备战noip初赛问题求解之排列组合求解策略在noip中问题求解中，经常会遇到问题求解问题解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者属于排列与组合的 混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答同时还要注意讲究一些 策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解下面介绍几种常用的解题方法一、 合理分类与准确分步法解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，作到分类标准 明确，分步层次清楚，不重不漏例1 、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有 （）A. 120 种 B. 96 种 C. 78 种 D. 72 种分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有A4种排法；2）4若甲在第二，三，四位上，则有*A：A：种排法，由分类计数原理，排法共有A4 + A3 Ai A广78种，选C二、 正难反易转化法对于一些生疏问题或直接求解较为复杂或较为困难问题，从正面入手情况较多，不易解决，这时可从 反面入手，将其转化为一个简单问题来处理例2、马路上有8只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关 掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？分析：关掉第1只灯的方法有6种，关第二只，第三只时需分类讨论，十分复杂。
若从反面入手考 虑，每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与关灯的排列，于是问题转化为“在5只亮灯的6个空中插入3只暗灯”的问题故关灯方法种数为C36三、 混合问题“先选后排”对于排列组合混合问题，可先选出元素，再排列例3、4个不同小球放入编号为1，2, 3, 4的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种？分析： 因有一空盒，故必有一盒子放两球1）选：从四个球中选2个有C2种，从4个盒中选3个盒有C3种；2）排：把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3个元素，对选出的3盒作全排列有A3种， 43故所求放法有C 2C 3 A3 =144种4 4 3四、 特殊元素“优先安排法”对于带有特殊元素的排列组合问题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素例4、用0，2, 3, 4, 5,五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（）A. 24 个 B30 个 C40 个 D60 个［分析］由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分两类：1） 0排末尾时，有A2个，2） 0不排在末尾时，4则有A;A：A3个，由分数计数原理，共有偶数A2 + A;A3A：=30个，选B。
五、 总体淘汰法对于含有否定字眼的问题，可以从总体中把不符合要求的除去，此时需注意不能多减，也不能少减例如在例4中，也可用此法解答：五个数字组成三为数的全排列有A3个，排好后发现0不能排首位， 5而且数字3, 5也不能排末位，这两种排法要除去，故有A3 - A2 - A;A：A： = 30个偶数六、 局部问题“整体优先法”对于局部排列问题，可先将局部看作一个元与其余元素一同排列，然后在进行局部排列例5、7人站成一排照相，要求甲乙两人之间恰好隔三人的站法有多少种？分析： 甲、乙及间隔的3人组成一个“小整体”，这3人可从其余5人中选，有C2种；这个“小整5体”与其余2人共3个元素全排列有A3种方法，它的内部甲、乙两人有A；种站法，中间选的3人也有A3种排法，故符合要求的站法共有C5 A| A; A3 = 720种七、 相邻问题一“元”法对于某几个元素要求相邻的排列问题，可将相邻的元素看作一个“元”与其他元素排列，然后在对“元” 内部元素排列例6、7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法？分析：把甲、乙、丙三人看作一个“元”，与其余4人共5个元作全排列，有A；种排法，而甲乙、丙、之间又有A|种排法，故共有A; A; 二 7200种排法。
八、 不相邻问题“插空法”对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两 端空隙中插入即可例7、在例6中，若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的排法？分析：先将其余四人排好有A：种排法，再在这人之间及两端的5个“空”中选三个位置让甲乙丙插入，则有A3种方法，这样共有A4A; 二1400种不同排法九、 顺序固定问题用“除法”对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同排列，然后用总排列数除以 这几个元素的全排列数例8、 6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？分析： 不考虑附加条件，排队方法有A6种，而其中甲、乙、丙的A3种排法中只有一种符合条件故符合条件的排法有A6 : A3=120种6 3十、构造模型“隔板法”对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问题例9、 方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？分析：建立隔板模型：将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，而每一种分法所得4堆球的各堆球的数目，即为a,b,c,d的一组正整解，故原方程的正整数解的组数共有C3=165。
11再如 方程a+b+c+d=12非负整数解的个数;三项式（a + b + c）io，四项式（a + b + c + d ）10等展开式的项数，经过转化后都可用此法解十一、分排问题“直排法”把几个元素排成前后若干排的排列问题，若没有其它的特殊要求，可采取统一排成一排的方法来处理例10、7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？分析：7个人可以在前两排随意就坐，再无其它条件，故两排可看作一排来处理，不同的坐法共有A7种7十二、表格法有些较复杂的问题可以通过列表使其直观化例11、9人组成篮球队，其中7人善打前锋，3人善打后卫，现从中选5人（两卫三锋，且锋分左、 中、右，卫分左右）组队出场，有多少种不同的组队方法？分析：由题设知，其中有1人既可打锋，又可打卫，则只会锋的有6人，只会卫的有2人列表如下：人数6人只会锋2人只会卫1人即锋又卫结果不同选法32A3 A26 2311 （卫）A3C1A26 2 2221（锋）C 2 A3 A26 3 2由表知，共有A3 A2 + A3C1A2 + C 2 A3 A2 = 900种方法6 2 6 2 2 6 3 2除了上述方法外，有时还可以通过设未知数，借助方程来解答，简单一些的问题可采用列举法，还可以利 用对称性或整体思想来解题等等。
排列组合是高中数学的重点和难点之一，也是进一步学习概率的基础 事实上，许多概率问题也可归结为排列组合问题这一类问题不仅内容抽象，解法灵活，而且解题过程极 易出现“重复”和“遗漏”的错误，这些错误甚至不容易检查出来，所以解题时要注意不断积累经验，总 结解题规律，掌握若干技巧。