2.2等差数列1.等差数列定义一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示. 用递推公式表示为或.2.等差数列的通项公式：等差数列的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列3.等差中项的概念定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中. ，，成等差数列.数列是等差数列,则.4.等差数列的前和的求和公式：5.等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差数列中，对任意，，， ；（4） 在等差数列中，若，，，且，则；***说明：设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①奇偶； ② ；（Ⅱ） 若项数为奇数，设共有项，则①偶奇；②.6.数列最值（1），时，有最大值；，时，有最小值.（2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可如下确定或.7.等差数列的判定方法：（1）定义法：若或(常数)是等差数列；(2) 等差中项：数列是等差数列；（3）数列是等差数列（其中是常数）；（4）数列是等差数列,（其中、是常数）.8.等差数列的证明方法：定义法：若或(常数)是等差数列．等差数列练习题一、选择题1．如果无穷数列{an}的第n项与n之间的函数关系能用一个公式an=f(n)来表示，则该函数的定义域为( ) （A）Z （B）N （C）N+ （D）N+的有限子集{1,2,…,n}2．数列-1，6，-11，16，…的一个通项公式为( )（A）an= 5n-4 (B) an=-5n+4 (C) an= (-1)n×5n-4 (D) an=(-1)n(5n-4)3．已知数列{an}的首项a1=1, 且an=2an-1+1（n≥2）,则a5为( )（A）7 （B）15 （C）30 （D）314．一个等差数列的第五项a5=10，且a1+a2+a3=3，则有( )（A）a1=-2,d=3 （B）a1= 2,d=-3 （C）a1= -3,d=2 （D）a1=3, d=-25．在等差数列{an}中，am=n, an=m(m,n∈N+), 则am+n=( )（A）mn （B）m-n （C）m+n （D）06．已知等差数列{an}中，a1=-5,d=7,an≤695,则这个等差数列至多有( )（A）98项 （B）99项 （C）100项 （D）101项7．已知等差数列{bn}中，d=-3,b7=10, 则b1是( )（A）-39 （B）28 （C）39 （D）328．已知等差数列{cn}中，c10+c15=9, 则c9+c16, cn的值是( )（A）不能确定 （B）9 （C）18 （D）9．在等差数列40，37，34，……中第一个负数项是( )（A）第13项 （B）第14项 （C）第15项 （D）第16项10. 设数列的通项公式为，则（ ）（A）153 （B）210 （C）135 （D）120二、填空题11．数列2，-4，6，-8，…的一个通项公式是_________。
12．已知数列：…，则是这个数列的第 ________项13．数列a1=-1,+1 (n≥2)的前四项依次是________________________14．等差数列{an}中，a15=33,a45=153,则217是这个数列的第__________项15．若一个三角形的三内角成等差数列，且已知一个角为28°，则其它两角度数为____________________16．若{an}为等差数列，a3,a10是方程x2-3x-5=0的两根，则a5+a8=____________三、解答题17．求下列各数列的一个通项公式：（1）……（2）……（3）……18．在矩形纸片内取n(n∈N+)个点，连同矩形的4个顶点共n+4个点，这n+4个点中无三点同在一直线上以这些点作三角形的顶点，把矩形纸片剪成若干个三角形纸片，把这些纸片的个数记为an（1）求a1,a22）求数列{an}的递推公式；（3） 根据递推公式写出数列{an}的前6项 19．已知等差数列{an}中，a1+a4+a7=15,a2a4a6=45,求数列{an}的通项公式20．在等差数列{an}中，已知a4=70,a21=-100,（1）求首项a1与公差d，并写出通项公式；（2）{an}中有多少项属于区间[-18，18]？21．已知等差数列{an}，求证：（1）若u+v=p+q，则au+av=ap+aq；（2）若t=7n+2(n∈N+)，则当n依次取1，2，3，…时，所得at组成的数列也是等差数列。
等差数列练习题答案一、选择题1．C．无穷数列从函数观点来看，定义域是N+2．D．将n=1,2,3,4代入各通项公式，知D适合3．D．逐项计算，a1=1,a2=2×1+1=3,a3=2×3+1=7,a4=2×7+1=15,a5=2×15+1=31.4．A．由 a1+4d=10， 3a1+3d=3解得a1=-2,d=35．D．由am=n,an=m,得,am+n=am+nd=n-n=0.6．D．由-5+7（n-1）≤695得n≤101.7．B．b7=b1+(7-1)(-3)=10,∴b1=28.8．B．c9+c16=c10+c15=9..9．C．∵a1=40,d=-3,∴由an=40-3(n-1) ≤0解得n≥，∵n∈N∴n≥15.10．A．二、 填空题11．an=(-1)n+1·2n 各项符号正负相间，满足(-1)n+1；各项是序号 n的2倍12．7 将数列写成则2=是数列中第7项13．-1，-1，-1，-1 逐项代入计算得到14．61 由a1+14d=33及a1+44d=153得d=4，a1=-23，从-23+4(n-1)=217解得n=61.15．60°，92° 设三角形三个内角为x-d,x,x+d,则（x-d）+x+(x+d)=180°,∴x-d= 28°,∴d=32°,∴x+d=92°。
16．3 ∵a3+a10=3,∴a5+a8=a3+a10=3三、解答题17．解（1）所给数列前5项分子组成奇数数列，其通项公式为2n-1，而前5项分母所组成数列的通项公式为2×2n,所以已知数列an的通项公式为,(2)从所给数列的前5项可知，每一项分子都是1，而分母所组成的数列为3 ，8，15，24，35，…可变形为1×3，2×4，3×5，4×6，5×7…，其通项公式为n(n+2)；各项符号是奇数项为负，偶数项为正因此所给数列的通项公式为an=(-1)n.(3)所给数列改写成：数列分子是1，0重复变化，且奇数项为1，偶数项为0，所以可表示为；分母通项为正整数n，所以数列的通项公式为18．解（1）a1=4,a2=6(2)因为这n+4个点中无三点共线，所以每增加1个点Ai（如图，点Ai必在某一个三角形内）剪成的三角形纸层新增3个（图中的Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ）但减少了原来的1个，实际增加2个，所以的递推公式是an=an-1+2(n≥2) 3) a1=4,a2=a1+2=4+2=6, a3=a2+2=6+2=8 a4=a3+2=8+2=10 a5=a4+2=10+2=12 a6=a5+2=12+2=1419．解：∵a1+a7=2a4 ∴a1+a4+a7=3a4=15 ∴a4=5 ∵a2a4a6=45, ∴a2a6=9设等差数列公差为d，则(a4 -2d)(a4+2d)=9即(5-2d)(5+2d)=9 ∴d=±2当d=2时an=a4+(n-4)d=5+(n-4)·2=2n-3当 d=-2 时，an=5+(-2)(n-4)=13-2n20．解(1)由题意，得解得a1=100,d=-10所以通项公式是an=100-10(n-1)即an=-10n+110(2)由题意，得-18≤-10n+110≤18解得 12.8≥n≥9.2,∵n∈N+ ∴12≥n≥10.所以属于区间[-18,18]的共有3项,它们是a10,a11,a1221.解(1)设an=a1+(n-1)d,则 au=a1+(u-1)d ① av=a1+(v-1)d, ② ap=a1+(p-1)d ③, aq=a1+(q-1)d ④①+②，得 au+av=2a1+(u+v-2)d③+④，得ap+aq=2a1+(p+q-2)d∵u+v=p+q ∴au+av=ap+aq(2)设at所组成的数列为，（m∈N+）则b1=a9,b2=a16,b3=a23,…， bm-1=a7(m-1)+2,bm=a7m+2,…， ∴bm-bm-1=a7m+2-a7(m-1)+2 =a1+(7m+1)d-{a1+[7(m-1)+1]d}=7d所以是公差为 7d的等差数列。