四方联系 浑然一体 漫江碧透 鱼翔浅底——基于“函数综合题”应试复习策略的讨论浙江省天台中学 褚人统 Email:churentong@ 邮编：317200 在考前的最后一个月里教师应该用怎样的策略方法来指导学生复习，学生希望通过最后一个月的努力能再“长”一些分！这是一个受欢迎的话题．这一个月中若使用适当的方法的确能对应试产生一些帮助，尤其是综合性试题的应试能力的培养．本文谈谈如何指导学生对理科综合性大题——函数综合试题应试能力的培养． 1.精心筹划1．1重视考题研究每年参与高考命题的大部分成员均有一定的连续性，每一个成员的对知识板块的认知、熟练程度均有所不同，因此教师对近年本省高考函数综合试题特征的研究有一定的必要，有助于对高考复习重点的把握．对于函数综合试题应该有清醒的认识，高考命题强调能力立意，以数学知识为载体，从问题入手，把握数学学科的整体意义，从学科整体的高度和思维价值的高度考虑问题，加强对知识的综合性和应用性的考查，在知识网络的交汇处设计试题．而中学数学内容可以整合为数与形的两条线，其中数是以函数概念来串联代数、三角和解析几何知识；可以把方程视为函数值为零，不等式可以看成两个函数值的大小比较，数列、三角函数则是特殊的一类函数．所以高考试题中涉及函数的考题面大量广，一旦被编制为解答题就是高档试题了．1．2确定复习计划现在已经是5月，总复习时间不超过一个月，对函数综合试题应试技巧的培养只能局限在一周时间多一点；建议：安排一节课来认识本省往年的高考试题，安排两节来纵览各地这一内容的有特色的符合本省考纲的高考题或模拟题，后花一周时间来上各种专题，专题内容设置建议请看本文后面的内容．1．3分析样卷试题教师对考纲的研究是十分重要的，可以了解自己第一轮复习究竟做得怎么样，有没有达到预期的效果；对考试纲要提供的样卷研究是十分必要的，样卷试题有时候可以预示对应试题的内容和形式、所用的数学思想和方法，使得复习做到有的方矢．2.突出重点 有针对性的重点复习也是为了夯实基础，看看第一轮复习中还有什么重点内容没有达到要求或丢失了．针对本部分内容特别要检查以下几个重点内容．2．1 二次函数为本二次函数的三种形式、图象以及它的基本性质、二次函数（）三个字母的几何意义是否清楚，二次函数在一个区间上的值域是否会求，含有参数的二次函数是否会针对参数进行分类讨论，在绝对值里的二次函数的图象是否会进行变换等．例如，浙江近四年的四个函数综合试题中的两个，在其解决过程中，就要求会根据二次方程在闭区间、开区间、半开半闭区间上根的要求去分类画图象讨论，不能遗漏；这考查的还是数与形的两个主线，是学生的难点；这些试题有“技巧性”更强的方法，但使用“形”——二次函数图象的方法却是通性通法，可避开抽象的思维．如2009年浙江函数综合试题就要涉及到这样的知识，，在上有实数解，且无重根；学生必须会熟练得出图象与轴的交点应该有5种情况（如右），不可遗漏．图（1）的充要条件是即；图（2）与图（3）合并的结论是，即；图（4）的充要条件是，即；图（5）的充要条件是，即不存在．所以，．2．2 三次函数为重三次函数是考试的重点（尤其文科的试题，几乎每一年必考），对于三次函数，每一个学生都必须要清楚地知道它的图象特征，具体如下．三次函数一般形式是 ，当时，它的图象不是图6就是图7，图7可以看作是图6中的两个极值点重合而来的；当时，它的图象不是图8就是图9，图9可以看作是图8中两个极值点重合而来的；熟悉了图象就容易判断单调性和极值点（包括极值点的存在性），这样就有助解决三次函数的综合试题．2．3 基本初等函数要掌握包括指数函数、对数函数在内的基本函数图像、性质，还要掌握函数双曲线函数的各种情形的图象与性质（尤其是它的单调性）．2．4 重视“导数”工具确实落实与检查学生的函数求导知识，要求每一个学生会对基本初等函数和简单复合函数进行求导，导数是解决函数综合题的基础要求；要求学生确切地理解导数的应用，防止不必要的错误．2．5 含参与恒成立含参数不等式恒成立的试题是现在高考的热点，这类试题首先要搞清楚，哪个是参数哪个是变量，而参数与变量分离的方法是解决这类问题的主要和常用方法；但不要钻得太深了．函数综合试题的模型大多是通过转化后可变为单纯的二次函数、三次函数，或二次函数、三次函数中一个与指数函数、对数函数中一个进行四则运算复合的函数模型；函数不是确定的，它大多是动态函数，即含有参数的函数，上面说了参数与变量分离是解此类题常用和主要的办法．思路可以归纳为，含有参数的函数解题方法运用分类讨论、数形结合、函数的主要性质等．2．6 培养良好习惯要养成解决函数问题的一些良好习惯，如做函数试题首先要注意求定义域，会利用特殊值、特殊情形等（即能使结论成立的必要条件）作出函数的图象、对函数的性质进行判断和评估等；高考主要是考查通性通法，所以在问题解决时首先会想到使用常用的、主要的方法等，常用方法的思维强度低，易于学生接受，也往往是学生第一思维，在考试时这个第一思维要坚持走下去，虽然不一定每次能走到底，但却能赢得大部分的分数．下面的高考试题有很多种解法，但通法才是“双基”！例1．（2011年浙江理22题14分）设函数 （I）若的极值点，求实数； （II）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立，注：为自然对数的底数． 解：（I）过程略；（II）对于函数，若对任意的，恒有即成立．若要进行参变分离，则需要在两边同时除于，而，于是还需要分类讨论．当时，结论显然成立，得；当时，，上面的问题等价于，即．令、；则问题就等价于．容易知道在上单调递增，故；而在单调递增，且，故在上递减，在上单调递增，故；于是，综上就有a的取值范围是注：学生应该有这样的第一反应：它的方法应该属于“参数与变量分离”的方法，而本题的分离不算容易，算难于分离了，出现了、这样的函数，一般学生是有点担心做不出了，其实仔细看看前一个的单调性还是很明显．而高考试题提供的参考答案却是很抽象的，我反对把抽象的方法教给学生，把抽象的方法教给学生只有害处．2．7读题能力的培养是十分必要的．因为压轴试题，文字长，表达复杂、抽象是自然的；但要相信试题表达是科学规范的，语言简洁，长度适中，不会出现难读题目，不会让学生在读题上花大量时间．部分考生不缺乏扎实的数学功夫，却缺乏基本的文字功夫和坚强的意志品质，这就显得读题能力培养的重要性；培养、训练的材料可以从历年高考试题中寻找．3.专题推进 开设有针对性的知识、方法与思想、应试能力提升的专题课．高三第一轮是按知识分类来划分章节进行复习的，数学方法、思想往往伴随着问题的解决而引入，因此是零散的；这样的知识分布也不利于学生储存与提取．因此，第二轮复习就要解决上述问题，即达到这样的目的：在学生的脑子中，知识是按考试题型分类储存的，思想与方法是按问题类型概括统一的．现在学校采用的第二轮复习用书的专题大多是大而空泛，缺乏针对性，学生的知识得不到系统的提升，解题能力得不到有效的提高；另外，在5月里，应试的素质也达到高位的要求了．根据笔者的经验，下面四个类型专题既是范例，又是对提升学生解决函数综合试题的能力是有效的．3．1专题一：知识概括．针对本块的内容，笔者常开设的有《导数应用常见错误分析》，《关于全称命题和存在性命题在方程与不等式中的探讨》，《一个十分重要的函数的图象与性质应用》等 ．例2．《例析函数中十一对易混的问题》函数是高中数学中最重要的概念之一．在处理函数有关问题时，有些概念容易混淆，若不能理解概念的本质，就会产生错误．本文针对函数中容易混淆的十一对问题加以剖析并举例说明．因为篇幅限制只举纲要部分．（1）定义域与值域；（2）定义域与有意义；（3）值域与函数值变化范围；（4）主元与次元；（5）有解与恒成立；（6）单调区间与区间单调；（7）某点处的切线与过某点的切线；（8）对称与周期；（9）中心对称与轴对称；（10）时恒成立与时恒成立；（11）函数单调与数列单调．3．2专题二：思想方法归纳．笔者常开设的有《导数在三次方程根的个数上的应用》，《抽象函数的解题妙法----特殊化方法》， 《数学高考的不等式放大与缩小》．思想方法高度归纳型的专题在教学时要突出常用（主要）方法的落实．例3．《不等式恒成立的八种解法探析》不等式恒成立问题一般设计独特，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点．考生对于这类问题感到难以寻求问题解决的切入点和突破口．这里对这一类问题的求解策略作一些探讨．（1）最值法；（2）分离参数法；（3）数形结合法；（4）变更主元法；（5）特殊化法；（6）分段讨论法；（7）单调性法；（8）判别式法．笔者这里还有一些专题，考虑篇幅限制没有附上，读者有兴趣的话可以向我发电子邮件（ churentong@），索取电子稿件．3．3专题三：培养作复合函数图象能力．尽管函数综合试题都是含参问题（动态函数），但我们把可以把参数进行估计，对于某些参数，也能大概作出函数的图象，这些图象却是学生思维、方法产生的基础，因此，会作复合函数图象的能力是解决函数综合题所必须的．例4，（浙江今年样卷压轴题）设函数在内有极值．（I）求实数的取值范围；（II）若，，求证：．注：是自然对数的底数．在本例审题时，应该注意到，当时，和在定义域内是递增函数，不符合题意，因此，；考试时，学生应该要作出函数的大概图象来帮助试题的解决．先由的图象10，结合的大概图象11，就可以得到函数的大概图象12 ．学生对题中的函数图象有了这样的判断，就不仅有利于问题（I）的解决，更有利于问题（II）理解与解决了．简解：（I）定义域是；；题意就转化为在有解且不是重根；令，不妨设，由且可得；因此，只要，，得．（II）由得或；由得或；所以得在内递增，在内递减，在内递减，在递增．所以，，由且得，由，又在是递增的，所以，．即．注：①在（I）中很少学生会使用两根式方法设定的，为满足在有解且符合极值点要求，得到如上的三个图，图（13）就能推得，图（14）和图（15）均无解．②本题解题关键是能得到条件．③对第（II）题的题意的理解很关键，理解透了就很简单，后面不成问题．又如，例５．（2011年湖南理压轴题）已知函数， ．（I）求函数的零点个数，并说明理由；（II）设函数满足，，证明：存在常数M，使得对于任意的，都有成立．对这个试题审题时，假如学生心中有了如图（16）的图象，整个问题的解决尤其问题（II）的对的分类讨论就不是很难了，考生的思维、方法涌出就水到渠成．解答过程略．每一年高考下来，笔者喜欢研究所有高考试题，也写成了很多文章．对去年全国所有高考试卷压轴函数题进行了研究，绝大多数的函数其实都可以先画出一个大概的图象，因此，提高考生作复合函数图象的能力、开设作复合函数图象课的专题是十分重要的；当然，很多读者认为，在分析每一个函数综合题时，就去画函数草图、从便把问题也解决掉，这样岂不是更好么！笔者认为这样做不会引起学生的重视，更培养不成作图的意识、习惯来，只有专一的作图（不对解答进行分析）课才有理想效果；范例函数的来源可以从高考试题中选择；再次强调：就专门作图、不解题．笔者常听到同事们议论有的高考试题出得真好！其实，是命题专家们刻意或随意编制一个函数，后用数学软件画出图象，由图象的许多特征编制问题．大家有兴趣也可以去试试，也许你也会编制出很多优秀的试题来．3．4专题四：解题方法分析．主要从高考时候的心态调节、试题审题，试题分析，试题解答，消除思维障碍等入手分析，最好以试题研究形式上好这样的课．笔者的下面材料就是以这样方式写成的案例供读者思考．例5．专题4样例．高考试题是命题组（一般由10多位高中名师和大学老师、命题专家组成）集体智慧的结晶，是经过了高考检验的、优秀的数学教学题材．根据笔者的经验，在高三各轮的教学复习中，经常性地对高考试题从各个角度深入研究，能使考生熟悉和掌握近年高考试题的命题风格、命题热点、命题形式，有利于考生适应高考情景，提高高考知识复习的针对性．2010年浙江理科数学试卷第21题(本题14分)是一道漂亮的试题，笔者把它与“问题探究教学法”进行结合，首先在自己的课堂里上了一节试题分析实验课，根据课的过程与课后的反思，现在设计为一堂“高考试题分析课”，供参考．题:已知是给定的实常数．设函数，，是的一个极大值点．（I）求的取值范围；（II）设，，是的三个极值点，问是否存在实数，可找到，使得，，，的某种排列，，，（其中｛，，，｝＝｛１，２，３，４｝）依次成等差数列？若存在，求所有的及相应的；若不存在，说明理由．课前准备：在课前早一天或两天把该试题作为作业布置给学生探索、钻研（要求学生不能查阅有关答案），并在适当时间后上交批改，对学生的作业情况进行归纳、分析、归类，以便设计提出下面的问题．有条件的要准备好多媒体课件，没有条件的把要求多媒体展示部分的印刷出来给学生，人手一份．笔者设计了7个问题，考虑篇幅仅给最后一个问题的答案．问题1：做题的第一关是审题．同学们能谈谈你在拿到这个试题入手做时的感觉是什么？ 问题2：同学们是如何求函数的导数呢？问题3：同学们是如何利用条件“是的一个极大值点”来确定题中第１问中的取值范围？问题4：参加高考的考生反应第２小题的条件表达实在抽象，难以理解或突破，同学们看看能怎样的突破？问题5：有了上面的分析，你能全部解答问题了吗？问题6：其实“，解得”这一步说得轻巧，做起来很坎坷的！你们有这样的体会吗？问题7：你们做了这样的一个高考试题有什么心得呢? 问题7参考答案：我们知道，高考试题作为选拔性的考试，整份卷试题的85﹪问题的解决方法应该是“两纲”所要求的主要思想与方法，一定要走“阳光大道”，不选“羊肠小道”．试题背景设计力求公平，贴近学生的实际，在大家都熟悉的情景中考查能力，问题设计力求入口宽，方法多样，使学生在公平背景下展示真实的水平．如这里，让更一般的学生一看就会知道是使用求导数方法来处理第（I）小题．而对于压轴试题就不这样的．压轴题并不是孤立的，它存在一个大题之中，一般是放在整份试卷最后的一道，或最后的第二道；压轴试题一般分成两道或三道小题，前面的应该还是基础的，一般的学生都应该得分的，而后面的小题才是高难度．压轴题所考查的知识选择一般是在重点数学知识里选择，这样就需要一个综合题作为基础来支撑它．高考试题作为选拔性的考试，最后压轴题的目的是让数学能力顶尖的学生在这里能有充分的发挥，以便拉开数学顶尖学生与一般学生的分数，提的问题或解决的方法应该是顶尖学生能力承受范围内，问题解决所用的思路或方法应该是这样顶尖学生能想到的．如这里，求导数的方法就与平时不一样，要走独特的、技巧的路子． 作为压轴题，问题设计力求入口宽，方法多样，使数学顶尖学生在公平背景下展示真实的水平，因此，压轴题命题时各个方面要源于课本而又高于课本．对于一元二次方程的两个根，一般的（绝大部分的）处理方法是用两根的韦达定理来解决，但这里就要求“韦达定理”与“求根公式”灵活运用，要根据情况适当取舍，单一只考虑“韦达定理”，就会使解题走入“死胡同”．作为压轴题，与常规性的解答题应该不一样，总有一定的难度，这个难度就是在解题的具体环节的方法上体现，要有很大的灵活性，思维的跳跃性也要大．如这里，不但要会使用“求根公式”，还会能及时判断这两个根是有确定的大小关系的，有了这样的判断，后面的工作就大大简化了．作为压轴题，由于它的责任要求，解题过程必然是漫长的、曲节的；特别是当解决过程中数学知识难度、技巧等降低时，必然要延长解决问题过程；我们这个试题就是有这样的特点．该试题是２０１０年浙江卷理科最后一题，编得很巧妙，既联系了平时训练的基础知识，又有很大的逻辑推理空间，浅入深出，下笔容易完成难，不象个别的省份的压轴题，难得离谱、脱离教学实际、一点不给考生留下解决问题的线索，失去压轴题的功效．作业：利用今天所学的高考试题的分析方法来分析09年浙江理科22题的多种解法，写一篇小论文．4.整体提升 模拟训练、市地联合模拟考试就是一个强化训练的机会，试卷分析不但要分析试题解决过程，同时也要分析试题的审题、切题、修正、检验等各过程．用别的省份往年高考试题的训练也是必要的，有助于对试题的“新生事物”的认识，更有助于学生的“应试能力”的提高．如2010年全国新课标理科压轴题：设函数．（I）若，求的单调区间；（II）若当时，，求的取值范围．对于这个试题的第（II）问，如果按常规做法是做不出来的，它是“非常规出牌”的试题，说“会做出的是凤毛麟角”都有点夸大；但按现在的评分理念，一个考生努力按常规去做，且写出来，尽管没有结果却能获得大多的分数．又如上面的2011年的湖南的压轴试题，能很好地培养学生良好的审题习惯，即珍贵的“图形诱导出思想方法”的习惯．考前的5月，时间珍贵，复习要贵在重点知识的复习、主导数学思想的梳理、常用方法的回忆、必考技能的提升，贵在心理素质的提高等；以上的经验仅供读者参考．参考文献:[1]褚人统. 让高考试题在问题探究教学中尽放光芒[J].数学通讯(教师版),2011(1)：48—50.浙江天台中学 褚人统 中学数学高级教师 ：１３９６８５７３６７８ 电子邮件churentong@ 邮编317200 身份证 ３３２６２５１９６４０２２１２７１５。