2.3z反变换1数数 字字 信信 号号 处处 理理第二章 z变换（2.3）主主 讲：熊美英讲：熊美英 E-mail：2.3z反变换2第二章 z变换n2.1 引言n2.2 z变换的定义及收敛域n2.3 z反变换n2.4 z变换的基本性质和定理n2.5 z变换与拉普拉斯变换、傅立叶变换的关系 n2.6 序列的傅里叶变换n2.7 傅里叶变换的一些对称性质n2.8 离散系统的系统函数及频率响应2.3z反变换3回顾： 2.2 z变换的定义及收敛域几种序列的收敛域及特例：收敛域特殊情况收敛域有限长序列右边序列因果序列左边序列反因果序列双边序列 当 不收敛 z0znzn000021，zRxzRxxRz0|xRzxxRzRxxRR2.3z反变换4常用z变换可写成公式形式：序列Z变换收敛域注意：只有z变换和它的收敛域两者在一起才和序列相对应其它序列见p54： 表2-1 几种序列的z变换)()(nnx,0 z)()(nuanxnazzzX)(az ) 1()(nubnxnbzzzX)(bz 1)(zX2.3z反变换52.3 z反变换一. z反变换的定义： 已知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称作z反变换。
)()(1zXZnx记作：即：z反变换是z变换的逆运算2.3z反变换6 )()(nuanxnazazzazzX,11)(1例：上一节课，我们算出 的z变换和收敛域是： 现作逆运算，已知X(z)和它的收敛域，求x(n).用什么方法求x(n)?展开X(z)的定义:.)2() 1 ()0() 1()2(.)(21012zxzxzxzxzxzX求x(n)，实质上是求X(z)的幂级数展开式的系数2.3z反变换7二、求z反变换的方法： 1、围线积分法（留数法）； 2、部分分式展开法； 3、长除法2.3z反变换8 1、围线积分法（留数法） 根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域 内解析，则在此区域可展开成罗朗级数的形式：xxRzR0 xxnnnRzRzCzX,)(),(,)(211xxcnnRRcdzzzXjC其中：C为环形解析域内环绕原点的一条逆时针闭合单围线.2.3z反变换9对比和z变换的定义可知：xxnnnRzRzCzX,)(nnznxzX)()(),(,)(21)(1xxcnnRRcdzzzXjCnx 但直接计算围线积分比较麻烦，一般都用留数定理来求解2.3z反变换10留数定理： 若函数 在围线c上连续，在c内有K个极点zk，在c外有M个极点zm（K,M为有限值），则有：1)()(nzzXzFcmzznnckzznnmkzzXdzzzXjzzXdzzzXj)(Res)(21)(Res)(211111或 Res表示极点处的留数。
2.3z反变换11n所以：mzznkzznmkzzXnxzzXnx)()(Res)()()(Res)(11围线外的极点或利用围线内的极点 注意：应用第二式计算时，要求 的分母多项式中z的阶次比分子多项式z的阶数高二阶或以上1)(nzzX2.3z反变换12求留数的方法：1、当Zr为一阶极点时的留数：2、当Zr为l阶(多重)极点时的留数：rrzznrZZnzzXzzzzX)()()(Res11rrzznlrllzznzzXzzdzdlzzX)()()!1(1)(Res11112.3z反变换13例2-5: 已知 ， 求z反变换解:441,)41)(4()(2zzzzzX1)(nzzX)41)(4(1zzzn对应的一定是零点？1nz是极点41, 4zz对应的是极点时，当101nzn2.3z反变换14如图所示，取收敛域的一个围线c，分两种情况讨论：（1）n1时， 不构成极点，所以这时C内只有一个一阶极点 ， 因此1nz4/1z2.3z反变换151,44/14)4/1 ()(4/()()(4/(Res)(1511414141141411nzzzzzzznxnnznzn) 1(4)(151nunxn或记作：2.3z反变换16（2）当n-1时， zn+1构成|n+1|阶极点，极点为z=0。
因此C内有极点：z=1/4(一阶), z=0为|n+1|阶极点；而在C外仅有 z=4(一阶)这个极点:1,41514/144)41)(4/(Res)(2141nzzznxnnzn)2(4151)(2nunxn或记作：2.3z反变换172,41,4)(2151151nnnxnn因此)2(154) 1(154)(2nununxnn或记作：2.3z反变换18例2-6: 已知 ， 求z反变换解:由收敛域可知，4,)41)(4()(2zzzzzX1)(nzzX)41)(4(1zzznx(n)为因果序列，所以当n2，收敛域在两个极点之外，是什么序列？2.3z反变换29若用待定系数法求系数A1、A2:) 5 . 0)(2()(zzzzzX) 5 . 0)(2() 2() 5 . 0(5 . 022121zzzAzAzAzA则分子相等 应对所用z成立zzAzA)2() 5 . 0(213/423/15 . 012AzAz，可求令，可求令2.3z反变换30例：利用部分分式法，求 的z反变换解：5 . 0,)5 . 01)(21 (1)(11zzzzX) 1()5 . 0(31234)(1 . 254nunxpnn得表查5.031234)(zzzzzX又|z|0.5，收敛域在两个极点之内，是什么序列？2.3z反变换31例：利用部分分式法，求 的z反变换。
解：25 . 0,)5 . 01)(21 (1)(11zzzzX5.031234)(zzzzzX又0.5|z|Rx+， x(n)为因果序列，则X(z)展成z的负幂级数 若 收敛域|Z|Rx-, x(n)必为左边序列，主要展成z的正幂级数 2.3z反变换35例2-6 试用长除法求的z反变换441,)41)(4()(2zzzzzX解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序列，极点z=4对应左边序列(双边序列)双边序列可分解为因果序列和反因果序列应先展成部分分式再做除法2.3z反变换36414)41)(4()(21zAzAzzzzzX1514/144/1)()41(15164/144)()4(41241zzzzXzAzzXzA2.3z反变换374/115/1415/16)(zzzzX)4/1416(1514/115141516)(zzzzzzzzzX2.3z反变换382.3z反变换392.3z反变换400,)41(1511,)4(151)()641641441664(151)(23212345nnnxzzzzzzzzzXnn进而得：得2.3z反变换41回顾：2.3 z反变换求z反变换的方法： 1、围线积分法（留数法）； 2、部分分式展开法； 3、长除法。
重点：留数法和部分分式展开法2.3z反变换42n部分分式展开法:)(.)()()()()(21zXzXzXzAzBzXK分解然后各部分查表作z反变换，再相加)(.)()()(.)()()()(21121111nxnxnxzXzzXzzXzzXznxKK此课件下载可自行编辑修改，供参考！此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢你的支持，我们会努力做得更好！感谢你的支持，我们会努力做得更好！。