课时分层训练(三十) 等比数列及其前n项和A组 基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( ) 【导学号：31222184】A．a1，a3，a9成等比数列B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列D．a3，a6，a9成等比数列D [由等比数列的性质得，a3·a9＝a≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D.]2．(2016·重庆巴蜀中学3月模拟)我国古代有用一首诗歌形式提出的数列问题：远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增．共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？( ) 【导学号：31222185】A．5 B．4C．3 D．2C [设塔顶有x盏灯，则由题意知＝381，解得x＝3.故选C.]3．(2016·广东肇庆三模)在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于( )A．－3 B．－1C．1 D．3D [两式相减得a4－a3＝2a3，从而求得＝3，即q＝3.]4．(2015·全国卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝( )A．2 B．1C. D.C [法一：∵a3a5＝a，a3a5＝4(a4－1)，∴a＝4(a4－1)，∴a－4a4＋4＝0，∴a4＝2.又∵q3＝＝＝8，∴q＝2，∴a2＝a1q＝×2＝，故选C.法二：∵a3a5＝4(a4－1)，∴a1q2·a1q4＝4(a1q3－1)，将a1＝代入上式并整理，得q6－16q3＋64＝0，解得q＝2，∴a2＝a1q＝，故选C.]5．(2017·合肥二次质检)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝12，a3·a5＝4，则下列说法正确的是( )A．{an}是单调递减数列B．{Sn}是单调递减数列C．{a2n}是单调递减数列D．{S2n}是单调递减数列C [设等比数列{an}的公比为q，则a3·a5＝a2q·a2q3＝4，又因为a2＝12，所以q4＝，则q2＝，所以数列{a2n}是首项为12，公比为的等比数列，则数列{a2n}为单调递减数列，故选C.]二、填空题6．若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋2，c＝5－2，则b＝__________. 【导学号：31222186】1 [∵a，b，c成等比数列，∴b2＝a·c＝(5＋2)(5－2)＝1.又b>0，∴b＝1.]7．(2016·浙江高考)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.1 121 [∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋＝3，∴数列是公比为3的等比数列，∴＝3.又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，∴S5＋＝×34＝×34＝，∴S5＝121.]8．(2017·深圳二次调研)《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢，各穿几何？”题意是“有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．”如果墙足够厚，Sn为前n天两只老鼠打洞长度之和，则Sn＝__________尺．2n－＋1 [依题意大老鼠每天打洞的距离构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以前n天大老鼠打洞的距离共为＝2n－1.同理可得前n天小老鼠打洞的距离共为＝2－，所以Sn＝2n－1＋2－＝2n－＋1.]三、解答题9．数列{bn}满足：bn＋1＝2bn＋2，bn＝an＋1－an，且a1＝2，a2＝4.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.[解] (1)由bn＋1＝2bn＋2，得bn＋1＋2＝2(bn＋2)，2分∴＝2, 又b1＋2＝a2－a1＋2＝4，∴数列{bn＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．∴bn＋2＝4·2n－1＝2n＋1，∴bn＝2n＋1－2.5分(2)由(1)知，an－an－1＝bn－1＝2n－2(n≥2)，∴an－1－an－2＝2n－1－2(n>2)，…，a2－a1＝22－2，∴an－2＝(22＋23＋…＋2n)－2(n－1)，9分∴an＝(2＋22＋23＋…＋2n)－2n＋2＝－2n＋2＝2n＋1－2n.∴Sn＝－＝2n＋2－(n2＋n＋4).12分10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*)．(1)证明：数列{an}是等比数列；(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．[解] (1)证明：依题意Sn＝4an－3(n∈N*)，n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1.2分因为Sn＝4an－3，则Sn－1＝4an－1－3(n≥2)，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，整理得an＝an－1.又a1＝1≠0，所以{an}是首项为1，公比为的等比数列.5分(2)由(1)知an＝n－1，由bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，得bn＋1－bn＝n－1.7分可得bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝2＋＝3·n－1－1(n≥2).10分当n＝1时也满足，所以数列{bn}的通项公式为bn＝3·n－1－1(n∈N*).12分B组 能力提升(建议用时：15分钟)1．(2016·安徽安庆二模)数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值等于( ) 【导学号：31222187】A．1 B．－1C. D．2D [由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ.由于数列{an－1}是等比数列，所以＝1，得λ＝2.]2．(2016·广东肇庆三模)设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＋a1＝2an，且a1，a2＋1，a3成等差数列，则a1＋a5＝__________.34 [由Sn＋a1＝2an，得an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，故an＝2n，所以a1＋a5＝2＋25＝34.]3．设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.(1)求a4的值；(2)证明：为等比数列．[解] (1)当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即4＋5＝8＋1，解得a4＝.(2)证明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．∵4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，∴4an＋2＋an＝4an＋1(n∈N*)，∴＝＝＝＝，∴数列是以a2－a1＝1为首项，为公比的等比数列．。
