第四届“互动出版杯"数学中国数学建模网络挑战赛承诺书我们仔细阅读了第四届“互动出版杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理我们允许数学中国网站（）公布论文，以供网友之间学习交流，数学中 国网站以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意我们的参赛队号为：1369参赛队员（签名）：队员1：王国峰队员2：杨世猛队员3：陈云飞参赛队教练员（签名）：王文静参赛队伍组别：专科组第四届“互动出版杯"数学中国数学建模网络挑战赛编号专用页参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好）：1369竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：报名号#13692011年第四届“互动出版杯”数学中国数学建模网络挑战赛题 目 客机水面迫降时的姿态关键词 水面迫降俯仰角攻角无约束优化危险系数翻转力矩摘 要本文针对客机水面迫降以何种姿态接触水面是相对最好的选择，对飞机迫降水面的 不同姿态进行受力分析，得到飞机以攻角13.98°俯仰角8.98。
的姿势，尾部先接触 水面是相对最好的选择另外襟翼应该采用最大偏角，起落架应该收起飞机迫降水面有机头先着水，平行入水，机尾先着水三种选择对这三种姿态进行 受力分析得出机尾先着水危险系数最低我们针对机尾先着水进行受力分析，利用无约 束优化方法得到最佳入水角度：攻角13.98°俯仰角8.98°在模型简化求解的过程中运用了三角函数的无约束优化求得了最佳角度最后对模 型进行了评估，同时对于参数进行了检验，而且对最佳姿态进行了进一步分析与改进参赛队号 1369参赛密码 （由组奏会填写）所选题目 A英文摘要In this paper, what kind of attitude aircraft landing surface contact with the surface is relatively the best choice of aircraft landing surface force analysis of different poses to get the aircraft angle of attack of 13.98 ° to 8.98 ° pitch angle position, the end of the first contact with the surface is relatively the best option. In addition the maximum angle should be used flaps, landing gear should be put away.Aircraft landing head first with the organic surface water, parallel into the water, the water tail first three choices. Attitude to Stress Analysis of these three come to the water tail first, the lowest risk factor. We focused on the water tail first, force analysis, the use of unconstrained optimization methods into the water to get the best angle: 13.98 ° angle of attack, pitch angle 8.98 °.Simplify the process of solving the model using a trigonometric function in the unconstrained optimization obtained the best angle. Finally, the model was evaluated, and tested for the parameters, but also the best attitude for further analysis and improvement.一、 问题重述大型客机在水域上方飞行，如果出现全部发动机同时停车或者燃油耗尽的情况，此 时必须进行水上迫降。
2009年1月15日下午（美国东部时间），US Airways所属第1549 航班（空中客机A320）从纽约长岛拉瓜迪亚机场起飞起飞约90秒后遭飞鸟撞击，导致 两个发动机损坏机长萨伦伯格凭借着出色的驾驶技术和冷静的判断使飞机迫降在哈德 逊河紧急迫降经及时救助，机上155人（其中包括两名机师和三名乘务人员）在飞机 沉没之前全部获救该起事故造成78人受伤，无人死亡第一阶段问题：问题：大型客机在迫降过程中飞机会受到相当大的水体冲击力，发生不同程度的破 坏，给乘客和机组成员的生命安全带来极大威胁对客机在平静水面的迫降进行分析， 建立合理的数学的模型，指出客机在河面上迫降时，以何种姿态接触水面是相对最好的 选择二、 模型假设1. 不考虑飞机内部的密度差2. 飞机在瞬间接触水面时的冲击力为恒定值3. 接触水面前飞机的速度不再改变4. 飞机机壳为刚体5. 冲击力的方向与速度方向相反6. 忽略空气阻力影响三、 符号说明七（i = 1,2,3,4） 分别表示飞机的水平方向分速度，垂直方向分速度，飞机的合速度，飞机的末速度f 飞机所受的冲击力f： f的水平冲击力fy f的垂直冲击力G 飞机的重力h 飞机下降时的高度t 飞机下降到落水的时间g 飞机下落时的重力加速度Y 攻角即机身与合速度（V ）的夹角3门 俯仰角即机身与水平面的夹角0 f与垂直方向的夹角四、问题分析飞机迫降有相当大的危险性，而迫降姿态有很多种，不同的姿态接触水面，会 产生不同的后果，飞机在与水面接触的瞬间飞机可能翻转或跳跃。
我们针对几种不同的落水姿态进行分析得到一种方案使危险系数最小在此我们只 讨论飞机与水面接触的瞬间作用1. 机身全部与水平面接触即飞机与水平面接触时的夹为零时，讨论飞机危险 系数的大小我们首先分析了飞机各个方向速度得到合速度的大小及方向在对飞 机进行受力分析讨论冲击力与速度的相互关系2. 飞机的机头先于水面接触时，同样先分析速度，得到速度与机头方向一致 使飞机的危险系数加大进而对飞机的机头与机尾分别进行瞬间受力分析，得到由 此而产生得翻转力矩对飞机安全的影响3. 飞机的机尾先于水面接触时，也是先对速度进行分析，得到合速度的大小 与方向进而讨论合速度与机头方向的关系，进一步对机身进行受力分析将冲击力 进行分解，分析分力的影响4. 由3得机尾先与水面接触最为合理，为了得到更准确答案对飞机接触水面 时的偏角进行分析在此先分析合速度方向与机身方向夹角小于90°的情况，对冲 击力与重力沿机身方向进行受力分解，再将俩分速度合成，通过优化得到最优解5. 合速度方向与机身方向夹角大于90°时，同样沿机身方向建立坐标轴，分 解冲击力与重力；再将分力合成，得到关系式进行优化五、模型建立5.1飞机的机身与水平面接触，即飞机与水面的夹角为0时（如图一）， 飞机到水平面时V1V2V3图（一）"是飞机的水平速度V2是飞机由于重力产生的垂直方向速度V是飞机运动速度也是V与V的合速度3 1 2V = * V2 + V2匕=gh =1 gt 22t=竺3v2 = <2hgv = Jv2 + 2 hg（不考虑其它力的影响）飞机的受力（如图二）达式如下:V3是飞机运动的的速度）0 < t < t1t1 < t V' 2>12 < t " 3t3
110 ms此时的不考虑匕的影响情况下当七=0时v = v - at 此时t = 2.05s若在加上v2的影响，t会更大因此飞机到达水面受到冲击力时，不会停止，会继续下陷 综上所述抛弃该方案5.2 飞机的机头与水面接触（如图三）对速度分析得到下图:水平面此时的速度为：V = \；v 2 + v 2 = ；2 hg + V 23 Y 2 1 * 1飞机机头的方向与V3方向一致，速度不会影响机身平衡，因此飞机不会出现“跳跃” 或“翻转”现象但是速度会引导飞机沿次方向运动，从而会使飞机有进入水中的危险对飞机头部进行受力分析（如图四）（注:冲击力具有瞬间性）V3图（四）在这瞬间对机尾进行分析此时尾部只受重力：冲击力具有瞬间性，所以在这一瞬间头部由于受到f1的巨大影 响速度瞬间减小，而尾部只受重力；又由于惯性影响，飞机尾部瞬间保持以前速度，而 导致头部与尾部受力不平衡，而产生翻转力矩使飞机会发生翻转具有很大的危险性综上，不论速度的影响还是冲击力的影响，都会使飞机具有极大危险因此此方法不可取5.3飞机以机尾先与水面接触（如图五）图（五）V = •"2 + V2 =：2hg + V23*12“ 1此时V3的方向与机头的方向不一致，飞机在以后的时间中具有调整平衡的时间使飞机平稳飘与水平面上。
而"使飞机具有向前运动的能力在接触水面瞬间对飞机尾部进行受力分析（如图六）由于v与V不变所以V的大小及方向不变，冲击力是阻碍飞机运动方向的力，因此 1 2 3f］的大小及方向不变将f］分解后会有一个分力f,将G减弱，从而使飞机的尾部具有上翘的趋势此时 作用于水平面上的分力f；小于飞机的头部先于水平面接触时的冲力f］综上所述得出以下结论：1. 在这一瞬间不但不会使飞机下陷而且还有还有使飞机上翘的趋势2. 又由于作用于水平面上的分力f;小于飞机的头部先于水平面接触时的冲力f］，所以瞬间内不会有翻转的危险3. fx的作用同时又会减弱飞机的v ］从而减小危险综上可得机尾与水面接触是最安全的5.4机尾与水面接触时的最佳攻角（y）5.4.1当攻角小于90°时对飞机进行受力分析并以飞机重心为原点，机身中轴线指向机头为x轴，垂直机身 向上方向为y轴建立如图（六）的坐标系a是冲击力与y轴的夹角P是重力与y轴的夹角a e(0,0】(m 0 e 0,—"2 Jx 轴受力合力为 f f = f sin a + G sin 0= f sin a + G sin（0 - a）通过无约束优化得到 f取得最小值时Xtan a = —'1 入 —G sin 0 tan 0y =兀-a2门=0 -a5.4.2当攻角大于90°时对飞机进行受力分析并以飞机重心为原点，机身中轴线指向机头为x轴，垂直机身 向上方向为y轴建立如图（七）的坐标系, 一- 「 n\中=以+0 ae（0,兀 一0】 9 e 0,—k 2x 轴受力合力为 f f = f sin a — G sin 甲=f sin a — G sin &+a）通过无约束优化得到f取得最小值时Xtan a =-^— — —f1—tan 9 G sin 9y =兀-a2门=9 —a六、模型求解与结果分析根据网上查询结果第1549航班（空中客机A320）的重量为105kg，接触水面瞬间受到 冲击力约为重力的4倍即f1 = 4x 106N，接触水面时的速度与竖直方向的夹角9 = 85。
带入上述模型求解得到：攻角y= 13.98俯仰角门=8.98所以飞机以攻角13.98°俯仰角8.98°的姿势，尾部先接触水面是相对最好的选择 另外襟翼应该采用最大偏角，起落架应该收起七、模型评价模型优点1. 在模型的建立过程中，我们对各种姿态进行有效的数据分析，具有科学性和权威性2. 建立的规划模型有成熟的理论基础，又有相应的专业软件支持，可信度高3. 在模型简化求解的过程中运用了三角函数的无约束优化，求得了最佳角度模型缺点1.模型的简化因素较多，如空气阻力，飞机结构等，影响了飞机降落的实际情况八、参考文献[1] 韩中庚《数学建模方法及其应用》高等教育出版社2009[2] 沈文选、杨清桃《数学建模导引》哈尔滨工业大学出版社2008[3] 王兵团《数学建模基础》 清华大学出版社、北京交通大学出版社2004[4] 中国学术期刊网络出版总库 2011.04.23[5] 胡大勇杨嘉陵王赞平魏教育童亚斌 《某型飞机水上迫降数值化模型》，《北京航空航天大学学报》第34卷 第12期1369——1374，2008.12[6] 屈秋林刘沛清郭保东程丽 《某型飞机水上迫降的着水冲击力学性能数值 研究》，《民用飞机设计与研究》s1期一知网空间64——67, 2009九、附录To get started, select MATLAB Help or Demos from the Help menu.>> y=4000000/(1000000*sin(85*pi/180)-1/tan(85*pi/180));>> yy =4.0153>> atan(y)ans =1.3267>> ans*180/pians =76.0151。