1 1、最值的概念、最值的概念(最大值与最小值最大值与最小值)如果在函数定义域如果在函数定义域I内存在内存在x x0 0,使得对任使得对任意的意的xxI,总有总有f(x)f(x)f(xf(x0 0),),则称则称f(xf(x0 0)为函为函数数f(x)f(x)在定义域上的在定义域上的最大值最大值；最值是相对函数最值是相对函数定义域整体定义域整体而言的而言的.如果在函数定义域如果在函数定义域I内存在内存在x x0 0,使得对任使得对任意的意的xxI,总有总有f(x)f(x)f(xf(x0 0),),则称则称f(xf(x0 0)为函为函数数f(x)f(x)在定义域上的在定义域上的最小值最小值.知识回顾知识回顾：(2)(2)将将y=y=f(xf(x)的各极值与的各极值与f(af(a)、f(bf(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值一个为最小值 (1)(1)求求f(xf(x)在区间在区间 a,ba,b 内极值；内极值；(极大值或极小值极大值或极小值)利用导数求函数利用导数求函数f(xf(x)在区间在区间 a,ba,b 上最值的步骤上最值的步骤:注意：注意：若函数若函数f(xf(x)在区间在区间 a,ba,b 内只有一个极大内只有一个极大值值(或极小值或极小值)，则该极大值，则该极大值(或极小值或极小值)即为函数即为函数f(xf(x)在区间在区间 a,ba,b 内的最大值内的最大值(或最小值或最小值)导数的应用导数的应用-求函数最值求函数最值.(2)y=(2)y=f(xf(x)的最大值的最大值y ymaxmax=MAXf(aMAXf(a),),f(bf(b),),f(xf(x1 1),f(x),f(x2 2)f(xf(xn n)y=y=f(xf(x)的最大值的最大值y yMINMIN=MINf(aMINf(a),),f(bf(b),),f(xf(x1 1),f(x),f(x2 2)f(xf(xn n)(1)(1)在区间在区间(a,ba,b)上求使上求使f(x)=0f(x)=0的解的解x x1 1、x x2 2、x xn n利用导数求函数利用导数求函数f(xf(x)在区间在区间 a,ba,b 上最值的步骤上最值的步骤:新课引入新课引入:导数在实际生活中有着广泛的应导数在实际生活中有着广泛的应用用,利用导数求最值的方法利用导数求最值的方法,可以求出可以求出实际生活中的某些最值问题实际生活中的某些最值问题.导数在实际生活中的应用导数在实际生活中的应用例：例：在边长为在边长为60 cm60 cm的正方形铁片的的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起沿虚线折起(如图如图)，做成一个无盖的，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？子的容积最大？最大容积是多少？xx6060 xx由题意可知，当由题意可知，当x x过小（接近过小（接近0 0）或过大（接近）或过大（接近6060）时）时，箱子容积很小，因此，箱子容积很小，因此，1600016000是最大值。
是最大值答：当答：当x=40cmx=40cm时，箱子容积最大，最大容积是时，箱子容积最大，最大容积是16 16 000cm000cm3 323()602xV xx解法一：设箱底边长为解法一：设箱底边长为x xcmcm，则箱高则箱高 cmcm，得箱子容积得箱子容积602xh(060)x23260()2xxV xx h令令 ，解得，解得 x=0 x=0（舍去），舍去），x=40 x=40，23()6002xV xx并求得并求得V(40)=16000V(40)=16000答：当答：当x=40cmx=40cm时，箱子容积最大，最大容积是时，箱子容积最大，最大容积是16 16 000cm000cm3 3解法二：设箱底边长为解法二：设箱底边长为x xcmcm，则箱高则箱高 cmcm，602xh(060)x23260()2xxV xx h23260()(60)22xxxV xx(60)602233332(60)2()2()160002 2xxxx xx(60)x=4022xxx当时，即时上式取等号如何解决最优化应用问题?优化（实际）问题优化（实际）问题优化（实际）问题优化（实际）问题的答案的答案用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题（注意标出自变量的范围）（注意标出自变量的范围）用导数（或不等式）解用导数（或不等式）解决数学问题决数学问题在实际问题中，在定义域中，是函数导数在实际问题中，在定义域中，是函数导数f f(x(x)=0)=0的的解只有一个，如果能够判断函数在这点处有极大（小解只有一个，如果能够判断函数在这点处有极大（小）值，那么不与端点处的函数值比较，也可以下结论）值，那么不与端点处的函数值比较，也可以下结论：这就是该问题的最大（小）值：这就是该问题的最大（小）值在实际问题中，当不用导数而是用基本不等式求最大在实际问题中，当不用导数而是用基本不等式求最大（小）值是一定要注意：（小）值是一定要注意：当求几个因式积（或和）的最值时，常常要利用当求几个因式积（或和）的最值时，常常要利用（以上各式中当且仅当（以上各式中当且仅当“a=ba=b或或a=b=c”a=b=c”时取得等号）时取得等号）必须要确保：必须要确保：a)a)每个因式是正数每个因式是正数 b)b)这几个因式的和是常数这几个因式的和是常数 c)c)不等号中的等号能取到不等号中的等号能取到23()22()33ababa ba babcabca b ca b c 3 3或或或或或或解：设圆柱的高为解：设圆柱的高为h h，底半径为底半径为R R，则表面积则表面积例：例：圆柱形金属饮料罐的容积一定时，圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底的半径应怎样选取，才能它的高与底的半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？使所用的材料最省？2VhRS=2Rh+2RS=2Rh+2R2 2由由V=RV=R2 2h h，得得 ，则，则2222()222VVS RRRRRR22()40VS RRR 令令32VR解得，解得，从而，从而答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省即即h=2Rh=2R因为因为S(R)S(R)只有一个极值，所以它是最小值只有一个极值，所以它是最小值22332323 2VVVVRRVRRRR2222()222VVS RRRRRR33223422()2VVVVhRV解法二：解法二：23V2R=2VVRRR当时，即时，上式取等号练习练习（1）把长）把长60cm的铁丝围成矩形，长、的铁丝围成矩形，长、宽各为多少时，矩形面积最大？宽各为多少时，矩形面积最大？（2）求内接于半径为）求内接于半径为R的圆的矩形面的圆的矩形面积的最大值。
积的最大值高考链接高考链接v请你设计一个帐篷，它的下部的形状是请你设计一个帐篷，它的下部的形状是高为高为m的正六棱柱，上部的形状是侧的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为棱长为m的正六棱锥，试问：当帐篷的正六棱锥，试问：当帐篷的顶点的顶点O到底面中心到底面中心O1的距离为多少时，的距离为多少时，帐篷的体积最大？帐篷的体积最大？OO1O2设OO1为x m帐篷的体积为（单位：帐篷的体积为（单位：m3）V（x）=解:设OO1为x m，则x1 由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）22228)1(3xxx)28(233)28(436222xxxx1)28(2332xx)1()28(233312xxx)1216(233xx于是底面正六边形的面积为（单位：于是底面正六边形的面积为（单位：m2）求导数求导数)312(23)(2xxV令令V（x）=0 解得解得 x=-2(不合题意不合题意,舍去舍去),x=2当当 1x2 时时 V（x）0，V（x）为增函数）为增函数当当 2x4 时时 V（x）0 V（x）为减函数为减函数所以所以 当当 x=2时时V（x）最大）最大答：当答：当OO1为为2m时帐篷的体积最大时帐篷的体积最大。