2023年学而思教育小升初专项训练3：几何篇（2） 2023年学而思教育小升初专项训练3：几何篇（2） 一、解答题（共29小题，满分0分）1．求图中阴影部分的面积． 2．从一个长为8厘米，宽为7厘米，高为6厘米的长方体中截下一个最大的正方体，剩下的几何体的表面积是 _________ 平方厘米． 3．有一个棱长为1米的立方体，沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后，成为60个小长方体（如图）．这60个小长方体的表面积总和是 _________ 平方米． 4．如图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是 _________ 厘米．（π=3.14） 5．一千个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为本来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是多少个？ 6．如图，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米；以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；阴影部分甲与乙的面积相等．求扇形所在的圆面积． 7．（2023•郑州）草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（如图）．问：这只羊可以活动的范围有多大？ 8．如图，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差． 9．如图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积．（取π=3） 10．如图，AB与CD是两条垂直的直径，圆O的半径为15厘米，是以C为圆心，AC为半径的圆弧，求阴影部分的面积． 11．（2023•北京模拟）用棱长是1厘米的正方块拼成如图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？ 12．在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞．洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘米（如图）．求挖洞后木块的表面积和体积． 13．（2023•北京模拟）如图是一个边长为2厘米的正方体．在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？ 14．一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不涉及瓶颈），如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米．瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？ 15．一个高为30厘米，底面为边长是10厘米的正方形的长方体水桶，其中装有容积的水，现在向桶中投入边长为2厘米×2厘米×3厘米的长方体石块，问需要投入多少块这种石块才干使水面恰与桶高相齐？ 16．如图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？ 17．有甲、乙、丙3种大小的正方体，棱长比是1：2：3．假如用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？ 18．现有一个长，宽，高都为1cm的正方体，一个长，宽，为1cm，高为2cm的长方体，三个长，宽为1cm，高为3cm的长方体．下列图是把这五个立体图形合并成某一立体图形时，从上面，前面，侧面所看到的图形．试运用下面三个图形把合并成的立体图形如（例）的样子画出来，并求出其表面积． 19．（2023•北京模拟）有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，另一种是长方形的，正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1：2．用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒．正好将纸板用完．问在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？ 20．图1是一个正方体，四边形APQC表达用平面截正方体的截面．请在图2中的展开图中画出四边形APQC的四条边． 21．将一个正方体（图1）剪开可以展成一些不同的平面图形（图2）．其中的图2的（1），（2）都是“带状图”，仿佛是一条完整的削下来的苹果皮．仔细观测（1），（2）两个图可以发现，图中的每个小正方形都有两个边与其它的正方形“共用”，除了两头的两个正方形以外．再观测（3）和（4），由于这两个图中每个都有一个正方形（粉色）有两条以上的边（（3）有3条，（4）有4条）与周边的正方形“共用”．所以（3）和（4）都不是“带状图”．问题1：运用你的空间想象力或者动手将图2的四个图折成正方体．问题2：除了（1）和（2）以外尚有两个正方体的平面展开图也是“带状图”，你能找出来吗？ 22．如图，求阴影部分的面积，其中OABC是正方形． 23．如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形． 24．如右图，将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60°，此时AB到达AC的位置，求阴影部分的面积（取π=3）． 25．如图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，AB弦约等于17厘米，半径为10厘米，求阴影部分的面积． 26．2100个边长为1米的正方体堆成一个实心的长方体．它的高是10米，长、宽都是大于10（米）的整数，问长方体长宽之和是几米？ 27．有一个正方体，边长是5．假如它的左上方截去一个边长分别是5、3、2的长方体（如图），求它的表面积减少的比例是少？ 28．如图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，求所得形体的表面积是多少？ 29．现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出铁皮盒容积是多少立方厘米？ 2023年学而思教育小升初专项训练3：几何篇（2）参考答案与试题解析 一、解答题（共29小题，满分0分）1．求图中阴影部分的面积．考点：组合图形的面积；三角形的周长和面积；圆、圆环的面积．3685831分析：根据题意，作图形内空白部分半圆的半径，得到正方形ABCD，阴影部分1的面积等于以4为直径的两个圆的面积减去正方形的面积，阴影部分2的面积等于以4为半径圆的面积减去以4为直径的2个半圆的面积（以4为直径的圆的面积）再加上阴影部分1的面积，最后用阴影部分1的面积加上阴影部分2的面积，列式解答即可得到答案．解答：解：作图如下：阴影部分1的面积为：×3.14××2﹣（4÷2）×（4÷2）=3.14×2﹣4，=6.28﹣4，=2.28，阴影部分2的面积为：×3.14×42﹣3.14×+2.28=12.56﹣12.56+2.28，=0+2.28，=2.28，阴影部分的面积为：2.28+2.28=4.56；答：阴影部分的面积为4.56．点评：解答此题的关键是拟定阴影部分1的面积，阴影部分2的面积等于圆的面积减去一个圆的面积再加上阴影部分1的面积，最后再把两个阴影部分的面积加在一起即可． 2．从一个长为8厘米，宽为7厘米，高为6厘米的长方体中截下一个最大的正方体，剩下的几何体的表面积是 220 平方厘米．考点：简朴的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积．3685831分析：最大正方体的棱长为6厘米，根据切割方法可知：切割后剩下表面积就是少了两个面积为6×6的，所以现在的面积为（8×7+8×6+7×6）×2﹣6×6×2=220平方厘米．解答：解：（8×7+8×6+7×6）×2﹣6×6×2，=（56+48+42）×2﹣72，=220（平方厘米）；答：剩下的几何体的表面积是220平方厘米．故答案为：220．点评：此题抓住题干得出此长方体中最大正方体的棱长特点，找出切割后减少的面积即可解决问题． 3．有一个棱长为1米的立方体，沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后，成为60个小长方体（如图）．这60个小长方体的表面积总和是 24 平方米．考点：简朴的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积．3685831分析：根据正方体的切割方法可得：每切一次就增长2个正方体的面，一共切了2+3+4=9次，所以一共增长了2×9=18个面，一个面的面积是1×1=1平方米，所以切割后的表面积总和=正方体本来的表面积+增长的9个面的面积之和．解答：解：1×1×6+1×1×（2+3+4）×2，=6+18，=24（平方米）；答：60个小长方体的表面积总和是24平方米．故答案为：24．点评：每切一次，就会增长2个面，由此即可求得切割后增长的总面积，从而解决问题． 4．如图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是 62.8 厘米．（π=3.14）考点：圆、圆环的周长．3685831分析：由图意可知：大圆的半径应是小圆半径的3倍，所以半径为3厘米，那么阴影部分的周长就等于7个小圆的周长加上1个大圆的周长．解答：解：7×1×3.14×2+3.14×2×（1×3），=14×3.14+6×3.14，=43.96+18.84，=62.8（厘米）；答：阴影部分的周长是62.8厘米．故答案为：62.8．点评：解答此题的关键是明白：阴影部分的周长就等于7个小圆的周长加上1个大圆的周长． 5．一千个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为本来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是多少个？考点：简朴的立方体切拼问题．3685831分析：表面涂漆的小正方体都在大正方体的表面上，由此可以先求得内部没有涂色的小正方体的个数，再运用小正方体的总个数﹣没有涂色的即可解答．解答：解：共有小正方体：10×10×10=1000（个），其中没有涂色的为：（10﹣2）×（10﹣2）×（10﹣2）=8×8×8=512（个），所以至少有一面被油漆漆过的小正方体为1000﹣512=488（个）．答：至少有一面被油漆漆过的小正方体为488个．点评：涂色的小正方体都在大正方体的表面上． 6．如图，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米；以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；阴影部分甲与乙的面积相等．求扇形所在的圆面积．考点：组合图形的面积；圆、圆环的面积．3685831分析：由题意可知：等腰三角形的角为45度，则扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍．又因“阴影部分甲与乙的面积相等”，则扇形面积就等于等腰直角三角形面积，等腰直角三角形的直角边已知，则可以求出等腰直角三角形的面积，也就等于求出了扇形的面积，从而问题得解．解答：解：三角形的面积：10×10÷2=50（平方厘米），则圆的面积：50×（360÷45）=400（平方厘米）；答：扇形所在的圆面积是400平方厘米．点评：解答此题的关键是明白：扇形所在圆的面积为扇形面积的8倍，且扇形面积就等于等腰三角形面积． 7．（2023•郑州）草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（如图）．问：这只羊可以活动的范围有多大？考点：组合图形的面积；圆、圆环的面积．3685831专题：压轴题．分析：由图意可知：羊活动的范围可以分为A，B，C三部分，其中A是半径为30米的个圆，B、C分别是半径为20米和10米的个圆．分别求出三部分的面积，即可求得羊的活动范围．解答：解：π×302×+π×202×+π×102×，=π×（302×++），=3.14×（675+100+25），=3.14×800，=2512（平方米）；答：这只羊可以活动的范围有2512平方米．点评：解答此题的关键是：将羊的活动范围分割，分别求出各部分的面积，问题即可得解． 8．如图，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差．考点：组合图形的面积；长方形、正方形的面积；圆、圆环的面积．3685831分析：（1）只要看清楚阴影部分如何构成则不难求解．较大面积的阴影部分是图形1；小阴影部分是图形2；长方形中的不规则白色部分是图形3；（2）图形1+3的面积等于大扇形减去小扇形；而图形2+3的面积等于长方形的面积；所以图形1+3﹣（图形2+3）=图形1﹣图形2的面积=大扇形减去小扇形，再减去长方形．解答：解：π（42﹣22）﹣4×2，=×3.14×12﹣8，=9.42﹣8，=1.42（平方厘米），答：两个阴影部分的面积差是1.42平方厘米．点评：观测图形得出左边阴影部分与长方形空白处的面积；右面阴影部分与长方形空白处的面积特点，两边相减，去掉相同的长方形空白部分，就是左右两个阴影的面积之差． 9．如图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积．（取π=3）考点：组合图形的面积；长方形、正方形的面积；三角形的周长和面积；圆、圆环的面积．3685831分析：由图意可知：整个图形的面积为：圆面积的，加上一个正方形的面积，加上一个等腰直角三角形的面积，然后扣除一个等腰直角三角形的面积，一个圆，一个45度的扇形的面积．那么最终效果就等于一个正方形扣除一个45度的扇形的面积．解答：解：阴影部分的面积：1×1﹣，=1﹣，=；答：阴影部分的面积是．点评：解答此题的关键是明白：阴影部分的面积就等于正方形的面积减个圆的面积． 10．如图，AB与CD是两条垂直的直径，圆O的半径为15厘米，是以C为圆心，AC为半径的圆弧，求阴影部分的面积．考点：组合图形的面积；圆、圆环的面积．3685831分析：由图意可知：如图所示，连接AC、BC，则阴影部分的面积=半径为15厘米的圆面积的﹣（半径为AC的圆的面积﹣三角形ABC的面积），又因AB=30厘米，OC=15厘米，从而可以依据三角形ABC的面积求出AC的长度，进而求得阴影部分的面积．解答：解：由于三角形ABC的面积为：=，所以AC2=30×15；阴影部分的面积=﹣（πAC2×﹣30×15×），=﹣（﹣），=﹣（），=225，=225（平方厘米）；答：阴影部分的面积是225平方厘米．点评：解答此题的关键是：连接AC、BC，且阴影部分的面积=半径为15厘米的圆面积的﹣（半径为AC的圆的面积﹣三角形ABC的面积）． 11．（2023•北京模拟）用棱长是1厘米的正方块拼成如图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？考点：简朴的立方体切拼问题；长方体和正方体的表面积．3685831分析：（1）不管叠多高，上下两面的表面积都是3×3=9个面；（2）再看前后左右四个面，都是2×3+1=7个面．解答：解：1×1×（9×2+7×4），=1×（18+28），=46（平方厘米）；答：该图形的表面积是46平方厘米．点评：此题也可通过数图形，我们可以直接数出总共有46个面，每个面面积为1平方厘米，这样总共的表面积就是46平方厘米． 12．在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞．洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘米（如图）．求挖洞后木块的表面积和体积．考点：长方体和正方体的表面积．3685831分析：（1）大正方体的边长为4厘米，挖去的小正方体边长为1厘米，说明大正方体木块没被挖通，因此，每挖去一个小正方体木块，大正方体的表面积只是增长“小洞内”的4个侧面积，6个面共挖了6个洞，可计算增长的面积，加上本来的表面积即为挖洞后木块的表面积；（2）洞的边长为1厘米的正方形，洞深1厘米，则挖去的6个洞都为棱长1厘米的正方体，用原体积减去挖掉的体积即为挖洞后木块的体积．解答：解：（1）6个小洞内新增长面积的总和：1×1×4×6=24（平方厘米），原正方体表面积：42×6=96（平方厘米），挖洞后木块表面积：96+24=120（平方厘米）；（2）挖洞后木块的体积：43﹣13×6，=64﹣6，=58（立方厘米）．答：挖洞后的表面积是120平方厘米，体积是58立方厘米．点评：立体图形中一定要学会想象，这就规定学生必须学会如何看待面积和体积的变化，看清变化后运用公式根据表面积和体积的变化关系求解． 13．（2023•北京模拟）如图是一个边长为2厘米的正方体．在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为厘米．那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？考点：长方体和正方体的表面积．3685831分析：立体图形的好处就是可以直观视觉，虽然图形被挖去，但6个面看过去都还是面积不变的，特别是从上往下看是，3个正方体的下底面剩下的面积和等于本来的面积，这样就只增长了3个小正方体的各自的侧面；计算出原表面积再加上增长的3个小正方体的各自侧面的面积就是最后得到的立体图形的表面积．解答：解：原正方体的表面积是：2×2×6=24（平方厘米），增长的面积：1×1×4+（×）×4+（×）×4，=4+×4+×4，=4+1+，=5（平方厘米），总表面积为：24+5=29（平方厘米）．答：最后得到的立体图形的表面积是29平方厘米．点评：立体图形中一定要学会想象，特别是这种面积分开时，我们仍可以当作相连的，这就规定学生必须学会如何看待面积的变化． 14．一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不涉及瓶颈），如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米．瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？考点：圆柱的侧面积、表面积和体积；按比例分派应用题．3685831分析：根据题意知道液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的（6÷2）倍，那么液体体积是酒精瓶容积的，由此即可求出瓶内酒精的体积．解答：解：由于，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，所以，液体体积是空余部分体积的：6÷2=3倍，26.4π×=26.4×3.14×，=82.896×，=62.172（立方厘米），62.172立方厘米=0.062172升，答：瓶内酒精的体积62.172立方厘米；合0.062172升．点评：解答此题的关键是根据液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，知道液体体积是空余部分体积的3倍． 15．一个高为30厘米，底面为边长是10厘米的正方形的长方体水桶，其中装有容积的水，现在向桶中投入边长为2厘米×2厘米×3厘米的长方体石块，问需要投入多少块这种石块才干使水面恰与桶高相齐？考点：长方体和正方体的体积．3685831分析：由题意可知：所装入石块的体积应等于桶的容积的一半，用水桶的体积的除以每块石块的体积，就是所投入的石块的块数．解答：解：（10×10×30）×÷（2×2×3），=3000×÷12，=1500÷12，=125（块）．答：需要投入125块这种石块才干使水面恰与桶高相齐．点评：解答此题的关键是明白：所装入石块的总体积应等于桶的容积的一半． 16．如图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？考点：组合图形的计数．3685831分析：解答此题，应注意分类解决．（1）在求共有多少个正方体时，分为两种情况，由1个小正方体构成的正方体；由8个小正方体构成的正方体．（2）在求由两个小正方体组成的长方体时，根据方向来推算，可分为上下位、左右位、前后位三种．解答：解：（1）正方体只也许有两种：由1个小正方体构成的正方体，有22个；由8个小正方体构成的2×2×2的正方体，有4个．所以共有正方体：22+4=26（个）．答：共有26个大大小小的正方体．（2）由两个小正方体组成的长方体，可分为上下位、左右位、前后位三种，其中上下位有13个，左右位有13个，前后位有14个，共有13+13+14=40（个）．答：由两个小正方体组成的长方体有40个．点评：此题事实上是计数问题，在数数时，要注意恰当分类，并在每类数数时要做到不重不漏，这样才干得到对的结果． 17．有甲、乙、丙3种大小的正方体，棱长比是1：2：3．假如用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？考点：简朴的立方体切拼问题．3685831分析：设甲的棱长为1，则乙的棱长为2，丙的棱长为3．显然，大正方体棱长不也许是4，否则无法放下乙和丙各一个．于是，大正方体的棱长至少是5．事实上，用甲、乙、丙三种木块可以拼成棱长为5的大正方体，其中丙种木块只能用1块；乙种木块至多用7块（使总的块数尽也许少）；甲种木块需用5×5×5﹣3×3×3﹣7×2×2×2=42（块）．因此，用甲、乙、丙三种木块拼成体积最小的大正方体，至少需要这三种木块一共1+7+42=50（块）．解答：解：设甲的棱长为1，则乙的棱长为2，丙的棱长为3，则大正方体的棱长至少为5，用甲、乙、丙三种木块可以拼成棱长为5的大正方体，其中丙种木块只能用1块；乙种木块至多用7块（使总的块数尽也许少）；甲种木块需用5×5×5﹣3×3×3﹣7×2×2×2=125﹣27﹣56=42（块），所以，用甲、乙、丙三种木块拼成体积最小的大正方体，至少需要这三种木块一共：1+7+42=50（块）．答：至少需要三种木块50块．点评：抓住三个小正方体的特点，得出拼组后的大正方体的棱长至少是多少，再运用添补的方法求得每种小正方体最少需要的块数． 18．现有一个长，宽，高都为1cm的正方体，一个长，宽，为1cm，高为2cm的长方体，三个长，宽为1cm，高为3cm的长方体．下列图是把这五个立体图形合并成某一立体图形时，从上面，前面，侧面所看到的图形．试运用下面三个图形把合并成的立体图形如（例）的样子画出来，并求出其表面积．考点：三视图与展开图；图形的拆拼（切拼）．3685831分析：先根据三视图得到立体图形的形状如右图所示：，再根据面积公式分别求得从上面和下面看到的形状面积，从两个侧面看到的形状面积，从前面和后面看到的形状面积和隐藏着的面积，相加即可求解．解答：解：立体图形的形状如右图所示．从上面和下面看到的形状面积都是9cm2，共18cm2；从两个侧面看到的形状面积都为7cm2，共14cm2；从前面和后面看到的形状面积都为6cm2，共12cm2．隐藏着的面积有2cm2．一共有18+16+12+2=46（cm2）．点评：考察了三视图与展开图和图形的拆拼（切拼），本题有两大难点要注意：①得到立体图形的形状；②隐藏着的面积． 19．（2023•北京模拟）有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，另一种是长方形的，正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1：2．用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒．正好将纸板用完．问在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？考点：比的意义；简朴的立方体切拼问题．3685831分析：竖式纸盒要用1个正方形纸板和4个长方形纸板，横式纸盒要用2个正方形纸板和3个长方形纸板，设竖式纸盒有x个，横式纸盒有y个，根据题意即可解决问题．．解答：解：设竖式纸盒有x个，横式纸盒有y个，那么正方形纸板一共有（x+2y）个，长方形纸板一共有（4x+3y）个，根据题意可得：（x+2y）：（4x+3y）=1：2根据比例的基本性质和等式的性质解得：x：y=1：2答：坚式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是 1：2．故答案为：1：2．．点评：此题考察的是比的意义，应结合题意，认真分析，解答即可． 20．图1是一个正方体，四边形APQC表达用平面截正方体的截面．请在图2中的展开图中画出四边形APQC的四条边．考点：正方体的展开图．3685831分析：把立体图形表面的线条画在平面展开图上，只要抓住四边形APQC四个顶点所在的位置这个关键，再进一步拟定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出．解答：解：（1）考虑到展开图上有六个顶点没有标出，可想象将展开图折成立体形，并在顶点上标出相应的符号，见左下图．（2）根据四边形所在立体图形上的位置，拟定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面：顶点：A﹣A，C﹣C，P在EF边上，Q在GF边上．边AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上．（3）将上面拟定的位置标在展开图上，并在相应平面上连线．需要注意的是，立体图上的A，C点在展开图上有三个，B，D点在展开图上有二个，所以在标点连线时必须注意连线所在的平面，连好线的图形如右上图．点评：此题考察正方体的展开图，解决此题的关键是抓住四边形APQC四个顶点所在的位置，再进一步拟定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出． 21．将一个正方体（图1）剪开可以展成一些不同的平面图形（图2）．其中的图2的（1），（2）都是“带状图”，仿佛是一条完整的削下来的苹果皮．仔细观测（1），（2）两个图可以发现，图中的每个小正方形都有两个边与其它的正方形“共用”，除了两头的两个正方形以外．再观测（3）和（4），由于这两个图中每个都有一个正方形（粉色）有两条以上的边（（3）有3条，（4）有4条）与周边的正方形“共用”．所以（3）和（4）都不是“带状图”．问题1：运用你的空间想象力或者动手将图2的四个图折成正方体．问题2：除了（1）和（2）以外尚有两个正方体的平面展开图也是“带状图”，你能找出来吗？考点：正方体的展开图．3685831分析：根据正方体展开图的基本形态作答即可．解答：解：（1）如下图：①“1”为下底，“6”为上底，其余为侧面，并且“2”的对面是“4”，“3”的对面是“5”，折成正方体；②“3”为上底，“6”为下底，其余为侧面，并且“1”的对面是“4”，“2”的对面是“5”，折成正方体；③“3”为上底，“1”为下底，其余为侧面，并且“2”的对面是“5”，“4”的对面是“6”，折成正方体；④“6”为上底，“5”为下底，其余为侧面，并且“1”的对面是“3”，“2”的对面是“4”，折成正方体；（2）除了（1）和（2）以外尚有两个正方体的平面展开图也是“带状图”，即图5、图6：点评：此题考察了学生对正方体的平面展开图的结识以及空间想象力． 22．如图，求阴影部分的面积，其中OABC是正方形．考点：组合图形的面积；长方形、正方形的面积；圆、圆环的面积．3685831分析：观测图形可知：阴影部分的面积是圆的面积﹣正方形的面积．解答：解：连接OB，则OB是这个圆的半径，所以正方形的面积为：6×÷2×2=18（平方厘米），圆的面积为：×3.14×62=28.26（平方厘米），所以阴影部分的面积是：28.26﹣18=10.26（平方厘米），答”阴影部分的面积是10.26平方厘米．点评：此题中正方形的面积计算方法是一个关键，规定学生纯熟掌握运用正方形的对角线计算正方形的面积的方法． 23．如图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形．考点：组合图形的面积；圆、圆环的面积．3685831分析：由图意可知：所规定的阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积，正六边形的面积已知，现在关键是求小扇形的面积，由扇形面积公式S扇=可求得，为此需要知道半径和扇形弧的度数，由已知正六边形每边所对圆心角为60°，那么∠AOC=120°，又知四边形ABCD是平行四边形，所以∠ABC=120°，这样就能求出扇形的面积．从而可以求得阴影部分的面积．解答：解：如图所示，由于正六边形每边所对圆心角为60°，那么∠AOC=120°，又知四边形ABCD是平行四边形，所以∠ABC=120°，则：阴影部分的面积=1040﹣6×，=1040﹣6×，=1040﹣2×314，=1040﹣628，=412（平方厘米）；答：阴影部分的面积是412平方厘米．点评：解答此题的关键是明白：阴影面积是用正六边形的面积减去六个小扇形面积． 24．如右图，将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60°，此时AB到达AC的位置，求阴影部分的面积（取π=3）．考点：组合图形的面积；圆、圆环的面积．3685831分析：根据阴影部分的面积=以AC为直径的半圆的面积+扇形ABC的面积﹣以AB为直径的半圆的面积=扇形ABC的面积．即可求解．解答：解：阴影部分的面积=以AC为直径的半圆的面积+扇形ABC的面积﹣以AB为直径的半圆的面积=扇形ABC的面积．则S阴影==4.5，答：阴影部分的面积是4.5．点评：本题重要考察了扇形的面积的计算，对的理解阴影部分的面积=以AC为直径的半圆的面积+扇形ABC的面积﹣以AB为直径的半圆的面积=扇形ABC的面积是解题的关键． 25．如图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，AB弦约等于17厘米，半径为10厘米，求阴影部分的面积．考点：组合图形的面积；圆、圆环的面积．3685831分析：（1）阴影部分由两个相等的弓形组成，我们只需规定出一个弓形面积，然后二倍就是规定的阴影面积了．由已知若分别连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，如图所示，就可以得到两个等边三角形（各边长等于半径），则∠AO2O1=∠BO2O1=60°，即∠AO2B=120°．这样就可以求出以O2为圆心的扇形AO1BO2的面积，（2）然后再减去三角形AO2B的面积，就得到弓形面积，三角形AO2B的面积就是一半底乘高，底是弦AB，高是O1O2的一半．解答：解：分别连接AO1，AO2，BO1，BO2，O1O2，如图所示，就可以得到两个等边三角形（各边长等于半径），则∠AO2O1=∠BO2O1=60°，即∠AO2B=120°．120°÷360°=，×3.14×102﹣17×（10÷2）÷2，=×3.14×100﹣17×5÷2，≈104.67﹣42.5，=62.17（平方厘米）；62.17×2=124.34（平方厘米）；答：阴影部分的面积是124.34平方厘米．点评：连接圆心线，与图中的半径组成了两个等边三角形，从而得出弓形所对的圆心角的度数是解决此类问题的关键． 26．2100个边长为1米的正方体堆成一个实心的长方体．它的高是10米，长、宽都是大于10（米）的整数，问长方体长宽之和是几米？考点：简朴的立方体切拼问题．3685831分析：2100个边长为1米的正方体堆成一个实心的长方体．则这个长方体的体积就是：1×1×1×2100=2100立方米；高是10米，所以底面积就是2100÷10=210平方米，由此将210分解质因数，并写成两个数的积的形式，即可判断出长与宽的值，从而求得它们的和．解答：解：长方体体积是2100立方米，高为10米，所以底面积为210平方米．210=1×210=2×105=3×70=5×42=6×35=7×30=10×21=14×15．由于长、宽都是大于10（米）的整数，所以长为15米，宽为14米，则：长宽之和是15+14=29（米）．答：长与宽之和是29米．点评：根据题干得出长与宽的积是210，运用分解质因数的方法把210写成两个数的积的形式即可拟定长与宽的值． 27．有一个正方体，边长是5．假如它的左上方截去一个边长分别是5、3、2的长方体（如图），求它的表面积减少的比例是少？考点：简朴的立方体切拼问题；百分数的实际应用．3685831分析：（1）运用正方体的表面积公式先求得本来正方体的表面积；（2）减少部分的表面积是：3×2的两个长方形的面的面积，由此即可求得减少的比例．解答：解：原立方体的表面积=5×5×6=150，减少的表面积是两块3×2长方形面积：3×2×2=12，12÷150×100%=8%，答：它的表面积减少的比例是8%．点评：观测图形的切割特点，得出表面积减少部分是解决此类问题的关键． 28．如图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，求所得形体的表面积是多少？考点：长方体和正方体的表面积．3685831分析：先计算没打洞之前正方体表面积，再计算打洞后表面积减少的和增长的（洞的表面积）面积各是多少，原面积减去减少的加上增长的，就是所得形体的表面积．这三个洞在正方体中间有交叉连接，在正方体的中心的表面积为0，洞的表面积为6个棱长为1的正方体的4个面的面积．解答：解：没打洞之前正方体表面积共：6×3×3=54，打洞后，表面积减少：1×1×6=6，增长的面积：4×1×1×6=24（洞的表面积），所得形体的表面积是：54﹣6+24=72．答：所得形体的表面积是72．点评：此题关键是知道洞的表面积为6个棱长为1的正方体的4个面的面积． 29．现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出铁皮盒容积是多少立方厘米？考点：长方体和正方体的体积．3685831分析：由题意可知：要做这样的铁皮盒，有以下三种方法，分别计算出其容积，即可比较出哪个铁盒的容积最大；方法一：4个角分别剪去1个边长为5厘米的正方形，如右图一所示；方法二：将长方形的两个角分别剪去1个边长为5厘米的正方形，再将剪下的正方形焊接在右边，如图二所示；方法三：从长方形的宽的两端分别剪去宽为5厘米，长为20厘米的1个长方形，再分别焊接在此外两边，如图三所示．解答：解：如图，可有如下三种情况比较后可知：（1）30×10×5，=300×5，=1500（立方厘米）；（2）35×10×5，=350×5，=1750（立方厘米）；（3）（40﹣10﹣10）×20×5，=20×20×5，=400×5，=2023（立方厘米）；最后一个容积最大．答：做出铁皮盒容积最大是2023立方厘米．点评：解答此题的关键是：运用画图，分别计算出容积，选择容积最大的做法即可． 参与本试卷答题和审题的老师有：似水年华；王庆；zhuyum；nywhr；zxg；忘忧草；张倩；齐敬孝；浩淼；WX321（排名不分先后）菁优网2023年12月25日。