2011年数学模型选讲作业题目：A(1)(2) 班级：09数本（1）班 学号：090401131 姓名：苏铃日期：2010年6月15日产销问题摘要本问题为如何实现成本最小、利润最大的问题，问题的核心为如何求成本函数最小值的问题问题1是确定在已知的产品需求预测量的前提下，根据产品各项成本费用，列出成本函数和各项守恒约束条件，我们将此问题转化为线性规划问题求最优解，通过利用LINGO软件，得到模型，并且计算出在不降价促销的情况下解出的最小成本、最大利润注意：最大利润=售价-最小成本）问题2利用问题1所得到的模型，根据给出假设条件（即在计划期内的某个月进行降价促销，当产品价格下降为220元/件时，则接下来的两个月中6%的需求会提前到促销月发生），调整已知条件中的需求预测值，带入问题1中的模型，求出结果具体结果如下：售价（元/件）最低成本（元）利润（元）不降价促销2408425048974961月份降价2208422148750864月份降价220842454868306上面的表格结果一目了然，不降价所得到的利润最大。
关键词线性规划 LINGO 最优解 一、问题重述某企业主要生产一种手工产品，在现有的营销策略下，年初对上半年6个月的产品需求预测如表1所示表1. 产品需求预测估计值（件）月份1月2月3月4月5月6月预计需求量1000110011501300140013001月初工人数为10人，工人每月工作21天，每天工作8小时，按规定，工人每个月加班时间不得超过10个小时1月初的库存量为200台产品的销售价格为240元/件该产品的销售特点是，如果当月的需求不能得到满足，顾客愿意等待该需求在后续的某个月内得到满足，但公司需要对产品的价格进行打折，可以用缺货损失来表示6月末的库存为0（不允许缺货）各种成本费用如表2所示表2. 产品各项成本费用原材料成本库存成本缺货损失外包成本培训费用100元/件10元/件/月20元/件/月200元/件50元/人解聘费用产品加工时间工人正常工资工人加班工资100元/人1.6小时/件12元/小时/人18元/小时/人（1）若你是公司决策人员，请建立数学模型并制定出一个成本最低、利润最大的最优产销方案；（2）公司销售部门预测：在计划期内的某个月进行降价促销，当产品价格下降为220元/件时，则接下来的两个月中6%的需求会提前到促销月发生。
试就一月份（淡季）促销和四月份（旺季）促销两种方案以及不促销最优方案（1）进行对比分析，进而选取最优的产销规划方案二、问题背景随着市场经济的激烈竞争现状，经济学中理性人追求最大利益的本质愈加显现在市场经济竞争下，实际上售价是很难在很大程度上起伏的因为要考虑竞争道德、法律法规等因素，不能投机倒把，不正当竞争所以在这样的现实情况下，企业要追求最大利润，必须要尽可能减少成本上的支出这也是本题规划的现实意义所在目前，要考虑的因素有：①增加工人人数还是让工人加班；②外包还是自己加工；③缺货与加工剩余等权衡无论是哪种因素，都会影响到我们建立的模型以及最后的出的最优解所以在本题给出的因素中，得出的结论还是具有很高的现实意义的三、问题分析根据本题给出的背景知识，我们得出本题所要研究的是成本函数的最小值问题这是一个线性规划问题于是我们要列出成本函数的整个组成总成本工人工作支出（工人工资、加班工资、解聘费用、培训费用等）原料支出（原料成本等）库存成本、缺货损失外包成本等由上图可以看出，成本函数的几个组成项，由每一项设出未知量，与已知量线性组合依据本题要求，我们得出的解题思路是：设出未知量，根据已知的费用成本，列出成本函数，设置约束条件，并利用LINGO软件工具得出最优解。
四、模型假设1、 假设每个工人均身体健康且无意外，可以正常工作八小时，并且每月可最多加班10小时2、 假设原材料供给充足3、 假设各项成本均在月底结算，保证数量均为静态量，不考虑动态量4、 假设有足够的库存空间5、 假设企业有足够资金流动，以供支配6、 假设各已知条件在六个月内不会发生变动五、符号说明: 第i个月工人数（Worker） ：第i个月生产数量：第i个月解雇工人数（Fire） ：第i个月培训工人数（Pei`xun）：第i个月库存量(Ku`cun) ：第i个月外包数量(wai`Bao)：第i个月缺货数量(Que`huo) :第i个月加工时间(Jia`gong)：第i个月的需求量 (以上i=1,2,…，6)六、建立模型与模型求解根据问题分析可以知道，这个问题是要将成本最小化所以目标为列出成本函数以及通过约束条件求得成本最小值可见成本函数是线性函数，将函数与约束条件输入LINGO，求解模型问题1：根据问题1的已知条件，列出成本函数：成本最小=其后，约束条件：1、物流守恒：是指在每一个时段而言，该项目在上一个时段的库存情况加上当前时段的生产量，减去该项目当前用于满足外需条件的量和用于外包的量，应当等于当前的库存情况。
即: 2、为理论分析在确定工人数的前提下应该可以生产出产品的最大量，应当大于或等于实际产量即: 即3、若当前时段的加工人数为，则，由题目规定可以知道加工时间不能超过10，所以，，即: 4、，那么，；若，那么，；即: 综上所述,约束条件如下:由LONGO运算，得第一题结果：时期n工人人数(Wi)缺货(Qi)库存(Ki)解雇工人数（Fi）培训工人数(Pi)外包(Bi)加班时间(Ji)生产数量(Xi)成本010000200000018040200084010072821050020810551260043110001001155137726413065020013651634585130300000136516300861200100161270151580合计842504由上表可知成本最小值为 842504 元因为销售价格为240元/件，所以销售收入为240×（1000+1100+1150+1300+1400+1300）=1740000（元）此时利润最大为：897496元问题2：根据问题2的已知条件，可知降价促销后，产品需求预测值变为月份123456一月份实施促销方案预计需求量113510341081130014001300四月份实施促销方案预计需求量100011001150146213161222约束条件未发生变化,只需将需求量作出相应改变即可.由LONGO软件得第二题运算结果如下：第二题（一月份促销）结果时期n工人人数(Wi)培训工人数(Pi)解雇工人数（Fi）加班时间(Ji)库存(Ki)缺货(Qi)外包(Bi)生产数量(Xi)成本0100002000000190101000945112844210026010010501254703100000081055125804413065030013651635085130300000136516300861200100161270151580总计842214由上表得该方案的成本为 842214元。
因为促销时的价格为220元/件，其余月份价格正常，所以产品销售收入为：220×1135+240×（1034+1081+1300+1400+1300）=1717300（元）此时利润最大为：875086元第二题（四月份促销）结果时期n工人人数(Wi)培训工人数(Pi)解雇工人数（Fi）加班时间(Ji)库存(Ki)缺货(Qi)外包(Bi)生产数量(Xi)成本01000020000001804020008401007282105002081055126004311000100115513772641408030014701754545130571000136516337861100200161165139164总计842454由上表得该方案成本最小为842454元因为促销时的价格为220元/件，其余月份价格正常，所以产品销售收入为：220×1462+240×（1000+1100+1150+1316+1222）=1710760元则利润最大为：868306元综上所述，由上面的模型建立与模型求解可以显然看出，利润：（4月份促销）868306元﹤（1月份促销）875086元﹤(不降价促销)897496元因此，可以得知，不降价促销所得到的规划产销方案，利润最大。
七、模型评价与推广本问题至此已给出了一个比较完整的回答对于该模型的优点，有几下几个方面：1、 思路清晰，简单明了影响成本的因素本来庞杂繁琐，但是我们经过仔细分析推理，清晰易懂的文字表达，比较彻底地解决了最优利润的问题2、方法简便，设计合理 我们在编写的过程中，一切本着简单清晰地原则，尽可能根据实际需要列出函数，求解模型3、 通用性好，解题效率高问题1建立的模型可以很快地求出最优解，一些已知条件变化了之后，譬如问题2 仍然可以很快地求出结果，说明模型具有普遍存在的意义，并期望解题效率颇高八、研究成果短文通过这次的数学建模，我们认真的巩固了知识，得出了较为合理的答案但是我们仍然清醒地意识到，因为时间较为紧张，仅用这几天的时间，是否得出的是最优的结果，我们并不能确定此外，在市场竞争的大环境下，我们还可以看出，本题得出的模型，是存在在一定的道德制高点上的因为我们不能恶性竞争，或者全部辞退人员等，所以我们得出的结论还是具有一定的局限性的最后关于LINGO的使用等技术问题，约束条件的准确性至关重要，这也是我们在建立模型、求解模型中的一点心得体会非）线性规划软件的存在，的确让编程、计算的效率都大大地提高了。
因此，正确选用程序、软件来求解模型也是我们这次得到的一点经验九、参考文献1、赵静 但琦，数学建模与数学实验，高等教育出版社，20004、数学建模论文——产销问题十、附录：第一小题编程如下：model:@gin(w1);@gin(w2);@gin(w3);@gin(w4);@gin(w5);@gin(w6);@gin(q1);@gin(q2);@gin(q3);@gin(q4);@gin(q5);@gin(q6);@gin(k1);@gin(k2);@gin(k3);@gin(k4);@gin(k5);@gin(k6);@gin(f1);@gin(f2);@gin(f3);@gin(f4);@gin(f5);@gin(f6);@gin(p1);@gin(p2);@gin(p3);@gin(p4);@gin(p5);@gin(p6);@gin(b1);@gin(b2);@gin(b3);@gin(b4);@gin(b5);@gin(b6);@gin(j1);@gin(j2);@gin(j3);@gin(j4);@gin(j5);@gin(j6);@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);min=2016*(w1+w2+w3+w4+w5+w6)+20*(q1+q2+q3+q4+q5+q6)+10*(k1+k2+k3+k4+k5+k6)+100*(f1+f2+f3+f4+f5+f6)+50*(p1+p2+p3+p4+p5+p6)+200*(b1+b2+b3+b4+b5+b6)+18*(j1+j2+j3+j4+j5+j6)+100*(x1+x2+x3+x4+x5+x6);x1+b1=k1-q1+800;x2+b2+k1-q1=k2-q2+1100;x3+b3+k2-q2=k3-q3+1150;x4+b4+k3-q3=k4-q4+1300;x5+b5+k4-q4=k5-q5+1400;x6+b6+k5-q5=1300;j1/1.6+105*w1>=x1;j2/1.6+105*w2>=x2;j3/1.6+105*w3>=x3;j4/1.6+105*w4>=x4;j5/1.6+105*w5>=x5;j6/1.6+105*w6>=x6;j1<=10*w1;j2<=10*w2;j3<=10*w3;j4<=10*w4;j5<=10*w5;j6<=10*w6;w1-10=p1-f1;w2-w1=p2-f2;w3-w2=p3-f3;w4-w3=p4-f4;w5-w4=p5-f5;w6-w5=p6-f6;！f1+f2+f3+f4+f5+f6<0; 运行结果如下：Global optimal solution found. Objective value: 842504.0 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 136 Variable Value Reduced Cost W1 8.000000 -108.0000 W2 10.00000 -1008.000 W3 11.00000 1092.000 W4 13.00000 1092.000 W5 13.00000 192.0000 W6 12.00000 -1108.000 Q1 0.000000 30.00000 Q2 5.000000 0.000000 Q3 0.000000 20.00000 Q4 0.000000 30.00000 Q5 0.000000 30.00000 Q6 0.000000 20.00000 K1 40.00000 0.000000 K2 0.000000 30.00000 K3 0.000000 10.00000 K4 65.00000 0.000000 K5 30.00000 0.000000 K6 0.000000 10.00000 F1 2.000000 0.000000 F2 0.000000 150.0000 F3 0.000000 150.0000 F4 0.000000 150.0000 F5 0.000000 150.0000 F6 1.000000 0.000000 P1 0.000000 150.0000 P2 2.000000 0.000000 P3 1.000000 0.000000 P4 2.000000 0.000000 P5 0.000000 0.000000 P6 0.000000 150.0000 B1 0.000000 81.20000 B2 0.000000 71.20000 B3 0.000000 91.20000 B4 0.000000 91.20000 B5 0.000000 81.20000 B6 0.000000 71.20000 J1 0.000000 6.250000 J2 8.000000 0.000000 J3 0.000000 12.50000 J4 0.000000 12.50000 J5 0.000000 6.250000 J6 16.00000 0.000000 X1 840.0000 0.000000 X2 1055.000 0.000000 X3 1155.000 0.000000 X4 1365.000 0.000000 X5 1365.000 0.000000 X6 1270.000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 842504.0 -1.000000 2 0.000000 -118.8000 3 0.000000 -128.8000 4 0.000000 -108.8000 5 0.000000 -108.8000 6 0.000000 -118.8000 7 0.000000 -128.8000 8 0.000000 -18.80000 9 0.000000 -28.80000 10 0.000000 -8.800000 11 0.000000 -8.800000 12 0.000000 -18.80000 13 0.000000 -28.80000 14 80.00000 0.000000 15 92.00000 0.000000 16 110.0000 0.000000 17 130.0000 0.000000 18 130.0000 0.000000 19 104.0000 0.000000 20 0.000000 -100.0000 21 0.000000 50.00000 22 0.000000 50.00000 23 0.000000 50.00000 24 0.000000 50.00000 25 0.000000 -100.0000第二小题：一月份（淡季）促销方案 编程如下：model:@gin(w1);@gin(w2);@gin(w3);@gin(w4);@gin(w5);@gin(w6);min=2016*(w1+w2+w3+w4+w5+w6)+20*(q1+q2+q3+q4+q5+q6)+10*(k1+k2+k3+k4+k5+k6)+100*(f1+f2+f3+f4+f5+f6)+50*(p1+p2+p3+p4+p5+p6)+200*(b1+b2+b3+b4+b5+b6)+18*(j1+j2+j3+j4+j5+j6)+100*(x1+x2+x3+x4+x5+x6);x1+b1=k1-q1+935;x2+b2+k1-q1=k2-q2+1034;x3+b3+k2-q2=k3-q3+1081;x4+b4+k3-q3=k4-q4+1300;x5+b5+k4-q4=k5-q5+1400;x6+b6+k5-q5=1300;j1/1.6+105*w1>=x1;j2/1.6+105*w2>=x2;j3/1.6+105*w3>=x3;j4/1.6+105*w4>=x4;j5/1.6+105*w5>=x5;j6/1.6+105*w6>=x6;j1<=10*w1;j2<=10*w2;j3<=10*w3;j4<=10*w4;j5<=10*w5;j6<=10*w6;w1-10=p1-f1;w2-w1=p2-f2;w3-w2=p3-f3;w4-w3=p4-f4;w5-w4=p5-f5;w6-w5=p6-f6;运行结果如下： Global optimal solution found. Objective value: 842214.0 Extended solver steps: 2 Total solver iterations: 154 Variable Value Reduced Cost W1 9.000000 942.0000 W2 10.00000 42.00000 W3 10.00000 -1008.000 W4 13.00000 1092.000 W5 13.00000 192.0000 W6 12.00000 -1108.000 Q1 0.000000 30.00000 Q2 0.000000 30.00000 Q3 0.000000 0.000000 Q4 0.000000 30.00000 Q5 0.000000 30.00000 Q6 0.000000 20.00000 K1 10.00000 0.000000 K2 26.00000 0.000000 K3 0.000000 30.00000 K4 65.00000 0.000000 K5 30.00000 0.000000 K6 0.000000 10.00000 F1 1.000000 0.000000 F2 0.000000 150.0000 F3 0.000000 150.0000 F4 0.000000 150.0000 F5 0.000000 150.0000 F6 1.000000 0.000000 P1 0.000000 150.0000 P2 1.000000 0.000000 P3 0.000000 0.000000 P4 3.000000 0.000000 P5 0.000000 0.000000 P6 0.000000 150.0000 B1 0.000000 91.20000 B2 0.000000 81.20000 B3 0.000000 71.20000 B4 0.000000 91.20000 B5 0.000000 81.20000 B6 0.000000 71.20000 J1 0.000000 12.50000 J2 0.000000 6.250000 J3 8.000000 0.000000 J4 0.000000 12.50000 J5 0.000000 6.250000 J6 16.00000 0.000000 X1 945.0000 0.000000 X2 1050.000 0.000000 X3 1055.000 0.000000 X4 1365.000 0.000000 X5 1365.000 0.000000 X6 1270.000 0.000000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 842214.0 -1.000000 2 0.000000 -108.8000 3 0.000000 -118.8000 4 0.000000 -128.8000 5 0.000000 -108.8000 6 0.000000 -118.8000 7 0.000000 -128.8000 8 0.000000 -8.800000 9 0.000000 -18.80000 10 0.000000 -28.80000 11 0.000000 -8.800000 12 0.000000 -18.80000 13 0.000000 -28.80000 14 90.00000 0.000000 15 100.0000 0.000000 16 92.00000 0.000000 17 130.0000 0.000000 18 130.0000 0.000000 19 104.0000 0.000000 20 0.000000 -100.0000 21 0.000000 50.00000 22 0.000000 50.00000 23 0.000000 50.00000 24 0.000000 50.00000 25 0.000000 -100.0000第二小题：四月份（旺季）促销方案 编程如下：model:@gin(w1);@gin(w2);@gin(w3);@gin(w4);@gin(w5);@gin(w6);min=2016*(w1+w2+w3+w4+w5+w6)+20*(q1+q2+q3+q4+q5+q6)+10*(k1+k2+k3+k4+k5+k6)+100*(f1+f2+f3+f4+f5+f6)+50*(p1+p2+p3+p4+p5+p6)+200*(b1+b2+b3+b4+b5+b6)+18*(j1+j2+j3+j4+j5+j6)+100*(x1+x2+x3+x4+x5+x6);x1+b1=k1-q1+800;x2+b2+k1-q1=k2-q2+1100;x3+b3+k2-q2=k3-q3+1150;x4+b4+k3-q3=k4-q4+1462;x5+b5+k4-q4=k5-q5+1316;x6+b6+k5-q5=1222;j1/1.6+105*w1>=x1;j2/1.6+105*w2>=x2;j3/1.6+105*w3>=x3;j4/1.6+105*w4>=x4;j5/1.6+105*w5>=x5;j6/1.6+105*w6>=x6;j1<=10*w1;j2<=10*w2;j3<=10*w3;j4<=10*w4;j5<=10*w5;j6<=10*w6;w1-10=p1-f1;w2-w1=p2-f2;w3-w2=p3-f3;w4-w3=p4-f4;w5-w4=p5-f5;w6-w5=p6-f6;运行结果如下：Global optimal solution found. Objective value: 842454.0 Extended solver steps: 3 Total solver iterations: 86 Variable Value Reduced Cost W1 8.000000 -108.0000 W2 10.00000 -1008.000 W3 11.00000 1092.000 W4 14.00000 1242.000 W5 13.00000 42.00000 W6 11.00000 -1108.000 Q1 0.000000 30.00000 Q2 5.000000 0.000000 Q3 0.000000 20.00000 Q4 0.000000 30.00000 Q5 0.000000 30.00000 Q6 0.000000 20.00000 K1 40.00000 0.000000 K2 0.000000 30.00000 K3 0.000000 10.00000 K4 8.000000 0.000000 K5 57.00000 0.000000 K6 0.000000 10.00000 F1 2.00000。