dd1221tfttftfttftfttttxxftfxxftfxxfd)()(d)()(d)(12212.4 卷积积分及其应用卷积积分及其应用2.4.4 卷积运算的性质卷积运算的性质微分与积分性质微分与积分性质)()()()(2)(1tftftfnn微分性质积分性质联合使用微分性质积分性质联合使用对于卷积很方便，特别是下面这个公式。
对于卷积很方便，特别是下面这个公式微分微分n次，次，积分积分m次次m=n,微分次数微分次数积分次数积分次数)()()()()()(1)(2)(2)(1)(tftftftftfmnmnmnttxxftftxxftfttftfd)()(ddd)()(dd)()(1221212.4 卷积积分及其应用卷积积分及其应用2.4.4 卷积运算的性质卷积运算的性质与冲激信号的卷积与冲激信号的卷积)()()()()(tftftttf)()()(2121tttfttttf)()()(tfttf )()()(tfttfkk)()()(00ttftttf )()()(00ttftttfkktxxftutfd)()()(推广：2.4 卷积积分及其应用卷积积分及其应用2.4.4 卷积运算的性质卷积运算的性质例例2-4-3：)1()2()1()2()()()(txtxtttxthtx2.4 卷积积分及其应用卷积积分及其应用2.4.4 卷积运算的性质卷积运算的性质例例2-4-4：精品课件精品课件！精品课件精品课件！2.4 卷积积分及其应用卷积积分及其应用2.4.4 卷积运算的性质卷积运算的性质。