011】已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）DFBACE第24题图③FBADCEG第24题图②FBADCEG第24题图① 解：（1）证明：在Rt△FCD中，∵G为DF的中点，∴ CG= FD．………1分同理，在Rt△DEF中，EG= FD．…………2分∴ CG=EG．…………………3分（2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG．…………………………4分证法一：连接AG，过G点作MN⊥AD于M，与EF的延长线交于N点．在△DAG与△DCG中，∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG，∴ △DAG≌△DCG．∴ AG=CG．………………………5分在△DMG与△FNG中，∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，∴ △DMG≌△FNG．∴ MG=NG 在矩形AENM中，AM=EN． ……………6分在Rt△AMG 与Rt△ENG中，∵ AM=EN， MG=NG，∴ △AMG≌△ENG．∴ AG=EG．∴ EG=CG． ……………………………8分证法二：延长CG至M,使MG=CG，连接MF，ME，EC， ……………………4分在△DCG 与△FMG中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，∴△DCG ≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG． ∴MF∥CD∥AB．………………………5分∴ 在Rt△MFE 与Rt△CBE中，∵ MF=CB，EF=BE，∴△MFE ≌△CBE．∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°．∴ △MEC为直角三角形．∵ MG = CG，∴ EG= MC．………8分（3）（1）中的结论仍然成立，即EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10分OxyNCDEFBMA【012】如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆的圆心在坐标原点，且与两坐标轴分别交于四点．抛物线与轴交于点，与直线交于点，且分别与圆相切于点和点．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴交轴于点，连结，并延长交圆于，求的长．（3）过点作圆的切线交的延长线于点，判断点是否在抛物线上，说明理由．【012】解：（1）圆心在坐标原点，圆的半径为1，点的坐标分别为抛物线与直线交于点，且分别与圆相切于点和点，．点在抛物线上，将的坐标代入，得： 解之，得：抛物线的解析式为：． 4分OxyNCDEFBMAP（2）抛物线的对称轴为，． 6分连结，，，又，，． 8分（3）点在抛物线上． 9分设过点的直线为：，将点的坐标代入，得：，直线为：． 10分过点作圆的切线与轴平行，点的纵坐标为，将代入，得：．点的坐标为，当时，，所以，点在抛物线上． 12分【013】如图，抛物线经过三点．（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；OxyABC41（第26题图）若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标．【013】解：（1）该抛物线过点，可设该抛物线的解析式为．将，代入，得解得此抛物线的解析式为． （3分）（2）存在． （4分）OxyABC41（第26题图）DPME如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为，当时，，．又，①当时，，即．解得（舍去），． （6分）②当时，，即．解得，（均不合题意，舍去）当时，． （7分）类似地可求出当时，． （8分）当时，．综上所述，符合条件的点为或或． （9分）（3）如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为．过作轴的平行线交于．由题意可求得直线的解析式为． （10分）点的坐标为．． （11分）．当时，面积最大．． （13分）(第26题)OABCMN【014】在平面直角坐标中，边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点（如图）.（1）求边在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转过程中，当和平行时，求正方形 旋转的度数；（3）设的周长为，在旋转正方形的过程中，值是否有变化？请证明你的结论.【014】（1）解：∵点第一次落在直线上时停止旋转，∴旋转了.∴在旋转过程中所扫过的面积为.……………4分（2）解：∵∥，∴,.∴.∴.又∵，∴.又∵,,∴.∴.∴.∴旋转过程中，当和平行时，正方形旋转的度数为.……………………………………………8分（3）答：值无变化. 证明：延长交轴于点，则，，∴.又∵，.∴.∴. （第26题）OABCMN又∵,, ∴.∴.∴，∴.∴在旋转正方形的过程中，值无变化. ……………12分【015】如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.⑴求二次函数的解析式；⑵在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；⑶在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【015】⑴设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k∵顶点C的横坐标为4，且过点(0，)∴y=a(x-4)2+k ………………①又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6 ∴A(1，0)，B(7，0)∴0=9a+k ………………②由①②解得a=，k=∴二次函数的解析式为：y=(x-4)2－⑵∵点A、B关于直线x=4对称 ∴PA=PB ∴PA+PD=PB+PD≥DB ∴当点P段DB上时PA+PD取得最小值 ∴DB与对称轴的交点即为所求点P设直线x=4与x轴交于点M ∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO∴△BPM∽△BDO∴ ∴∴点P的坐标为(4，)⑶由⑴知点C(4，)，又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=，∴∠ACM=60o，∵AC=BC，∴∠ACB=120o①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N 如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o ∴QN=3，BN=3，ON=10，此时点Q(10，)，如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，)②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是(4，)，经检验，点(10，)与(-2，)都在抛物线上 综上所述，存在这样的点Q，yxOCDBA336使△QAB∽△ABC 点Q的坐标为(10，)或(-2，)或(4，)．【016】如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点．（1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点，求的值和这个一次函数的解析式；（3）第（2）问中的一次函数的图象与轴、轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；（4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积与四边形OABD的面积S满足：？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．【016】解：（1）设正比例函数的解析式为，因为的图象过点，所以，解得．这个正比例函数的解析式为． （1分）设反比例函数的解析式为．因为的图象过点，所以，解得．这个反比例函数的解析式为． （2分）（2）因为点在的图象上，所以，则点． （3分）设一次函数解析式为．因为的图象是由平移得到的，所以，即．又因为的图象过点，所以，解得，一次函数的解析式为． （4分）（3）因为的图象交轴于点，所以的坐标为．设二次函数的解析式为．因为的图象过点、、和，所以 （5分） 解得这个二次函数的解析式为． （6分）（4）交轴于点，点的坐标是，yxOCDBA336E如图所示，．假设存在点，使．四边形的顶点只能在轴上方，， ．，．在二次函数的图象上，．解得或．当时，点与点重合，这时不是四边形，故舍去，点的坐标为． （8分）yxBAOD（第26题）【017】如图，已知抛物线经过，两点，顶点为．（1）求抛物线的解析式；（2）将绕点顺时针旋转90°后，点落到点的位置，将抛物线沿轴平移后经过点，求平移后所得图象的函数关系式；（3）设（2）中平移后，所得抛物线与轴的交点为，顶点为，若点在平移后的抛物线上，且满足的面积是面积的2倍，求点的坐标．【017】解：（1）已知抛物线经过， 解得所求抛物线的解析式为． 2分（2），，可得旋转后点的坐标为 3分当时，由得，可知抛物线过点将原抛物线沿轴向下平移1个单位后过点．平移后的抛物线解析式为：． 5分（3）点在上，可设点坐标为将配方得，其对称轴为． 6分yxCBAONDB1D1图①①当时，如图①，此时yxCBAODB1D1图②N点的坐标为． 8分②当时，如图②同理可得此时点的坐标为．yxOABC综上，点的坐标为或． 10分【018】如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接，点为抛物线上一点，且，求点的坐标．【018】解：（1）抛物线经过，两点， 解得抛物线的解析式为．yxOABCDE（2）点在抛物线上，，即，或．点在第一象限，点的坐标为．由（1）知．设点关于直线的对称点为点．，，且，，点在轴上，且．yxOABCDEPF，．即点关于直线对称的点的坐标为（0，1）．（3）方法一：作于，于．由（1）有：，．，且．，．，，，．设，则，，．点在抛物线上，，（舍去）或，．yxOABCDPQGH方法二：过点作的垂线交直线于点，过点作轴于．过点作于．．，又，．，，．由（2）知，．，直线的解析式为．解方程组得【019】如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM＝｜CF—EO｜，再以CM、CO为边作矩形CMNO(1)试比较EO、EC的大小，并说明理由(2)令，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由(3)在(2)的条件下，若CO＝1，CE＝，Q为AE上一点且QF＝，抛物线y＝mx2+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式. (4)在(3)的条件下，若抛物线y＝mx2+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在，请说明理由。
点的坐标为．【019】（1）EO＞EC，理由如下：由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，∴EF＞EC， 故EO＞EC …2分（2）m为定值∵S四边形CFGH=CF2=EF2－EC2=EO2－EC2=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC)S四边形CMNO=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO∴ ……………………………………………………4分（3）∵CO=1， ∴EF=EO=∴cos∠FEC= ∴∠FEC=60°，∴∴△EFQ为等边三角形， …………………………………………5分作QI⊥EO于I，EI=，IQ=∴IO= ∴Q点坐标为 ……………………………………6分∵抛物线y=mx2+bx+c过点C(0，1)， Q ，m=1∴可求得，c=1∴抛物线解析式为 ……………………………………7分（4）由（3），当时，＜AB∴P点坐标为 …………………8分∴BP=AO方法1：若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下：①时，∴K点坐标为或②时， ∴K点坐标为或…………10分故直线KP与y轴交点T的坐标为 …………………………………………12分方法2：若△BPK与△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°，过P作PR⊥y轴于R，则∠RTP=60°或30°①当∠RTP=30°时，②当∠RTP=60°时，∴ ……………………………12分【020】如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF。
解答下列问题：（1）如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 ，数量关系为 ②当点D段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D段BC上运动试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？画出相应图形，并说明理由画图不写作法）（3）若AC=4，BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF的边DE与线段CF相交于点P，求线段CP长的最大值020】解：（1）①CF⊥BD，CF=BD ②成立，理由如下：∵∠FAD=∠BAC=90° ∴∠BAD=∠CAF又 BA=CA ，AD=AF ∴△BAD≌△CAF∴CF=BD ∠ACF=∠ACB=45°∴∠BCF=90° ∴CF⊥BD ……（1分）（2）当∠ACB=45°时可得CF⊥BC，理由如下：如图：过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G则∵∠ACB=45° ∴AG=AC ∠AGC=∠ACG=45°∵AG=AC AD=AF ………（1分）∴△GAD≌△CAF（SAS） ∴∠ACF=∠AGD=45°∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90° ∴CF⊥BC …………（2分）（3）如图：作AQBC于Q∵∠ACB=45° AC=4 ∴CQ=AQ=4∵∠PCD=∠ADP=90°∴∠ADQ+∠CDP=∠CDP+∠CPD=90°∴△ADQ∽△DPC …（1分）∴=设CD为x（0＜x＜3）则DQ=CQ－CD=4－x则= …………（1分）∴PC=(－x2+4x)=－(x－2)2+1≥1当x=2时，PC最长，此时PC=1 ………（1分）14。
