5、 相似性选择和信号波形相似的小波，这对于压缩和消噪是有参考价值的二、常见的小波基以下列出的15种小波基是Mat lab中支持的15种小波函数HaarDaubechiesBiorthogonalCoifletsSymletsMorletMexicanHatMeyer小波缩写名haardbbiorcoifsymmorlmexhmeyr表示形式haardb NbiorNr.Ndcoif Nsym Nmorlmexhmeyr举例haardb3bior2.4coif3sym2morlmexhmeyr正交性有有无有有无无有双正交性有有有有有无无有紧支撑性有有有有有无无无连续小波变换可以可以可以可以可以可以可以可以离散小波变换可以可以可以可以可以不可以不可以可以但无FWT支撑长度12N—1重构：2Nr+1分解:2Nd+16N—12N—1有限长度有限长度有限长度滤波器长度22NMax(2Nr,2Nd)+26N2N[-4, 4][—5, 5][-8, 8]对称性对称近似对称不对称近似对称近似对称对称对称对称小波函数消失矩阶数1NNr—12NN———尺度函数消失矩阶数——2N—1————小波函数GausDmeyerReverseBiorCgauCmorFbspShan小波缩写名gausdmeyrbioNr.Ndcgaucmorfbspshan表示形式gaus NdmeyrbioNr.Ndcgau Ncmorfbspshan举例gaus3dmeyrbio2.4cgau3cmorfbspshan紧支撑正交性无无无无无无无紧支撑双正交性无无有无无无无连续小波变换可以不可以可以不可以不可以不可以不可以离散小波变换不可以可以可以不可以不可以不可以不可以对称性对称对称对称对称对称对称对称小波函数———————消失矩阶数尺度函数消失矩阶数Nr-11、Haar小波一般音译为“哈尔”。
Haar函数是小波分析中最早用到的一个具有紧支撑的正交小波函数，也是最 它是支撑域在t £[0,1]范围内的单个矩形波Haar小波在时域上是不连续的，所以作为基本小波性能不是特别好在Mat lab中输入命令waveinfo('haar')可得到如下信息：characteristi cs: Compactlysupportedthe oldest and the simplestwavelet.1 on [0 1] and Ootherwise.1 on [0 0.5],二 Ton [0.5 1] and 0 otherwise.Haar简单的一个小波函数Generalwavelet,scaling function phi 二wavelet function psi 二FamilyHaarShort namehaarExampleshaar is the same as db1OrthogonalyesBiorthogonalyesCompact supportyesDWTpossibleCWTpossibleSupport width1Filters length2Regulari tyhaar ii s not continuousSymmetryyesNumber of vanishingmoments for psi12、Daubechies（dbN）小波（紧支集正交小波）Daubechies,—般音译为“多贝西”。
Daubechies小波是由世界著明的小波分析学者Ingrid Daubechies（—般音译 为英格丽•多贝西）构造的小波函数，我们一般简写成dbN, N是小波的阶数小波函数屮（t） 和尺度函数e（t）中的支撑区为2N-1，屮（t）的消失矩为No dbN小波具有较好的正则性，即 该小波作为稀疏基所引入的光滑误差不容易被察觉，使得信号重构过程比较光滑odbN小波 的特点是随着阶次（序列N）的增大消失矩阶数越大，其中消失矩越高光滑性就越好，频域 的局部化能力就越强，频带的划分效果越好，但是会使时域紧支撑性减弱，同时计算量大大 增加，实时性变差另外，除N=1夕卜，dbN小波不具有对称性（即非线性相位），即在对信 号进行分析和重构时会产生一定的相位失真dbN没有明确的表达式（除了 N=1夕卜，N=1时 即为Haar小波）在Mat lab中输入命令waveinfo（'db'）可得到如下信息：General characteristics: Compactlysupported wavelets with extremal phase and highestnumber of vanishing moments for a given support width. Associated scaling filtersare minimum-phase filters.FamilyShort nameOrder NExamplesOrthogonalBiorthogonalCompact supportDWTCWTSupport widthFilters lengthRegulari tySymmetryNumber of vanishingmoments for psiDaubechiesdbN strictly posi tive integerdb1 or haar, db4, db15yesyesyespossiblepossible2N-12Nabout 0.2 N for large Nfar fromN3、Symlet(symN)小波(近似对称的紧支集正交小波)Symlet小波函数是IngridDaubechies提出的近似对称的小波函数，它是对 db函数的一种改进。
Symlet小波系通常表示为symN (N=2,3,…，8)symN小波的支撑范围 为2N-1，消失矩为N,同时也具备较好的正则性该小波与dbN小波相比，在连续性、支集 长度、滤波器长度等方面与dbN小波一致，但symN小波具有更好的对称性，即一定程度上 能够减少对信号进行分析和重构时的相位失真在Mat lab中输入命令waveinfo('sym')可得到如下信息：General characteristics: Compactlysupported wavelets withleast asymmetry and highest number ofvanishing momentsfor a given support width.Associated scaling filters are nearlinear-phase filters.Family SymletsShort namesymOrder NN =2, 3,.Examplessym2,sym8OrthogonalyesBiorthogonalyesCompact supportyesDWTpossiblCWTpossiblSupport width 2NTFilters length 2NRegulari tySymmetry near fromNumber of vanishingmoments for psi N4、Coiflet(coifN)小波根据R.Coifman的要求，Daubechies构造了 Coiflet小波，它具有coifN (N=1,2,3,4,5)这一系列。
Coiflet的小波函数屮(t)的2N阶矩为零，尺度函数e (t) 的2N-1阶矩为零屮(t)和e (t)的支撑长度为6N-1Coiflet的屮(t)和e (t)具有比dbN 更好的对称性在Mat lab中输入命令waveinfo('coif')可得到如下信息：General characteristics: Compactlysupportedwavelets with highest number of vanishingmoments for both phi and psi for a givensupport width.FamilyCoifletsShort namecoifOrder NN 二 1, 2, ..., 5Examplescoif2, coif4OrthogonalBiorthogonalCompact supportDWTCWTSupport widthFilters lengthRegulari tySymmetryNumber of vanishing moments for psiNumber of vanishing moments for phi5、 Biorthogonalyesyesyespossiblepossible6N-16Nnear from2N2N-1.Nd）小波为了解决对称性和精确信号重构的不相容性，弓i入了双正交小波，称为对偶 的两个小波分别用于信号的分解和重构。
双正交小波解决了线性相位和正交性要求的矛盾 由于它有线性相位特性，所以主要应用在信号与图像的重构中通常的用法是采用一个函数 进行分解，用另外一个小波函娄进行重构双正交小波与正交小波的区别在于正交小波满足＜屮，屮 ＞二& & ，也j,k l,m j,k l,m就是对小波函数的伸缩和平移构成的基函数完全正交，而双正交小波满足的正交性为＜屮，屮 ＞二& ，也就是对不同尺度伸缩下的小波函数之间有正交性，而同尺度之间通过平 j,k l,m j,移得到的小波函数系之间没有正交性，所以用于分解与重构的小波不是同一个函数，相应的 滤波器也不能由同一个小波生成该小波虽然不是正交小波，但却是双正交小波，具备正则性，同时也是紧支 撑的，其重构支撑范围为2Nr+1，分解支撑范围为2Nd+1biorNr.Nd小波的主要特征表现 在具有线性相位特性一般来说为了获得线性相位，需要降低对于正交性的局限，为此该双 正交小波降低了对于正交性的要求，保留了正交小波的一部分正交性，使小波攻得了线性相 位和较短支集的特性在Mat lab中输入命令waveinfo('bior')可得到如下信息: General characteristics: Compactly supported biorthogonal spline wavelets for which symmetry and exact reconstruetion are possiblewithFIR filters (in orthogonal case it is impossible except for Haar).FamilyBiorthogonalbiorShortnameOrderNr,NdNr 二 1 , Nd 二 1, 3,r forreconstruetionNr 二2 , Nd 二 2, 4, 6,8d fordecomposi tionNr 二 3 , Nd 二 1, 3, 5,7, 9Nr 二 4 , Nd 二 4Nr 二 5 , Nd 二 5Nr 二 6 , Nd 二 8ExamplesOrthogonalBiorthogonalCompact supportDWTCWTSupport widthFilters lengthbiorNr.Ndlrlength effectiveLo_Dbior1.1bior1.3bior3.1,bior5.5noyesyespossiblepossible2Nr+1 forrec., 2Nd+1 for dec.max(2Nr,2Nd)+2 but essentially ldeffectivelengthofof Hi_Dbior1.5 10bior2.2 5bio] 9bior2.6 3 13bior2.： 17bi”] 4bior3.3 :bl 12S 16bior3.9 20bior4.4 9bior5.5 911bior6.8 17Regulari ty forpsirec.Nr-1 and Nr-2 at theknotsyesSymmetryNumberof vanishingmoments for psi dec.NrRemark: bior 4.4 , 5.5 and 6.8 are such that reconstruetion anddecomposi tion functions and filters are close in value.6、ReverseBior 小波由Biorthogonal而来，因此两者形式很类似。
在Mat lab中输入命令waveinfo('bior')可得到如下信息:General characteristics: Compactly supportedbiorthogonal spline wavelets for whichsymmetry and exact reconstruetion are possiblewithFIR filters (in orthogonal case it isimpossible except for Haar).Family BiorthogonalShortname rbioOrderNd,NrNd 二 1 ,Nr 二 1, 3,r forreconstruetionNd 二 2 , Nr 二 2,4, 6,8d fordecomposi tionNd 二 3 , Nr 二 1,3, 5,7, 9Nd 二 4NrNd 二 5NrNd 二 6NrExamplesrbio3.1,rbio5.5OrthogonalnoBiorthogonalyesCompactsupportyesDWTpossibleCWTpossibleSupportwid th2Nd+1forrec., 2Nr+1 for dec.Fil terslengthmax(2Nd,2Nr)+2 but essentiallyrbioNd.NrlrldeffectivelengtheffectivelengthofHi_Dof Lo_Drbiol.1 2rbio1.3 6rbio1.5 10rbio2.2 5.2.4 3 9.2.6 3 13rbj 171 4rbio3.3 8.3.5 4 12： 1620rbio3.94rbio4.47rbio5.51117rbio6.811Regulari ty forpsirec.SymmetryNumberof vanishingmoments for psi dec. NdNdT and Nd-2 at theknots yesRemark: rbio 4.4 , 5.5 and 6.8 are such that reconstruetion and decomposi tion functions and filters are close in value.7、Meyer 小波Meyer小波的小波函数和尺度函数都是在频率域中进行定义的，它不是紧支 撑的，但它的收敛速度很快。
在Mat lab中输入命令waveinfo('meyr')可得到如下信息：General characteristics: Infinitely regular orthogonal wavelet.FamilymeyrMeyerOrthogonalBiorthogonalCompact supportDWTFWTCWTnoyesyespossiblebut without FWTFIR based approximation providespossibleShortnameSupport width infiniteEffective support [一8 8]Regulari tyindefi nitely derivableSymmetry yes8、Dmeyer 小波Dmeyer即离散的Meyer小波，它是Meyer小波基于FIR的近似，用于快速离 散小波变换的计算在Mat lab中输入命令waveinfo('dmey')可得到如下信息：Defi nition: FIR based approximation of theMeyer Wavelet.FamilyDMeyerShort namedmeyOrthogonalyesBiorthogonalyesCompact supportyesDWTpossiblCWTpossibl9、Gaussian 小波Gaussian小波是高斯密度函数的微分形式，它是一种非正交与非双正交的小 波，没有尺度函数。
在Mat lab中输入命令waveinfo('gaus')可得到如下信息：Defi nition: derivatives of the Gaussian probabi lity densi ty function.gaus(x,n) 二 Cn * diff(exp(-x入2),n) wherediff den otes the symbolic derivative and where Cn issuch thatthe 2-norm of gaus(x,n)二 1.FamilyGaussianShort namegausWavelet namegausOrthogonalnoBiorthogonalnoCompact supportnoDWTnoCWTpossibleSupport widthinfiniteEffective support[-5 5]Symmetryyesn even ==> Symmetryn odd ==> Anti-Symmetry10、MexicanHat(mexh)小波Mexican Hat函数为Gauss函数的二阶导数因数它的形状像墨西哥帽的截 面，所以我们称这个函数为墨西哥草帽函数。
它在时域和频率都有很好的局部化，但不存在 尺度函数，所以此小波函数不具有正交性在Mat lab中输入命令waveinfo('mexh')可得到如下信息：Defi nition: second derivative of theGaussianprobabi lity density functionmexh(x)二 c * exp(-x入2/2) * (1-x入2)where c 二 2/(sqr t(3)*pL{1/4})Family Mexican hatShort namemexhOrthogonalnoBiorthogonalnoCompact supportnoDWTnoCWTpossiblSupport widthinfiniteEffective support[-5 5]Symmetry yes11、Morlet 小波Morlet小波是高斯包络下的单频率正弦函数，没有尺度函数，是非正交分解在Mat lab中输入命令waveinfo('morl')可得到如下信息：Defi nition:morl(x)二 exp(-x入2/2) * cos(5x)FamilyMorletShort namemorlOrthogonalnoBiorthogonalnoCompact supportnoDWTnoCWTpossiblSupport widthinfiniteEffective support[-4 4]Symmetryyes12、ComplexGaussian 小波属于一类复小波，没有尺度函数。
在Mat lab中输入命令waveinfo('cgau')可得到如下信息:Defi nition: derivatives of the complexGaussianfunctioncgau(x)二 Cn * diff(exp(-i*x)*exp(-x入2),n)where diff den otesthe symbolic derivative and where Cn is aconstantFamilyShort nameWavelet nameOrthogonalBiorthogonalCompact supportDWTComplex CWTSupport widthSymmetry13、 ComplexShannonComplex Gaussiancgaucgau"nnonononopossibleinfiniteyesn even ==> Symmetryn odd ==> Anti-SymmetryWavelets: shan在Mat lab中输入命令waveinfo('shan')可得到如下信息：Definition: a complex Shannon wavelet isshan(x)二Fb入{0.5}*sinc(Fb*x)*exp(2*i*pi*Fc*x)depending on two parameters:Fb is a bandwidth parameterFc is a wavelet center frequencyThe condi tion Fc > Fb/2 is sufficient toensure thatzero is not in the frequency supportinterval.FamilyComplex ShannonShort nameshanWavelet nameshan"Fb"-"Fc"OrthogonalnoBiorthogonalnoCompact supportnoDWTnocomplex CWTpossibleSupport width infinite14、ComplexFrequency B-Spline Wavelets (复高斯 B样条小波)样条函数(splinefunction)指一类分段(片)光滑、并且在各段交接处也 有一定光滑性的函数，简称样条。
在Mat lab中输入命令waveinfo('fbsp')可得到如下信息：Defi nition: a complex Frequency B-Splinewavelet isfbsp(x)二 Fb入{0.5}*(sinc(Fb*x/M))入M*exp(2*i*pi*Fc*x)depending on three parameters:M is an integer order parameter(>=1)Fb is a bandwidth parameterFc is a wavelet center frequencyFor M 二 1, the condi tion Fc > Fb/2 issufficient to ensurethat zero is not in the frequency supportinterval.FamilyComplex Frequency B-SplineShort namefbspWavelet namefbsp"M"-"Fb"-"Fc"Orthogonal noBiorthogonalnoCompact supportnoDWTnocomplex CWTpossibleinfiniteSupport width15、 ComplexMorlet 小波Morlet小波是一种单频复正弦调制高斯波，也是最常用的复值小波该小波,在时频两域均具有良好的分辨率，将此小波加以改造特别适用于地震资料的分析。
在Mat lab中输入命令waveinfo('cmor')可得到如下信息：Defi nition: a complex Morlet wavelet iscmor(x) =(pi*Fb)入{-0.5}*exp(2*i*pi*Fc*x)*exp(-(x入2)/Fb)depending on two parameters:Fb is a bandwidth parameterFc is a wavelet center frequencyFamilyComplex MorletShort namecmorWavelet nameII I—1 II II I— IIcmor Fb 一 FcOrthogonalnoBiorthogonalnoCompactsupportnoDWTnocomplexCWTpossibleSupportwid thinfinite。