第一章极限与连续 数列的极限 函数的极限 无穷大量与无穷小量 极限的运算法则 二个重要极限 无穷小的比较 函数的连续性 极限概念在经济学中应用1.数列的定义 一个定义在正整数集合上的函数(称为整标函数),当自变量按正整数依次增大的顺序取值时，函数值按对应的顺序排成一串数：称为一个无穷数列，简称数列数列中的每一个数称为数列的项，称为数列的一般项1.2.1数列的极限),(,),3(),2(),1(nffffnynf也也可可表表示示为为),(nny21 nyn11 nyn2 2)1(1nny ,161,81,41,21.1,45,34,23,2.2,8,6,4,2.31,10,0.4 下面我们来看几个无穷数列的例子下面我们来看几个无穷数列的例子,先找先找出它们的通项出它们的通项xxfy21)(xxfy11)(xxfy2)(2)1(1xy 截丈问题：截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122 X为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和;2121212nnXn 天天截截下下的的杖杖长长总总和和为为第第nnX211 1我们再来分析一下这几个数列的变化趋势数数不不趋趋向向于于一一个个确确定定的的常常时时nyn,)4(数数不不趋趋向向于于一一个个确确定定的的常常时时,)3(nyn0,)1(nyn时时1,)2(nyn时时nny21 nyn11 nyn2 2)1(1nny .1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它.1nxnnn11)1(1 ,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,100111 nxn有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,10000111 nxn有有,100001给定给定,10000时时只只要要 n,1000111 nxn有有,0 给给定定,)1(时时只要只要 Nn.1成成立立有有 nxnxn11 如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例.1)1(lim1 nnnn证证明明证证1 nx1)1(1 nnnn1,0 任给任给,1 nx要要,1 n只只要要,1 n或或所以所以,11 N取取,时时则则当当Nn 1)1(1nnn就就有有.1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：说明：说明：数列是一种特殊的函数，以项数为自变量的整标函数 如果一个数列有极限，我们就称此数列是收敛的，否则就称它是发散的l常数数列的极限为此常数 一自变量趋向无穷大时函数的极限一自变量趋向无穷大时函数的极限 二自变量趋向有限值时函数的极限二自变量趋向有限值时函数的极限 三极限的性质三极限的性质第二节第二节 函数的极限函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限xxf11)(1 例例)()(,)(limxAxfAxfx或x11+10 xy一般的对于函数 和常数A，若 时，无限趋近于A，则称A为 时函数 的极限，记为 xx)(xf)(xf)(xf当 的绝对值无限增大时(记为 )的值无限趋近于1，x)(xfx注意：是刻划（x）与A的接近程度的，是任意给定的，M是随 而定的。
10情形情形x两种特殊情形两种特殊情形:Axfx)(limAxfx)(lim:.20情形情形x Axfx)(lim:定理定理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且 当 沿 轴的正向趋向无穷时，函数 无限趋近于常数A，则称常数A为 +时，函数 的极限记为 xx)(xfx)(xf 当 沿 轴的负向趋向无穷时，函数 无限趋近于常数A，则称常数A为 -时函数 的极限记为 xx)(xf)(xfx二、自变量趋向有限值时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限 例例1 函数函数 ,由观察可知，当由观察可知，当 趋趋 近于近于1（记为（记为 1）时，函数）时，函数 的值无限趋近的值无限趋近 4，我们称我们称4为为 1时，时，的极限记为的极限记为4)1(2lim)(lim11xxfxx)1(2)(xxfxx)(xf)(xfx8)35(8)(xxf无限接近于无限接近于0 例例2 的值无限接近的值无限接近8)(,1,35)(xfxxxf时时当当 换言之，换言之，当当 1时，时，x（此时可以说（此时可以说 8就是就是 1,函数函数 的极限）的极限）x)(xf那么那么8就是当就是当 1时，函数时，函数 的极限的极限)(xfx（此时可以说（此时可以说 13就是就是 2时，函数时，函数 的极限）的极限）x)(xf 例例3 =5+3,5+3,当当 2 2时，时，的值无限接近的值无限接近13。
x)(xfx)(xf13)35(13)(xxf换言之，当换言之，当 2时，时，x就说当就说当 2时，函数时，函数 的极限是的极限是13 x)(xf无限接近于无限接近于0（无限小）（无限小）2.几何解释几何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx注意：注意：;)(.10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf.,越越小小越越好好后后找找到到一一个个显显然然 定理定理4(4(唯一性定理唯一性定理)如果函数在某一变化过程中如果函数在某一变化过程中 有极限，则其极限是唯一的有极限，则其极限是唯一的 函数极限的性质函数极限的性质定理定理5(5(有界性定理有界性定理)若函数若函数f(x)当当x x0 0时极限存在，时极限存在，则必存在则必存在x0 0的某一邻域，使得函数的某一邻域，使得函数f(x)在该邻域内有界在该邻域内有界定理定理6(6(两边夹定理两边夹定理)如果对于如果对于x0 0的某邻域内的一切的某邻域内的一切 x(可以除外可以除外)，有，有 ，且，且00lim()lim()xxxxh xg xA 0lim()xxf xA 则则0 x()()()h xf xg x3.单侧极限单侧极限:例如例如,0,10,1)(2xxxxxf设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx 当 从0的左侧趋向于0时，有1)1(lim0 xx当 从0的右侧趋向于0时，有1)1(lim20 xxyox11-xx2+1xxA.f(x)f(x)Af(x):xxxxxx 000limlimlim1定定理理.lim0不不存存在在验验证证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不不存存在在xfx例例8证证1)1(lim0 xxxxxxx00limlim 11lim0 x思考题思考题0,50,100,1)(2xxxxxxf 在在0 x处的左、右极限是否存在？当处的左、右极限是否存在？当0 x时，时，)(xf的极限是否存在？的极限是否存在？思考题解答思考题解答 )(lim0 xfx,5)5(lim20 xx左极限存在左极限存在,)(lim0 xfx,1)1(lim0 xx右极限存在右极限存在,)(lim0 xfx)(lim0 xfx)(lim0 xfx不存在不存在.例如例如,01lim xx.1时时的的无无穷穷小小是是当当函函数数 xx,0)1(lim nnn.)1(时的无穷小时的无穷小是当是当数列数列 nnn注意注意1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数零是可以作为无穷小的唯一的数.一、无穷小一、无穷小1.定义定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小量无穷小量.无穷小与无穷大无穷小与无穷大2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:3.无穷小的运算性质无穷小的运算性质:定理定理2 在同一过程中在同一过程中,有限个无穷小的代数有限个无穷小的代数和仍是无穷小和仍是无穷小.定理定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.定理定理4:有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷大二、无穷大绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.11lim1 xx例例特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大，负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或注意注意 1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.)(lim.20认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 xfxx三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系0）1(xlim而1x1lim例1x1x 定理定理4 4 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.2x2xxlim,0 x1lim而而四、小结四、小结1、主要内容、主要内容:2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1）无穷小（无穷小（大）是变量大）是变量,不能与很小（大）的数混不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；淆，零是唯一的无穷小的数；（2 2）无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3）无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.一、极限运算法则一、极限运算法则定理定理.0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其中则则设设第四节极限的运算法则第四节极限的运算法则推论推论1 1).(lim)(lim,)(limxfcxcfcxf 则则为为常常数数而而存存在在如如果果常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.)(lim)(lim,)(limnnxfxfnxf 则则是是正正整整数数而而存存在在如如果果推论推论2 2二、求极限方法举例二、求极限方法举例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 ,03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 解解)32(lim21 xxx,0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又,03 1432lim21 xxxx.030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得例例2 2.3214lim21 xxxx求求.3214lim21 xxxx解解例例3 3.321lim221 xxxx求求.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x.1后再求极限后再求极限因子因子先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21)00(型型(消去零因子法消去零因子法)例例4 4.147532lim2323 xxxxx求求解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再再求求极极限限分分出出无无穷穷小小去去除除分分子子分分母母先先用用x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72(无穷小因子分出法无穷小因子分出法)无穷小分出法无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分以分母中自变量的最高次幂除分子子,分母分母,以分出无穷小以分出无穷小,然后再求极限然后再求极限.例例5 5).21(lim222nnnnn 求求解解是是无无穷穷小小之之和和时时,n222221lim)21(limnnnnnnnn 2)1(21limnnnn )11(21limnn .21 先变形再求极限先变形再求极限.例例6 6.sinlimxxx 求求解解,1,为无穷小为无穷小时时当当xx.sin 是有界函数是有界函数而而x.0sinlim xxxxxysin 例例7 7).(lim,0,10,1)(02xfxxxxxfx 求求设设yox1xy 112 xy解解两个单侧极限为两个单侧极限为是函数的分段点是函数的分段点,0 x)1(lim)(lim00 xxfxx ,1)1(lim)(lim200 xxfxx,1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,.1)(lim0 xfx故故三、小结三、小结1.极限的四则运算法则及其推论极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限利用左右极限求分段函数极限.思考题思考题 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限，无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 思考题解答思考题解答没有极限没有极限假设假设 有极限，有极限，)()(xgxf)(xf有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知：)()()()(xfxgxfxg 必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设错误故假设错误第五节第五节 两个重要极限两个重要极限 一一 极限存在准则极限存在准则二 两个重要极限三 小结四 思考题一、极限存在准则一、极限存在准则1.夹逼准则夹逼准则上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准准则则 如如果果当当)(00 xUx (或或Mx )时时,有有,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那那末末)(lim)(0 xfxxx 存存在在,且且等等于于A.注意注意:.,的极限是容易求的的极限是容易求的与与并且并且与与键是构造出键是构造出利用夹逼准则求极限关利用夹逼准则求极限关nnnnzyzy2.单调有界准则单调有界准则满满足足条条件件如如果果数数列列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原原式式220)2(2sinlim21xxx 2022sinlim21 xxx2121 .21 二、两个重要极限二、两个重要极限(1)1sinlim0 xxx例例 xxxtanlim0例例 求求)0(k1 sinlim0 一一般般地地xkxxsinlim0(2)exxx )11(limennn )11(lim)71828.2(eexxx)11(limexxx 10)1(lime 10)1(lim例例4 4.)21(limxxx 求求解解令令20)1(lim)21(lim0,2,2 xxxxxx所所以以时时当当那那么么2210210)1(lim)1(lime 三、小结三、小结1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则;单调有界准则单调有界准则.;1sinlim10 某某过过程程.)1(lim210e 某某过过程程,为某过程中的无穷小为某过程中的无穷小设设 一、无穷小的比较一、无穷小的比较例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 极限不同极限不同,反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大大致致相相同同与与xx不可比不可比.,0,1 xx1sinlim0.不不存存在在观察各极限观察各极限无穷小的比较无穷小的比较);(,0lim)1(o记记作作高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比就就说说如如果果定义定义:.0,且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设;),0(lim)2(是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与就就说说如如果果 CC;,1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地特殊地例例1 1解解.tan4,0:43为为同同阶阶无无穷穷小小与与时时当当证证明明xxxx430tan4limxxxx30)tan(lim4xxx,4.tan4,043为为同同阶阶无无穷穷小小与与时时故故当当xxxx例例2 2是是否否同同阶阶无无穷穷小小关关于于时时当当3sintan,0 xxxx 解解30sintanlimxxxx)cos1tan(lim20 xxxxx ,21.sintan,03是是同同阶阶无无穷穷小小与与时时当当xxxx 常用等价无穷小常用等价无穷小:,0时时当当 x.21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx 二、等价无穷小替换二、等价无穷小替换定理定理(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理).limlim,lim,则则存存在在且且设设证证 lim)lim(limlimlim.lim 例例3 3.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式.8 不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换对于代数和中各无穷小不能分别替换.注意注意例例4 4.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式.0 解解,0时时当当 x)cos1(tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 三、小结三、小结1.无穷小的比较无穷小的比较:反映了同一过程中反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.2.等价无穷小的替换等价无穷小的替换:求极限的又一种方法求极限的又一种方法,注意适用条件注意适用条件.高高(低低)阶无穷小阶无穷小;等价无穷小等价无穷小;无穷小的阶无穷小的阶.思考题思考题任何两个无穷小量都可以比较吗？任何两个无穷小量都可以比较吗？思考题解答思考题解答不能不能例当例当 时时 x,1)(xxf xxxgsin)(都是无穷小量都是无穷小量但但)()(limxfxgxxxsinlim不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时时 x)(xf和和)(xg不不能能比比较较.函数的连续性函数的连续性 一一 连续函数的概念连续函数的概念二二 函数的间断点函数的间断点三三 连续函数的运算法则连续函数的运算法则四四 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 一、函数的连续性一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量.,),(,)()(0000的增量的增量称为自变量在点称为自变量在点内有定义内有定义在在设函数设函数xxxxxUxxUxf .)(),()(0的的增增量量相相应应于于称称为为函函数数xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y)(xfy 2.连续的定义连续的定义定义定义 1 1 设函数设函数)(xf在在)(0 xU 内有定义内有定义,如如果当自变量的增量果当自变量的增量x 趋向于零时趋向于零时,对应的函对应的函数的增量数的增量y 也趋向于零也趋向于零,即即0lim0 yx 或或0)()(lim000 xfxxfx,那末就称函数那末就称函数)(xf在点在点0 x连续连续,0 x称为称为)(xf的连续点的连续点.,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就就是是定定义义 2 2 设设函函数数)(xf在在)(0 xU 内内有有定定义义,如如果果函函数数)(xf当当0 xx 时时的的极极限限存存在在,且且等等于于它它在在点点0 x处处的的函函数数值值)(0 xf,即即 )()(lim00 xfxfxx 那那末末就就称称函函数数)(xf在在点点0 x连连续续.例例1 1.0,0,0,0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证,01sinlim0 xxx,0)0(f又又由定义由定义2知知.0)(处处连连续续在在函函数数 xxf),0()(lim0fxfx 3.单侧连续单侧连续;)(),()0(,()(0000处处左左连连续续在在点点则则称称且且内内有有定定义义在在若若函函数数xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00处处既既左左连连续续又又右右连连续续在在是是函函数数处处连连续续在在函函数数xxfxxf.)(),()0(,),)(0000处处右右连连续续在在点点则则称称且且内内有有定定义义在在若若函函数数xxfxfxfbxxf 例例2 2.0,0,2,0,2)(连连续续性性处处的的在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2),0(f)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.二、函数的间断点二、函数的间断点:)(0条条件件处处连连续续必必须须满满足足的的三三个个在在点点函函数数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则称则称要有一个不满足要有一个不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只xfxxxf例例4 4.0,0,1,0,)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解),00()00(ff.0为为函函数数的的间间断断点点 x0lim)(lim00 xxfxx1)1(lim)(lim00 xxfxx例例5 5.1,1,11,10,1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxf解解,1)1(f2)(lim1 xfx),1(f.1为为函函数数的的间间断断点点 x22lim)(lim11 xxfxx2)1(lim)(lim11 xxfxx例例6 6.0,0,0,1)(处处的的连连续续性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解oxy.0为为函函数数的的间间断断点点 x0lim)(lim00 xxfxx xxfxx1lim)(lim00例例7 7.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不不存存在在且且xx.0为为间间断断点点 x注意注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.三、小结三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;四、四则运算的连续性四、四则运算的连续性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处处也也连连续续在在点点则则处处连连续续在在点点若若函函数数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin内内连连续续在在 xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定义义域域内内连连续续故故xxxx极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求.1 xxx10)1ln(lim 原原式式)1(limln10 xxx eln 解解)lim()()(lim000 xfxfxfxxxx 有有处处连连续续的的定定义义及及由由函函数数在在一一点点,lim000 xxxxx 六、初等函数的连续性六、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.)1,0(aaayx指指数数函函数数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1,0(log aaxya对对数数函函数数;),0(内单调且连续内单调且连续在在定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.例如例如,)1(32 xxy,1,0:xxD及及在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.),1上连续上连续函数在区间函数在区间1.初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续,在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;注意注意例例3 3.1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式.1sin e例例4 4.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原原式式11lim20 xxx20.0 注意注意2.初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.)()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理)在闭区间上连续在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值的函数一定有最大值和最小值.七七 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质推论推论(有界性定理有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界在该区间上有界.证证,)(上上连连续续在在设设函函数数baxf,bax ,)(Mxfm 有有,maxMmK 取取.)(Kxf 则有则有.,)(上上有有界界在在函函数数baxf定理定理 3(3(介值定理介值定理)设函数设函数)(xf在闭区间在闭区间 ba,上连续，上连续，m m 与与 M M 分别是分别是)(xf在这在这区间上的最小值与最大值，则对介于区间上的最小值与最大值，则对介于 m m 与与M M 之间的任意一个实数之间的任意一个实数 C，在开区间，在开区间 ba,内至少有一点内至少有一点 ，使得，使得Cf)()(ba .推论(零点定理)设函数)(xf在闭区间 ba,上连续，且)(af与)(bf异号(即0)()(bfaf),那末在开区间 ba,内至少有函数)(xf的一个零点,即至少有一点)(ba ，使0)(f.定义定义:.)(,0)(000的的零零点点称称为为函函数数则则使使如如果果xfxxfx.),(0)(内内至至少少存存在在一一个个实实根根在在即即方方程程baxf ab3 2 1 几何解释几何解释:.,)(轴至少有一个交点轴至少有一个交点线弧与线弧与则曲则曲轴的不同侧轴的不同侧端点位于端点位于的两个的两个连续曲线弧连续曲线弧xxxfy xyo)(xfy 例例1 1.)1,0(01423至至少少有有一一根根内内在在区区间间证证明明方方程程 xx证证,14)(23 xxxf令令,1,0)(上上连连续续在在则则xf,01)0(f又又,02)1(f由零点定理由零点定理,使使),1,0(,0)(f,01423 即即.)1,0(01423 内至少有一根内至少有一根在在方程方程 xx四、小结四、小结连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.反函数的连续性反函数的连续性.。